3 Sistemas Lineares - Parte 3

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Álgebra Linear I
Sistemas Lineares - Parte III
Prof. Hugo Nunes
Matemática Licenciatura
Instituto Federal de Alagoas
Campus Maceió
2019
1/61
Sumário
1 Sistemas Lineares
Matrizes e operações elementares com linhas
Soluções de sistemas lineares
Sistemas não-quadrados
Sistemas homogêneos
Mais algumas aplicações
2/61
Sistemas Lineares
3/61
Matrizes e operações elementares com linhas
3/61
Vimos que a conversão de um sistema linear para um sistema triangular equi-
valente fornece um algoritmo para resolver o sistema linear.
O algoritmo pode ser simplificado pela introdução de matrizes para representar
sistemas lineares.
Definição (Matriz)
Uma matriz m×n é um arranjo retangular de mn números reais (ou complexo)
distribúıdos em m linhas horizontais e n colunas verticais.
a11 a12 · · · · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · · · · a2j · · · a2n
...
...
...
...
ai1 ai2 · · · · · · aij · · · ain
...
...
...
...
am1 am2 · · · · · · amj · · · amn


3/61
Vimos que a conversão de um sistema linear para um sistema triangular equi-
valente fornece um algoritmo para resolver o sistema linear.
O algoritmo pode ser simplificado pela introdução de matrizes para representar
sistemas lineares.
Definição (Matriz)
Uma matriz m×n é um arranjo retangular de mn números reais (ou complexo)
distribúıdos em m linhas horizontais e n colunas verticais.
a11 a12 · · · · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · · · · a2j · · · a2n
...
...
...
...
ai1 ai2 · · · · · · aij · · · ain
...
...
...
...
am1 am2 · · · · · · amj · · · amn


3/61
Vimos que a conversão de um sistema linear para um sistema triangular equi-
valente fornece um algoritmo para resolver o sistema linear.
O algoritmo pode ser simplificado pela introdução de matrizes para representar
sistemas lineares.
Definição (Matriz)
Uma matriz m×n é um arranjo retangular de mn números reais (ou complexo)
distribúıdos em m linhas horizontais e n colunas verticais.
a11 a12 · · · · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · · · · a2j · · · a2n
...
...
...
...
ai1 ai2 · · · · · · aij · · · ain
...
...
...
...
am1 am2 · · · · · · amj · · · amn


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Seja o sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
... · · ·
...
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Podemos abreviar a escrita do sistema escrevendo apenas a tabela retangular
de números: 
a11 a12 · · · a1n
... b1
a21 a22 · · · a2n
... b2
...
... · · ·
...
...
am1 am2 · · · amn
... bm

Denominamos essa tabela por matriz aumentada do sistema.
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Seja o sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
... · · ·
...
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Podemos abreviar a escrita do sistema escrevendo apenas a tabela retangular
de números: 
a11 a12 · · · a1n
... b1
a21 a22 · · · a2n
... b2
...
... · · ·
...
...
am1 am2 · · · amn
... bm

Denominamos essa tabela por matriz aumentada do sistema.
4/61
Seja o sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
... · · ·
...
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Podemos abreviar a escrita do sistema escrevendo apenas a tabela retangular
de números: 
a11 a12 · · · a1n
... b1
a21 a22 · · · a2n
... b2
...
... · · ·
...
...
am1 am2 · · · amn
... bm

Denominamos essa tabela por matriz aumentada do sistema.
4/61
Já a tabela 
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 · · · amn

é denominada matriz dos coeficientes.
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Já a tabela 
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 · · · amn

é denominada matriz dos coeficientes.
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Exemplo
Dado o sistema: 
x + y + 2z = 9
2x + 4y − 3z = 1
3x + 6y − 5z = 0
Temos:
Matriz aumentada:
1 1 2
... 9
2 4 −3
... 1
3 6 −5
... 0

Matriz dos coeficientes:1 1 22 4 −3
3 6 −5

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Exemplo
Dado o sistema: 
x + y + 2z = 9
2x + 4y − 3z = 1
3x + 6y − 5z = 0
Temos:
Matriz aumentada:
1 1 2
... 9
2 4 −3
... 1
3 6 −5
... 0

Matriz dos coeficientes:1 1 22 4 −3
3 6 −5

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O método de eliminação em um sistema linear é equivalente a realizar operações
semelhantes nas linhas da matriz aumentada correspondente.
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem às equações no
sistema associado, essas três operações correspondem às seguintes operações nas linhas
da matriz aumentada.
Operações Elementares sobre as Linhas
I. Trocar duas linhas.
Li ↔ Lj
II. Multiplicar uma linha por um número real não-nulo.
Li ↔ kLi
III. Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo de outra linha.
Lj ↔ kLi + Lj
7/61
O método de eliminação em um sistema linear é equivalente a realizar operações
semelhantes nas linhas da matriz aumentada correspondente.
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem às equações no
sistema associado, essas três operações correspondem às seguintes operações nas linhas
da matriz aumentada.
Operações Elementares sobre as Linhas
I. Trocar duas linhas.
Li ↔ Lj
II. Multiplicar uma linha por um número real não-nulo.
Li ↔ kLi
III. Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo de outra linha.
Lj ↔ kLi + Lj
7/61
O método de eliminação em um sistema linear é equivalente a realizar operações
semelhantes nas linhas da matriz aumentada correspondente.
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem às equações no
sistema associado, essas três operações correspondem às seguintes operações nas linhas
da matriz aumentada.
Operações Elementares sobre as Linhas
I. Trocar duas linhas.
Li ↔ Lj
II. Multiplicar uma linha por um número real não-nulo.
Li ↔ kLi
III. Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo de outra linha.
Lj ↔ kLi + Lj
7/61
O método de eliminação em um sistema linear é equivalente a realizar operações
semelhantes nas linhas da matriz aumentada correspondente.
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem às equações no
sistema associado, essas três operações correspondem às seguintes operações nas linhas
da matriz aumentada.
Operações Elementares sobre as Linhas
I. Trocar duas linhas.
Li ↔ Lj
II. Multiplicar uma linha por um número real não-nulo.
Li ↔ kLi
III. Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo de outra linha.
Lj ↔ kLi + Lj
7/61
O método de eliminação em um sistema linear é equivalente a realizar operações
semelhantes nas linhas da matriz aumentada correspondente.
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem às equações no
sistema associado, essas três operações correspondem às seguintes operações nas linhas
da matriz aumentada.
Operações Elementares sobre as Linhas
I. Trocar duas linhas.
Li ↔ Lj
II. Multiplicar uma linha por um número real não-nulo.
Li ↔ kLi
III. Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo de outra linha.
Lj ↔ kLi + Lj
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Definição (Matriz Escalonada)
Uma matriz está na forma escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes
propriedades:
1. Todas as linhas diferentes de zero estão acima de todas as linhas de todos
os zeros.
2. Cada entrada principal de uma linha está em uma coluna à direita da
entrada principal a linha acima dela.
3. Todas as entradas em uma coluna abaixo de uma entrada principal são
zeros.
8/61
Definição (Matriz Escalonada)
Uma matriz está na forma escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes
propriedades:
1. Todas as linhas diferentes de zero estão acima de todas as linhas de todos
os zeros.
2. Cada entrada principal de uma linha está em uma coluna à direita da
entrada principal a linha acima dela.
3. Todas as entradas em uma coluna abaixo de uma entrada principal são
zeros.
8/61
Definição (Matriz Escalonada)Uma matriz está na forma escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes
propriedades:
1. Todas as linhas diferentes de zero estão acima de todas as linhas de todos
os zeros.
2. Cada entrada principal de uma linha está em uma coluna à direita da
entrada principal a linha acima dela.
3. Todas as entradas em uma coluna abaixo de uma entrada principal são
zeros.
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Definição (Matriz Escalonada)
Uma matriz está na forma escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes
propriedades:
1. Todas as linhas diferentes de zero estão acima de todas as linhas de todos
os zeros.
2. Cada entrada principal de uma linha está em uma coluna à direita da
entrada principal a linha acima dela.
3. Todas as entradas em uma coluna abaixo de uma entrada principal são
zeros.
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Exemplo (Matriz Escalonada)
São matrizes escalonadas:1 −6 −40 2 −1
0 0 1
 2 4 10 −1 2
0 0 0
 1 1 2 10 0 1 3
0 0 0 0

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Definição (Matriz escalonada reduzida)
Se uma matriz escalonada satisfaz, além das anteriores, as seguintes condições
adicionais, então é da forma escalonada reduzida (ou forma escalonada de
linha reduzida):
4. A entrada principal em cada linha diferente de zero é 1.
5. Cada ĺıder 1 é a única entrada diferente de zero em sua coluna.
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Definição (Matriz escalonada reduzida)
Se uma matriz escalonada satisfaz, além das anteriores, as seguintes condições
adicionais, então é da forma escalonada reduzida (ou forma escalonada de
linha reduzida):
4. A entrada principal em cada linha diferente de zero é 1.
5. Cada ĺıder 1 é a única entrada diferente de zero em sua coluna.
10/61
Definição (Matriz escalonada reduzida)
Se uma matriz escalonada satisfaz, além das anteriores, as seguintes condições
adicionais, então é da forma escalonada reduzida (ou forma escalonada de
linha reduzida):
4. A entrada principal em cada linha diferente de zero é 1.
5. Cada ĺıder 1 é a única entrada diferente de zero em sua coluna.
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Exemplo (Matriz escalonada reduzida)
São matrizes escalonadas reduzidas:1 0 0 40 1 0 7
0 0 1 −1
 1 0 00 1 0
0 0 1

