APOSTILA DE MATEMÁTICA - 9° ANO

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Apostila de Matemática – BNCC 
9° Ano do Ensino Fundamental 
 
 
Disciplina: Matemática 
 
Códigos das Habilidades Habilidades BNCC Objetos de Conhecimento 
EF08MA19 
Resolver e elaborar problemas que 
envolvam medidas de área de figuras 
geométricas, utilizando expressões de 
cálculo de área (quadriláteros, triângulos 
e círculos), em situações como 
determinar medida de terrenos. 
Área de figuras planas Área do círculo e 
comprimento de sua circunferência. 
EF09MA12 
Reconhecer as condições necessárias e 
suficientes para que dois triângulos 
sejam semelhantes. 
Semelhança de triângulos. 
EF09MA13 
Demonstrar relações métricas do 
triângulo retângulo, entre elas o teorema 
de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulos. 
Relações métricas no triângulo retângulo 
Teorema de Pitágoras: verificações 
experimentais e demonstração Retas 
paralelas cortadas por transversais: 
teoremas de proporcionalidade e 
verificações experimentais. EF09MA14 
Resolver e elaborar problemas de 
aplicação do teorema de Pitágoras ou 
das relações de proporcionalidade 
envolvendo retas paralelas cortadas por 
secantes. 
 
 
Professor: _______________________________________ Ano/Turma: 9° “_____” Turno: _________ 
 
Aluno(a): ______________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Atividade de Revisão 
 
 
Questão 1. A forma decimal de números irracionais é infinita e não periódica. Portanto, representar o valor 
exato de um número irracional na forma decimal é impossível, podemos apenas usar valores aproximados. 
Localize na reta numérica abaixo os seguintes números irracionais: √3, π, √5, φ e √2. Use as seguintes 
aproximações decimais: √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24; π ≈ 3,14 e φ ≈ 1,62. 
 
 
 
Questão 2. Marcos percorreu 120 km em 6 horas. Calcule a velocidade média desenvolvida no percurso. 
 
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Resposta: a velocidade média de Marcos no percurso foi de ___________ quilômetros por hora. 
 
Questão 3. Marta viajou de carro de Goiânia-GO a Fortaleza-CE e gastou exatos 150 litros de gasolina para 
isso. Sabendo que a distância entre as duas cidades é de, aproximadamente, 2400 km, calcule o consumo 
médio desse automóvel na viagem. 
 
 
 
Resposta: o consumo médio do automóvel foi de ___________ quilômetros por litro. 
 
Questão 4. Uma pequena cidade possui 16 000 moradores em uma área de 2 000 km2. Qual é a densidade 
populacional dessa cidade? 
 
 
 
Resposta: a cidade possui ______ hab/km2. 
 
Questão 5. Uma fábrica mantém jornadas de trabalho de 6 horas para seus funcionários e, com essa jornada, 
a produção mensal é de 160 mil produtos. Quantas horas diárias serão necessárias para elevar a produção para 
240 mil produtos? 
 
 
 
 
Resposta: serão necessárias ______ horas diárias. 
 
Questão 6. Em uma lanchonete, seu Alcides prepara suco de morango todos os dias. Em 10 minutos e 
utilizando 4 liquidificadores, a lanchonete consegue preparar os sucos que os clientes pedem. Para diminuir o 
tempo de preparo, seu Alcides dobrou o número de liquidificadores. Quanto tempo levou para que os sucos 
ficassem prontos com os 8 liquidificadores funcionando? 
 
 
 
 
 
Resposta: foram necessários ______ minutos para que os sucos ficassem prontos. 
 
Questão 7. O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula P = 2(b + h), onde P é a medida do 
perímetro, b é a medida da base do retângulo e h é a medida da sua altura. Calcule o perímetro de um retângulo 
com 8 cm de base e 15 cm de altura. 
 
 
 
 
 
Resposta: o perímetro desse retângulo mede ______ centímetros. 
 
