AULA 3 - RADICIAÇÃO

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RADICIAÇÃO
O que é uma Raíz?
A Definição de Raíz como Potência
Raíz Quadrada
Raíz Cúbica
O Índice Igual ao Expoente
Multiplicação de Raízes de Igual Índice
Divisão de Raízes de Igual Índice
Raíz de uma Raíz.
Decomposição de uma Raíz
Racionalização
Condições de Existência para as Raízes de Índice Par
Condições de Existência para as Raízes de Índice Impar
Equações Irracionais
Curiosidades
4
O que é uma Raíz?
Uma Raíz é uma expressão que consta de um 
ÍNDICE, um símbolo de raíz e um RADICANDO.
Índice, raíz, radicando?
2
4
Índice
Radicando
(-5,3)
8






5
4
Símbolo 
de Raíz
2
Elementos de uma Raíz
m a
n
Expoente do 
radicandoÍNDICE
RADICANDO
Símbolo 
de Raíz
_
_
O que significa a Raíz?
(-5,3)
3






5
4 =
Obs: O Índice 2 
não se escreve.
Uma Raíz é uma Potência com Exponente Fracionário.
4
2
5 =
5
2
_
4
2
54
3
(-5,3)
_
2
=
3
(-5,3)
6 





5
4 77
6
Raíz Potência=
3
(-0,6)
2
= (-0,6)
2
3
2
_






7
2
=
6






7
2
77
6
Transforme as seguintes Potências em Raízes
Transforme as seguintes raízes em Potências
=4
=37
=
5
3
=





