Lei_de_Stefan_Boltzmann

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Renan Barbieri Estefani
LEI DE STEFAN-BOLTZMANN PARA BAIXAS
TEMPERATURAS
Trabalho em formato de artigo sobre o ex-
perimento envolvido apresentado à disciplina
de Laboratório de F́ısica Moderna ministrada
pelos professores Dr. Kleber Daum Machado e
Drª. Camilla Karla Brites Queiroz Martins de
Oliveira, como parte de avaliação da disciplina.
Curitiba
2021
Resumo
Este artigo tem como objetivo investigar experimentalmente a lei de Stefan-Bolztmann uti-
lizando um cubo de Leslie contendo quatro faces com diferentes caracteŕısticas - preta, branca,
fosca e metálica - de forma que foram medidas as diferenças de radiância emitidas por cada face
e observado seu comportamento de acordo com a temperatura onde, através de métodos gráficos,
foram obtidas comparações entre as emissividades de cada face ordenando-as entre menor a maior
emissividade.
1
1 Introdução
Neste artigo foi investigado o fenômeno de emissão de radiação por um corpo, de forma experimen-
tal, envolvendo a Lei de Stefan-Bolztmann utilizando um cubo de radiação térmica sobre o regime de
baixas temperaturas, de forma que são considerados os efeitos causados pela interação com o ambiente
(neste caso, a temperatura do ambiente).
Em meados de 1859, havia uma busca bor explicações teóricas e matemáticas sobre a irradiação
de energia por um corpo aquecido. A investigação desse fenômeno é iniciada então a partir de um
caso teórico envolvendo corpos conhecidos como corpos negros (devido a suas caracteŕısticas e com-
portamento f́ısico). Os estudos sobre este fenômeno são datados desde 1860, com o f́ısico alemão
Gustav Robert Kirchhoff que, dentre outros fenômenos, estudou a emissão de radiação de corpos e,
em seu estudo de espectrografia de gases, propôs o termo de ”radiação de corpo negro”. Mais tarde,
surgem teorias na tentativa de explicar mais detalhadamente este fenômeno de emissão de radiação
de um corpo negro. Em 1878, o f́ısico e matemático austro-esloveno Josef Stefan estabelece, a partir
de dados experimentais, uma relação entre a potencia irradiada por um corpo negro e sua respectiva
temperatura. Anos depois, em 1884, através dos estudos em termodinâmica e mecânica estat́ıstica, foi
fundamentada a mesma relação descrita por Stefan, porém de forma teórica utilizando das leis descri-
tas por Maxwell, pelo f́ısico austŕıaco Ludwig Eduard Boltzmann. Esta relação veio a ser conhecida
como Lei de Stefan-Boltzmann [1, 2, 3, 4].
O estudo do fenômeno de emissão de radiação de um corpo em relação a sua temperatura é muito
importante para a compreensão da natureza como um todo, além de permitir um entendimento do
mesmo e manipulação de seus conceitos para a produção de equipamentos tecnológicos de diversas
áreas. Neste caso, o estudo sobre a emissão de radiação de um corpo negro serve como base para a
descrição de sistemas cada vez mais complexos envolvendo a emissão de radiação.
Este artigo busca averiguar esta lei de forma experimental, observando o comportamento da tem-
peratura de um corpo (cubo) contendo diferentes faces (com caracteŕısticas variadas) em relação à
potência de radiação emitida por cada face tratada através da diferença de potencial detectada pelas
faces.
2
2 Fundamentação teórica
Para iniciar o estudo da emissão de radiação de um corpo, antes é necessário definir o conceito de
”Radiância espectral”. A radiância espectral R(ν), em um intervalo de frequência [ν, ν + dν], fornece
a quantidade de energia por unidade de tempo e área emitida pelo corpo. Tendo em mente o conceito
de radiância, para iniciar as observações para o caso mais simples, defini-se o conceito de um corpo
ideal, que absorve toda a radiação que recebe completamente. Assim, como o corpo absorve toda
a radiação que recebe sem refleti-la, não pode ser enxergado, por isso ficou conhecido como ”corpo
negro”. Contudo, no caso de um corpo em estado de equiĺıbrio térmico, sendo um corpo ideal, precisa
emitir também toda a energia recebida em vista à manter o equiĺıbrio térmico. Assim, por esta
analise, conclui-se que um corpo ideal, que absorve idealmente toda a radiação que recebe também
a emite perfeitamente [5]. Imaginando então um corpo negro em equiĺıbrio térmico e de um volume
qualquer V , feito de um material que não permita a passagem da radiação, possuindo uma cavidade
interna, supondo que esta seja uma cavidade ressoante e as ondas se propagando em seu interior sejam
representadas por um vetor de onda ~K, e que possua um pequeno orif́ıcio - figura representada abaixo:
Figura 1: Cavidade do corpo negro segundo as caracteŕısticas postuladas - imagem ilustrativa adaptada
da referência [5].
