CAP I-FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL LIMITES E CONTINUIDADE

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UNIVERSIDADE METODISTA DE ANGOLA
FACULDADE DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E SOCIAIS
CURSO DE GESTÃO E ADMINISTRAÇAO DE EMPRESAS / 
APONTAMENTOS DE MATEMÁTICA II
 
 
 
UNIVERSIDADE METODISTA DE ANGOLA 
FACULDADE DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E SOCIAIS
CURSO DE GESTÃO E ADMINISTRAÇAO DE EMPRESAS / 
 
 
APONTAMENTOS DE MATEMÁTICA II 
 
Por: Humberto da Rosa Filipe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luanda, 2021 
FACULDADE DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E SOCIAIS 
CURSO DE GESTÃO E ADMINISTRAÇAO DE EMPRESAS / IºANO 
 
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OBJECTIVOS: 
 Desenvolver a capacidade de raciocínio e proporcionar os fundamentos básicos 
dos métodos quantitativos, usualmente aplicados nas áreas de Economia e 
Gestão; 
 Integração dos conteúdos programáticos nas acções do plano de formação, no 
contexto das diversas disciplinas relacionadas com a Matemática; 
 Desenvolvimento de actividades de preparação de forma a relacionar a 
Matemática com outras disciplinas curriculares; 
 Usar correctamente a linguagem Matemática no desenvolvimento de técnicas de 
cálculo que permitam criar ou aprofundar conhecimentos essenciais à 
continuação de estudos nos anos posteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
OBJECTIVOS: .............................................................................................................................. 2 
1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. LIMITES E CONTINUIDADES. ................. 4 
1.1. Noções topológicas em ℝ. ............................................................................................. 4 
1.2. Funções reais de variável real: generalidades. ............................................................ 10 
1.3. Conceito de limites. Algumas propriedades. ............................................................... 13 
1.3.1. Breve revisão sobre sucessões de números reais. ................................................ 13 
1.3.2. Limites de sucessões ........................................................................................... 22 
1.3.3. Limites de funções .............................................................................................. 27 
1.4. Continuidade e descontinuidade de uma função num ponto. ...................................... 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. LIMITES E 
CONTINUIDADES. 
 
1.1. Noções topológicas em ℝ. 
Admitiremos a existencia de um conjunto ℝ cujos elementos chamaremos 
números reais, no qual supomos definidas duas operações, uma chamada adição e outra 
multiplicação. 
 
Propriedades dos números reais 
 Comutatividade da adição e da multiplicação. 
∀�, � ∈ ℝ, tem-se: 
i. � + � = � + �; 
ii. � × � = � × � 
 Associatividade da adição e da multiplicação. 
∀�, �, � ∈ ℝ, tem-se: 
i. � + (� + �) = (� + �) + �; 
ii. � × (� × �) = (� × �) × �; 
 Distribuitividade da multiplicação em relação a adição. 
∀�, �, � ∈ ℝ, tem-se: 
� × (� + �) = � × � + � × � 
 Existência do elemento neutro. 
i. � + 0 = �, 0 é o elemento neutrona adição; 
ii. � × 1 = �, 1 é o elemento neutro da multiplicação. 
 Elemento simétrico. 
� + (−�) = 0 , −� é o elemento simétrico. 
 Elemento absorvente. 
� × 0 = 0, 0 é o elemento absorvente. 
 
Intervalos numéricos: são subconjuntos da recta real. 
Sendo � e � números reais, com � ≤ �, tem-se: 
Intervalo fechado: é o conjunto dos números reais que satisfazem a condição 
{� ∈ ℝ: � ≤ � ≤ �} ou [�, �] . 
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Intervalo aberto: é o conjunto dos números reais que satisfazem a condição 
{� ∈ ℝ: � < � < �} ou ]�, �[ 
Intervalos semi-abertos à esquerda: � < � ≤ � ou ]�, �] 
Intervalos semi-abertos à direita: � ≤ � < � ou [�, �[ 
Intervalos ilimitados: 
{� ∈ ℝ: � ≤ �} ou ]−∞, �]; 
{� ∈ ℝ: � < �} ou ]−∞, �[; 
{� ∈ ℝ: � ≥ �} ou [�, +∞[; 
{� ∈ ℝ: � > �} ou ]�, +∞[; 
 
