Aula 08-06 Exercicio proposto de CG e I

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Exercício: Posicionar o CG
2
1
2
3
1 1,75
1,25
1
2
𝑆1 = 2,25𝑥2 = 4,5𝑐𝑚²
𝑆2 =
𝜋. 𝑟2
4
= 0,785𝑐𝑚²
𝑆3 =
𝑏. ℎ
2
=
0,75.2,25
2
= 0,844𝑐𝑚²
1,125
0,750,424
0,424
1
2,25
0,75
𝑧𝑎𝑢𝑥
𝑦𝑎𝑢𝑥
𝑦𝐶𝐺 =
σ𝑦𝑖 . 𝑆𝑖
σ𝑆𝑖
𝑦𝐶𝐺 =
4,5.1,125 − 0,785.0,424 + 0,844.0,75.
4,5 − 0,785 + 0,844
𝑦𝐶𝐺 = 1,18𝑐𝑚
𝑧𝐶𝐺 =
σ𝑧𝑖 . 𝑆𝑖
σ𝑆𝑖
𝑧𝐶𝐺 =
4,5.1 − 0,785.0,424 + 0,844.2,25.
4,5 − 0,785 + 0,844
𝑧𝐶𝐺 = 1,33𝑐𝑚
 Momento de Inércia  Momento Estático de 2ª ordem
Por definição:
I y dS
I z dS
Momentos Baricentricos
z
2
S
y
2
S
 
 







MOMENTO DE INERCIA –medida da distribuição da massa de um corpo em torno de um eixo 
de rotação 
Exercício 1: Calcular o momento de Inercia em torno dos eixos z e y para o perfil abaixo
40cm
50cm
𝐼𝑧 =
𝑏. ℎ3
12
𝐼𝑦 =
ℎ. 𝑏3
12
z
y
𝐼𝑧 =
40. 503
12
= 416.666,67𝑐𝑚4
𝐼𝑦 =
50. 403
12
= 266.666,67𝑐𝑚4
Movimento em torno do 
eixo z - Iz
Movimento em torno do 
eixo y - Iy
Obs.: Teorema de Steiner  Translação de eixos

 


ii
2
cosBaricentri Mom.
i
ii
2
i
SDzIyIy'
SDyIzIz'

Distancia entre CGs (principal e 
secundário)
Exercício 2: Calcular o CG e o momento de Inercia em torno dos eixos z e y para o perfil 
abaixo
10cm 20cm20cm
10cm
40cm
𝑧𝑎𝑢𝑥
CG2
CG1
y
25 25
45
20
1
2
𝑦𝐶𝐺 =
σ𝑦𝑖 . 𝑆𝑖
σ𝑆𝑖
𝑦𝐶𝐺 =
45.500 + 20.400
500 + 400
𝑦𝐶𝐺 = 33,89𝑐𝑚
𝑆1 = 50.10 = 500
𝑆2 = 10.40 = 400
z
33,89
16,11
𝐼𝑧 =෍𝐼𝑧𝑖 +෍𝑆𝑖 . 𝑦
2
𝑖
𝐼𝑦 =෍𝐼𝑦𝑖 +෍𝑆𝑖 . 𝑧
2
𝑖
CG2
CG
CG1
Z
y
25 25
45
20
33,89
16,11
1
2
CG2
CG
CG1
Z
y
25 25
45
20
33,89
16,11
1
2
𝐼𝑧 = 𝐼𝑧1 + 𝑆1. 𝑦
2
1
+ 𝐼𝑧2 + 𝑆2. 𝑦
2
210cm 20cm20cm
10cm
40cm
𝑆1 = 50.10 = 500
𝑆2 = 10.40 = 400
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦1 + 𝑆1. 𝑧
2
1 + 𝐼𝑦2 + 𝑆2. 𝑧
2
2
𝐼𝑧 =
𝑏. ℎ3
12
+ 𝑆1. 𝑦
2
1
+
𝑏. ℎ3
12
+ 𝑆2. 𝑦
2
2
𝐼𝑧 =
50. 103
12
+ 𝑆1. 𝑦
2
1
+
10. 403
12
+ 𝑆2. 𝑦
2
2
𝐼𝑧 = 4166,67 + 500. 11,11
2 + 53333,33 + 400. 13,892
𝐼𝑧 = 196388,89 𝑐𝑚
4
𝐼𝑦 =
ℎ. 𝑏3
12
+ 𝑆1. 𝑧
2
1 +
ℎ. 𝑏3
12
+ 𝑆2. 𝑧
2
2
𝐼𝑦 =
10. 503
12
+ 𝑆1. 𝑧
2
1 +
40. 103
12
+ 𝑆2. 𝑧
2
2
𝐼𝑦 = 104166,67 + 500. 0 + 3333,33 + 400. 0
𝐼𝑦 = 107500𝑐𝑚
4
40cm
30cm
20cm
40cm
30cm
20cm
Z’ 
y
1
2
𝑦𝐶𝐺 =
σ𝑦𝑖 . 𝑆𝑖
σ𝑆𝑖
𝑆1 =
𝜋
2
. 𝑟2 =
𝜋
2
. 202 = 628,32
𝑆2 = 30.40 = 1200
𝑦𝐶𝐺 =
38,49.628,32 + 15.1200
628,33 + 1200
𝑦𝐶𝐺 = 23,07𝑐𝑚
CG1
CG2
4𝑟
3𝜋
8,49cm
38,49
15
z
23,07
26,93
CG
40cm
30cm
20cm
Z’ 
y
1
2
CG1
CG2
z
23,07
26,93
CG
𝐼𝑧 = 𝐼𝑧1 + 𝑆1. 𝑦
2
1
+ 𝐼𝑧2 + 𝑆2. 𝑦
2
2
𝐼𝑧 = 0,1098𝑟
4 + 𝑆1. 𝑦
2
1
+
𝑏. ℎ3
12
+ 𝑆2. 𝑦
2
2
38,49
Y1 =15,42
15
Y2 =8,07
𝐼𝑧 = 0,1098.20
4+628,32. 15,422 +
40. 303
12
+ 1200. 8,072
𝐼𝑧 = 335117,55𝑐𝑚
4
𝐼𝑦 =
𝜋. 𝑟4
8
+ 𝑆1. 𝑧
2
1 +
ℎ. 𝑏3
12
+ 𝑆2. 𝑧
2
2
0 0
𝐼𝑦 =
𝜋. 204
8
+
30. 403
12
𝐼𝑦 = 222831,85𝑐𝑚
4
20cm 20cm10cm
40cm
8cm
12cm
Exercício Proposto: Posicionar o CG para a seção transversal abaixo