Assim, pode-se expressar a densidade espectral de energia da cavidade pela seguinte expressão:
ρ(ν)dν = E(ν)n(ν)dν (1)
onde n(ν) é o número de ondas por unidade de volume dado por
n(ν) =
8π
c3
ν2 (2)
e E(ν) é a energia média de uma onda eletromagnética em uma determinada frequência ν De forma
que a radiância espectral é relacionada a equação (1) 1.
R(ν) =
c
4
ρ(ν) =
c
4
E(ν)n(ν) (3)
sendo c a velocidade da luz [7, 8, 9].
Para desenvolver a descrição teórica precisa-se então estabelecer algumas caracteŕısticas apresen-
tadas pela teoria de Planck. São feitas duas suposições sobre os limites envolvendo uma solução
apresentados pelas observações feitas sobre a teoria clássica de emissão de radiação de corpo negro.
Seguindo o fato de que a teoria clássica apresenta uma descrição satisfatória sobre o intervalo de baixas
frequências, uma aproximação deve ser feita:
E(ν)
ν→0−−−→ kT ; (4)
Também observa-se que o número de ondas cresce com a frequência, contudo a radiância espectral
tende a zero, ou seja:
1A demonstração desta relação é facilmente demonstrada - vide a referência [6]
3
E(ν)
ν→∞−−−→ 0. (5)
Segue-se então que é necessário conhecer a forma da energia média para compreender seu com-
portamento. Portanto, busca-se conhecer a distribuição de energia deste sistema. Utiliza-se então de
uma ferramenta da mecânica estat́ıstica, a distribuição de Boltzmann de uma medida de energia:
P (E) =
1
A
e−
E
kT (6)
onde A representa uma constante de normalização, pois esta distribuição se trata de uma densidade
de probabilidade de todos os valores posśıveis. Asim, uma implicação é feita, ou seja:∫ ∞
−∞
P (E)dE = 1 (7)
de forma que obtém-se então que
A = kT (8)
observando que pode se verificar que o cálculo da energia média obterá o exato valor de
E = kT. (9)
Onde nota-se que se a energia for uma variável cont́ınua, será obtido o resultado obtido pela teoria
clássica. Por estas condições, segundo a teoria de Planck, a presença de quantização de energia pode
obter o comportamento bem descrito [9, 10, 11, 12]. Assim, se a energia for quantizada em múltiplos
inteiros de um determinado valor (chamado quanta) e função adequada da frequência:
En = n∆E (10)
sendo ∆E uma função de ν.