Majorante, minorante e conjunto limitado 
Sejam �, � ∈ ℝ; � < � e � ⊂ ℝ. 
Dizemos que � é majorante de �, se � ≤ �, ∀� ∈ �. 
Exemplo: � = ]−2; 5] → 5 é majorante do conjunto � e [5, +∞[ é o conjunto de todos 
os majorantes do conjunto �. 
Dizemos que � é minorante de �, se � ≥ �, ∀� ∈ �. 
Exemplo: � = ]−2; 5] → −2 é minorante do conjunto � e ]−∞, −2] é o conjunto de 
todos os minorantes de �. 
Chama-se conjunto limitado (ou acotado) se, e só se, tem um majorante e um 
minorante. 
Máximo e mínimo de um conjunto 
Dado o conjunto �. 
Se � é um minorante e � ∈ �, dizemos que � é um minimo de � e denotamos 
por � = ����. 
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Se � é um majorante e � ∈ �, dizemos que � é um máximo de � e denotamos 
por � = ��. 
Exemplo: 
 � = ]−2; 5] → �á�� = 5 e não tem mínimo; 
 [−2; 5[ → ���� = −2 e não tem máximo; 
 [−2; 5] → �á�� = 5 e ���� = −2. 
 
Supremo e infimo de um conjunto 
 � � � 
 
 � � 
 Seja � ⊂ ℝ. 
 Seja � o conjunto dos majorantes de �. Se � tem minimo �, então � é 
chamado supremo de � e denota-se por � = ����. 
 Seja � o conjunto dos minorantes de �. Se � tem máximo �, então � é 
chamado ínfimo de � e denota-se por � = ����. 
Então, �á�� = ���� e ���� = ����, sempre que existirem. 
 
Módulo ou valor absoluto 
 ∀� ∈ ℝ, definimos o módulo de � por |�| = �
� , �� � ≥ 0
−� , �� � < 0
� 
Propriedades: 
1) |�| ≥ 0 e |�| = 0 ⇔ � = 0; 
2) |�|� = ��; 
3) |�| = √��; 
4) |� + �| ≤ |�| + |�|; 
5) |��| = |�||�|; 
6) 
|�|
|�|
= �
�
�
�; 
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7) |�| = |�| ⇔ � = ±�; 
8) |�| = � ⇔ � = ±�; 
9) |�| ≤ � ⇔ −� ≤ � ≤ �; 
10) |�| ≥ � ⇔ � ≤ −� ou � ≥ �. 
Exemplo 
Achar o conjunto solução das seguintes condiçõs: 
a) |4� − 6| ≤ 3; 
b) |3� + 5| > 2; 
c) |2� + 4| = 6; 
d) |3� + 1| = |� + 4| 
 
Vizinhança 
 Seja �� ∈ ℝ e � ∈ ℝ
�, chama-se vizinhnça � de �� , e designa-se por 
��(��), ao conjunto de todos os números reais � cuja distância à �� é menor que �. 
��(��) = {� ∈ ℝ: �(�, ��) < �} 
 = {� ∈ ℝ: |� − ��| < �} 
 = {� ∈ ℝ: �� − � < � < �� + �}. 
Geometricamente, tem-se: 
 
Exemplo: Calcule ��,�(2). 
Resolução: 
��,�(2) = {� ∈ ℝ: �(�, 2) < 0,5} 
 = {� ∈ ℝ: |� − 2| < 0,5} 
 = {� ∈ ℝ: 2 − 0,5 < � < 2 + 0,5} 
 = {� ∈ ℝ: 1,5 < � < 2,5}. 
Geometricamente: 
 
 
 