3
7
4
=3 5
=3 47
=





3
2
3
5
=5m
=m nd
=2
1
6
( ) =2
5
3,0
=




 2
9
5
2
=3
2
4
=





−
7
1
3
6
5
7
=b
c
a
2
1
4
2
3
7
2
1
5
3






2
3
7
4






3
1
5
3
4
7
3
2
3
5






m
n
d
2
5
m
6
53,0
9
5
2






3 24
7
3
6
5
7
−
b ca
_
Importante:
Leitura de uma Raíz.
- Índice 2, Raíz Quadrada. Ex: 
- Índice 3, Raíz Cúbica. Ex: 
- Índice 4, Raíz Quarta. Ex:
3 76
56
4 76
Em Geral
a
nb =
b
nanb
a
0 = 0
ba a
1 = 1
b
a ≥ 2
Mas é só uma aproximação decimal da Raíz, 
que não é exata. Porque a melhor forma de 
representar é como .
Raíz Quadrada
=4 já que2 =22 4
=9 já que3 =33 9
=16 já que4 =44 16
=25 já que5 =55 25
=2 ...1688724273095048804142135623,1
2 2
Isto acontece com muitas raízes quadradas 
que não dão um resultado exato.
Raíz Cúbica
=3 8 já que2 = 222 8
=3 27 já que3 = 333 27
=3 64 já que4 = 444 64
=3 125 já que5 = 555 125
=3 3 ...6163831077907408382324422495703,1
3 3 3 3
Mas é só uma aproximação decimal da Raíz, 
que não é exata. Porque a melhor forma de 
representar é como .
Isto acontece com muitas raízes cúbicas que 
não dão um resultado exato.
2
2
_
1 - Propriedade: 
O Índice Igual ao Expoente.
Sabendo que:
7
2
3 =
3
2
737
Qual será o resultado de?
5
2
5 =
5
2
_
555
=
_a
n =
a
nan
aa
Em Geral: = n
2
1
2=2
1
2)
7
5 (5
9
__
2
2
_
2 - Propriedade: 
Multiplicação de Raízes de Índice Igual.
Sabendo que:
7
2
3 =
3
2
737
Qual será o resultado de?
9
=
9
2
2
=
a n =nxaEm Geral:
5
7•
2•
_
2
2( )
1
7
_
• =
9
2(
_
2)
1
5•
7
2
9 7
•5
• mya a nx•m
y
Resolver usando a Propriedade da Potência:
a)
b)
c) =• 33
16
9
4
3
=• 33 366
=• 28
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
=••• 5635 33
=••• 3333 9243
( ) ( ) =−•− 52,12,1
=
−
•− 3
2
3
5
4
3
2
3
2
=• 3 43 5 mm
=• 57 nn
=••• 3 753 23 nnnn baba
6
4
4
3
15303 •
6
( )32,1
9
4
3m
6n
n3n4 ba
2 - Propriedade: 
Multiplicação de Raízes de Índice Igual.
1
2) ÷(777 5 (5
5
__
2
7
_
3 - Propriedade: 
Divisão de Raízes de Índice Igual.
Sabendo que:
7
2
3 =
3
2
737
Qual será o resultado de?
5
=
5
2
=
a n =nxEm Geral:
5
7÷
7
2
_
7
_
2)
1
=
5
_
2)
1
5
7
7
5 7
5
mya a nx m
y
÷
÷
÷(
÷ ÷
Resolver usando a Propriedade da Potência:
a)
b)
d)
=
2
8
=
3
3
3
81
=
3 4
3 7
5
5c)
=
•
•
83
281
3
3
e)
f)
h)
=
02,0
08,0
= 33
81
4
3
256
=
•
•
3 23 2
3 83 5
nm
nm
g)
=•• 3
6
5
3
4
3 2 d
a
b
d
a
b
2
3
5
2
3
2
12
2mn
b
a
3 - Propriedade: 
Divisão de Raízes de Índice Igual.
2
1
••
(
4 - Propriedade: 
Raíz de uma Raíz.
( 77
__
7
Sabendo que:
Qual será o resultado de?
5
5
2
=
a =Em Geral:
=
1
2
_
2
1
= 7
mn b•a m
n
)
_
2
5 _
4
5
7
54
( 77
__
7
5
5
3
=
=
1
2
_
= 7)
_
3
5 _
6
5
7
563
b
3
2
)
3
= 3
6
e2
_
7
2
3 =
3
2
737
a)
b)
c)
e)
d)
f)
=16
=3 7
=3 4 5
=48nm
=
3 3 18
3 24
x
x
=3
6
12
y
x
2
6 7
12 5
nm2
y
x2
2x
4 - Propriedade: 
Raíz de uma Raíz.
Resolver usando a Propriedade da Potência:
Decomposição de uma Raíz
nmnm =Sabendo que:
Resolver
750x
6225 xx 
25
+ 732x
+
+
5
6216 xx 
4
16
+
2 x 6x
2 x
3x 2 x
3x
xx 25 3 + xx 24
3
São termos semelhantes
xx 29 3
2 x 6x
=
=
=
=
=
Outro exemplo
45 + 20
São termos semelhantes
54−
80 125− −
59  54 
59 
544  255 
54  544  255 
53 52 522  55+
+
+ −
−
−
−
−
−
53 52 54 55+ − −
=
=
=
=
Decomposição de uma Raíz
Racionalização
Racionalizar é ampliar uma fração onde o 
denominador representa uma Raíz, com a 
finalidade de que esta não apareça. 
Exemplos:
=
2
1
2
2 =
3a
a
a =
3 23n
n
3
93 n
O que devemos saber?
ampliar:
2
7
=
4
4
8
28
Multiplicar Raízes = 82 41682 ==
= 53 xx 4853 xxxx ==
Potências
Raíz como Potência
Propriedade das Raízes: xxx n
n
n n ==
Racionalizar Raízes Quadradas Simples da Forma 
aq
p
=
3
7
=
3
3
3
7
=
33
37
=
23
37
3
37
=
xm
n
=
x
x
xm
n
=
 xxm
xn
=
2xm
xn
mx
xn
=
+
7
52 ( )
=
+
7
7
7
52 ( )
=

+
77
752
=
+
27
7572
7
3572 +
=
aq
p
=
a
a
aq
p
=
aaq
ap
=
2aq
ap
qa
ap
En Geral
1)
2)
3)
=
5
7
n
=
14
7
nn
=
nn4
7
=
n
n
nn2
7
=
nn
n
2
7
4) =3
7
n
n
Racionalize as seguintes Expressões
=
11
7
11
7
=
a
ax
a
ax
52
15
52
15
=
a
ba
a
ba
10
40
10
40 22
=
33 a
aa
a
aa
=
49
7
49
7
=
ab
ab
=
+
2
28
=
−
xyxy
yxxy
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Racionalizar Raízes Quadradas da Forma 
n kaq
p