Figura 2: Representação de distribuição de energia - imagem ilustrativa adaptada da referência [5]
Atentando que a função e a distribuição apresentada na figura (2), nota-se que esta função possui
um máximo para E = kT e para E � kT possui valores muito pequenos. No caso de ∆E � kT , esta
suposição de quantização da energia média proporcionará um comportamento próximo ao descrito
pela teoria clássica. Contudo, para o caso de ∆E � kT o valor da energia média será muito pequeno
e não haverá contribuição na distribuição. Portanto, esta suposição da quantização da energia média
provê o comportamento imposto inicialmente pelas condições apresentadas (4) e (5) para E(ν) nos
casos de ∆E
ν→0−−−→ 0 e ∆E ν→∞−−−→∞. Isto é, se a quantização de energia for uma função crescente com
a frequência. Sendo assim, Planck sugestionou uma função tentativa para ∆E onde este é diretamente
proporcional a ν, ponderado por uma constantea ser definida:
∆E = hν. (11)
4
Reproduzindo então o cálculo da energia média seguindo as proposições de Plank, quando a energia
passa a ser discretizada, a integral dada por
E =
∫ ∞
0
E · P (E)dE = 1
kT
∫ ∞
0
E · e−
E
kT dE (12)
torna-se uma somatória, de forma que:
E =
∑∞
n=0Ene
−En
kT∑∞
n=0 e
−En
kT
, (13)
substituindo (2) e (11) na equação acima, obtém-se
E =
∑∞
n=0 nhνe
−nhν
kT∑∞
n=0 e
−nhν
kT
(14)
introduzindo a seguinte substituição
α =
hν
kT
(15)
e introduzindo-a em (14), obtém-se uma nova função a ser introduzida
f(α) =
∑∞
n=0 ne
−nα∑∞
n=0 e
−nα (16)
onde
E(ν) = hνf(α); (17)
notando que é posśıvel reescrever a equação (16) na forma
f(α) = − d
dα
[
ln
( ∞∑
n=0
e−nα
)]
. (18)
Onde f(α) pode ser reformulada substituindo a série presente na equação da seguinte maneira
f(α) = − d
dα
[
ln
(
1
1− e−α
)]
=
d
dα
[
ln
(
1− e−α
)]
=
1
eα − 1
. (19)
Substituindo (14) e (15) em (19), obtém-se a expressão apresentada pela teoria de Planck para a
energia média de uma onda eletromagnética de frequência ν em uma cavidade a uma temperatura T :
E(ν) =
h ν
e
hν
kT − 1
. (20)
Tendo agora uma expressão discreta sobre a energia média dada por (20), pode-se calcular então
a densidade espectral de energia a partir de (1) e (2), de forma que a expressão torna-se
ρ(ν) =
8π h ν3
c3(e
hν
kT − 1)
. (21)
Conhecendo a expressão para ρ(ν), obtém-se então a equação para a radiância espectral utilizando
(3), onde esta se torna:
R(ν) =
2π h ν3
c2(e
hν
kT − 1)
. (22)
A potência por unidade de área emitida por um corpo negro é expressa pela integral da radiância
em todas as frequências, de forma que:
Pot =
∫ ∞
0
R(ν)dν =
∫ ∞
0
2π h ν3
c2(e
hν
kT − 1)
dν. (23)
5
De forma que a expressão final para a potência por unidade de área é
Pot =
2π k4
15c2h3
T 4 = σ · T 4 (24)
sendo esta expressão a lei de Stefan-Boltzmann deduzida de forma teórica pela teoria de Planck onde
σ é a constante de Stefan-Boltzmann com o valor de 5, 670400(40)× 10−8W ·m−2 ·K−4 [8, 9, 12].
Deste modo, a expressão (24) pode ser modificada de maneira que obtém-se uma expressão apenas
para a potência irradiada. Esta expressão é
P = εσAT 4, (25)
sendo A a área de emissão do corpo. Contudo, a expressão (25) é valida sobre a condição de que a
temperatura ambiente seja desconsiderada, ou seja, Tamb = 0K ou então T � Tamb de forma que Tamb
possa ser ignorada. Sendo assim, a expressão geral que compute a interação do corpo com o ambiente
é dada pela equação
P = εσA(T 4 − T 4amb). (26)
Esta última expressão pode ser aberta em função da variação de energia em relação ao tempo:
dU
dt
= εσA(T 4 − T 4amb). (27)
de jeito que esta expressão representa a lei de Stefan-Boltzmann para o sistema a ser estudado.
6
3 Procedimentos experimentais
O objetivo deste experimento é investigar a lei de Stefan-Boltzmann através de um cubo de Leslie,
um cubo de radiação que possui diferentes faces emissoras (preta, branca, metálica e fosca). O cubo
é aquecido por uma lâmpada de Stefan-Boltzmann a qual contem um filamento de Tungstênio. Estes
equipamentos estão representados pela figura (3):
Figura 3: Representação do cubo de Leslie (cubo de radiação) e a lâmpada de Stefan-Boltzmann
(filamento de Tungstênio) adaptados do manual do equipamento do experimento.
A medida que o cubo aquece, emite radiação no espectro infravermelho. A temperatura do cubo
é acompanhada medindo-se a resistência do cubo através de um ohmı́metro e a conversão entre re-
sistência e temperatura é dada pela tabela presente no cubo de Leslie. Esta tabela é mostrada pela
figura (4):
Figura 4: Tabela de conversão de dados de temperatura e suas respectivas resistências - adaptação do
manual do equipamento do experimento.