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Ponto interior, ponto exterior, ponto fronteiro, ponto de acumulação e ponto 
aderente de um conjunto. 
 Ponto interior: Seja � ⊂ ℝ e �� ∈ ℝ
�, se ∃� > 0: ��(��) ⊂ �, diz-se que 
o ponto �� é interior do conjunto �. 
Exemplo: � = ]−2; 5], 1 é um ponto interior de �. 
 Ponto exterior: Diz-se que �� é ponto exterior do conjunto �, se ∃� >
0: ��(��) ∩ � = ∅. 
Exemplo: � = ]−2; 5], 6 é um ponto exterior de �. 
 Ponto fronteiro: Chama-se ponto fronteiro de �, a qualquer ponto �� ∈ ℝ 
que não seja interior nem exterior do conjunto �. 
Exemplo: � = ]−2; 5], ������ = {−2; 5}. 
 Ponto de acumulação: Diz-se que um ponto �� ∈ ℝ é ponto de 
acumulação do conjunto � se, e só se, qualquer vizinhança de �� tem pelo menos um 
ponto distinto �� do conjunto �. Então: 
�� é ponto de acumulação ⇔ ∀� > 0, ��(��) ∩ (� ∖ {��}) ≠ ∅. 
Exemplo:Dado o conjunto � = ]−2; 5], tem-se: 
 −2 é um ponto de acumulação do conjunto �; 
 5 é um ponto de acumulação do conjunto �; 
Qualquer número pertencente ao conjunto, também é um ponto de acumulação do 
conjunto �; 
Obs: O ponto de acumulação pode ou não pertencer ao conjunto. 
 Conjunto derivado de �: É o conjunto de todos os pontos de acumulação e 
designa-se por �,. 
Exemplo: se � = ]−2; 5], então, �, = [−2; 5]. 
 Pontos aderentes: chama-se aderência ou fecho do conjunto �, a união do 
interior com o fronteiro do conjunto � e designa-se por ��. 
�� = (����) ∪ (������). 
Exemplo: achar ��, se � = [−2; 5]. 
Resolução: ���� = ]−2; 5[ , ������ = {−2; 5}, logo, ��=[−2; 5]. 
 
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Exercícios: 
1. Dados os conjuntos � = {� ∈ ℝ: �� − 5� + 6 ≤ 0} e � = ]−5; 7], indica: 
a) O majorante e o minorante; 
b) O conjunto dos minorantes e dos majorantes; 
c) O máximo e o mínimo; 
d) O supremo de K, supremo de A, ínfimo de K e o ínfimo de A. 
e) O conjunto interior de K, o exterior de K e o fronteiro de K. 
f) O conjunto derivado de K e o fecho de K 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2. Funções reais de variável real: generalidades. 
 
Definição1: 
a) Dados dois conjuntos A e B, chama-se função definida em A com valores em B, 
a toda a correspondência entre A e B que a cada elemento de A faça 
corresponder um e um só elemento de B. ao conjunto A chama-se domínio da 
função. 
b) Reprsenta-se a função por � = �(�) em que � é a variável independente e 
toma valores em A (� ∈ �) e � é a variavel dependente, pois os seus valores 
dependem dos valores que toma a variável �, que toma valores em B (� ∈ �). 
c) A expressão ou fórmula que traduz o modo como a variável � depende da 
variavel � chama-se expressão analítica ou representação analítica da função 
�. 
d) Uma função � diz-se real de variável real quando A e B são subconjuntos de 
ℝ. Representa-se por: �: � → �, onde �, � ⊂ ℝ. 
 
Definição 2: Seja � uma função real de variável real. 
a) Chama-se domínio de definição ou campo de existência de � ao conjunto de 
todos os valores reais que têm imagem pela função �, isto é, ao conjunto dos 
números reais para os quais a expressão analítica de � está bem definida. 
b) Chama-se contradomínio de � ao conjunto dos valores reais que são imagem 
pela função � dos elementos do domínio. É o domínio da função inversa. 
 
