Momento e colisões

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Prof. Dra. Tathiana Moreira Cotta 
Momento Linear e 
Colisões 
Conteúdo 
  Como quantificar o movimento? 
  Forma Geral da Segunda Lei de Newton 
  Colisões Inelásticas 
  Colisões Elásticas 
  Sistema de Massa Variável 
  Outras Situações Interessantes 
  Bibliografia 
Como quantificar o movimento? 
“A dúvida é a origem da sabedoria” 
René Descartes 
Como quantificar o movimento? 
  Em 1640, René Descartes (1596 - 1650) publicou um 
livro intitulado “Princípios de Filosofia” no qual 
descreveu as características do movimento e explicou 
como ele surge e se conserva. 
  Introduziu o conceito de momento linear como o 
produto de massa por velocidade, entretanto Descartes 
desconhecia o caráter vetorial da velocidade e por isso 
suas considerações só eram válidas para movimento em 
linha reta. 
Como quantificar o movimento? 
  Newton publicou em seu livro “Princípios Matemáticos 
da Filosofia Natural” no ano de 1687 suas leis do 
movimento que leva em consideração a definição de 
descartes da quantidade de movimento. Newton atribui 
o caráter vetorial à velocidade e consequentemente do 
momento linear ampliando sua validade de aplicação. 
  A forma mais geral para a segunda lei de Newton deve 
escrita em termos da variação do momento linear. Para 
um sistema de massa variável ou para um sistema de 
partículas não é aplicável. 
!
F∑ =m!a
Forma Geral da 
Segunda Lei de Newton 
  O que é pior, colidir com um carro em alta velocidade ou com 
um carro parado? 
  O que é pior, colidir com um caminhão ou com um carro de 
passeio? (Mesma velocidade) 
  Quantidade de movimento ou momento linear 
Momento Linear 
!p =m!v
d!p
dt
=
dm!v
dt
⇒
d!p
dt
=m d
!v
dt
⇒
d!p
dt
=m!a
!
F∑ = d
!p
dt
x
y
Centro de Massa 
  Ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse 
concentrada nesse ponto e todas as forças externas estivesse 
aplicadas a esse ponto. 
!xCM =
m1x1 +m2x2
m1 +m2
x1
x2
xCM
xCM =
mixi
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
=
1
M
mixi
i=1
n
∑ M = mi
i=1
n
∑
Centro de Massa 
  Sistema de partículas 
 
 
 
 
  Corpos maciços 
xCM =
1
M
mixi
i=1
n
∑ zCM =
1
M
mizi
i=1
n
∑yCM =
1
M
miyi
i=1
n
∑
M = mi
i=1
n
∑
!rCM =
1
M
mi
!ri
i=1
n
∑!ri = xiî + yi ĵ + zik̂
xCM =
1
M
xdm∫ zCM =
1
M
zdm∫yCM =
1
M
ydm∫
Centro de Massa 
  Um brinquedo de bebê é composto por três bolas formando 
um triângulo equilátero de lado igual a 14 cm. Onde fica o 
centro de massa do brinquedo? 
Dados: m3 = 3, 4gm2 = 2,5gm1 =1,2g
x
y
xCM
xCM =
1
M
mixi
i=1
n
∑
yCM =
1
M
miyi
i=1
n
∑
Problema 
  A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R., da 
qual um disco de raio R foi removido em um linha de 
montagem. Usando o sistema de coordenadas xy da figura , 
localize o centro de massa da placa. 
2RR
x
y
Segunda Lei de Newton 
  Posição do centro de massa 
 
  Velocidade do centro de massa 
 
  Aceleração do centro de massa 
!
Fext∑ =M
!aCM
!rCM =
1
M
(m1
!r1 +m2
!r2 +...+mn
!rn )
!vCM =
1
M
(m1
!v1 +m2
!v2 +...+mn
!vn )
!aCM =
1
M
(m1
!a1 +m2
!a2 +...+mn
!an )
M!aCM =m1
!a1 +m2
!a2 +...+mn
!an ⇒M
!aCM =
!
Fres1 +
!
Fres2 +...+
!
Fresn
  Velocidade do centro de massa 
  Momento Linear para um sistema de partículas 
 
  Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas 
Segunda Lei de Newton 
!vCM =
1
M
(m1
!v1 +m2
!v2 +...+mn
!vn ) ⇒M
!vCM =m1
!v1 +m2
!v2 +...+mn
!vn
!
P =MvCM
!
FExt∑ =
d
!
P
dt
Exemplo 
  A figura mostra uma vista superior de uma bola ricocheteando 
em uma superfície horizontal sem que sua velocidade escalar 
varie. Considere a variação do momento linear da bola. 
a)  é positiva, negativa ou nula? 
b)  é positiva, negativa ou nula? 
c)  Qual é a orientação de ? 
Δ
!p
Δpx
Δpy
Δ
!p
Impulso 
  Uma bola e uma parede 
 