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Aula 01 – Habilidade EF09MA12 
Triângulos Semelhantes 
 
 
Semelhança de Triângulos 
 
Quando falamos que um triângulo é semelhante a outro, queremos dizer que seus ângulos 
correspondentes têm a mesma medida e que seus lados correspondentes são proporcionais. 
Vamos analisar os triângulos da figura 
ao lado. Ela mostra dois triângulos 
semelhantes: ABC e A′B′C′. 
Na figura ao lado, os seguintes pares de 
ângulos correspondentes têm medidas iguais: 
�̂� e 𝐴′̂, �̂� e 𝐵′̂, �̂� e 𝐶 ′̂. Dizemos que esses 
ângulos são correspondentes, pois ocupam 
posições equivalentes. Para mostrar que esses pares de ângulos têm medidas iguais, escrevemos: med(�̂�) = 
med(𝐴′̂), med(�̂�) = med(𝐵′̂) e med(�̂�) = med(𝐶 ′̂). 
Ainda na figura, veja que o lado AB é correspondente ao lado A′B′, o lado BC é correspondente ao 
lado B′C′ e o lado AC é correspondente ao lado A′C′. Dizemos que esses lados são correspondentes, pois 
ocupam posições equivalentes. Veja também que o lado AB mede c e o lado A′B′ mede c′, o lado BC mede a 
e o lado B′C′ mede a′, o lado AC mede b e o lado A′C′ mede b′. Quando dividimos as medidas dos lados 
correspondentes e encontramos um mesmo valor k (denominado razão de semelhança), dizemos que esses 
lados são proporcionais: 
𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
= 𝑘 
 
Podemos resumir, portanto, que dois triângulos são semelhantes quando os seus ângulos 
correspondentes têm a mesma medida e seus lados correspondentes são proporcionais. 
 
Exemplo de semelhança de triângulos 
 
Os triângulos ao lado são semelhantes por dois motivos: 
 
 1° motivo: os ângulos correspondentes possuem a 
mesma medida. Veja: 
 
• med(�̂�) = med(�̂�) = 75° 
• med(�̂�) = med(�̂�) = 65° 
• med(�̂�) = med(�̂�) = 40° 
 
 
 2° motivo: a divisão entre as medidas dos lados homólogos resultam em um mesmo número: 
 
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
=>
4
2
=
8
4
=
6
3
= 2. 
 
Logo, a razão de semelhança aqui é k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que 
DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC. 
 
Casos de semelhança de triângulos 
 
4 
 
 
Para saber se dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os ângulos 
correspondentes têm a mesma medida e se todos os lados correspondentes são proporcionais. Há alguns casos 
que facilitam nossa observação e nos ajudam a determinar se os triângulos dados são semelhantes ou não. São 
eles: caso AA, caso LAL e caso LLL. 
 
Caso AA (Ângulo, Ângulo) 
 
 Dois triângulos são semelhantes quando dois pares de ângulos correspondentes possuem a mesma 
medida. 
 
Exemplo: de acordo com o caso AA, podemos dizer que os dois triângulos, ABC e DEF, da figura abaixo são 
semelhantes, pois dois pares de ângulos correspondentes (�̂� e �̂�, �̂� e �̂�) possuem a mesma medida. No caso 
AA, nem precisamos saber a medida dos lados. Veja: 
 
 
 
 
Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) 
 
Dois triângulos são semelhantes quando têm dois pares de lados correspondentes proporcionais e um 
par de ângulos correspondentes de mesma medida entre esses lados. 
 
Exemplo: de acordo com o caso LAL, podemos afirmar que os dois triângulos, ABC e DEF, da figura abaixo 
são semelhantes, pois dois pares de lados correspondentes (AB e DE, BC e EF) são proporcionais e os ângulos 
(�̂� e �̂�) entre eles têm a mesma medida. A razão de semelhança é 2. Veja: 
 
 
 
 
Caso LLL (Lado, Lado, Lado) 
 
Dois triângulos são semelhantes quando os três pares de lados correspondentes são proporcionais. 
 
Exemplo: de acordo com o caso LLL, podemos dizer que os dois triângulos, ABC e DEF, da figura abaixo 
são semelhantes, pois os três pares de lados correspondentes, AB e DE, BC e EF, AC e DF, são proporcionais: 
 
 
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Para saber mais sobre os casos de semelhança de triângulos, acesse: 
➔ https://youtu.be/vc9xrDFx7J4 
 
 
Bateria de Exercícios 01 
 
Exercício 1. Existem alguns procedimentos que podem ser usados para descobrir se dois triângulos são 
semelhantes sem ter de analisar a proporcionalidade de todos os lados e, ao mesmo tempo, as medidas de 
todos os ângulos desses triângulos. A respeito desses casos, assinale a alternativa correta: 
A. Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham três ângulos correspondentes 
congruentes. 
B. Para que dois triângulossejam semelhantes, basta que eles tenham dois lados proporcionais e um 
ângulo congruente, em qualquer ordem. 
C. Para que dois triângulos sejam congruentes, basta que eles tenham os três lados correspondentes com 
medidas proporcionais. 
D. Dois triângulos que possuem dois lados correspondentes proporcionais não serão semelhantes em 
qualquer hipótese. 
E. Dois triângulos que possuem apenas dois ângulos correspondentes congruentes não podem ser 
considerados semelhantes. 
 
