equações diferencias parciais

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EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
Cristiane da Silva
Equações diferenciais 
parciais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Distinguir equações diferenciais ordinárias e parciais.
 � Reconhecer a solução de uma equação diferencial parcial.
 � Resolver problemas envolvendo equações diferenciais parciais.
Introdução
As equações diferenciais podem ser divididas em parciais e ordinárias. As 
equações diferenciais parciais, especificamente, têm fundamental impor-
tância para a ciência e a engenharia, por exemplo. Além disso, existem 
alguns modelos matemáticos que envolvem equações diferenciais, com 
diferentes métodos de resolução.
Neste capítulo, você estudará a respeito das equações diferenciais 
parciais. Além disso, conhecerá o método de separação de variáveis, 
importante para resolver equações diferenciais parciais, com grande 
aplicação. Por fim, verá exemplos de resoluções de problemas envolvendo 
equações diferenciais parciais.
1 Equações diferenciais: ordinárias e parciais
A equação diferencial é aquela que envolve uma ou mais derivadas de uma 
função desconhecida. Anton, Bivens e Davis (2014) denotam essa função 
desconhecida por y = y(x). A ordem da equação diferencial é a ordem da maior 
derivada que ocorre na equação, como pode ser observado no Quadro 1.
Equação diferencial Ordem
 
1ª
 
2ª
 
3ª
 
4ª
 
1ª
Quadro 1. Exemplos de equações diferenciais de acordo com a ordem da derivada de 
maior grau
As equações diferenciais podem ser classificadas em ordinárias e parciais. 
De acordo com Boyce e Diprima (2017), uma classificação importante con-
siste em verificar se a função desconhecida depende de uma única variável 
independente ou de várias variáveis independentes. Na primeira situação, 
aparecem apenas derivadas simples na equação diferencial, denominada 
equação diferencial ordinária. Já na segunda situação, as derivadas são parciais, 
de modo que a equação é denominada equação diferencial parcial. 
Observe, a seguir, um exemplo de equação diferencial ordinária:
Para a carga Q(t) em um capacitor em um circuito com capacitância C, re-
sistência R e indutância L. Boyce e Diprima (2017) também reportam exemplos 
comuns de equações diferenciais parciais, como a equação do calor:
Equações diferenciais parciais2
E a equação da onda:
onde α2 e ∂2 são certas constantes físicas. Observe que, em ambas as equações 
— do calor e da onda —, a variável dependente u depende de duas variáveis 
independentes, x e t. A equação do calor descreve a condução de calor em um 
corpo sólido, ao passo que a equação da onda aparece em uma variedade de 
problemas envolvendo movimento ondulatório em sólidos de fluidos (BOYCE; 
DIPRIMA, 2017).
Boyce e Diprima (2017) destacam outra classificação importante em equa-
ções diferenciais: se elas são ou não lineares. A equação ordinária F(t, y, y', …, 
y(n)) = 0 é dita linear se F for uma função linear das variáveis y, y', …, y(n); uma 
definição análoga se aplica às equações diferenciais parciais. Dessa forma, a 
equação diferencial ordinária linear geral de ordem n é:
Tudo o que for diferente da forma desta equação, é dito uma equação 
não linear. Já a equação é uma equação diferencial 
ordinária linear, ao passo que as equações são 
equações diferenciais parciais lineares (BOYCE; DIPRIMA, 2017).
Outra classificação das equações diferenciais depende do número de fun-
ções desconhecidas. 
Observe o exemplo de um problema físico que leva a uma equação diferencial não 
linear, o problema do pêndulo. O ângulo θ que um pêndulo de comprimento L oscilando 
faz com a direção vertical, como pode ser observado na Figura 1, satisfaz a equação:
3Equações diferenciais parciais
A presença do termo envolvendo sen θ torna a equação não linear.
Figura 1. Um pêndulo oscilando.
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 18).
