Energia

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Prof. Dra. Tathiana Moreira Cotta 
Energia 
Conteúdo 
  Vis Viva 
  Trabalho 
  Energia Cinética e Teorema de Trabalho e Energia 
  Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica 
  Forças Conservativa, Não Conservativas e Energia Total 
  Outros Assuntos Importantes 
  Situações Interessantes 
  Bibliografia 
Vis Viva 
Gottfried Leibniz (1646 – 1716) 
Vis Viva 
  Galileu Galilei (1564 – 1642) entendia a existência de 
algum significado especial no produto . 
Gottfried Leibniz (1646 – 1716) denominou esse termo 
por Vis Viva que significa “força viva”. 
  René Descartes (1596 – 1650) definiu o conceito de 
quantidade de movimento como . 
  Qual a “verdadeira” medida do movimento e da força 
de um objeto? 
mv2
mv
Vis Viva 
  Isaac Newton (1642 – 1727) formulou sua 2ª lei a partir 
da variação de fornecendo o caráter vetorial ao 
conceito. Entretanto não orientou seus estudos em 
termos de sua conservação. (Próximo assunto!) 
  Somente a partir de 1807 devido à contribuições de 
Thomas Young (1773 – 1829) e Lord Kelvin (1824 – 
1907) é que o termo foi substituído por energia 
cinética. 
  Entretanto o conceito só tomou a concepção atual após 
o estabelecimento de sua leis de conservação. 
m!v
Vis Viva 
  Principais pesquisas desenvolvidas independentemente 
que mostraram a conversão de energia em diversas 
formas. 
Ano Pesquisador Pesquisa 
1768 Watt (1736 – 1819) Máquinas Térmicas: térmica ð cinética 
1800 Volta (1745 – 1827) Pilhas: química ð elétrica 
1820 Oersted (1777 – 1851) Eletroímã: elétrica ð magnética 
1821 Seebeck (1770 – 1851) Termopar: térmica ð elétrica 
1831 Faraday (1791 – 1867) Indução Magnética: magnética ð elétrica 
1840 Joule (1818 – 1889) Efeito Joule: elétrica ð térmica 
Vis Viva 
  Entre 1840 e 1847 Joule começa a estudar outros tipos 
de conversão e consegui fazer a integração entre as 
conversões conhecidas na época e sua descoberta foi 
associada a um princípio de conservação. 
Hermann Helmholtz (1821 – 1894) generaliza ainda em 
1847 o princípio de conservação em um lei universal 
que posteriormente ficou conhecida com a primeira lei 
da termodinâmica. 
Vis Viva 
Gaspard de Coriolis (1792 – 1843) relaciona o conceito 
de trabalho com a metade da variação da Vis Viva. 
  Mas somente em 1819 é que o conceito de trabalho 
passará a receber a atenção devida. Para preservar a 
propriedade conceitual da medida do trabalho e a 
formulação explicita da lei da conservação em termos 
de trabalho realizado e da energia cinética criada a Vis 
Viva foi redefinida como . 12mv
2
Trabalho 
Trabalho 
W =
!
F ⋅ Δ!r
Obs.: Produto escalar entre dois vetores: 
!
A ⋅
!
B ≡ ABcosθ
!
A ⋅
!
B = AxBx + AyBy + AzBz
!
A ⋅
!
A = AxAx + AyAy + AzAz = A
2
⇒
î ⋅ î = ĵ ⋅ ĵ = k̂ ⋅ k̂ =1
î ⋅ ĵ = ĵ ⋅ k̂ = k̂ ⋅ î = 0
#
$
%
&%
θ
!
F
Δ
!r
W = FΔrcosθ!F// =
!
F cosθ
W = F//Δr
  Força x Deslocamento ç Somente força constante!!! 
Trabalho 
  Trabalho feito por uma força variável 
 