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Observações:
A primeira linha é usada para anular os elementos na primeira coluna das linhas
restantes.
Vamos nos referir a essa primeira linha como linha do pivô.
O elemento 1 na primeira linha é chamado pivô.
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.
Trabalharemos coluna por coluna, da esquerda pra direita e de cima para baixo.
Criaremos um elemento ĺıder (pivô) em uma coluna e vamos usá-lo para criar zeros
sob ele (pivoteamento).
Às vezes é conveniente usar a segunda operação elementar para transformar o
elemento ĺıder em 1;
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Observações:
A primeira linha é usada para anular os elementos na primeira coluna das linhas
restantes.
Vamos nos referir a essa primeira linha como linha do pivô.
O elemento 1 na primeira linha é chamado pivô.
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.
Trabalharemos coluna por coluna, da esquerda pra direita e de cima para baixo.
Criaremos um elemento ĺıder (pivô) em uma coluna e vamos usá-lo para criar zeros
sob ele (pivoteamento).
Às vezes é conveniente usar a segunda operação elementar para transformar o
elemento ĺıder em 1;
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Observações:
A primeira linha é usada para anular os elementos na primeira coluna das linhas
restantes.
Vamos nos referir a essa primeira linha como linha do pivô.
O elemento 1 na primeira linha é chamado pivô.
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.
Trabalharemos coluna por coluna, da esquerda pra direita e de cima para baixo.
Criaremos um elemento ĺıder (pivô) em uma coluna e vamos usá-lo para criar zeros
sob ele (pivoteamento).
Às vezes é conveniente usar a segunda operação elementar para transformar o
elemento ĺıder em 1;
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Observações:
A primeira linha é usada para anular os elementos na primeira coluna das linhas
restantes.
Vamos nos referir a essa primeira linha como linha do pivô.
O elemento 1 na primeira linha é chamado pivô.
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.
Trabalharemos coluna por coluna, da esquerda pra direita e de cima para baixo.
Criaremos um elemento ĺıder (pivô) em uma coluna e vamos usá-lo para criar zeros
sob ele (pivoteamento).
Às vezes é conveniente usar a segunda operação elementar para transformar o
elemento ĺıder em 1;
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Observações:
A primeira linha é usada para anular os elementos na primeira coluna das linhas
restantes.
Vamos nos referir a essa primeira linha como linha do pivô.
O elemento 1 na primeira linha é chamado pivô.
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.
Trabalharemos coluna por coluna, da esquerda pra direita e de cima para baixo.
Criaremos um elemento ĺıder (pivô) em uma coluna e vamos usá-lo para criar zeros
sob ele (pivoteamento).
Às vezes é conveniente usar a segunda operação elementar para transformar o
elemento ĺıder em 1;
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Observações:
A primeira linha é usada para anular os elementos na primeira coluna das linhas
restantes.
Vamos nos referir a essa primeira linha como linha do pivô.
O elemento 1 na primeira linha é chamado pivô.
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.
Trabalharemos coluna por coluna, da esquerda pra direita e de cima para baixo.
Criaremos um elemento ĺıder (pivô) em uma coluna e vamos usá-lo para criar zeros
sob ele (pivoteamento).
Às vezes é conveniente usar a segunda operação elementar para transformar o
elemento ĺıder em 1;
12/61
Observações:
A primeira linha é usada para anular os elementos na primeira coluna das linhas
restantes.
Vamos nos referir a essa primeira linha como linha do pivô.
O elemento 1 na primeira linha é chamado pivô.
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.
Trabalharemos coluna por coluna, da esquerda pra direita e de cima para baixo.
Criaremos um elemento ĺıder (pivô) em uma coluna e vamos usá-lo para criar zeros
sob ele (pivoteamento).
Às vezes é conveniente usar a segunda operação elementar para transformar o
elemento ĺıder em 1;
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Exemplo
Reduza a seguinte matriz á forma escalonada:
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

Solução.
Começamos por anular os elementos da primeira coluna, abaixo do ĺıder 1 na
primeira linha:

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 L2−2L1−−−−−→L3−2L1−−−−−→
L4+L1−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

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Exemplo
Reduza a seguinte matriz á forma escalonada:
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

Solução.
Começamos por anular os elementos da primeira coluna, abaixo do ĺıder 1 na
primeira linha:

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 L2−2L1−−−−−→L3−2L1−−−−−→
L4+L1−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

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Exemplo
Reduza a seguinte matriz á forma escalonada:
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

Solução.
Começamos por anular os elementos da primeira coluna, abaixo do ĺıder 1 na
primeira linha:

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

L2−2L1−−−−−→
L3−2L1−−−−−→
L4+L1−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

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Exemplo
Reduza a seguinte matriz á forma escalonada:
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

Solução.
Começamos por anular os elementosda primeira coluna, abaixo do ĺıder 1 na
primeira linha:

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 L2−2L1−−−−−→
L3−2L1−−−−−→
L4+L1−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

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Exemplo
Reduza a seguinte matriz á forma escalonada:
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

Solução.
Começamos por anular os elementos da primeira coluna, abaixo do ĺıder 1 na
primeira linha:

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 L2−2L1−−−−−→L3−2L1−−−−−→
L4+L1−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

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Exemplo
Reduza a seguinte matriz á forma escalonada:
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

Solução.
Começamos por anular os elementos da primeira coluna, abaixo do ĺıder 1 na
primeira linha:

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 L2−2L1−−−−−→L3−2L1−−−−−→
L4+L1−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

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Exemplo
Reduza a seguinte matriz á forma escalonada:
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

Solução.
Começamos por anular os elementos da primeira coluna, abaixo do ĺıder 1 na
primeira linha:

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 L2−2L1−−−−−→L3−2L1−−−−−→
L4+L1−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

13/61
Solução (continuação).
O próximo passo é criar um elemento ĺıder na segunda linha:

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10
 L2↔L3−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Agora o pivô é −1. Vamos criar o restante da segunda coluna com zeros:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4+3L2−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

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Solução (continuação).
O próximo passo é criar um elemento ĺıder na segunda linha:
1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

L2↔L3−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Agora o pivô é −1. Vamos criar o restante da segunda coluna com zeros:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4+3L2−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

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Solução (continuação).
O próximo passo é criar um elemento ĺıder na segunda linha:
1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10
 L2↔L3−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Agora o pivô é −1. Vamos criar o restante da segunda coluna com zeros:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4+3L2−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

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Solução (continuação).
O próximo passo é criar um elemento ĺıder na segunda linha:
1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10
 L2↔L3−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Agora o pivô é −1. Vamos criar o restante da segunda coluna com zeros:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4+3L2−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

14/61
Solução (continuação).
O próximo passo é criar um elemento ĺıder na segunda linha:
1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10
 L2↔L3−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Agora o pivô é −1. Vamos criar o restante da segunda coluna com zeros:

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4+3L2−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

14/61
Solução (continuação).
O próximo passo é criar um elemento ĺıder na segunda linha:
1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10
 L2↔L3−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Agora o pivô é −1. Vamos criar o restante da segunda coluna com zeros:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4+3L2−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

14/61
Solução (continuação).
O próximo passo é criar um elemento ĺıder na segunda linha:
1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10
 L2↔L3−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Agora o pivô é −1. Vamos criar o restante da segunda coluna com zeros:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4+3L2−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

14/61
Solução (continuação).
O próximo passo é criar um elemento ĺıder na segunda linha:
1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10
 L2↔L3−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Agora o pivô é −1. Vamos criar o restante da segunda coluna com zeros:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4+3L2−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

14/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna 3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5
 1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna 3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna 3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5
 1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna 3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5
 1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna 3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5
 1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna 3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5
 1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5
 1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna 3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5
 1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Solução (continuação).
A coluna 2 está pronta. Note que já temos um ĺıder na coluna 3, vamos
facilitar transformando em 1.