Enquanto a teoria matemática e os métodos para resolver equações lineares estão 
bastante desenvolvidos, a teoria para equações não lineares é mais complicada, e os 
métodos de resolução são menos satisfatórios. Portanto, é desejável que os problemas 
levem a equações diferenciais ordinárias lineares ou que possam ser aproximados 
por equações lineares. Por exemplo, para o pêndulo, se o ângulo θ for pequeno,
então sen θ ≅ θ, e a equação pode ser aproximada pela equação linear 
. Esse processo de aproximar uma equação não linear por uma linear é
chamado de linearização e é extremamente útil para tratar equações não lineares 
(BOYCE; DIPRIMA, 2017).
Na prática, pode-se encontrar problemas que são modelados por mais de uma equação 
diferencial, os chamados sistemas de equações diferenciais. Para saber mais sobre 
esse assunto, consulte o capítulo 1 da obra Equações diferenciais elementares e problemas 
de valores de contorno, de Boyce e Diprima (2017).
Equações diferenciais parciais4
Como visto, a equação diferencial parcial é uma equação que envolve duas 
ou mais variáveis independentes (x, y, z, t, …) e derivadas parciais de uma 
função incógnita (a variável dependente que se deseja determinar) u ≡ u(x, y, 
z, t, …). Além disso, a ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem 
da derivada parcial de maior ordem que surge na equação. 
A solução de uma equação diferencial parcial é uma função que verifica 
identicamente essa equação. Cabe destacar que a forma geral de uma equação 
diferencial parcial de segunda ordem linear em duas variáveis independentes 
x e y é dada por:
onde A, B, C, D, E, F e G são funções de x e y.
Quando G(x, y) = 0, a equação é dita homogênea, caso contrário, é não 
homogênea. Outro ponto importante é que, se os coeficientes A, B, C, D, E e 
F são constantes reais G(x, y) = 0 a equação diferencial parcial é dita:
 � Hiperbólica: se B2 – 4AC > 0. Um exemplo é a equação unidimensional 
da onda:
 � Parabólica: se B2 – 4AC = 0. Um exemplo é a equação do calor:
 � Elíptica: se B2 – 4AC < 0. Um exemplo é a equação de Laplace:
Na próxima seção, você vai ver que, em diversos problemas importantes, 
existem duas ou mais variáveis independentes, que levam a modelos mate-
máticos envolvendo equações diferenciais parciais, em vez de ordinárias. 
5Equações diferenciais parciais
2 Equações diferenciais parciais: integração 
básica e separação de variáveis
Existem duas técnicas de solução para as equações diferenciais parciais: 
a integração básica e a separação de variáveis. Observe, a seguir, alguns 
exemplos envolvendo o método de resolução por integração.
Exemplo 1
Seja u = u(x, y). Por integração, determine a solução geral para ux = 0.
Determina-se a solução por integração parcial, assim como a técnica aplicada para 
resolver equações exatas. Logo, u(x, y) = f(y), onde f(y) é qualquer função diferenciável 
de y. Essa equação pode ser escrita simbolicamente como:
Observe que um “+C” não é necessário, pois essa constante é “absorvida” em f(y); 
isto é, f(y) é a “constante” mais geral em relação a y.
Exemplo 2
Seja u(x, y, z). Por integração, determine a solução geral para ux = 0.
Aqui, observa-se, por inspeção, que a solução pode ser escrita como f(y, z).
Exemplo 3
Seja u = u(x, y). Por integração, determine a solução geral para uxy = 2x.
Ao integrar primeiro em relação a y, tem-se ux = 2xy + f(x), onde f(x) é qualquer 
função diferenciável de x. Em seguida, ao integrar ux em relação a x, obtém-se 
u(x, y) = x2y + g(x) + h(y), onde g(x) é uma antiderivada de f(x) e h(y) é qualquer função 
diferenciável de y. Observe que, se a equação diferencial parcial for escrita como 
uyx = 2x, o resultado será o mesmo.
Fonte: Bronson e Costa (2008, p. 320).
Outro método importante para resolver equações diferenciais parciais é 
conhecido como método de separação de variáveis, cuja principal característica 
é a substituição da equação diferencial parcial por um conjunto de equações 
diferenciais ordinárias, que devem ser resolvidas sujeitas a condições iniciais 
ou de contorno (BOYCE; DIPRIMA, 2017). 