  Qual é o trabalho realizado pela força nesse gráfico? 
W =
!
F ⋅d!r
ri
rf∫
Energia Cinética e 
Teorema Trabalho Energia 
Energia Cinética e 
Teorema Trabalho Energia 
  Trabalho realizado por uma força resultante 
Wres = F∑ drri
rf∫ ⇒Wres = madrri
rf∫ ⇒Wres = m dvdt drri
rf∫
⇒Wres = m
dv
dr
dr
dt
dr
ri
rf∫ ⇒Wres = mvdvvi
v f∫
⇒Wres =
1
2
mvf
2 −
1
2
mvi
2
  Energia Cinética: K = 1
2
mv2 ⇒W = K f −Ki = ΔK
W =
!
F ⋅d!r
xi
x f∫
⇒Wres =m
1
2
v2
"
#$
%
&'vi
v f
Energia Cinética e 
Teorema Trabalho Energia 
O que é trabalho? 
  Energia transferida para um objeto ou de um objeto através 
de uma força. 
  Realiza-se um trabalho positivo ao fornecer energia a um 
objeto (força paralela ao deslocamento). 
  Realiza-se um trabalho negativo ao retirar energia de um 
objeto (força antiparalela ao deslocamento). 
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
  Cadê a energia que estava aqui? 
!vi
Ki =
1
2
mvi
2
!v K = 1
2
mv2
K f = 0
Ugi =mgri
Ug =mgr
Ugf =mgrf
W =
!
F ⋅d!r
ri
rf∫
W = m!g ⋅d!r
ri
rf∫
W = mgdrcosθ
ri
rf∫
W =mgcos180! dr
ri
rf∫
W = −mg r[ ]ri
rf
Δ
!r
W = −mg(rf − ri )
W = −(mgrf −mgri )
W = −ΔU
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
  Cadê a energia que estava aqui? 
W = ΔK
W = −ΔU !
"
#
ΔK = −ΔU
K f −Ki = −(Uf −Ui )
K f +Uf = Ki +Ui Conservação da energia! 
Emec = K +U ΔEmec = ΔK +ΔU = 0
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
Até onde vai chegar? 
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
  Energia potencial elástica 
!
F = −k!x
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
  Energia potencial elástica 
!
F = −k!x
W =
!
F ⋅d!r
xi
x f∫
W = −kx dx
xi
x f∫
W = −kx dx
xi
x f∫
W = − k
2
(x2f − x
2
i )
W = − k
2
x2f −
k
2
x2i )
"
#
$
%
&
'
W = −ΔU
Uk =
k
2
x2
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
ΔK = −ΔU Emec = K +U
ΔEmec = ΔK +ΔU = 0
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
  Por que a vara mais flexível é melhor? 
Energia Potencial e 
Conservação de Energia 
  Para entender como se dá a transformação de energia no salto 
com vara podemos imaginar a colisão entre um bloco e uma 
mola como mostra a figura. Suponha que a velocidade inicial do 
bloco de massa 0,80 kg seja de 1,2 m/s e que a constante 
elástica seja 50 N/m. 
a.  Se não existir atrito entre as superfícies, calcule a compressão 
máxima da mola depois da colisão 
b.  Suponha que exista um coeficiente de atrito entre o bloco e a 
superfície de 0,50, nessa situação, qual deve ser a nova 
compressão da mola? 
Forças Conservativas, 
Não Conservativas e Energia Total 
Forças Conservativas 
  Força è realiza W sobre o sistema 
  Invertendo a configuração do sistema o que acontece com o W? 
!vf
!v
!vi
!v
U⇒ KK⇒U
W1 W2
W1 = −W2
Se a igualdade é sempre 
verdadeira: 
Força é conservativa!!! 
Forças Conservativas 
  W realizado ao longo de um percurso fechado é sempre nulo!!! 
Forças Conservativas 
  W realizado ao longo de um percurso fechado é sempre nulo!!! 
  W não depende da trajetória!!! 
Forças Conservativas 
  W realizado ao longo de um percurso fechado é sempre nulo!!! 
  W não depende da trajetória!!! 
W =
!
Fg ⋅ Δ
!y
Δ
!y
Forças Conservativas 
  W realizado ao longo de um percurso fechado é sempre nulo!!! 
  W não depende da trajetória!!! 
  Forças associadas a energias potenciais são conservativas!!! 
  Exemplos: Força gravitacional, elástica, elétrica, magnética... 
 W =
!
F ⋅d!r
ri
rf∫ = −ΔU
Uf = −
!
F ⋅d!r
ri
rf∫ +Ui F = −
dU
dr
Forças não conservativas 
  Transformam a energia em outra forma não potencial. 
  Força de atrito; força de arrasto... 
!
F∑ =m!a ⇒ F − fk =ma
v2 = v0
2 + 2aΔr⇒ a = v
2 − v0
2
2Δr
!
"
#
#
$
#
#
Δr(F − fk ) =
1
2
m v2 − v0
2( )
!
F
Δ
!r
!
fk
Forças não conservativas 
  Transformam a energia em outra forma não potencial. 
  Força de atrito; força de arrasto... 
!
F
Δ
!r
!
fk
Δr(F − fk ) =
1
2
m v2 − v0
2( ) ⇒ FΔr − fkΔr = 12mv
2 −
1
2
mv0
2
W = ΔK + fkΔr
fkΔr[ ] = Nm = J ⇒ fkΔr = ΔET W = ΔEmec +ΔET
Lei de Conservação da Energia 
Total 
  Energia Total do sistema 
  Variação da Energia do sistema 
  Sistema Isolado 
W = ΔEmec +ΔET +ΔEint
E = Emec +ET +Eint
ΔEmec +ΔET +ΔEint = 0
Lei de Conservação da Energia 
Total 
  Para descarregar um carro em uma plataforma de carga e 
descarga, é colocado uma rampa de 1,00 m fazendo um ângulo de 
30,0º com a horizontal com mostra a figura. A caixa a ser retirada 
do carro escorrega pela rampa e continua a mover-se pelo chão 
após deixar a rampa. Sabendo que a coeficiente de atrito cinético 
entre a caixa e a rampa é de 0,20 e o coeficiente de atrito entre a 
caixa e o chão é de 0,50 encontre a a distância percorrida pela 
caixa após deixar a rampa. 
Outros Assuntos Importantes 
  Definição: taxa detransferência de energia de uma forma para 
outra. 
 