  Colisões em série 
!
F = d
!p
dt
⇒
!
Fdt = d!p ⇒ d
!p∫ =
!
F dt∫ ⇒Δ!p =
!
F dt∫
!
J =
!
F dt∫
!
J =
!
FmédΔt
J = −nΔp Impulso a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt. 
Fméd =
J
Δt
=
−nΔp
Δt
=
−n
Δt
mΔv
Fméd = −
Δm
Δt
Δv
!v
projéteis 
Conservação de Momento 
Linear 
  Sistema isolado e fechado 
  Explosão 
!
Fext∑ =
d
!
P
dt
⇒
!
Fext∑ = 0⇒ d
!
P
dt
= 0
!
P = constante⇒ Δ
!
P = 0⇒
!
Pi =
!
Pf
Conservação de momento linear 
Explosão 
  Ao colocar uma bombinha dentro de um coco vazio de massa M, ele 
explode se quebrando em três pedaços. O coco estava inicialmente 
em repouso e após a explosão os pedaços deslizam sobre uma 
superfície sem atrito, como mostra a figura. O pedaço C, de massa 
0,30 M, tem uma velocidade escalar final 
a)  Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20 M? 
b)  Qual é a velocidade do pedaço A? 
vfc = 5,0m/s.
!vfc
!vfa
!vfb
a 
c 
b 
100º 
130º 
Colisões Inelásticas 
  Conservação de momento linear 
  Energia “não se conserva” (há dissipação para forma de calor, 
sonora, deformação dos corpos...) 
  Colisão Unidimensional 
 
Colisões Inelásticas 
Δ
!
P = 0⇒
!
Pi =
!
Pf ⇒
!p1i +
!p2i =
!p1 f +
!p2 f
m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 f
★  Impossível resolver sem informações adicionais! 
Colisões Inelásticas 
  Colisões Perfeitamente Inelásticas 
x!v1i
!v2i
m1 m2
Antes 
x!vf
m1 +m2
Depois 
Pi = p1i + p2i =m1v1i +m2v2i
Pf = (m1 +m2 )vf
ΔP = 0 ⇒ m1v1i +m2v2i = (m1 +m2 )vf ⇒ vf =
m1v1i +m2v2i
(m1 +m2 )
Colisões Inelásticas 
  Velocidade do centro de massa nas colisões perfeitamente 
inelásticas 
!
P =M!vcm = (m1 +m2 )
!vcm
Δ
!
P = 0⇒
!
Pi =
!
Pf =
!
P
Pi = p1i + p2i =m1v1i +m2v2i
m1v1i +m2v2i = (m1 +m2 )
!vcm
!vcm =
m1v1i +m2v2i
(m1 +m2 )
Colisões Inelásticas 
  O pêndulo Balístico era usado para medir a velocidade dos projéteis 
antes que os dispositivos eletrônicos fossem inventados. A versão 
mostrada na figura era composta por um grande bloco de madeira de 
massa M = 5,4kg, pendurado por duas cordas compridas. Uma bala 
de massa m = 9,5 g é disparada contra o bloco e sua velocidade se 
anula rapidamente. O sistema sobe de modo que o centro de massa 
do conjunto bloco-bala sobe uma distância h = 6,3 cm antes do 
pêndulo parar momentaneamente no final de uma trajetória em arco 
de circunferência. Qual é a velocidade da bala antes da colisão? 
!v
m M
h
Colisões Elásticas 
  Conservação de momento linear 
 