7
Para medir a radiação emitida por cada face, um sensor do tipo termopilha é apontado para uma
determinada face de forma que este sensor detecta radiação infravermelha na faixa de comprimentos
de onda de λ = 0, 5 µm a λ = 40 µm. Este sensor é ligado a um volt́ımetro que mede a diferença
de potencial V proporcional a diferença entre a intensidade de radiação que incide sobre o mesmo e a
própria radiação emitida. A montagem do experimento segue representada pela figura (5):
Figura 5: Representação da montagem do experimento contendo o cubo de radiação junto a lâmpada,
o sensor termopilha, um ohmı́metro, um volt́ımetro e um protetor contra radiação - adaptação do
manual do equipamento do experimento.
A coleta de dados é feita inicialmente anotando a temperatura ambiente, de forma que Tamb = 18C.
Em sequência, foi montado o experimento como o representado na figura (5) selecionando uma das
faces para o inicio. Foram feitas medidas para todas as faces do cubo. Observando o cuidado a ser
tomado para manter o sensor sempre a uma distância fixa - em torno de 3 cm - do cubo para não
haverem mudanças de valores inconvenientes, posicionando o detector apontado para o centro da face
e também, entre cada medida feita, sempre mantendo o sensor protegido pelos protetores para que a
temperatura do detector não mudasse durante o experimento. Em sequência, foi ligado cubo de Leslie,
definindo um certo ńıvel de potência na lâmpada através do indicador existente no cubo.
Conforme o cubo foi sendo aquecido, foram anotadas medidas de resistência R (com objetivo de
converte-las em temperatura após) e de tensão VD ao mesmo tempo. Foram feitas 12 medidas para
cada face, as medidas de resistência e tensão estão apresentadas na tabela (1):
tensão (mV)
R (kW) Branca Preta metálica fosca
47,2 1,955 1,949 0,024 0,704
37,3 2,825 2,249 0,155 1,099
29,6 3,923 3,974 0,522 1,715
23,6 4,866 4,725 0,503 1,946
18,9 5,775 5,765 0,548 2,16
15,1 6,597 6,592 0,597 2,435
12,2 7,75 7,689 0,663 2,924
9,9 8,72 8,666 0,803 3,303
8,0 9,859 9,849 1,078 3,745
6,5 10,844 10,868 1,126 4,02
5,3 11,996 11,994 1,14 4,87
4,4 13,139 13,229 1,223 4,955
Tabela 1: Tabela de medidas de resistência e tensão desferidas durante o experimento.
8
4 Resultados e Discussão
Para iniciar o tratamento dos dados, utilizando da tabela de conversão apresentada na figura (4),
foi constrúıdo um gráfico da curva de T×R. Em sequência, um ajuste sobre este gráfico foi efetuado de
forma a encontrar uma curva que melhor representasse o comportamento de T (R). O tipo de equação
utilizada foi
f(x) = a+
b
xc
(28)
onde a, b e c são parâmetros de ajuste. O gráfico está representado pela figura (6).
Figura 6: Gráfico dos pontos de T (R) apresentados pela figura (4) e a curva ajustada com os coefici-
entes calculados.
Com o comportamento da função de T (R) bem representados, como mostrado na figura (6), foi
posśıvel converter as medidas de resistência da tabela (1) em temperatura. As medidas convertidas
estão apresentadas na tabela (2). Tendo em vista que a tensão medida pelo sensor é proporcional a
diferença entre a potência total emitida por unidade de área que incide sobre o sensor e a própria
radiação emitida por ele, foi produzido então um gráfico de VD × (T 4 − T 4amb), onde os valores de
(T 4 − T 4amb) estão demonstrados na tabela (2).
tensão (V)
Branca Preta metálica fosca T (K) ∆(T 4)(K4) = T 4–T amb
0,001955 0,001949 0,000024 0,000704 314,747765 2643231406
0,002825 0,002249 0,000155 0,001099 320,346885 3360429107
0,003923 0,003974 0,000522 0,001715 326,015219 4125825616
0,004866 0,004725 0,000503 0,001946 331,735578 4939799265
0,005775 0,005765 0,000548 0,00216 337,509014 5805148197
0,006597 0,006592 0,000597 0,002435 343,515559 6753821884
0,00775 0,007689 0,000663 0,002924 349,386196 7730387359
0,00872 0,008666 0,000803 0,003303 355,296214 8764504336
0,009859 0,009849 0,001078 0,003745 361,491817 9905432443
0,010844 0,010868 0,001126 0,00402 367,695549 11108172789
0,011996 0,011994 0,00114 0,00487 373,958126 12385662806
0,013139 0,013229 0,001223 0,004955 379,814665 13639839137
Tabela 2:Tabela de valores de tensão em Volts, temperaturas convertidas das medidas de resistência
apresentadas na tabela (1) e os valores das diferenças da quarta potência das temperaturas medidas
e do ambiente.