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5
 1
8
L3
−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Usando o elemento ĺıder 1 da coluna 3, vamos criar zeros sob ele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4−29L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Assim, temos uma matriz da forma escalonada.
15/61
Observações
A forma escalonada da matriz não é única.
Uma vez que tenhamos realizado o pivoteamento e anulado os elementos
sob o elemento ĺıder em uma coluna, aquela coluna não muda mais.
Definição
O processo de usar as operações para transformar um sistema linear em
outro cuja matriz aumentada está em forma escalonada é chamado de
método de Gauss.
O processo de usar as operações para transformar um sistema linear em
outro cuja matriz aumentada está em forma escalonada reduzida é cha-
mado de método de Gauss-Jordan.
16/61
Observações
A forma escalonada da matriz não é única.
Uma vez que tenhamos realizado o pivoteamento e anulado os elementos
sob o elemento ĺıder em uma coluna, aquela coluna não muda mais.
Definição
O processo de usar as operações para transformar um sistema linear em
outro cuja matriz aumentada está em forma escalonada é chamado de
método de Gauss.
O processo de usar as operações para transformar um sistema linear em
outro cuja matriz aumentada está em forma escalonada reduzida é cha-
mado de método de Gauss-Jordan.
16/61
Observações
A forma escalonada da matriz não é única.
Uma vez que tenhamos realizado o pivoteamento e anulado os elementos
sob o elemento ĺıder em uma coluna, aquela coluna não muda mais.
Definição
O processo de usar as operações para transformar um sistema linear em
outro cuja matriz aumentada está em forma escalonada é chamado de
método de Gauss.
O processo de usar as operações para transformar um sistema linear em
outro cuja matriz aumentada está em forma escalonada reduzida é cha-
mado de método de Gauss-Jordan.
16/61
Observações
A forma escalonada da matriz não é única.
Uma vez que tenhamos realizado o pivoteamento e anulado os elementos
sob o elemento ĺıder em uma coluna, aquela coluna não muda mais.
Definição
O processo de usar as operações para transformar um sistema linear em
outro cuja matriz aumentada está em forma escalonada é chamado de
método de Gauss.
O processo de usar as operações para transformar um sistema linear em
outro cuja matriz aumentada está em forma escalonada reduzida é cha-
mado de método de Gauss-Jordan.
16/61
Operações elementares com linhas são reverśıveis, isto é, podem ser desfeitas.
Assim, se uma operação elementar sobre linhas converte A e B , existe também
uma operação elementar sobre as linhas que converte B em A.
Definição
As matrizes A e B serão linha-equivalentes se existir uma sequência de ope-
rações elementares com as linhas que converta A em B .
Exemplo
As matrizes
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 e

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

são linhas-equivalentes.
17/61
Operações elementares com linhas são reverśıveis, isto é, podem ser desfeitas.
Assim, se uma operação elementar sobre linhas converte A e B , existe também
uma operação elementar sobre as linhas que converte B em A.
Definição
As matrizes A e B serão linha-equivalentes se existir uma sequência de ope-
rações elementares com as linhas que converta A em B .
Exemplo
As matrizes
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 e

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

são linhas-equivalentes.
17/61
Operações elementares com linhas são reverśıveis, isto é, podem ser desfeitas.
Assim, se uma operação elementar sobre linhas converte A e B , existe também
uma operação elementar sobre as linhas que converte B em A.
Definição
As matrizes A e B serão linha-equivalentes se existir uma sequência de ope-
rações elementares com as linhas que converta A em B .
Exemplo
As matrizes
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 e

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

são linhas-equivalentes.
17/61
Soluções de sistemas lineares
18/61
Quando aplicado à matriz completa de um sistema linear, o algoritmo de
escalonamento leva diretamente a uma descrição explicita do conjunto solução
para o sistema.
Suponha, por exemplo, que a matriz completa de um sistema linear tenha sido
transformada para a forma escalonada reduzida equivalente:
1 0 −5
... 1
0 1 1
... 4
0 0 0
... 0

Existem três variáveis porque a matriz completa tem quatro colunas, logo o
sistema associado é: 
x − 5z = 1
y + z = 4
0 = 0
18/61
Quando aplicado à matriz completa de um sistema linear, o algoritmo de
escalonamento leva diretamente a uma descrição explicita do conjunto solução
para o sistema.
Suponha, por exemplo, que a matriz completa de um sistema linear tenha sido
transformada para a forma escalonada reduzida equivalente:

1 0 −5
... 1
0 1 1
... 4
0 0 0
... 0

Existem três variáveis porque a matriz completa tem quatro colunas, logo o
sistema associado é: 
x − 5z = 1
y + z = 4
0 = 0
18/61
Quando aplicado à matriz completa de um sistema linear, o algoritmo de
escalonamento leva diretamente a uma descrição explicita do conjunto solução
para o sistema.
Suponha, por exemplo, que a matriz completa de um sistema linear tenha sido
transformada para a forma escalonada reduzida equivalente:
1 0 −5
... 1
0 1 1
... 4
0 0 0
... 0

Existem três variáveis porque a matriz completa tem quatro colunas, logo o
sistema associado é: 
x − 5z = 1
y + z = 4
0 = 0
18/61
Quando aplicado à matriz completa de um sistema linear, o algoritmo de
escalonamento leva diretamente a uma descrição explicita do conjunto solução
para o sistema.
Suponha, por exemplo, que a matriz completa de um sistema linear tenha sido
transformada para a forma escalonada reduzida equivalente:
1 0 −5
... 1
0 1 1
... 4
0 0 0
... 0

Existem três variáveis porque a matriz completa tem quatro colunas, logo o
sistema associado é:

x − 5z = 1
y + z = 4
0 = 0
18/61
Quando aplicado à matriz completa de um sistema linear, o algoritmo de
escalonamento leva diretamente a uma descrição explicita do conjunto solução
para o sistema.
Suponha, por exemplo, que a matriz completa de um sistema linear tenha sido
transformada para a forma escalonada reduzida equivalente:
1 0 −5
... 1
0 1 1
... 4
0 0 0
... 0

Existem três variáveis porque a matriz completa tem quatro colunas, logo o
sistema associado é: 
x − 5z = 1
y + z = 4
0 = 0
18/61
As variáveis x e y , correspondentes às colunas da matriz, são chamadas
de variáveis dependentes (ou básicas).
A variável z é chamada de variável livre.
Sempre que um sistemafor posśıvel e indeterminado, o conjunto solução
pode ser descrito explicitamente resolvendo o sistema de equações reduzido
colocando as variáveis dependentes em função das variáveis livres.
x = 1 + 5z
y = 4 − 3z
z é livre
Quando dizemos que z é livre, queremos dizer que estamos livres pra escolher
qualquer valor para z . Por exemplo, quando z = 0, a solução é S = {(1, 4, 0)}.
19/61
As variáveis x e y , correspondentes às colunas da matriz, são chamadas
de variáveis dependentes (ou básicas).
A variável z é chamada de variável livre.
Sempre que um sistema for posśıvel e indeterminado, o conjunto solução
pode ser descrito explicitamente resolvendo o sistema de equações reduzido
colocando as variáveis dependentes em função das variáveis livres.
x = 1 + 5z
y = 4 − 3z
z é livre
Quando dizemos que z é livre, queremos dizer que estamos livres pra escolher
qualquer valor para z . Por exemplo, quando z = 0, a solução é S = {(1, 4, 0)}.
19/61
As variáveis x e y , correspondentes às colunas da matriz, são chamadas
de variáveis dependentes (ou básicas).
A variável z é chamada de variável livre.
Sempre que um sistema for posśıvel e indeterminado, o conjunto solução
pode ser descrito explicitamente resolvendo o sistema de equações reduzido
colocando as variáveis dependentes em função das variáveis livres.

x = 1 + 5z
y = 4 − 3z
z é livre
Quando dizemos que z é livre, queremos dizer que estamos livres pra escolher
qualquer valor para z . Por exemplo, quando z = 0, a solução é S = {(1, 4, 0)}.
19/61
As variáveis x e y , correspondentes às colunas da matriz, são chamadas
de variáveis dependentes (ou básicas).
A variável z é chamada de variável livre.
Sempre que um sistema for posśıvel e indeterminado, o conjunto solução
pode ser descrito explicitamente resolvendo o sistema de equações reduzido
colocando as variáveis dependentes em função das variáveis livres.
x = 1 + 5z
y = 4 − 3z
z é livre
Quando dizemos que z é livre, queremos dizer que estamos livres pra escolher
qualquer valor para z . Por exemplo, quando z = 0, a solução é S = {(1, 4, 0)}.
19/61
As variáveis x e y , correspondentes às colunas da matriz, são chamadas
de variáveis dependentes (ou básicas).
A variável z é chamada de variável livre.
Sempre que um sistema for posśıvel e indeterminado, o conjunto solução
pode ser descrito explicitamente resolvendo o sistema de equações reduzido
colocando as variáveis dependentes em função das variáveis livres.
x = 1 + 5z
y = 4 − 3z
z é livre
Quando dizemos que z é livre, queremos dizer que estamos livres pra escolher
qualquer valor para z . Por exemplo, quando z = 0, a solução é S = {(1, 4, 0)}.
19/61
Toda escolha de z determina uma solução (diferente) do sistema, e toda solu-
ção do sistema é determinada por uma escolha de z .
A solução 
x = 1 + 5z
y = 4 − 3z
z é livre
é chamada de solução geral do sistema, pois fornece uma descrição explicita
de todas as soluções.
Exemplo
Determine a solução geral do sistema cuja matriz completa foi reduzida para:
1 6 2 −5 −2
... −4
0 0 2 −8 −1
... 3
0 0 0 0 1
... 7

20/61
Toda escolha de z determina uma solução (diferente) do sistema, e toda solu-
ção do sistema é determinada por uma escolha de z .
A solução 
x = 1 + 5z
y = 4 − 3z
z é livre
é chamada de solução geral do sistema, pois fornece uma descrição explicita
de todas as soluções.
Exemplo
Determine a solução geral do sistema cuja matriz completa foi reduzida para:
1 6 2 −5 −2
... −4
0 0 2 −8 −1
... 3
0 0 0 0 1
... 7

20/61
Toda escolha de z determina uma solução (diferente) do sistema, e toda solu-
ção do sistema é determinada por uma escolha de z .
A solução 
x = 1 + 5z
y = 4 − 3z
z é livre
é chamada de solução geral do sistema, pois fornece uma descrição explicita
de todas as soluções.
Exemplo
Determine a solução geral do sistema cuja matriz completa foi reduzida para:
1 6 2 −5 −2
... −4
0 0 2 −8 −1
... 3
0 0 0 0 1
... 7

