função quadrática

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Tema: Função polinomial do 2° grau (Função Quadrática)
Descrição: Estudar a função quadrática é de extrema importância, pois esse tema aparece diversas vezes em nosso cotidiano, como por exemplo, quando lançamos um objeto (pedra, tiro de canhão, uma bola de basquete, etc.) visando alcançar a maior distância, a curva descrita por esse objeto se aproxima de uma parábola. Além disso, a função quadrática está presente em áreas como Biologia, Física, Química, Economia, entre outras. 
Nesse tópico estudaremos:
· O que é uma função quadrática; 
· Representação gráfica desse tipo de função; 
· Quais são seus pontos notáveis e como encontrá-los; 
· Como identificar o valor máximo e mínimo de uma função quadrática e; 
· Como estudar seu sinal. 
Para que esses objetivos sejam alcançados, utilizaremos diferentes fontes e meios, como o uso do software Geogebra, acesso a diferentes sites e vídeo aulas de diferentes canais.
Parte 1: Definição de função quadrática
Vejamos a seguinte situação:
· Um clube construiu um campo de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
Para ajudar nessa resolução, responda as seguintes questões:
1. Qual polígono (quadrado, retângulo, triângulo,...) representa a forma do terreno?
2. Como calcula a área desse polígono que representa a forma do terreno?
3. Quais são as medidas de comprimento e de largura desse terreno?
4. Usando as informações da questão 2 e 3, calcule a área do terreno.
· Depois de pensar na solução desse problema, qual é a expressão que determina a área A da região cercada, em função da largura X da pista? Use a imagem a seguir. Para responder essa questão utilize os mesmos passos da questão anterior.
Resposta: .
A expressão encontrada nessa situação é um exemplo de uma função quadrática.
· As duas primeiras partes desse tópico de estudo são tratadas no vídeo cujo link está abaixo, que são a definição de função quadrática e questões inicias sobre seu gráfico. Depois de assistir o vídeo, temos algumas informações, exemplos e exercícios a respeito desses dois temas no seguimento desse tópico de estudo. Link do vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Z5aVW_Zgifk.
Definição: Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2° grau, qualquer função f de em dada por uma lei da forma , em que a, b e c são números reais e .
· Por que é colocada a restrição ?
Resposta: Caso a seja igual a zero não teríamos uma função quadrática, mas sim uma função afim.
Alguns exemplos de situações que são representadas por funções quadráticas:
· Um biólogo ao acompanhar o crescimento de uma planta, mediu sua altura dia a dia e conclui que a altura dessa planta pode ser modelada a partir da função , em que y é a altura medida em centímetros e x o tempo medido em dias.
· O lucro mensal de uma empresa, em milhares de reais, é dado por , sendo x o número de milhares de peças vendidas no mês.
· O número de diagonais () em um polígono convexo de lados é dada pela função .
· O número de partidas () de um campeonato de futebol, com times, onde cada time joga duas vezes com outro, é dado pela função .
· Na queda livre dos corpos, o espaço (s) percorrido é dado em função do tempo (t) por uma função quadrática em que a constante é a metade da aceleração da gravidade, que é .
Exercício 1: Em um retângulo, a medida de um dos lados excede a medida do outro em 4 cm. Sabendo que a área desse retângulo é , determine a expressão da área A desse retângulo em função das medidas dos lados.
Resposta: 
Exercício 2: Na função , os coeficientes são: .
( ) Verdadeiro
( ) Falso
Resposta: Verdadeiro
Parte 2: Gráfico de uma função quadrática
O gráfico de qualquer função quadrática dada por , com é uma curva, chamada parábola. Veja alguns exemplos:
Consideração: nos exemplos 1 e 3 dissemos que as parábolas possuem concavidades para cima e no exemplo 2 que a parábola tem concavidade para baixo.
Importante: Nem toda parábola representa uma função quadrática. Observe as imagens:
As duas figuras acima são parábolas, porém pela definição de função, que cada elemento do domínio deve ter uma única imagem, elas não representam funções quadráticas por não atenderem à essa condição para ser função.
Importante: Nas próximas atividades usaremos o software Geogebra. Ele pode ser usado de forma online no link: https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt. Uma outra forma é baixa-lo no celular, computador, notebook ou tablet através do seguinte link: https://www.geogebra.org/download?lang=pt, basta escolher o Geogebra Clássico 6.
Para que consigam realizar as atividades que são propostas no software Geogebra, apresentaremos as informações e as ferramentas necessárias sobre este software para que assim consigam realizar tais atividades. Para que seja feito o próximo exercício será apresentada a pagina inicial e o campo de entrada do Geogebra.
1. Página inicial do Geogebra:
2. O campo de entrada é o local onde digita os comandos, por exemplo, quando queremos construir o gráfico de alguma função basta digitar nesse espaço a lei da função:
Exercício 3: Construção dos gráficos de funções quadráticas no Geogebra
Utilizando o software Geogebra construa os gráficos das funções abaixo. Para isso, basta digitar cada lei que define as funções no campo de entrada.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Registre o que mais chamou atenção na construção desses gráficos.