Equações diferenciais parciais6
Hauser (2019)explica que, para resolver uma equação diferencial parcial 
por separação de variáveis, supõe-se que uma solução pode ser expressa como 
o produto de duas funções desconhecidas, em que uma delas é função de 
apenas uma das variáveis independentes, e a outra, das restantes. A equação 
resultante escreve-se de modo a que um dos membros dependa apenas de uma 
das variáveis, e o outro, das variáveis restantes. Sendo assim, cada um dos 
membros terá de ser uma constante, o que permite determinar as soluções. 
Observe o detalhamento feito por Boyce e Diprima (2017).
A hipótese a considerar é a de que u(x, t) é um produto de duas outras funções, uma 
dependendo somente de x e a outra dependendo somente de t. Assim,
Substituindo u, dado pela equação anterior, na equação diferencial α2uxx = ut, 0 < 
x < L, t > 0, obtém-se:
onde a linha se refere à diferenciação geral em relação à variável independente, seja 
ela x ou t. A equação α2X''T = XT' é equivalente a:
onde as variáveis estão separadas, ou seja, a expressão à esquerda do sinal de igualdade 
depende apenas de x, e a expressão à direita, apenas de t. 
É crucial compreender que, para que a equação seja válida para 0 < x 
< L, t > 0, é preciso que ambos os lados da equação sejam iguais à mesma constante. 
Caso contrário, mantendo-se uma variável independente fixa (p. ex., x) e variando à 
outra, um lado da equação (o esquerdo, nesse caso) permaneceria constante, ao passo 
que o outro estaria variando, o que viola a igualdade. Se essa constate de separação 
for denotada por –λ, então a equação fica:
7Equações diferenciais parciais
Obtém-se, então, as duas equações diferenciais ordinárias a seguir para X(x) e T(t), 
respectivamente:
A constante de separação foi denotado por –λ (em vez de λ) porque essa constante 
será negativa, de modo que é conveniente exibir o sinal de menos explicitamente. 
Portanto, o produto de duas soluções das equações X'' + λX = 0 e T' + α2λT = 0, respec-
tivamente, fornece uma solução da equação diferencial parcial α2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0.
Conforme Boyce e Diprima (2017), muitas aplicações físicas levam a um 
problema no qual o valor da variável dependente y, ou de sua derivada, é 
especificado em dois pontos diferentes. Essas condições são denominadas 
condições de contorno. Uma equação diferencial, junto a uma condição de 
contorno apropriada, forma um problema de valores de contorno com dois 
pontos. Para um melhor entendimento, serão resolvidos exemplos de problemas 
de contorno com equações diferenciais ordinárias antes de abordar exemplos 
com parciais.
Considere a equação diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) com as condições de contorno 
y(α) = y0, y(β) = y1. A ocorrência natural de problemas de valores de contorno envolve, 
em geral, uma coordenada espacial como variável independente, de modo que se usa 
x, em vez de t, nas equações y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) e y(α) = y0, y(β) = y1. 
Para resolver o problema de valores de contorno, é preciso encontrar uma função 
y = ∅(x) que satisfaça à equação diferencial no intervalo α < x < β e assuma os valores 
especificados y0 e y1 nos extremos do intervalo. De modo geral, procura-se primeiro 
a solução geral da equação diferencial e, depois, utiliza-se as condições de contorno 
para determinar os valores das constantes arbitrárias.
Uma classificação importante de problemas de valores de contorno lineares é se estes 
são homogêneos ou não. Se a função g é um valor nulo para todo x e se os valores y0 
e y1 também são nulos, então o problema y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) e y(α) = y0, y(β) = y1 
é dito homogêneo. Caso contrário, o problema é não homogêneo.
Equações diferenciais parciais8
Cabe destacar que os problemas de valor inicial em que se utiliza apenas o valor 
inicial α, sob condições relativamente fracas, têm, certamente, uma única solução. Por 
outro lado, os problemas de valores de contorno em que se utiliza os extremos do 
intervalo, ou seja, α e β, sob condições semelhantes, podem ter uma única solução, mas 
podem, também, não ter solução ou, em alguns casos, ter uma infinidade de soluções.
Exemplo 1
Resolva o problema de valores de contorno y'' + 2y = 0, y(0) = 1, y(π) = 0. A solução 
geral da equação diferencial é . Para que a primeira 
condição de contorno seja satisfeita, é preciso que c1 = 1. A segunda condição de 
contorno implica que:
Como c1 = 1tem-se que:
Isolando c2 tem-se que:
de modo que .