9
Posteriormente, com todos os dados já convertidos, para verificar o comportamento da lei de
Stefan-Boltzmann, foi constrúıdo o gráfico da figura (7) de VD × ∆(T 4) de todas as faces junto a
ajustes lineares de forma a obter os coeficientes da curva.
Figura 7: Gráfico dos pontos experimentais já convertidos de VD(T ) junto as equações da reta que
melhor ajustam os pontos de cada face.
Observando os gráficos, é fácil perceber a relação de linearidade entre VD e ∆(T
4) de forma que,
de acordo com a relação descrita anteriormente, há uma proporção direta entre a radiância das faces
do cubo e a temperatura, de forma que este resultado de fato culmina na lei de Stefan-Boltzmann.
Averiguando mais acentuadamente os resultados obtidos através dos dados presentes no gráfico da
figura (7), pode-se comparar os coeficientes angulares α e lineares β das retas ajustadas de cada face
com as constantes envolvidas na equação (26), de forma que os valores esperados dos coeficientes são:
α = εσA e β = 0 (29)
Tendo conhecimento dos valores esperados de cada coeficiente e os valores obtidos através do ajuste
linear, comparando-os então, nota-se que de fato, os coeficientes β são próximos de zero, tão bem como
os valores de α podem ser listados para cada face e então comparados. Observa-se que, da equação
(29), atenta-se que para todas as faces a área, bem como a constante de Stefan-Boltzmann, são as
mesmas, de forma que o único valor que varia entre as faces é a emissividade de cada uma. Assim,
pode-se realizar uma comparação entre as faces de acordo com seus coeficientes angulares observando
que quanto maior o coeficiente, maior será a emissividade. Por consequência disso, de acordo com
a emissividade de cada uma identificadas pelos coeficientes angulares demonstrados na figura (7), é
posśıvel ordenar as faces da seguinte forma
εpreta > εbranca > εfosca > εmetálica
onde a maior emissividade é da face fosca (o que condiz com a teoria demonstrada até agora) e a
menor emissividade pertence a face metálica.
10
5 Divulgação cient́ıfica
Esta seção tem o objetivo de apresentar ideias simples, porém interessantes de chamar a atenção
do público através de temas simples envolvendo o assunto deste artigo.
Inicialmente, propõe-se uma divulgação através das mı́dias sociais sejam elas Facebook, Youtube
e demais, de forma que sejam utilizadas propagandas informativas contendo chamarizes de forma
informativa, como por exemplo uma questão simples, porém desconhecida por leigos, ”qual a diferença
entre um buraco negro e um corpo negro?”. Este tipo de chamariz atrai a atenção do público e os
instiga a ler e consumir este material pela curiosidade. Outra proposta, em contribuição com a
apresentada anteriormente, seria a de produzir v́ıdeos ilustrados contendo informações interessantes
ao público de maneira dinâmica e de linguagem acesśıvel de maneira que não só instigue o público a
consumir mais deste material, como tenda a compartilhá-lo aumentando assim o engajamento.
11
6 Conclusão
Este experimento teve como objetivo investigar a lei de Stefan-Boltzmann utilizando um cubo de
Leslie de forma que através das medidas apresentadas na seção (3), juntamente dos resultados produ-
zidos e as discussões realizadas na seção (4), entende-se que ao observar os gráficos de VD ×∆(T 4) os
resultados apresentados pela lei de Stefan-Boltzmann são verificados, ou seja, a radiância (proporci-
onal a tensão elétrica medida durante o experimento) é proporcional a diferença da quarta potência
das temperaturas do cubo e do ambiente. Assim como foi posśıvel também identificar as emissivida-
des de cada face pelos dados experimentais utilizando ajustes gráficos e assemelhando os valores dos
coeficientes obtidos a equação (26) e então ordenar as faces de acordo com suas emissividades.
12
Referências
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chte der mathematisch-naturwissenschaftlichen classe der kaiserlichen. Akademie der Wissenschaf-
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