20/61
Solução.
A matriz está em forma escalonada, mas queremos obter a forma reduzida:

1 6 2 −5 −2
... −4
0 0 2 −8 −1
... 3
0 0 0 0 1
... 7
 ⇒

1 6 0 3 0
... 0
0 0 1 −4 0
... 5
0 0 0 0 1
... 7

Existem cinco variáveis, já que a matriz completa tem seis colunas. O sistema
associado, agora é:
x + 6y + 3t = 0
z − 4t = 5
w = 7
21/61
Solução.
A matriz está em forma escalonada, mas queremos obter a forma reduzida:
1 6 2 −5 −2
... −4
0 0 2 −8 −1
... 3
0 0 0 0 1
... 7
 ⇒

1 6 0 3 0
... 0
0 0 1 −4 0
... 5
0 0 0 0 1
... 7

Existem cinco variáveis, já que a matriz completa tem seis colunas. O sistema
associado, agora é:
x + 6y + 3t = 0
z − 4t = 5
w = 7
21/61
Solução.
A matriz está em forma escalonada, mas queremos obter a forma reduzida:
1 6 2 −5 −2
... −4
0 0 2 −8 −1
... 3
0 0 0 0 1
... 7
 ⇒

1 6 0 3 0
... 0
0 0 1 −4 0
... 5
0 0 0 0 1
... 7

Existem cinco variáveis, já que a matriz completa tem seis colunas. O sistema
associado, agora é:

x + 6y + 3t = 0
z − 4t = 5
w = 7
21/61
Solução.
A matriz está em forma escalonada, mas queremos obter a forma reduzida:
1 6 2 −5 −2
... −4
0 0 2 −8 −1
... 3
0 0 0 0 1
... 7
 ⇒

1 6 0 3 0
... 0
0 0 1 −4 0
... 5
0 0 0 0 1
... 7

Existem cinco variáveis, já que a matriz completa tem seis colunas. O sistema
associado, agora é:
x + 6y + 3t = 0
z − 4t = 5
w = 7
21/61
Solução.
As colunas pivô da matriz são 1, 3 e 5, de modo que as variáveis x , z e w são
dependentes e y e t são livres:
Logo, a solução geral é: 
x = −6y − 3t
y é livre
z = 5 + 4t
t é livre
w = 7
22/61
Solução.
As colunas pivô da matriz são 1, 3 e 5, de modo que as variáveis x , z e w são
dependentes e y e t são livres:
Logo, a solução geral é: 
x = −6y − 3t
y é livre
z = 5 + 4t
t é livre
w = 7
22/61
Definição
Chamaremos essas descrições do conjunto solução de descrições paramétri-
cas, nos quais as variáveis livres atuarão como parâmetros.
Exemplo
Resolva o sistema:
4x − 8y − 3z + 2w = 13
3x − 4y − z − 3w = 5
2x − 4y − 2z + 2w = 6
23/61
Definição
Chamaremos essas descrições do conjunto solução de descrições paramétri-
cas, nos quais as variáveis livres atuarão como parâmetros.
Exemplo
Resolva o sistema:
4x − 8y − 3z + 2w = 13
3x − 4y − z − 3w = 5
2x − 4y − 2z + 2w = 6
23/61
Solução.
Escrevendo o sistema na sua forma matricial, temos:
4 −8 −3 2
... 13
3 −4 −1 −3
... 5
2 −4 −2 2
... 6

Reduzindo...−−−−−−−→

1 −2 −1 1
... 3
0 2 2 −6
... −4
0 0 1 −2
... 1

Cujo o sistema associado é:
x − 2y − z + w = 3
2y + 2z − 6w = −4
z − 2w = 1
24/61
Solução.
Escrevendo o sistema na sua forma matricial, temos:
4 −8 −3 2
... 13
3 −4 −1 −3
... 5
2 −4 −2 2
... 6
 Reduzindo...−−−−−−−→

1 −2 −1 1
... 3
0 2 2 −6
... −4
0 0 1 −2
... 1

Cujo o sistema associado é:
x − 2y − z + w = 3
2y + 2z − 6w = −4
z − 2w = 1
24/61
Solução.
Escrevendo o sistema na sua forma matricial, temos:
4 −8 −3 2
... 13
3 −4 −1 −3
... 5
2 −4 −2 2
... 6
 Reduzindo...−−−−−−−→

1 −2 −1 1
... 3
0 2 2 −6
... −4
0 0 1 −2
... 1

Cujo o sistema associado é:
x − 2y − z + w = 3
2y + 2z − 6w = −4
z − 2w = 1
24/61
Solução.
Escrevendo o sistema na sua forma matricial, temos:
4 −8 −3 2
... 13
3 −4 −1 −3
... 5
2 −4 −2 2
... 6
 Reduzindo...−−−−−−−→

1 −2 −1 1
... 3
0 2 2 −6
... −4
0 0 1 −2
... 1

Cujo o sistema associado é:
x − 2y − z + w = 3
2y + 2z − 6w = −4
z − 2w = 1
24/61
Solução.
Fazendo a substituição, temos:
x = 3w − 2
y = w − 3
z = 2w + 1
Como w é a nossa variável livre vamos chamá-lo pelo parâmetro t . Assim, a
solução geral do sistema é:
x = 3t − 2
y = t − 3
z = 2t + 1
⇒ S = {(3t− 2, t − 3, 2t + 1, t) | t ∈ R}
Para t = 0, uma solução particular é (−2,−3, 1, 0)
25/61
Solução.
Fazendo a substituição, temos:
x = 3w − 2
y = w − 3
z = 2w + 1
Como w é a nossa variável livre vamos chamá-lo pelo parâmetro t . Assim, a
solução geral do sistema é:

x = 3t − 2
y = t − 3
z = 2t + 1
⇒ S = {(3t − 2, t − 3, 2t + 1, t) | t ∈ R}
Para t = 0, uma solução particular é (−2,−3, 1, 0)
25/61
Solução.
Fazendo a substituição, temos:
x = 3w − 2
y = w − 3
z = 2w + 1
Como w é a nossa variável livre vamos chamá-lo pelo parâmetro t . Assim, a
solução geral do sistema é:
x = 3t − 2
y = t − 3
z = 2t + 1
⇒ S = {(3t − 2, t − 3, 2t + 1, t) | t ∈ R}
Para t = 0, uma solução particular é (−2,−3, 1, 0)
25/61
Solução.
Fazendo a substituição, temos:
x = 3w − 2
y = w − 3
z = 2w + 1
Como w é a nossa variável livre vamos chamá-lo pelo parâmetro t . Assim, a
solução geral do sistema é:
x = 3t − 2
y = t − 3
z = 2t + 1
⇒ S = {(3t − 2, t − 3, 2t + 1, t) | t ∈ R}
Para t = 0, uma solução particular é (−2,−3, 1, 0)
25/61
Solução.
Fazendo a substituição, temos:
x = 3w − 2
y = w − 3
z = 2w + 1
Como w é a nossa variável livre vamos chamá-lo pelo parâmetro t . Assim, a
solução geral do sistema é:
x = 3t − 2
y = t − 3
z = 2t + 1
⇒ S = {(3t − 2, t − 3, 2t + 1, t) | t ∈ R}
Para t = 0, uma solução particular é (−2,−3, 1, 0)
25/61
Teorema de Existência e Unicidade
Um sistema linear é posśıvel se e somente se a última coluna (à direita) da matriz
completa não for uma coluna pivô, ou seja, se e somente se uma forma escalonada da
matriz completa não tem nenhuma linha da forma:(
0 0 · · · 0
... b
)
, b 6= 0
Se um sistema linear é posśıvel, então o conjunto solução contém ou:
(i) uma única solução, no caso em que não há variáveis livres
(ii) infinitas soluções, no caso em que existe pelo menos uma variável livre.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y + z = 4
3x − y − z = 2
x + 3y + 3z = 8
26/61
Teorema de Existência e Unicidade
Um sistema linear é posśıvel se e somente se a última coluna (à direita) da matriz
completa não for uma coluna pivô, ou seja, se e somente se uma forma escalonada da
matriz completa não tem nenhuma linha da forma:(
0 0 · · · 0
... b
)
, b 6= 0
Se um sistema linear é posśıvel, então o conjunto solução contém ou:
(i) uma única solução, no caso em que não há variáveis livres
(ii) infinitas soluções, no caso em que existe pelo menos uma variável livre.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y + z = 4
3x − y − z = 2
x + 3y + 3z = 8
26/61
Teorema de Existência e Unicidade
Um sistema linear é posśıvel se e somente se a última coluna (à direita) da matriz
completa não for uma coluna pivô, ou seja, se e somente se uma forma escalonada da
matriz completa não tem nenhuma linha da forma:(
0 0 · · · 0
... b
)
, b 6= 0
Se um sistema linear é posśıvel, então o conjunto solução contém ou:
(i) uma única solução, no caso em que não há variáveis livres
(ii) infinitas soluções, no caso em que existe pelo menos uma variável livre.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y + z = 4
3x − y − z = 2
x + 3y + 3z = 8
26/61
Teorema de Existência e Unicidade
Um sistema linear é posśıvel se e somente se a última coluna (à direita) da matriz
completa não for uma coluna pivô, ou seja, se e somente se uma forma escalonada da
matriz completa não tem nenhuma linha da forma:(
0 0 · · · 0
... b
)
, b 6= 0
Se um sistema linear é posśıvel, então o conjunto solução contém ou:
(i) uma única solução, no caso em que não há variáveis livres
(ii) infinitas soluções, no caso em que existe pelo menos uma variável livre.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y + z = 4
3x − y − z = 2
x + 3y + 3z = 8
26/61
Solução.
Colocando na sua forma matricial e resolvendo passo a passo, temos:

1 1 1
... 4
3 −1 −1
... 2
1 3 3
... 8
 −3L1+L2→L2−−−−−−−−−→
−L1+L3→L3−−−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 −4 −4
... −10
0 2 2
... 4


1 1 1
... 4
0 −4 −4
... −10
0 2 2
... 4
 L2↔L3−−−−→

1 1 1
... 4
0 2 2
... 4
0 −4 −4
... −10

27/61
Solução.
Colocando na sua forma matricial e resolvendo passo a passo, temos:
1 1 1
... 4
3 −1 −1
... 2
1 3 3
... 8
 −3L1+L2→L2−−−−−−−−−→
−L1+L3→L3−−−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 −4 −4
... −10
0 2 2
... 4


1 1 1
... 4
0 −4 −4
... −10
0 2 2
... 4
 L2↔L3−−−−→

1 1 1
... 4
0 2 2
... 4
0 −4 −4
... −10

27/61
Solução.
Colocando na sua forma matricial e resolvendo passo a passo, temos:
1 1 1
... 4
3 −1 −1
... 2
1 3 3
... 8
 −3L1+L2→L2−−−−−−−−−→
−L1+L3→L3−−−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 −4 −4
... −10
0 2 2
... 4


1 1 1
... 4
0 −4 −4
... −10
0 2 2
... 4
 L2↔L3−−−−→

1 1 1
... 4
0 2 2
... 4
0 −4 −4
... −10

27/61
Solução (continuação).

1 1 1
... 4
0 2 2
... 4
0 −4 −4
... −10
 12L2→L2−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 −4 −4
... −10


1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 −4 −4
... −10

4L2+L3→L3−−−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 0 0
... −2

A terceira linha da matriz corresponde a equação 0 = −2, o que é imposśıvel.
Logo, o sistema é imposśıvel.
28/61
Solução (continuação).

1 1 1
... 4
0 2 2
... 4
0 −4 −4
... −10
 12L2→L2−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 −4 −4
... −10


1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 −4 −4
... −10

4L2+L3→L3−−−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 0 0
... −2

A terceira linha da matriz corresponde a equação 0 = −2, o que é imposśıvel.
Logo, o sistema é imposśıvel.
28/61
Solução (continuação).

1 1 1
... 4
0 2 2
... 4
0 −4 −4
... −10
 12L2→L2−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 −4 −4
... −10


1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 −4 −4
... −10

4L2+L3→L3−−−−−−−−→

1 1 1
... 4
0 1 1
... 2
0 0 0
... −2

A terceira linha da matriz corresponde a equação 0 = −2, o que é imposśıvel.
Logo, o sistema é imposśıvel.
28/61
Exemplo
Determine quando a matriz aumentada representa um sistema linear posśıvel
1 0 2
... a
2 1 5
... b
1 −1 1
... c

Solução.
Usando as seguintes operações (nessa ordem):
−2L1 + L2 → L2
−L1 + L3 → L3
L2 + L3 → L3
Obtemos−−−−−→

1 0 2
... a
0 1 1
... b − 2a
0 0 0
... b + c − 3a

Portanto, o sistema linear é posśıvel quando o ponto (a, b, c) pertence ao plano
b + c − 3a = 0 ou c = 3a − b
29/61
Exemplo
Determine quando a matriz aumentada representa um sistema linear posśıvel
1 0 2
... a
2 1 5
... b
1 −1 1
... c

Solução.
Usando as seguintes operações (nessa ordem):
−2L1 + L2 → L2
−L1 + L3 → L3
L2 + L3 → L3
Obtemos−−−−−→

1 0 2
... a
0 1 1
... b − 2a
0 0 0
... b + c − 3a

Portanto, o sistema linear é posśıvel quando o ponto (a, b, c) pertence ao plano
b + c − 3a = 0 ou c = 3a − b
29/61
Exemplo
Determine quando a matriz aumentada representa um sistema linear posśıvel
1 0 2
... a
2 1 5
... b
1 −1 1
... c

Solução.
Usando as seguintes operações (nessa ordem):
−2L1 + L2 → L2
−L1 + L3 → L3
L2 + L3 → L3
Obtemos−−−−−→

1 0 2
... a
0 1 1
... b − 2a
0 0 0
... b + c − 3a

Portanto, o sistema linear é posśıvel quando o ponto (a, b, c) pertence ao plano
b + c − 3a = 0 ou c = 3a − b
29/61
Exemplo
Determine quando a matriz aumentada representa um sistema linear posśıvel
1 0 2
... a
2 1 5
... b
1 −1 1
... c

Solução.
Usando as seguintes operações (nessa ordem):
−2L1 + L2 → L2
−L1 + L3 → L3
L2 + L3 → L3
Obtemos−−−−−→

1 0 2
... a
0 1 1
... b − 2a
0 0 0
... b + c − 3a

Portanto, o sistema linear é posśıvel quando o ponto (a, b, c) pertence ao plano
b + c − 3a = 0 ou c = 3a − b
29/61
Sistemas não-quadrados
30/61
Definição (Mais equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem mais equações do que incógnitas se m > n. Em geral
(masnem sempre), tais sistemas são imposśıveis.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y = 1
x − y = 3
−x + 2y = −2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 1
... 1
1 −1
... 3
−1 2
... −2
 Obtemos−−−−−→

1 1
... 1
0 1
... −1
0 0
... 1

30/61
Definição (Mais equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem mais equações do que incógnitas se m > n. Em geral
(mas nem sempre), tais sistemas são imposśıveis.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y = 1
x − y = 3
−x + 2y = −2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 1
... 1
1 −1
... 3
−1 2
... −2
 Obtemos−−−−−→

1 1
... 1
0 1
... −1
0 0
... 1

30/61
Definição (Mais equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem mais equações do que incógnitas se m > n. Em geral
(mas nem sempre), tais sistemas são imposśıveis.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y = 1
x − y = 3
−x + 2y = −2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:

1 1
... 1
1 −1
... 3
−1 2
... −2
 Obtemos−−−−−→

1 1
... 1
0 1
... −1
0 0
... 1

30/61
Definição (Mais equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem mais equações do que incógnitas se m > n. Em geral
(mas nem sempre), tais sistemas são imposśıveis.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y = 1
x − y = 3
−x + 2y = −2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 1
... 1
1 −1
... 3
−1 2
... −2

Obtemos−−−−−→

1 1
... 1
0 1
... −1
0 0
... 1

30/61
Definição (Mais equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem mais equações do que incógnitas se m > n. Em geral
(mas nem sempre), tais sistemas são imposśıveis.
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + y = 1
x − y = 3
−x + 2y = −2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 1
... 1
1 −1
... 3
−1 2
... −2
 Obtemos−−−−−→

1 1
... 1
0 1
... −1
0 0
... 1

30/61
Solução (continuação).
Pela última linha da matriz reduzida, vemos que o sistema é incompat́ıvel.
As três equações do sistema representam retas no plano. As duas primeiras se
interceptam no ponto (2,−1).
No entanto, a terceira reta não contém esse ponto. Logo, não existe nenhum
ponto pertencente a todas as três retas
31/61
Solução (continuação).
Pela última linha da matriz reduzida, vemos que o sistema é incompat́ıvel.
As três equações do sistema representam retas no plano. As duas primeiras se
interceptam no ponto (2,−1).
No entanto, a terceira reta não contém esse ponto. Logo, não existe nenhum
ponto pertencente a todas as três retas
31/61
Solução (continuação).
Pela última linha da matriz reduzida, vemos que o sistema é incompat́ıvel.
As três equações do sistema representam retas no plano. As duas primeiras se
interceptam no ponto (2,−1).
No entanto, a terceira reta não contém esse ponto. Logo, não existe nenhum
ponto pertencente a todas as três retas
31/61
32/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
2x − y + 3z = 5
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
2 −1 3
... 5
 Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 1
... 3/2
0 0 0
... 0

Usando substituição, vemos que o sistema tem exatamente uma solução. A solução é
única, pois as linhas não-nulas da matriz reduzida formam um sistema triangular.
33/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
2x − y + 3z = 5
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:

1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
2 −1 3
... 5
 Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 1
... 3/2
0 0 0
... 0

Usando substituição, vemos que o sistema tem exatamente uma solução. A solução é
única, pois as linhas não-nulas da matriz reduzida formam um sistema triangular.
33/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
2x − y + 3z = 5
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
2 −1 3
... 5

Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 1
... 3/2
0 0 0
... 0

Usando substituição, vemos que o sistema tem exatamente uma solução. A solução é
única, pois as linhas não-nulas da matriz reduzida formam um sistema triangular.
33/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
2x − y + 3z = 5
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
2 −1 3
... 5
 Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 1
... 3/2
0 0 0
... 0