Logo, a solução do problema de valores de contorno y'' + 2y = 0, y(0) = 1, y(π) = 0 é:
Esse exemplo ilustra o caso de um problema de valores de contorno não homogêneo 
com uma única solução.
Exemplo 2
Resolva o problema de valores de contorno y'' + y = 0, y(0) = 1, y(π) = a, em que a é 
um número dado. A solução geral dessa equação diferencial é y = c1 cos x + c2 sen x, 
e, da primeira condição de contorno, observa-se que c1 = 1. A segunda condição 
de contorno requer que –c1 = a. Essas duas condições sobre c1 são incompatíveis se 
a ≠ –1, de modo que o problema não tem solução nesse caso. Contudo, se a = –1, então 
ambas as condições de contorno são satisfeitas, desde que c1 = 1, independentemente 
do valor de c2. Nesse caso, existe uma infinidade de soluções, todas elas da forma:
onde c2 permanece arbitrário.
Esse exemplo ilustra o fato de que um problema de valores de contorno não ho-
mogêneo pode não ter solução, ou, sob condições especiais, pode ter uma infinidade 
de soluções.
9Equações diferenciais parciais
Correspondendo ao problema de valores de contorno não homogêneo y'' + p(x)
y' + q(x)y = g(x), y(α) = y0, y(β) = y1, existe um problema homogêneo, que consiste 
na equação diferencial y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 e nas condições de contorno y(α) = 0, 
y(β) = 0. Observe que esse problema tem solução y = 0 para todo x, independentemente 
dos coeficientes p(x) e q(x). 
Exemplo 3
Resolva o problema de valores de contorno y'' + 2y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0. A solução 
geral da equação diferencial é . A primeira condição de 
contorno requer que c1 = 0, ao passo que a segunda condição de contorno implica 
que . Como , segue que c2 = 0. Em consequência, 
y = 0 para todo x é a única solução do problema de valores de contorno y'' + 2y = 0, 
y(0) = 0, y(π) = 0.
Esse exemplo ilustra o fato de que um problema de valores de contorno homogêneo 
pode ter somente uma solução trivial y = 0.
Exemplo 4
Resolva o problema de valores de contorno y'' + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0. A solução 
geral da equação diferencial é y = c1 cos x + c2 sen x. A primeira condição de contorno 
requer que c1 = 0. Como sen π = 0, a segunda condição de contorno é satisfeita 
independentemente do valor de c2. Logo, a solução do problema y'' + y = 0, y(0) = 0, 
y(π) = 0 é y = c2 sen x, em que c2 permanece arbitrário.
Esse exemplo ilustra o fato de que um problema de valores de contorno homogêneo 
pode ter uma infinidade de soluções.
Fonte: Boyce e Diprima (2017, p. 488–490).
Exemplo 5
Resolva:
Considera-se:
Então,
Equações diferenciais parciais10
Como X é função somente da variável x, e Y, da variável y, cada termo da última 
igualdade deve ser constante K, dita constante de separação. Obtém-se, então, duas 
equações diferenciais ordinárias:
Assim,
Aplicando a condição u(x, 0) = 5e–x, obtém-se que:
A solução procurada é .
Fonte: Hauser (2019, documento on-line).
Exemplo 6
Um típico problema com condições iniciais e de contorno para uma equação diferencial 
parcial do calor é:
Fonte: Sodré (2003, documento on-line).
Observe que os exemplos apresentados ilustram que a relação entre pro-
blemas de valores de contorno homogêneos e não homogêneos é a mesma que 
existe entre sistemas algébricos lineares homogêneos e não homogêneos. Um 
problema de valores de contorno não homogêneo, como visto no Exemplo 1, 
tem uma única solução, ao passo que o problema homogêneo correspondente, 
como visto no Exemplo 3, só tem uma solução trivial. Outro ponto a destacar é 
que um problema não homogêneo, como visto no Exemplo 2, não tem solução 
ou tem uma infinidade de soluções,ao passo que o problema homogêneo 
correspondente, como visto no Exemplo 4, tem soluções não triviais (BOYCE; 
DIPRIMA, 2017).
