avaliando o aprendizado (1)

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Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
	
	
	
	1086
	
	
	1085
	
	
	10860
	
	
	1084
	
	
	10085
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	-5
	
	
	-11
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	-3
	
Explicação:
f(2) = 3.2 - 5 = 1
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	-7
	
	
	3
	
	
	-11
	
	
	-3
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	- 3/4
	
	
	3/4
	
	
	- 0,4
	
	
	4/3
	
	
	- 4/3
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Usando o arredondamento de 3 casa decimais o valor do número 1,42563267 fica?
	
	
	
	1,427
	
	
	1,426
	
	
	1,436
	
	
	1,526
	
	
	1,425
	
Explicação:
Como foi pedido o arredondamneto com 3 casa decimais observa-se a quarta casa, se está for maior ou igual a 5 sobe um número na terceira casa decimal, se ela for menor matém-se a terceira casa decimal
	
	
	 
		
	
		1.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
	
	
	
	5
	
	
	9
	
	
	2
	
	
	10
	
	
	18
	
Explicação:
xu = 3.0 - 2 = -2
yu = 3.2 + 5 = 11
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
	
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Newton Raphson
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Bisseção
	
	
	Ponto fixo
	
Explicação:
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse  novo intervalo e refaz-seo teste  repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
	
	
	
	1
	
	
	0, 375
	
	
	0.25
	
	
	0.765625
	
	
	0,4
	
Explicação:
 f(x) = x3 - 9x + 3  ...   x0 =0     e    x1 =0,5 .      
f(0 ) = +3  positivo   e   f(0,5) =  0,125 - 4,5 +3 =  -1,375  negativo  ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro  x médio  : x2 =  0,25  ...  f (0,25) =  0,253  - 9. 0,25 +3 =  0,0156 + 0,75 = + 0,7656    valor positivo  . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo  x médio   x3 =  ( 0,25 + 0,5 ) /2 =  0,75/ 2 =  0,375  ..iteração pediada. 
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
	
	
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
	
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	
	
	
	Percentual
	
	
	Relativo
	
	
	De truncamento
	
	
	Absoluto
	
	
	De modelo
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
	
	
	
	 x4             
	
	
	x5  
	
	
	 x2      
	
	
	x3      
	
	
	x1    
	
Explicação:
Observa-se que  de  x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01  igual ao erro absoluto 0,01 ,não é menor . De x3 para x4 o módulo da diferença ( 2,74 -2,735 ) = 0,005 que é o primeiro erro menor que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadaspela palavra inglesa "until".
	
Explicação:
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída
		1.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0800
	
	
	1.0245
	
	
	1.0909
	
	
	1.0746
	
	
	1.9876
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
	
	
	
	Método da bisseção
	
	
	Método de Pégasus
	
	
	Método do ponto fixo
	
	
	Método das secantes
	
	
	Método de Newton-Raphson
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
	
	
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
	
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	2,354
	
	
	2.154
	
	
	3,104
	
	
	3,254
	
	
	2,854
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	-1
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	1.75
	
	
	1
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(0, 1)
	
	
	(-1, 0)
	
	
	(1, 2)
	
	
	(2, 3)
	
	
	(-2, -1)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	
	
	
		1.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	Sempre são convergentes.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operaçõesde modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	não apresenta solução
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
	
	apresenta uma única solução
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	1,-2,3
	
	
	1,2,-3
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	-1,2, 3
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
	
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	 
		
	
		1.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	 Y = a.log(bx)
	
	
	Y = ax + 2
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	
	Y = a.2-bx
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Raphson
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	o método de Runge Kutta
	
	
	o método de Lagrange
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função exponencial.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
	
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	Derivação.
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	Integração.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro conceitual
	
	
 
		
	
		1.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
	
	
	
	Y = ax2 + bx + c
	
	
	Y = abx+c
	
	
	Y = ax + b
	
	
	 Y = b + x. ln(a)
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
	
	
	
	 13,900
	
	
	 13,017
	
	
	 13,857
	
	
	 13,500
	
	
	 13,000
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos.
	