Exercício 2. Observe a figura abaixo e calcule o valor da medida x: 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a medida de x é ________ centímetros. 
 
 
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Exercício 3. Qual é a medida de x, na figura abaixo? 
Resposta: a medida de x é ________ metros. 
 
Exercício 4. Observe os triângulos da imagem a seguir e assinale a alternativa correta. 
A. Os triângulos são semelhantes, pois possuem o 
mesmo formato. Essa é a única maneira de descobrir 
se duas figuras geométricas são semelhantes. 
B. Os triângulos não são semelhantes, pois não existe 
caso de semelhança. 
C. Os triângulos são semelhantes pelo caso ALA 
(Ângulo – Lado – Ângulo). 
D. Os triângulos são congruentes pelo caso ALA. 
E. Os triângulos são semelhantes pelo caso AA 
(Ângulo – Ângulo). 
 
Exercício 5. (Unesp) A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede 
15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. Qual é a 
altura do prédio, em metros? 
 Resposta: a altura do prédio é ________ metros. 
 
Exercício 6. Radares da aeronáutica detectaram um objeto voador não identificado, em forma de disco, 
pairando a 30 metros do solo. Um helicóptero foi imediatamente acionado para verificação e pairou a 30 
metros acima do objeto, iluminando-o com um holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, qual 
é a medida, em metros, do raio desse disco? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a medida do raio do disco é ________ metros. 
 
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Aula 02 – Habilidade EF09MA13 
Relações Métricas do Triângulo Retângulo 
 
 
Elementos de um Triângulo Retângulo 
 
As relações métricas a seguir são relações matemáticas 
entre as medidas dos elementos de um triângulo retângulo 
(triângulo com um ângulo de 90º). Os elementos de um 
triângulo retângulo estão apresentados abaixo: 
➔ a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º); 
➔ b: cateto menor; 
➔ c: cateto maior; 
➔ h: altura relativa à hipotenusa; 
➔ m: projeção do cateto b sobre a hipotenusa; 
➔ n: projeção do cateto c sobre a hipotenusa. 
 
 
Semelhança de Triângulos e Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
Para encontrar as relações métricas, precisamos desmembrar o triângulo ABC acima em dois outros 
triângulos: ACD e ABD. Utilizaremos semelhança de triângulos. Os triângulos ABC, ACD e ABD são 
semelhantes. Veja: 
 
 
 
Da semelhança entre os triângulos ABC e ADC, temos as seguintes relações: 
I. 
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑚
⇒ 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑚 
II. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
ℎ
⇒ 𝑎 ∙ ℎ = 𝑏 ∙ 𝑐 
Da semelhança entre os triângulos ABC e ABD, temos a seguinte relação: 
III. 
𝑎
𝑐
=
𝑐
𝑛
⇒ 𝑐2 = 𝑎 ∙ 𝑛 
Da semelhança entre os triângulos ACD e ABD, temos a seguinte relação: 
IV. 
ℎ
𝑛
=
𝑚
ℎ
⇒ ℎ2 = 𝑚 ∙ 𝑛 
Ainda, do triângulo ABC, temos a seguinte relação: 
V. a = m + n. 
 
O Teorema de Pitágoras a as Relações Métricas do Triângulo Retângulo 
 
 
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Pitágoras foi um filósofo e matemático grego nascido em 570 a.C., na ilha de Samos. Em busca de 
mais conhecimento, acredita-se que Pitágoras tenha viajado por lugares como Egito, Creta e Palestina. Conta 
a lenda que foi numa dessas viagens ao Egito que o grego formulou um dos teoremas mais importantes de 
toda a Geometria: o teorema de Pitágoras. Esse teorema relaciona o comprimento dos lados do triângulo 
retângulo e nos garante que: 
 
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
 
A figura abaixo ilustra o teorema de Pitágoras. Nela, chamamos de a a medida da hipotenusa (lado 
oposto ao ângulo de 90°), b a medida do cateto menor e c a medida do cateto maior. 
 