11Equações diferenciais parciais
Antes de partir para os exemplos, convém explicar o que é a condução de calor em 
regime transiente. Muitos problemas de transferência de calor são dependentes 
do tempo, são problemas não estacionários ou transientes, que surgem quando as 
condições de contorno de um sistema são mudadas. Por exemplo, se a temperatura 
superficial de um sistema for alterada, a temperatura em cada ponto desse sistema 
também começará a mudar. Essas mudanças continuarão até que uma distribuição 
de temperaturas estacionárias seja alcançada (UNISINOS, 2016).
O comportamento da temperatura depende do tempo e da posição no sólido e 
ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e resfriamento. O problema 
transiente pode ser resolvido por meio de duas análises, considerando-se que: a 
variação de temperatura no interior do sólido é desprezível (variação com a posição) 
e somente há variação com o tempo T(t); a variação da temperatura no sólido ocorre 
com a posição e o tempo T(x, t) (UNISINOS, 2016).
Exemplo 1
Resolva o problema de condução de calor transiente em uma placa:
Considera-se:
Então,
3 Problemas envolvendo equações 
diferenciais parciais
Nesta seção, você verá exemplos de aplicações envolvendo equações diferen-
ciais parciais, em que há uma variedade de aplicações na física.
Equações diferenciais parciais12
O sinal negativo da constante de separação K2 garante que a solução T(t) decairá 
com o tempo. Obtém-se, então, duas equações diferenciais ordinárias:
Assim,
Considerando A = CC1, B = CC2, escreve-se:
Contudo, aplicando as condições de contorno, obtém-se que:
Assim, é uma solução da equação dada e também é:
Ao aplicar a condição inicial u(x, 0) = 5 sen (4πx) –3 sen (8πx) + 2 sen (10πx), obtém-se 
n = 12 → B12 = 5, n = 24 → B24 = –3 e, n = 24 → B30 = 2 e Bn = 0 para n ≠ 5, n ≠ 24, n ≠ 30. 
Portanto, a solução do problema de condução de calor transiente dado é:
Fonte: Hauser (2019, documento on-line).
13Equações diferenciais parciais
Exemplo 2
Resolva o problema do fluxo de calor:
A solução do problema é a seguinte:
e
De acordo com os dados do enunciado, β = 3, L = π e f(x) = sen (x) –7 sen (3x) + sen 
(5x). Substituindo β em L, obtém-se que:
Agora, substituindo t por zero e comparando com a função do enunciado do pro-
blema, obtém-se que:
Em seguida, é preciso determinar os valores dos coeficientes Cn de modo que a 
equação seja verdadeira. Ao expandir o somatório e comparar os senos de cada lado 
da equação, percebe-se que as únicas constantes não nulas são C1, C3 e C5:
Portanto, C1 = 1, C3 = –7 e C5 = 1. Substituindo esses valores, obtém-se que:
Fonte: Imateel (2017, documento on-line).
Equações diferenciais parciais14
Portanto, como visto, no contexto de equações diferenciais, o termo 
“modelagem”, proveniente da matemática, significa encontrar uma equação 
diferencial que descreva uma situação física dada.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 2.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
BRONSON, R.; COSTA, G. B. Equações diferenciais. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008.
HAUSER, E. B. Exemplos de equações diferenciais parciais. [2019]. Disponível em: http://
www.clicmates.com.br/arquivosparadonwloads/EDP%20Exerc%C3%ADcios.pdf. Acesso 
em: 17 jan. 2020.
IMATEEL. Exercícios resolvidos: equações diferenciais parciais e séries de Fourier. 2017. Dis-
ponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ixdzyPwyfTc. Acesso em: 17 jan. 2020.
SODRÉ, U. Equações diferenciais parciais. 2003. Disponível em: http://www.uel.br/projetos/
matessencial/superior/pdfs/edp.pdf. Acesso em: 17 jan. 2020.
UNISINOS. Transferência de calor: condução de calor em regime transiente. 2016. Dis-
ponível em: http://professor.unisinos.br/mhmac/Transcal/Conducao%20transiente.
pdf. Acesso em: 17 jan. 2020.
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15Equações diferenciais parciais