Dica: Caso queria observar todas as parábolas ao mesmo tempo no plano, para facilitar essa observação clique com o botão direito do mouse na lei que determina cada função e em seguida clique em configurações, acesse a aba cor e coloque cores diferentes em cada uma.
Observação: Diferentemente, do gráfico de uma função afim, que para fazer um esboço eram necessários apenas dois pontos e assim tínhamos uma representação fiel às características de uma reta, que é a representação gráfica desse tipo de função, pode não ocorrer no processo de elaboração de um esboço do gráfico de uma função quadrática. Isso porque a representação gráfica de uma função quadrática é a parábola, figura essa que possui características mais difíceis de serem representadas escolhendo pontos quaisquer. Por essa razão, iremos estudar esse esboço após conhecermos os pontos notáveis da função quadrática, que será na parte 3.
Exercício 4: Análise dos coeficientes
Análise do coeficiente a:
· Após acessar o Geogebra, digite no campo de entrada ou . 
· Automaticamente o software vai criar controles deslizantes, que são botões rolantes que determinam valores de objetos, que em nosso caso, são os coeficientes e . Observe a imagem abaixo do Geogebra:
Percebam que na imagem . Esses valores podem ser alterados, rolando o botão de cada coeficiente, dentro do intervalo que o software estabelece para os valores de cada coeficiente, que no caso é entre e . É possível alterar esse intervalo, porém não é necessário nesse exercício.
Se clicar na bolinha branca ao lado de cada coeficiente, os controles deslizantes aparecerão próximos ao gráfico.
· Escolha qualquer valor positivo para e observe a forma do gráfico.
· Depois, escolha qualquer valor negativo para e observe a forma do gráfico.
· Qual a diferença na forma do gráfico quando a é positivo e negativo?
Resposta: Quando a concavidade da parábola está voltada para cima e quando a concavidade da parábola está voltada para baixo
· O que podemos concluir a respeito da forma do gráfico de uma função quadrática, em relação ao coeficiente ?
Resposta: Podemos concluir que o coeficiente define se a concavidade da parábola é para cima ou pra baixo .
Análise do coeficiente b:
Para ajudar nessa tarefa, descrevemos a seguir passo a passo a construção de uma reta tangente à parábola no ponto em que a parábola intersecta o eixo y:
1° passo: Digite no campo de entrada: . Esse é o ponto que a parábola intersecta o eixo y. Lembrando que deve ser letra maiúscula no P, pois se trata de um ponto e o c é o coeficiente da parábola.O porquê das coordenadas do ponto onde a parábola intersecta o eixo y ser essas será discutido na análise do coeficiente . 
2° passo: Clique na ferramenta que aparece na imagem abaixo:
3° passo: Após clicar na ferramenta de criação de uma reta tangente, clique no ponto P e no gráfico da função. Assim, será criada uma reta tangente à parábola no ponto que ela intersecta o eixo y.
Agora, análise o coeficiente de acordo com as orientações seguintes e sempre observando o comportamento da reta tangente criada.
· Escolha qualquer valor positivo para e observe o gráfico.
· Escolha qualquer valor negativo para e observe o gráfico.
· Coloque e observe o gráfico.
· Qual diferença foi possível perceber no gráfico para positivo, negativo e ?
Resposta: Quando a reta tangente que passa pelo ponto que a parábola intersecta o eixo y é crescente, quando a reta tangente que passa pelo ponto que a parábola intersecta o eixo y é decrescente e quando a reta tangente que passa pelo ponto que a parábola intersecta o eixo y é horizontal.
· O que podemos concluir a respeito do gráfico de uma função quadrática, em relação ao coeficiente ?
Resposta: Podemos concluir que o coeficiente determina a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto em que a parábola intersecta o eixo y.
Análise do coeficiente c:
· Observe o gráfico nos seguintes valores de c: 5, 3, 0 e -3.
· O que foi possível notar no gráfico da função nesses valores de ?
Resposta: Quando assume esses valores, o gráfico intersecta o eixo y nesses mesmos valores.
· O que podemos concluir a respeito do gráfico de uma função quadrática, em relação ao coeficiente ?
Resposta: Podemos concluir que o gráfico da função quadrática sempre intersecta o eixo y nos valores de .
Após realizar essa atividade, recomendo o vídeo do canal Me Salva, no qual fazem um resumo da influência dos coeficientes da função quadrática em seu gráfico. Link: https://www.youtube.com/watch?v=StWRLwXAebI.
Exercício 5: Complete as lacunas
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Esse gráfico é influenciado pelos coeficientes e , sendo . O coeficiente define a concavidade da parábola, sendo que a concavidade é voltada para cima quando e é voltada para baixo quando . O coeficiente indica a inclinação da reta tangente no ponto em que o gráfico da função quadrática intersecta o eixo y, sendo quando a reta tangente for crescente, quando a reta tangente for decrescente e quando a reta tangente for horizontal. Por fim, o coeficiente indica o ponto onde o gráfico intersecta o eixo y.
Exercício 6: Relacione os gráficos de acordo com os sinais dos coeficientes
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Esse exercício está sendo enviado no Hot Potatoes.