 
 
Podemos provar que o teorema de Pitágoras está correto, utilizando as relações I, III e V vistas na 
página anterior. Da relação I, temos: 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑚. Por outro lado, da relação III, temos: 𝑐2 = 𝑎 ∙ 𝑛. Somando 
essas duas relações e combinando o resultado dessa soma com a relação V (a = m + n), obtemos: 
 
 
 
Acabamos de provar o teorema de Pitágoras ao mostrar que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, o que constitui a sexta 
relação métrica no triângulo retângulo. Em resumo, o quadro abaixo apresenta as seis relações métricas: 
 
Relações métricas no triângulo retângulo 
I. 𝒃𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒎 
II. 𝒂 ∙ 𝒉 = 𝒃 ∙ 𝒄 
III. 𝒄𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒏 
IV. 𝒉𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒏 
V. a = m + n 
VI. 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
 
Para saber mais sobre as relações métricas no triângulo retângulo, acesse: 
➔ https://youtu.be/Sk4KxSLUrZc 
 
 
 
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Bateria de Exercícios 02 
 
Exercício 1. A chácara de Ângela tem a forma de um triângulo 
retângulo e as dimensões indicadas na figura. Qual é a distância entre 
o portão e o poço? (Use a relação II, veja o quadro da página 8). 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a distância entre o portão e o poço é ________ metros. 
 
Exercício 2. Calcule a medida de y do triângulo retângulo: (Use 
a relação III). 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: a medida de y é ________. 
 
Exercício 3. Encontre o valor de x e z no triângulo retângulo: (Use a 
relação V para calcular o valor de z e a relação I para calcular o valor 
de x). 
 
 
 
Resposta: a medida de x é _____, a de y é _____ e a de z é _____. 
 
Exercício 4. (SAEPI). O balão que fazia propaganda 
para a empresa de amortecedores MOCOF era 
observado por duas crianças distantes 50 metros uma da 
outra. No instante em que essas crianças observavam o 
balão, ele estava acima de um poste, com uma das 
crianças distante 10 metros desse poste. Além disso, as 
duas crianças e o balão estavam no mesmo plano 
vertical. A figura ao lado ilustra essa situação. 
Calcule a altura h do balão. (Use a relação IV). 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a altura do balão é _____ metros. 
 
 
 
Aula 03 – Habilidade EF09MA14 
O Teorema de Pitágoras 
 
 
Aprendendo um Pouco Mais Sobre o Teorema de Pitágoras 
 
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Na aula 02, introduzimos o assunto sobre o teorema de Pitágoras, mas não nos aprofundamos nele. 
Vimos que esse teorema é uma das relações métricas (relação VI – quadro da página 8) do triângulo retângulo 
(caso queira, releia o texto da página 8). Nessa aula, iremos aprofundar nosso estudo sobre o teorema de 
Pitágoras. Então, vamos lá! 
Como já mencionado, Pitágoras foi um filósofo e matemático grego nascido em 570 a.C., na ilha de 
Samos. Observando o triângulo retângulo, Pitágoras notou que as medidas dos seus três lados obedecem a 
uma lei matemática: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Essa lei pode ser 
escrita matematicamente como 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐. Veja a ilustração do teorema na figura abaixo. Nela, chamamos 
de a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°) , b a medida do cateto menor e c a medida do cateto 
maior. 
 
 
Com o teorema de Pitágoras, podemos calcular a medida de qualquer um dos três lados de qualquer 
triângulo retângulo, não importa o seu tamanho. Mas para calcularmos a medida de um lado, necessitamos 
saber a medida dos outros dois lados. Ou seja, se quisermos calcular a medida a, precisamos saber as medidas 
b e c. Por outro lado, se quisermos, por exemplo, calcular a medida b, precisamos conhecer as medidas a e c, 
e assim por diante. Veja a seguir um exemplo de aplicação do teorema. 
 
Exemplo de Aplicação do Teorema de Pitágoras 
 
Problema: (SAEPI). Durante a reforma de uma 
cobertura, a empreiteira responsável instalou uma 
rampa de madeira para depositar o entulho da obra 
diretamente na caçamba,conforme ilustra o desenho 
abaixo. Qual é a medida x do comprimento da madeira 
utilizada para construção dessa rampa? 
 