Usando substituição, vemos que o sistema tem exatamente uma solução. A solução é
única, pois as linhas não-nulas da matriz reduzida formam um sistema triangular.
33/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
2x − y + 3z = 5
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
2 −1 3
... 5
 Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 1
... 3/2
0 0 0
... 0

Usando substituição, vemos que o sistema tem exatamente uma solução. A solução é
única, pois as linhas não-nulas da matriz reduzida formam um sistema triangular.
33/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
3x + y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
3 1 2
... 3
 Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 0
... 0
0 0 0
... 0

34/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
3x + y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:

1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
3 1 2
... 3
 Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 0
... 0
0 0 0
... 0

34/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
3x + y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
3 1 2
... 3

Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 0
... 0
0 0 0
... 0

34/61
Exemplo
Resolva o sistema: 
x + 2y + z = 1
2x − y + z = 2
4x + 3y + 3z = 4
3x + y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 2 1
... 1
2 −1 1
... 2
4 3 3
... 4
3 1 2
... 3
 Obtemos−−−−−→

1 2 1
... 1
0 1 1/5
... 0
0 0 0
... 0
0 0 0
... 0

34/61
Solução (continua).
Resolvendo para x e y em termos de z , temos:
y = −1
5
z
x = 1− 3
5
z
Logo, o conjunto solução é o conjunto de todas as triplas ordenadas da forma
S =
{(
1− 3
5
t ,−1
5
t , t
)
, t ∈ R
}
.
O sistema é posśıvel e indeterminado (tem infinitas soluções).
35/61
Solução (continua).
Resolvendo para x e y em termos de z , temos:
y = −1
5
z
x = 1− 3
5
z
Logo, o conjunto solução é o conjunto de todas as triplas ordenadas da forma
S =
{(
1− 3
5
t ,−1
5
t , t
)
, t ∈ R
}
.
O sistema é posśıvel e indeterminado (tem infinitas soluções).
35/61
Solução (continua).
Resolvendo para x e y em termos de z , temos:
y = −1
5
z
x = 1− 3
5
z
Logo, o conjunto solução é o conjunto de todas as triplas ordenadas da forma
S =
{(
1− 3
5
t ,−1
5
t , t
)
, t ∈ R
}
.
O sistema é posśıvel e indeterminado (tem infinitas soluções).
35/61
Solução (continua).
Resolvendo para x e y em termos de z , temos:
y = −1
5
z
x = 1− 3
5
z
Logo, o conjunto solução é o conjunto de todas as triplas ordenadas da forma
S =
{(
1− 3
5
t ,−1
5
t , t
)
, t ∈ R
}
.
O sistema é posśıvel e indeterminado (tem infinitas soluções).35/61
Definição (Menos equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem menos equações do que incógnitas se m < n. Embora seja
posśıvel para um tal sistema ser imposśıvel, eles são, em geral, posśıveis e indetermi-
nados. Um tal sistema nunca pode ser posśıvel e determinado (isto é, ter uma única
solução).
Exemplo
Resolva o sistema: {
x + 2y + z = 1
2x + 4y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:1 2 1 ... 1
2 4 1
... 3
 Obtemos−−−−−→
1 2 1 ... 1
0 0 0
... 1

36/61
Definição (Menos equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem menos equações do que incógnitas se m < n. Embora seja
posśıvel para um tal sistema ser imposśıvel, eles são, em geral, posśıveis e indetermi-
nados. Um tal sistema nunca pode ser posśıvel e determinado (isto é, ter uma única
solução).
Exemplo
Resolva o sistema: {
x + 2y + z = 1
2x + 4y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:1 2 1 ... 1
2 4 1
... 3
 Obtemos−−−−−→
1 2 1 ... 1
0 0 0
... 1

36/61
Definição (Menos equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem menos equações do que incógnitas se m < n. Embora seja
posśıvel para um tal sistema ser imposśıvel, eles são, em geral, posśıveis e indetermi-
nados. Um tal sistema nunca pode ser posśıvel e determinado (isto é, ter uma única
solução).
Exemplo
Resolva o sistema: {
x + 2y + z = 1
2x + 4y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 2 1 ... 1
2 4 1
... 3
 Obtemos−−−−−→
1 2 1 ... 1
0 0 0
... 1

36/61
Definição (Menos equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem menos equações do que incógnitas se m < n. Embora seja
posśıvel para um tal sistema ser imposśıvel, eles são, em geral, posśıveis e indetermi-
nados. Um tal sistema nunca pode ser posśıvel e determinado (isto é, ter uma única
solução).
Exemplo
Resolva o sistema: {
x + 2y + z = 1
2x + 4y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:1 2 1 ... 1
2 4 1
... 3

Obtemos−−−−−→
1 2 1 ... 1
0 0 0
... 1

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Definição (Menos equações do que incógnitas)
Um sistema linear tem menos equações do que incógnitas se m < n. Embora seja
posśıvel para um tal sistema ser imposśıvel, eles são, em geral, posśıveis e indetermi-
nados. Um tal sistema nunca pode ser posśıvel e determinado (isto é, ter uma única
solução).
Exemplo
Resolva o sistema: {
x + 2y + z = 1
2x + 4y + 2z = 3
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:1 2 1 ... 1
2 4 1
... 3
 Obtemos−−−−−→
1 2 1 ... 1
0 0 0
... 1

36/61
Exemplo
Resolva o sistema:
x + y + z + t + w = 2
x + y + z + 2t + 2w = 3
x + y + z + 2t + 3w = 2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 1 1 1 1
... 2
1 1 1 2 2
... 3
1 1 1 2 3
... 2
 Obtemos−−−−−→

1 1 1 0 0
... 1
0 0 0 1 0
... 2
0 0 0 0 1
... −1

O sistema é incompat́ıvel. Nesse caso, os planos são paralelos.
37/61
Exemplo
Resolva o sistema:
x + y + z + t + w = 2
x + y + z + 2t + 2w = 3
x + y + z + 2t + 3w = 2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:

1 1 1 1 1
... 2
1 1 1 2 2
... 3
1 1 1 2 3
... 2
 Obtemos−−−−−→

1 1 1 0 0
... 1
0 0 0 1 0
... 2
0 0 0 0 1
... −1

O sistema é incompat́ıvel. Nesse caso, os planos são paralelos.
37/61
Exemplo
Resolva o sistema:
x + y + z + t + w = 2
x + y + z + 2t + 2w = 3
x + y + z + 2t + 3w = 2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 1 1 1 1
... 2
1 1 1 2 2
... 3
1 1 1 2 3
... 2

Obtemos−−−−−→

1 1 1 0 0
... 1
0 0 0 1 0
... 2
0 0 0 0 1
... −1

O sistema é incompat́ıvel. Nesse caso, os planos são paralelos.
37/61
Exemplo
Resolva o sistema:
x + y + z + t + w = 2
x + y + z + 2t + 2w = 3
x + y + z + 2t + 3w = 2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 1 1 1 1
... 2
1 1 1 2 2
... 3
1 1 1 2 3
... 2
 Obtemos−−−−−→

1 1 1 0 0
... 1
0 0 0 1 0
... 2
0 0 0 0 1
... −1

O sistema é incompat́ıvel. Nesse caso, os planos são paralelos.
37/61
Exemplo
Resolva o sistema:
x + y + z + t + w = 2
x + y + z + 2t + 2w = 3
x + y + z + 2t + 3w = 2
Solução.
Colocando na forma matricial e escalonando, temos:
1 1 1 1 1
... 2
1 1 1 2 2
... 3
1 1 1 2 3
... 2
 Obtemos−−−−−→