  Energia é conservada 
 
  Colisão Unidimensional 
 
Colisões Elásticas 
Δ
!
P = 0⇒
!
Pi =
!
Pf ⇒
!p1i +
!p2i =
!p1 f +
!p2 f
ΔE = 0 ⇒ Ki +Ui = K f +Uf
m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 f
1
2m1v1i
2 + 12m2v2i
2 = 12m1v1 f
2 + 12m2v2 f
2 (Ui =Uf )
Colisões Elásticas 
  Alvo em movimento 
x!v1i
!v2i
m1 m2
m1v1i +m2v2i =m1v1 f +m2v2 f
m1v1i −m1v1 f = −m2v2i +m2v2 f
m1(v1i − v1 f ) = −m2 (v2i − v2 f )
Colisões Elásticas 
  Alvo em movimento 
1
2m1v1i
2 + 12m2v2i
2 = 12m1v1 f
2 + 12m2v2 f
2
1
2m1v1i
2 − 12m1v1 f
2 = − 12m2v2i
2 + 12m2v2 f
2
1
2m1(v1i
2 − v1 f
2 ) = − 12m2 (v2i
2 − v2 f
2 )
1
2m1(v1i − v1 f )(v1i + v1 f ) = − 12m2 (v2i − v2 f )(v2i + v2 f )
x!v1i
!v2i
m1 m2
Colisões Elásticas 
  Alvo em movimento 
m1(v1i − v1 f ) = −m2 (v2i − v2 f )
v1 f =
m1 −m2
m1 +m2
v1i +
2m2
m1 +m2
v2i v2 f =
2m1
m1 +m2
v1i +
m2 −m1
m1 +m2
v2i
m1(v1i − v1 f )(v1i + v1 f ) = −m2 (v2i − v2 f )(v2i + v2 f )
v1i + v1 f = v2i + v2 fsubstitui 
x!v1i
!v2i
m1 m2
Colisões Elásticas 
  Alvo estacionário 
v1 f =
m1 −m2
m1 +m2
v1i +
2m2
m1 +m2
v2i v2 f =
2m1
m1 +m2
v1i +
m2 −m1
m1 +m2
v2i
v1 f =
m1 −m2
m1 +m2
v1i v2 f =
2m1
m1 +m2
v1i
x!v1i
m1 m2
Colisões Elásticas 
  Alvo estacionário 
  Massas iguais: 
  Alvo pesado: 
  Projétil pesado: 
v1 f =
m1 −m2
m1 +m2
v1i v2 f =
2m1
m1 +m2
v1i
v1 f = 0 v2 f = v1i
v1 f ≈ −v1i v2 f ≈
2m1
m2
v1i
v1 f ≈ v1i v2 f ≈ 2v1i
x!v1i
m1 m2
Colisões Elásticas 
  Colisão em duas dimensões 
m1v1i =m1v1 f cosθ1 +m2v2 f cosθ2
y
x!v1im1
m2
Antes Depois 
!v2 f
!v1 f
θ2
θ1
!p1i +
!p2i =
!p1 f +
!p2 f
K1i +K2i = K1 f +K2 f
0 =m1v1 f senθ1 +m2v2 f senθ2
Situação Interessante 
  Deixando cair uma pilhade bolas 
Situação Interessante 
  Deixando cair uma pilha de bolas 
!v
!v
!v
!v
3!v
!v
Situação Interessante 
  Deixando cair uma pilha de bolas 
2!v
2!v
Situação Interessante 
  Uma pequena bola de massa m está verticalmente acima de uma bola 
maior de massa M = 0,63 kg, e as duas são deixadas cair de uma 
altura h. Se a bola maior ricocheteia elasticamente no chão e depois a 
bola menor ricocheteia elasticamente na maior, que valor de m faz 
com que a bola maior pare no momento em que colide com a menor? 
Sistema de Massa Variável 
Sistema de Massa Variável 
  Foguete 
Pi = Pf (M + dm)v =M (v+ dv)+ dm(v− ve )
Mv+ vdm =Mv+Mdv+ vdm− vedm
v
M + dm v+ dvdm
v− ve
x
y
0 =Mdv− vedm
Mdv = vedm
M
Sistema de Massa Variável 
  Variação de velocidade do foguete 
Mdv = vedm
Mdv = −vedM
dm = −dM
dv
vi
v f∫ = −ve
dM
MMi
M f∫ vf − vi = −ve ln
M f
Mi
"
#
$
%
&
'
vf − vi = ve ln
Mi
M f
"
#
$$
%
&
''
A variação de velocidade do foguete é proporcional a velocidade de escape do gás. 
è massa de gás ejetada diminui a massa do foguete 
Sistema de Massa Variável 
  Propulsão do Foguete 
Mdv = −vedM
A propulsão do foguete é proporcional a taxa de combustão e à velocidade de escape. 
M dv
dt
= −ve
dM
dt
FProp = −ve
dM
dt
Mdv = vedm dm = −dM
Sistema de Massa Variável 
  Um foguete em movimento no espaço vazio tem velocidade 
escalar de 3.000m/s em relação um referencial inercial. Seus 
motores são ligados, e é ejetado combustível em uma direção 
oposta ao movimento do foguete com velocidade escalar de 
5.000m/s em relação ao foguete. 
a)  Qual é a velocidade escalar do foguete no referencial inercial, 
uma vez que sua massa é reduzida a metade? 
b)  Qual é a propulsão sobre o foguete se ele gasta combustível na 
taxa de 50 kg/s? 
Outras Situações Interessantes 
Outras Situações Interessantes 
  Grand jeté 
Outras Situações Interessantes 
  Grand jeté 
Outras Situações Interessantes 
  Salto com vara: ganhando altura sem aumentar o esforço 
Bibliografia 
Bibliografia 
  Princípios de Física – Mecânica Clássica. Raymond A. 
Serway e John W. Jewett Jr. 3ª edição, 2004, editora 
CENGAGE. 
  Fundamentos de Física – Mecânica, vol 1. Hallyday, 
Resnick e Jearl Walker. 8ª edição, 2009, editora LTC. 
  O Circo Voador da Física. Jearl Walker. 2ª edição, 
2008, editora LTC. 
  Um Pouco da Física do Cotidiano – Otaviano Helene, 
1ª edição, 2016, Editora Livraria da Física.