	
	
	n
	
	
	menor ou igual a n + 1
	
	
	n + 1
	
	
	menor ou igual a n
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
Explicação:
Na interpolação polinomial, quandotemo "n +1 " pontos, o polinômio interpolador tem grau máximo "n".
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função cúbica.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	
	
		1.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	3,1416
	
	
	0,1415926536
	
	
	3,14
	
	
	0.0015926536
	
	
	0,14
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de:
	
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro absoluto
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
	
	
	
	0,3
	
	
	Indefinido
	
	
	3
	
	
	30
	
	
	0,5
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 114 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
 
	
	
	
	0,81 %        
	
	
	0,88 %
	
	
	8,1 %        
	
	
	10%
	
	
	8,8 %
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 %
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,1415
	
	
	3,141
	
	
	3,142
	
	
	3,14159
	
	
	3,1416
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
	
	
	
	7,7%    
	
	
	0,77%
	
	
	0,077%
	
	
	8,3%      
	
	
	0,83%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (13 - 12) = 1 cm
Erro relativo: = 1 / 13 = 0,077=  7,7%
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Suponha que tenhamos um valor aproximado de 16700 para um valor exato de 16650. Marque o item que possui o erro absoluto, relativo e percentual respectivamente,
 
 
	
	
	
	50 , 0.0003 , 0.3%
	
	
	50 , 0.003 , 0.003%
	
	
	500 , 0.003 , 0.3%
	
	
	Nenhum dos itens anteriores
	
	
	50 , 0.003 , 0.3%
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Ao medir uma peça  de 100cm o técnico anotou com erro  relativo de 0,5% . Qual o valor do erro absoluto?  
	
	
	
	0,05 cm.
	
	
	 0,5 cm
	
	
	 95 cm
	
	
	5 cm     
	
	
	99,5 cm   
	
Explicação:
Erro relativo  = erro absoluto / valor real      
0,5%   = erro absoluto / 100   , então erro absoluto = 0,5% . 100 =  0.5/100 . 100 = 0,5 cm
	
		1.
		Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
	
	
	
	primeiro
	
	
	terceiro
	
	
	segundo
	
	
	quarto
	
	
	nunca é exata
	
Explicação:
Quando a função é do primeiro grau, pois a figura formada abaixo da curva coincide com um trapézio.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	É um método de pouca precisão
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	4
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x))
	
	
	
	0,4
	
	
	1,2
	
	
	1,0
	
	
	0,8
	
	
	0,6
	
	
	
	 
		
	
		6.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
	
	
	
	1/5
	
	
	1/4
	
	
	1/3
	
	
	1/2
	
	
	0
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
	
	
	
	0,3225
	
	
	0,3000
	
	
	0,2500
	
	
	0,3125
	
	
	0,2750
	
Explicação:
Inicialmente vamos determinar o valor de cada intervalo: h = (1- 0)/2 = 0,5
x0 = 0, x1 = 0,5 e x2 = 1
f(x) = x3
f(0) = 03 = 0
f(0,5) = (0,5)3 = 0,125
f(1) = 13 = 1
I = [f(x0) + 2.f(x1) + f(x2)].h/2
I = [0 + 2.(0,125) + 1)].0,25 = 0,3125
	
	
	
	 
		
	
		8.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
 
		
	
		1.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	3,00
	
	
	2,54
	
	
	1,00
	
	
	2,50
	
	
	1,34
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	3
	
	
	-2
	
	
	-3
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
	
	
	
	erro booleano
	
	
	erro absoluto
	
	
	erro de truncamento
	
	
	erro de arredondamento
	
	
	erro relativo
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
	
	
	
	
	
	
	correta
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		1.
		Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
	
	
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	
	
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	
	Uso de dados de tabelas
	
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
	
	
	
	0,030 e 1,9%
	
	
	0,030 e 3,0%
	
	
	0,020 e 2,0%
	
	
	3.10-2 e 3,0%
	
	
	2.10-2 e 1,9%
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
	
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,992
	
	
	99,8%
	
	
	0,2 m2
	
	
	0,8%
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos da engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método numérico para resolvê-las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem "  n". Em relação a este método são feitas as seguintes afirmações:
I - é um método de passo dois
II - há a necessidade de se calcular a função derivada
III - não é necessário utilizar a série de Taylor
É correto afirmar que:
	
	
	
	apenas I e III estão corretas
	
	
	apenas I e II estão corretas
	
	
	todas estão corretas
	
	
	apenas II e III estão corretas
	
	
	todas estão erradas
	
Explicação:
O método de Runge - Kutta de ordem "n" utiliza um único passo, sem necessidade de utilizar a função derivada para determinar o ponto subsequente e vale-se da série de Taylor
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
	
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método de Decomposição LU.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	
	Método de Gauss-Seidel.
	
	
	Método de Gauss-Jacobi.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	
	Nos métodosdiretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.