Solução: A parede do prédio, a rampa e a distância entre 
a parede e a caçamba formam um triângulo retângulo, 
onde o cateto menor mede 6 metros, o cateto maior 
mede 8 metros e a hipotenusa mede x. Devemos calcular 
o valor de x, ou seja, a medida da rampa. Para tanto, devemos substituir esses dados na fórmula 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. 
Logo: 𝑥2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100. Então, 𝑥2 = 100. A resposta é dada pela raíz quadrada positiva de 
100, ou seja: 𝑥 = √100 = 𝟏𝟎 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬. Portanto, a rampa tem 10 metros. 
 
 
Para saber mais sobre o teorema de Pitágoras, acesse: 
➔ https://youtu.be/PGPRh4JBIsg 
 
 
Bateria de Exercícios 03 
 
 
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Exercício 1. (SAEPB). Um observador, da janela de um 
edifício, avista um carro parado a 12 metros de distância da 
entrada da portaria do seu prédio, conforme ilustrado no 
desenho abaixo. Considerando essa rua plana, qual é a 
distância, em metros, entre o carro e observador? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: distância é de ______ metros. 
 
 
Exercício 2. (SAEGO). Observe abaixo o esquema de uma rampa inflável para um parque infantil. Essa rampa 
possui o formato de um prisma reto de base triangular. De acordo com esse desenho, qual é a medida do 
comprimento dessa rampa inflável? 
 
Resposta: comprimento da rampa é _____ metros. 
 
 
Exercício 3. (Saresp 2005 - Adaptado). Caio quer podar os galhos de uma 
árvore em seu quintal. Uma escada de 10 metros será fixada a 6 metros da 
base do tronco. Qual é a altura H da árvore, em metros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a árvore tem _____ metros de altura. 
 
 
 
Atividades de 5ª Aula – Intervenção Pedagógica: EF08MA19 
Área de Figuras Geométricas 
 
 
Área do Triângulo 
 
 
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Área do Quadrado 
 
 
 
Área do Retângulo 
 
 
 
Área do Losango 
 
 
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Área do Paralelogramo 
 
 
 
Área do Trapézio 
 
 
 
Área do Círculo 
 
 
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Para saber mais sobre área de figuras geométricas, acesse: 
➔ https://youtu.be/2_13kTn5xbs 
➔ https://youtu.be/zdgF38Yw-oU 
 
 
Atividade 01 de 5ª Aula 
 
Exercício 1. (SIMAVE). Josefa quer revestir o piso da cozinha de sua casa. A forma desse cômodo é bastante 
irregular: veja, abaixo, a planta da cozinha. Ela precisa saber quanto mede a área total da cozinha para comprar 
o piso. Quanto essa área mede? 
 
 Resposta: essa área é igual a ______ m2. 
 
 
Exercício 2. (PAEBES). Carlos comprou um terreno retangular cujas medidas estão representadas no desenho 
ao lado e, no centro dele, construiu uma casa de base 
também retangular medindo 6 metros de largura por 16 
metros de comprimento. Ao redor da casa, ele plantou 
grama de forma a cobrir todo espaço que sobrou do 
terreno. Quantos metros quadrados de grama Carlos 
plantou nesse terreno? 
 
 
 
 
 
Resposta: Carlos plantou ______ m2 de grama. 
 
Atividade 02 de 5ª Aula 
 
Exercício 1. (SEPR). Considerando um quadradinho como unidade de área nas figuras a seguir: 
https://youtu.be/2_13kTn5xbs
 
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Tem respectivamente, área igual a: 
(A) 4, 6 e 9. 
(B) 8, 8 e 9. 
(C) 4, 8 e 9. 
(D) 8, 6 e 9. 
 
Exercício 2. A figura mostra a planta de um terreno, com algumas medidas 
indicadas. Qual a área desse terreno? 
 
 
 
 
 
Resposta: a área desse terreno é ______ m2. 
 
 
Atividade 03 de 5ª Aula 
 
Exercício 1. (SAEP). Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, a maior com 
raio 10 cm e a menor com raio 6 cm. Use 𝜋 = 3,14. 
 
 
 
 
 
Resposta: a área da região é ________ cm2. 
 
 
Exercício 2. (SAEMS). Uma capa circular de lona será confeccionada para cobrir 
uma piscina de fibra de um clube. A dimensão externa dessa piscina, também 
circular, está apresentada na figura abaixo. Qual é a medida mínima dessa capa, em 
metros quadrados? Use 𝜋 = 3,14. 
 
 
 
 
Resposta: a medida mínima dessa capa é ________ m2.