Parte 3: Pontos notáveis da parábola
Em uma parábola, podemos destacar pontos notáveis que são:
1. Ponto de intersecção com o eixo x;
2. Ponto de intersecção com o eixo y;
3. Eixo de simetria;
4. Vértice da parábola.
Para estudarmos cada um desses pontos, usaremos a estratégia de pesquisa na internet. Em cada um dos pontos notáveis, serão recomendados alguns sites e vídeos que tratam sobre o tema e deverá ser feito um resumo, no qual deve conter algumas informações que serão colocadas abaixo em cada descrição dos pontos notáveis. É importante estudar os pontos notáveis da parábola, pois esses pontos ajudaram na construção do gráfico de uma função quadrática.
Para esse estudo, é recomendável acessar os seguintes sites e vídeos: LINKS:
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/pontos-notaveis-parabola-1.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/pontos-notaveis-uma-parabola.htm
Vértice e eixo de simetria de uma parábola (7:28): https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/features-of-quadratic-functions/v/quadratic-functions-2
Gráfico Parábola aula 5 (38:29): https://www.youtube.com/watch?v=U9I1LFFcUkw
1. Ponto de intersecção com o eixo x:
O resumo sobre esse ponto notável deve conter:
· Qual o significado dos pontos onde a parábola intersecta o eixo x em relação à função;
· A maneira de encontrar os possíveis pontos onde a parábola intersecta o eixo x;
· As características que o gráfico de uma função quadrática assume de acordo com os valores do discriminante .
2. Ponto de intersecção com o eixo y
O resumo desse ponto deve conter:
· Ponto que a função intersecta o eixo y, registrando o raciocínio dessa afirmação;
· Exemplo.
3. Eixo de simetria
O resumo deve conter:
· Características do eixo de simetria e como calculá-lo.
4. Vértice da parábola
O resumo desse ponto deve conter:
· Como calcular os vértices da parábola;
· A identificação de todos os pontos notáveis das seguintes funções: , e .
Parte 4: Máximo e mínimo da função quadrática
Webquest no link: http://www.webquestfacil.com.br/webquest.php?wq=24305
Parte 5: Esboço do gráfico
Para fazer o esboço do gráfico de uma função quadrática é muito mais interessante identificar os elementos da parábola, que são o vértice, intersecção como o eixo x, intersecção com o eixo y, eixo de simetria e ainda analisar o coeficiente a. Essa maneira de esboçar o gráfico de uma função quadrática permite analisar aspectos importantes que as funções apresentam, como o sinal, os intervalos de crescimento e decrescimento, o ponto de máximo ou mínimo etc.
Logo, para a construção do esboço do gráfico de uma função quadrática devemos seguir os seguintes passos:
1° passo: Analisar o coeficiente , assim definir a concavidade da parábola, para cima ou para baixo, e ainda se a função assume valor de máximo ou mínimo;
2° passo: Determinar zeros da função;
3° passo: Determinar o vértice;
4° passo: Determinar o eixo de simetria.
Sugestão de vídeos: 
Como esboçar uma parábola (7:27): https://www.youtube.com/watch?v=Wg-KGKeiQOY
Exercício 7: Façam o esboço dos gráficos das funções a seguir no caderno. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Parte 6: Estudo do sinal
Para esse estudo dessa parte é recomendável os seguintes vídeos:
Função do 2° grau: Estudo do sinal (12:21): https://www.youtube.com/watch?v=1_xHNa6ApZA
Estudo dos Sinais da Função Quadrática - Parte 1 (13:02): https://www.youtube.com/watch?v=AAoEE3th-v4
Estudo dos Sinais da função quadrática- Parte 2 (7:54): https://www.youtube.com/watch?v=AIdeSU2BnGI
Após assistir aos vídeos, resolva os exercícios:
Exercício 8: Faça o estudo do sinal de cada função, de em , cujo gráfico está representado a seguir:
a) 
b) 
c) 
Resposta: 
 se ou .
 se .
 se ou .
b) para qualquer valor de .
c) para qualquer valor de .
Exercício 9: Faça o estudo do sinal das seguintes funções:
a) 
b) 
c) 
d) 
Resposta:
a) para 
 para 
b) para 
 para 
c) para e 
 para 
 para e 
d) para e 
 para 
 para e 
Para encerrarmos esse tópico de estudo, tente resolver o seguinte desafio:
Desafio!
Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas , da seguinte maneira:
• A nota zero permanece zero.
• A nota 10 permanece 10.
• A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função a ser utilizada pelo professor é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resposta: a
Respostas dos exercícios da webquest:
1-
A) 
B) 
C) 
D) 
2- A área máxima de um retângulo com perímetro 20 cm é 25 e as medidas dos lados são 5 cm.
3- A velocidade para qual o consumo é mínimo é 50 km/h.
4- A área do curral quadrado é e a do curral retangular é .
5- A quantidade de unidades para que o custo seja mínimo é 40 e o custo mínimo é .
6- A) A receita máxima é .
B) O máximo de passageiros é 25.