1 1 1 0 0
... 1
0 0 0 1 0
... 2
0 0 0 0 1
... −1

O sistema é incompat́ıvel. Nesse caso, os planos são paralelos.
37/61
Solução (continua).
Colocando as variáveis livres do lado direito do sinal de igualdade, obtemos:
x = 1− y − z
t = 2
w = −1
Portanto, para quaisquer α e β reais, a qúıntupla:
S = {(1− α− β, α, β, 2,−1)}
é uma solução do sistema.
38/61
Solução (continua).
Colocando as variáveis livres do lado direito do sinal de igualdade, obtemos:
x = 1− y − z
t = 2
w = −1
Portanto, para quaisquer α e β reais, a qúıntupla:
S = {(1− α− β, α, β, 2,−1)}
é uma solução do sistema.
38/61
Solução (continua).
Colocando as variáveis livres do lado direito do sinal de igualdade, obtemos:
x = 1− y − z
t = 2
w = −1
Portanto, para quaisquer α e β reais, a qúıntupla:
S = {(1− α− β, α, β, 2,−1)}
é uma solução do sistema.
38/61
Sistemas homogêneos
39/61
Definição (Sistemas homogêneos)
Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se os termos
constantes são todos zero. Ou seja, o sistema tem a forma:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
39/61
Observações
(i) Todo sistema de equações lineares homogêneo é posśıvel, pois todos esses
sistemas têm
x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0
como uma solução.
(ii) Essa solução é denominada solução trivial ou solução nula; quaisquer
outras solução, se as houver, são ditas não triviais.
(iii) Como um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial, só há
duas possibilidades para suas soluções:
O sistema tem somente a solução trivial.
O sistema tem uma infinidade de soluções além da solução trivial.
40/61
Observações
(i) Todo sistema de equações lineares homogêneo é posśıvel, pois todos esses
sistemas têm
x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0
como uma solução.
(ii) Essa solução é denominada solução trivial ou solução nula; quaisquer
outras solução, se as houver, são ditas não triviais.
(iii) Como um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial, só há
duas possibilidades para suas soluções:
O sistema tem somente a solução trivial.
O sistema tem uma infinidade de soluções além da solução trivial.
40/61
Observações
(i) Todo sistema de equações lineares homogêneo é posśıvel, pois todos esses
sistemas têm
x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0
como uma solução.
(ii) Essa solução é denominada solução trivial ou solução nula; quaisquer
outras solução, se as houver, são ditas não triviais.
(iii) Como um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial, só há
duas possibilidades para suas soluções:
O sistema tem somente a solução trivial.
O sistema tem uma infinidade de soluções além da solução trivial.
40/61
Observações
(i) Todo sistema de equações lineares homogêneo é posśıvel, pois todos esses
sistemas têm
x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0
como uma solução.
(ii) Essa solução é denominada solução trivial ou solução nula; quaisquer
outras solução, se as houver, são ditas não triviais.
(iii) Como um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial, só há
duas possibilidades para suas soluções:
O sistema tem somente a solução trivial.
O sistema tem uma infinidade de soluções além da solução trivial.
40/61
Observações
(i) Todo sistema de equações lineares homogêneo é posśıvel, pois todos esses
sistemas têm
x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0
como uma solução.
(ii)Essa solução é denominada solução trivial ou solução nula; quaisquer
outras solução, se as houver, são ditas não triviais.
(iii) Como um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial, só há
duas possibilidades para suas soluções:
O sistema tem somente a solução trivial.
O sistema tem uma infinidade de soluções além da solução trivial.
40/61
No caso especial de um sistema linear homogêneo de duas equações em duas
incógnitas, digamos:{
a1x + b1y = 0 com a1, b1 não ambas nulas
a2x + b2y = 0 com a2, b2 não ambas nulas
os gráficos das equações são retas pela origem, e a solução trivial corresponde
ao ponto de corte na origem.
41/61
No caso especial de um sistema linear homogêneo de duas equações em duas
incógnitas, digamos:{
a1x + b1y = 0 com a1, b1 não ambas nulas
a2x + b2y = 0 com a2, b2 não ambas nulas
os gráficos das equações são retas pela origem, e a solução trivial corresponde
ao ponto de corte na origem.
41/61
42/61
Teorema
Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas que equações tem uma
infinidade de soluções.
43/61
Mais algumas aplicações
44/61
Análise de redes
O conceito de rede aparece numa variedade de aplicações. Em termos gerais,
uma rede é um conjunto de ramos através dos quais ‘flui’ algum meio.
Os ramos, para citar apenas alguns exemplos, podem ser:
fios elétricos através dos quais flui corrente elétrica
canos através dos quais flui água ou petróleo
ruas de uma cidade pelas quais fluem véıculos
conexões financeiras pelas quais flui dinheiro
44/61
Análise de redes
O conceito de rede aparece numa variedade de aplicações. Em termos gerais,
uma rede é um conjunto de ramos através dos quais ‘flui’ algum meio.
Os ramos, para citar apenas alguns exemplos, podem ser:
fios elétricos através dos quais flui corrente elétrica
canos através dos quais flui água ou petróleo
ruas de uma cidade pelas quais fluem véıculos
conexões financeiras pelas quais flui dinheiro
44/61
Análise de redes
O conceito de rede aparece numa variedade de aplicações. Em termos gerais,
uma rede é um conjunto de ramos através dos quais ‘flui’ algum meio.
Os ramos, para citar apenas alguns exemplos, podem ser:
fios elétricos através dos quais flui corrente elétrica
canos através dos quais flui água ou petróleo
ruas de uma cidade pelas quais fluem véıculos
conexões financeiras pelas quais flui dinheiro
44/61
Análise de redes
O conceito de rede aparece numa variedade de aplicações. Em termos gerais,
uma rede é um conjunto de ramos através dos quais ‘flui’ algum meio.
Os ramos, para citar apenas alguns exemplos, podem ser:
fios elétricos através dos quais flui corrente elétrica
canos através dos quais flui água ou petróleo
ruas de uma cidade pelas quais fluem véıculos
conexões financeiras pelas quais flui dinheiro
44/61
Análise de redes
O conceito de rede aparece numa variedade de aplicações. Em termos gerais,
uma rede é um conjunto de ramos através dos quais ‘flui’ algum meio.
Os ramos, para citar apenas alguns exemplos, podem ser:
fios elétricos através dos quais flui corrente elétrica
canos através dos quais flui água ou petróleo
ruas de uma cidade pelas quais fluem véıculos
conexões financeiras pelas quais flui dinheiro
44/61
Análise de redes
O conceito de rede aparece numa variedade de aplicações. Em termos gerais,
uma rede é um conjunto de ramos através dos quais ‘flui’ algum meio.
Os ramos, para citar apenas alguns exemplos, podem ser:
fios elétricos através dos quais flui corrente elétrica
canos através dos quais flui água ou petróleo
ruas de uma cidade pelas quais fluem véıculos
conexões financeiras pelas quais flui dinheiro
44/61
Os ramos da maioria das redes se encontram em pontos denominados nós ou
vértices, nos quais o fluxo divide.
numa rede elétrica, os nós ocorrem onde três ou mais fios se juntam;
na rede do trânsito, eles ocorrem em cruzamentos de ruas;
numa rede financeira, eles ocorrem em centros bancários, nos quais o
dinheiro é distribúıdo a indiv́ıduos ou outras instituições
45/61
Os ramos da maioria das redes se encontram em pontos denominados nós ou
vértices, nos quais o fluxo divide.
numa rede elétrica, os nós ocorrem onde três ou mais fios se juntam;
na rede do trânsito, eles ocorrem em cruzamentos de ruas;
numa rede financeira, eles ocorrem em centros bancários, nos quais o
dinheiro é distribúıdo a indiv́ıduos ou outras instituições
45/61
Os ramos da maioria das redes se encontram em pontos denominados nós ou
vértices, nos quais o fluxo divide.
numa rede elétrica, os nós ocorrem onde três ou mais fios se juntam;
na rede do trânsito, eles ocorrem em cruzamentos de ruas;
numa rede financeira, eles ocorrem em centros bancários, nos quais o
dinheiro é distribúıdo a indiv́ıduos ou outras instituições
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Os ramos da maioria das redes se encontram em pontos denominados nós ou
vértices, nos quais o fluxo divide.
numa rede elétrica, os nós ocorrem onde três ou mais fios se juntam;
na rede do trânsito, eles ocorrem em cruzamentos de ruas;
numa rede financeira, eles ocorrem em centros bancários, nos quais o
dinheiro é distribúıdo a indiv́ıduos ou outras instituições
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No estudo de redes, existe, em geral, alguma medida numérica da taxa segundo
a qual o meio flui ao longo do ramo:
o fluxo de uma corrente elétrica, em geral, é medido em ampères;
a taxa de fluxo da água ou petróleo, em litros por minuto;
a do fluxo do trânsito, em véıculos por hora;
a taxa do fluxo de moeda europeia, em milhões de euros por dia.
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No estudo de redes, existe, em geral, alguma medida numérica da taxa segundo
a qual o meio flui ao longo do ramo:
o fluxo de uma corrente elétrica, em geral, é medido em ampères;
a taxa de fluxo da água ou petróleo, em litros por minuto;
a do fluxo do trânsito, em véıculos por hora;
a taxa do fluxo de moeda europeia, em milhões de euros por dia.
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No estudo de redes, existe, em geral, alguma medida numérica da taxa segundo
a qual o meio flui ao longo do ramo:
o fluxo de uma corrente elétrica, em geral, é medido em ampères;
a taxa de fluxo da água ou petróleo, em litros por minuto;
a do fluxo do trânsito, em véıculos por hora;
a taxa do fluxo de moeda europeia, em milhões de euros por dia.
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No estudo de redes, existe, em geral, alguma medida numérica da taxa segundo
a qual o meio flui ao longo do ramo:
o fluxo de uma corrente elétrica, em geral, é medido em ampères;
a taxa de fluxo da água ou petróleo, em litros por minuto;
a do fluxo do trânsito, em véıculos por hora;
a taxa do fluxo de moeda europeia, em milhões de euros por dia.
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No estudo de redes, existe, em geral, alguma medida numérica da taxa segundo
a qual o meio flui ao longo do ramo:
o fluxo de uma corrente elétrica, em geral, é medido em ampères;
a taxa de fluxo da água ou petróleo, em litros por minuto;
a do fluxo do trânsito, em véıculos por hora;
a taxa do fluxo de moeda europeia, em milhões de euros por dia.
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Definição (Conservação do fluxo)
A taxa de fluxo para dentro de qualquer nó é igual à taxa de fluxo para fora
desse nó.
Exemplo (Análise de redes usando sistemas lineares)
A figura a seguir mostra uma rede de quatro nós com indicação de algumas
taxas de fluxo e sentido do fluxo ao longo de ramos. Encontre as taxas de
fluxo e o sentido do fluxo nos demais ramos.
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Definição (Conservação do fluxo)
A taxa de fluxo para dentro de qualquer nó é igual à taxa de fluxo para fora
desse nó.
Exemplo (Análise de redes usando sistemas lineares)
A figura a seguir mostra uma rede de quatro nós com indicação de algumas
taxas de fluxo e sentido do fluxo ao longo de ramos. Encontre as taxas de
fluxo e o sentido do fluxo nos demais ramos.
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Solução.
Primeiramente, vamos associar sentidosarbitrários para as taxas de fluxos
x1, x2 e x3.
Segue da conservação do fluxo no nó A que:
x1 + x2 = 30
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Solução.
Primeiramente, vamos associar sentidos arbitrários para as taxas de fluxos
x1, x2 e x3.
Segue da conservação do fluxo no nó A que:
x1 + x2 = 30
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Solução.
Primeiramente, vamos associar sentidos arbitrários para as taxas de fluxos
x1, x2 e x3.
Segue da conservação do fluxo no nó A que:
x1 + x2 = 30
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Solução (continua).
Analogamente, nos demais nós, obtemos:
x2 + x3 = 35 (nó B)
x3 + 15 = 60 (nó C )
x1 + 15 = 55 (nó D)
Essas quatro condições produzem o sistema linear:
x1 + x2 = 30
x2 + x3 = 35
x3 = 45
x1 = 40
A solução do sistema:
x1 = 40 x2 = −10 x3 = 45
Como x2 é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo está incorreto, pois o
fluxo naquele ramo é para dentro do nó A.
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Solução (continua).
Analogamente, nos demais nós, obtemos:
x2 + x3 = 35 (nó B)
x3 + 15 = 60 (nó C )
x1 + 15 = 55 (nó D)
Essas quatro condições produzem o sistema linear:
x1 + x2 = 30
x2 + x3 = 35
x3 = 45
x1 = 40
A solução do sistema:
x1 = 40 x2 = −10 x3 = 45
Como x2 é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo está incorreto, pois o
fluxo naquele ramo é para dentro do nó A.
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Solução (continua).
Analogamente, nos demais nós, obtemos:
x2 + x3 = 35 (nó B)
x3 + 15 = 60 (nó C )
x1 + 15 = 55 (nó D)
Essas quatro condições produzem o sistema linear:
x1 + x2 = 30
x2 + x3 = 35
x3 = 45
x1 = 40
A solução do sistema:
x1 = 40 x2 = −10 x3 = 45
Como x2 é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo está incorreto, pois o
fluxo naquele ramo é para dentro do nó A.
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Solução (continua).
Analogamente, nos demais nós, obtemos:
x2 + x3 = 35 (nó B)
x3 + 15 = 60 (nó C )
x1 + 15 = 55 (nó D)
Essas quatro condições produzem o sistema linear:
x1 + x2 = 30
x2 + x3 = 35
x3 = 45
x1 = 40
A solução do sistema:
x1 = 40 x2 = −10 x3 = 45
Como x2 é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo está incorreto, pois o
fluxo naquele ramo é para dentro do nó A.
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Solução (continua).
Analogamente, nos demais nós, obtemos:
x2 + x3 = 35 (nó B)
x3 + 15 = 60 (nó C )
x1 + 15 = 55 (nó D)
Essas quatro condições produzem o sistema linear:

x1 + x2 = 30
x2 + x3 = 35
x3 = 45
x1 = 40
A solução do sistema:
x1 = 40 x2 = −10 x3 = 45
Como x2 é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo está incorreto, pois o
fluxo naquele ramo é para dentro do nó A.
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Solução (continua).
Analogamente, nos demais nós, obtemos:
x2 + x3 = 35 (nó B)
x3 + 15 = 60 (nó C )
x1 + 15 = 55 (nó D)
Essas quatro condições produzem o sistema linear:
x1 + x2 = 30
x2 + x3 = 35
x3 = 45
x1 = 40
A solução do sistema:
x1 = 40 x2 = −10 x3 = 45
Como x2 é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo está incorreto, pois o
fluxo naquele ramo é para dentro do nó A.
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Solução (continua).
Analogamente, nos demais nós, obtemos:
x2 + x3 = 35 (nó B)
x3 + 15 = 60 (nó C )
x1 + 15 = 55 (nó D)
Essas quatro condições produzem o sistema linear:
x1 + x2 = 30
x2 + x3 = 35
x3 = 45
x1 = 40
A solução do sistema:
x1 = 40 x2 = −10 x3 = 45
Como x2 é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo está incorreto, pois o
fluxo naquele ramo é para dentro do nó A.
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Solução (continua).
Analogamente, nos demais nós, obtemos:
x2 + x3 = 35 (nó B)
x3 + 15 = 60 (nó C )
x1 + 15 = 55 (nó D)
Essas quatro condições produzem o sistema linear:
x1 + x2 = 30
x2 + x3 = 35
x3 = 45
x1 = 40
A solução do sistema:
x1 = 40 x2 = −10 x3 = 45
Como x2 é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo está incorreto, pois o
fluxo naquele ramo é para dentro do nó A.
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Observação
Não precisamos nos preocupar com a veracidade desses sentidos, pois um
sentido incorreto acabará recebendo um valor negativo para a taxa de fluxo
quando tivermos resolvido para as incógnitas.
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Exemplo (Projetando padrões de tráfego)
A rede da figura a seguir mostra uma proposta de fluxo de tráfego de uma
certa cidade em torno de sua praça, a Praça 15. O plano prevê a instalação de
um semáforo computadorizado na sáıda norte da Rua Lavradio, e o diagrama
indica o número médio de véıculos por hora que se espera ter nas ruas que
circundam o complexo da praça. Todas as ruas são de mão única.
(a) O semáforo deveria deixar passar quantos véıculos por hora para garantir
que o número médio de véıculos por hora que entra no complexo seja
igual ao número médio de véıculos que sai do complexo?
(b) Supondo que o semáforo tenha sido ajustado para equilibrar o fluxo total
para dentro e para fora do complexo da praça, o que pode ser dito sobre o
número médio de véıculos por hora que circulará pelas ruas que circundam
o complexo?
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Solução.
(a) Se x for o número de véıculos por hora que o semáforo deve deixar passar,
conforme a figura (b), então o número total de véıculos por hora que entra
e sai do complexo da praça será:
Para dentro = 500 + 400 + 600 + 200 = 1.700
Para fora = x + 700 + 400
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Solução.
(a) Se x for o número de véıculos por hora que o semáforo deve deixar passar,
conforme a figura (b), então o número total de véıculos por hora que entra
e sai do complexo da praça será:
Para dentro = 500 + 400 + 600 + 200 = 1.700
Para fora = x + 700 + 400
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Solução.
(a) Se x for o número de véıculos por hora que o semáforo deve deixar passar,
conforme a figura (b), então o número total de véıculos por hora que entra
e sai do complexo da praça será:
Para dentro = 500 + 400 + 600 + 200 = 1.700
Para fora = x + 700 + 400
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Solução.
(a) Se x for o número de véıculos por hora que o semáforo deve deixar passar,
conforme a figura (b), então o número total de véıculos por hora que entra
e sai do complexo da praça será:
Para dentro = 500 + 400 + 600 + 200 = 1.700
Para fora = x + 700 + 400
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Solução (continuação).
(a) Igualando os fluxos para fora e para dentro, vemos que o semáforo deveria
deixar passar:
x + 1.100 = 1.700 ⇒ x = 600 véıculos por hora.
(b) Para evitar congestionamentos de trânsito, o fluxo para dentro de cada
cruzamento deve igualar o fluxo para fora do cruzamento. Para isso acon-
tecer, as condições seguintes devem estar satisfeitas.
Cruzamento Fluxo para dentro Fluxo para fora
A 400 + 600 = x1 + x2
B x2 + x3 = 400 + x
C 500 + 200 = x3 + x4
D x1 + x4 = 700
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Solução (continuação).
(a) Igualando os fluxos para fora e para dentro, vemos que o semáforo deveria
deixar passar:
x + 1.100 = 1.700 ⇒ x = 600 véıculos por hora.
(b) Para evitar congestionamentos de trânsito, o fluxo para dentro de cada
cruzamento deve igualar o fluxo para fora do cruzamento. Para isso acon-
tecer, as condições seguintes devem estar satisfeitas.
Cruzamento Fluxo para dentro Fluxo para fora
A 400 + 600 = x1 + x2
B x2 + x3 = 400 + x
C 500 + 200 = x3 + x4
D x1 + x4 = 700
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Solução (continuação).
(a) Igualando os fluxos para fora e para dentro, vemos que o semáforo deveria
deixar passar:
x + 1.100 = 1.700 ⇒ x = 600 véıculos por hora.
(b) Para evitar congestionamentos de trânsito, o fluxo para dentro de cada
cruzamento deve igualar o fluxo para fora do cruzamento. Para isso acon-
tecer, as condições seguintes devem estar satisfeitas.
Cruzamento Fluxo para dentro Fluxo para fora
A 400 + 600 = x1 + x2
B x2 + x3 = 400 + x
C 500 + 200 = x3 + x4
D x1 + x4 = 700
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Solução (continuação).
(a) Igualando os fluxos para fora e para dentro, vemos que o semáforo deveria
deixar passar:
x + 1.100 = 1.700 ⇒ x = 600 véıculos por hora.
(b) Para evitar congestionamentos de trânsito, o fluxo para dentro de cada
cruzamento deve igualar o fluxo para fora do cruzamento. Para isso acon-
tecer, as condições seguintes devem estar satisfeitas.