=
3 4
7
=
3 2
3 2
3
4
4
4
7
=
3 2
3
44
47
=
3 3
3
4
47
4
474
=
4 3xm
n
=

4
4
4 3 x
x
xm
n
=


4 3
4
xxm
xn
=


4 4
4
xm
xn
mx
xn4
=
+
3 2
3
a
aa ( )
=
+
3
3
3 2
3
3 a
a
a
aa ( )
=
+
3 2
33
3 aa
aaa
=
+
3 3
33 2
3 a
aaa
a
aaa
3
33 +
=
 n kaq
p
=
 −
−
n kn
n kn
n k a
a
aq
p
=


−
−
n knk
n kn
aaq
ap
=

 −
n n
n kn
aq
ap
En Geral
1)
2)
3)
aq
ap n kn

 −
=
3 74
7
4) =
3 6 44
7
=
 33 6 44
7
=
 32 44
7
.....
4
4
44
7
3 2
3 2
32


Racionalizar as seguintes Expressões
=
33 11
7
11
7
=
3 23 2 52
15
52
15
a
ax
a
ax
=
3 2
2
3 2
2
10
40
10
40
a
ba
a
ba
=
3 2
3
3 2
3
ba
aab
ba
aab
=
33 49
7
49
7
=
3 5ab
ab
=
+
4 3
4 74 11
2
22
=
−
7 69
7 623
yx
yxx
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Condições de Existência de Raízes Quadradas
e Índice Par
Como, por exemplo, 24 = já que 422 =
então 
e assim para todas as Raízes 
Quadradas de Números Positivos
NÃO SE PODE OBTER A RAÍZ
QUADRADA DE NÚMEROS 
NEGATIVOS
Quer dizer: 
4− Não Existe 
2,0− Não Existe 
36
25
− Não Existe 
Em Geral, Esta condição é própria de 
todas as Raízes de ÍNDICE PAR.
4 12,0− Não Existe 
8
36
25
− Não Existe 
As Raízes que têm ÍNDICE IMPAR 
Não têm restrição
Quer dizer: 
283 −=− já que =−−− 222 8−
3273 −=− já que =−−− 333 27−
3
2
27
8
3 −=− já que =−−−
3
2
3
2
3
2
27
8
−
21287 −=− já que =−−−−−−− 2222222 128−
Condições de Existência de Raízes Quadradas
e Índice Impar
Equações Irracionais
Uma Equação Irracional é determinar o valor da 
incógnita que se encontra abaixo das raízes.
Exemplo de Equações Irracionais:
73 =+x
xx 213 −=+
13743 +=−++ xxx
1375123 +=++ xx
Para resolvê-las os passos são 
muito simples:
i) Se há mais de uma raíz, se 
deve isolar em um dos lados da 
equação.
ii) Elevar ao quadrado ambos os 
lados da equação.
Obs. Com rigor, a solução da equação 
debe estar no seguinte conjunto:
Exemplo de Resolução de Equações Irracionais:
642 =−x
 +,2
Evitamos o passo i)já que a raíz já está isolada 
em um dos lados da equação.
642 =−x Aplicamos o passo ii) anterior. Elevar 
ambos os lados da igualdade a 2.
( ) 22 642 =−x O elevar a raíz a 2, o Índice e o exponente 
se simplifiquem.
3642 =−x
Se resolve como uma equação de 
primeiro grau com uma incógnita.
20=x
2/
Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
138 =+−+ xx
Passo i) Isolar uma das raízes de um dos dos 
lados da equação.
Aplicamos o passo ii) anterior. Elevar 
ambos os lados da igualdade a 2.
El elevar la raíz a 2, o índice e o expoente 
de simplificam e no outro lado da igualdade 
teremos que realizar o quadrado de um 
binômio.
xx ++=+ 318
2/
( ) ( )22 318 xx ++=+
xxx ++++=+ 33218
x+= 324 Devemos voltar ao passo i), raíz isolada e 
elevamos ao quadrado ambos os lados da 
igualdade.
2/
( )22 324 x+=
( )x+= 3416
x41216 +=
x=1
Daqui para frente a Equação Irracional se 
transforma em uma equação de primeiro grau 
com uma incógnita.
Curiosidades
...2
1
2
1
2
1
2
1
12
+
+
+
+
+=
1)
2) Algoritmo para determinar uma raíz.