  Como 
 
  Se a força é constante 
Potência 
Pmed =
ΔE
Δt
P = dE
dt
W ⇒ΔE
Pmed =
W
Δt
P = dW
dt
P = dW
dt
=
d(Frcosθ )
dt
P = F cosθ dr
dt
P = Fvcosθ P =
!
F ⋅ !v
Transferência Internas de 
Energia 
  A patinadora se colocou em movimento após empurrar o corrimão. 
  O corrimão realizou trabalho? 
  De onde vem a energia cinética? 
Transferência Internas de 
Energia 
  O motor força as rodas a girarem empurrando o piso para trás. 
O atrito entre o pneu e o chão empurra o carro para frente 
aumentando sua velocidade. 
  O chão realizou trabalho? 
  De onde vem a energia cinética? 
Estabilidade do Equilíbrio 
F = − dU
dr
Estabilidade do Equilíbrio 
  Sistema bloco-massa 
!
F = −k!x
UE =
k
2
x2
Estabilidade do Equilíbrio 
  Dois átomos neutros que formam uma molécula estão sujeitos a 
um potencial que pode ser modelado pela função de Lennard-
Jones 
 
onde x é a separação entre os átomos, ε= 0,263 nm e σ = 1,51 x 
10-22 J para uma molécula especifica, esses valores podem mudar 
de uma molécula para outra e são determinados 
experimentalmente. 
a.  Encontre a força entre os átomos em função da separação entre 
eles. 
b.  Encontre a menor separação entre os átomos. 
c.  Explique o porquê dos átomos formarem moléculas. 
U(x) = 4ε σ
x
!
"
#
$
%
&
12
−
σ
x
!
"
#
$
%
&
6(
)
*
*
+
,
-
-
Veja os gráficos de U(x) e F(x) 
Estabilidade do Equilíbrio 
Situações Interessantes 
Situações Interessantes 
  Para salvar a Mary Jane o homem aranha lança uma teia de 
comprimento L fazendo um ângulo de 60º com a vertical e 
pula em sua direção no prédio da frente localizado a 30 m de 
distância. Para alcança-la a teia deve fazer uma ângulo de 30º 
com a vertical, com que velocidade o homem aranha chegará 
até a Mary Jeane? 
60º 30º 
30 m 
Situações Interessantes 
  Cuidado com a colisão frontal!!! 
Situações Interessantes 
  Dois carros populares (peso aproximado de 9.800 N) viajam um 
em direção ao outro dentro de um túnel. A colisão é inevitável. 
Considere que a velocidade de um dos carros era de 25 m/s e do 
outro era de –25 m/s, que ambos estarão parados após a colisão 
e que a deformação de cada carro é aproximadamente 0,5 m. 
Calcule a variação da energia cinética do sistema e a força 
sofrida pelos motoristas durante a colisão. 
Situações Interessantes 
  Você está trabalhando em uma biblioteca, recolocando os livros 
nas estantes. Você levanta um livro do chão até a prateleira 
superior. A energia cinética do livro no chão era nula, e a 
energia cinética do livro na prateleira superior é nula, de tal 
forma que não ocorre mudança na energia cinética. Contudo, 
você realizou algum trabalho levantando o livro. Foi violado o 
teorema do trabalho e da energia cinética? 
Violação do Teorema Trabalho e Energia? 
Bibliografia – Livros 
  Princípios de Física – Mecânica Clássica. Raymond A. 
Serway e John W. Jewett Jr. 3ª edição, 2004, editora 
CENGAGE. 
  Fundamentos de Física – Mecânica, vol 1. Hallyday, 
Resnick e Jearl Walker. 8ª edição, 2009, editora LTC. 
  O Circo Voador da Física. Jearl Walker. 2ª edição, 
2008, editora LTC.