Definição 3: Dada uma função �: � ⊂ ℝ → ℝ, chama-se gráfico da função � ao 
conjunto {(�, �): � ∈ �, � ∈ ℝ, � = �(�)}. 
 
Definção 4: Uma função �: � ⊂ ℝ → ℝ diz-se: 
a) Crescente se � < � ⟹ �(�) ≤ �(�); 
b) Estritamente crescente se � < � ⟹ �(�) < �(�); 
c) Decrescente se � < � ⟹ �(�) ≥ �(�); 
d) Estritamente decrescente se � < � ⟹ �(�) > �(�). 
 
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Definição 5: uma função diz-se: 
a) Monótona se é crescente ou decrescente. 
b) Estritamente monótona se é estritamente crescente ou estritamente 
decrescente. 
Definição 6: Uma função �: � ⊂ ℝ → ℝ diz-se: 
a) Par se �(−�) = �(�), ∀� ∈ �. 
b) Ímpar se �(−�) = −�(�), ∀� ∈ �. 
Definição 7: Sejam �: � ⊂ ℝ → ℝ e � ∈ �, ∀� ∈ �. 
a) Diz-se que �(�) é um máximo de � se �(�) ≤ �(�). A � chama-se ponto de 
máximo. 
b) Diz-se que �(�) é um mínimo de � se �(�) ≥ �(�). A � chama-se ponto de 
mínimo. 
Ao máximo e ao mínimo chamam-se de extremos da função. 
 
 Definição 8: Uma função �: � ⊂ ℝ → ℝ diz-se limitada se ∃� ∈ ℝ�: |�(�)| ≤ �, 
∀� ∈ �. 
 Por outras palavras, � é função limitada se o seu contradomínio é um 
conjunto limitado. 
 Definição 9: Chama-se zeros da função � aos elementos � do domínio, tais que 
�(�) = 0. 
Definição 10: Uma função �: � ⊂ ℝ → � ⊂ ℝ diz-se: 
a) Injectiva se � ≠ � ⟹ �(�) ≠ �(�); 
b) Sobrejectiva se ∀� ∈ �, ∃� ∈ �: �(�) = �; ou seja, � ≠ � ⟹ �(�) = �(�) 
c) Bijectiva se é injectiva e sobrejectiva. 
 
 
 
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Exercícios: 
Para cada uma das funções � = 2� − 4, � = �� − 2� − 3, � =
���
���
 , � = 2sin(�), 
� = cos(�) e � = log�(�) determine: 
a) Os zeros; 
b) O domínio; 
c) O contradomínio; 
d) A paridade ou simetria; 
e) A monotonia; 
f) O gráfico; 
g) Os extremos; 
h) A injectividade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3. Conceito de limites. Algumas propriedades. 
1.3.1. Breve revisão sobre sucessões de números reais. 
Definição: Sucessão de números reais é uma enumeração ou série consecutiva 
dos números reais que podem determinar segundo uma lei de formação bem 
determinada. 
Representamos uma sucessão por��; ��; ��; … ; �� … 
�: ℕ ⟶ ℝ 
 � ⇢ �(�) = �� 
Onde: ��é o termo geral (ou n-ésimo termo) da sucessão; 
� é a ordem ou número de termos da sucessão. 
Exemplos de sucessões: 
i. 1; 
�
�
; 
�
�
; 
�
�
; … ; 
�
�
; … ⟹ �� =
�
�
; 
ii. 1; 4; 9; 16; … ; �� ⟹ �� = �
�; 
iii. 1; 3; 5; 7; … ; 2� − 1; … ; �� = 2� − 1 
Sucessões monótonas 
Uma sucessão de termo geral �� diz-se monótona quando é crescente ou 
decrescente. 
 Uma sucessão é monótona crescente se, e só se: 
���� > ��ou ���� − �� > 0; 
 Uma sucessão é monótona decrescente se, e só se: 
���� < ��o u���� − �� < 0; 
 Uma sucessão é não monótona, ou seja, é constante se, e só se: 
���� = ��ou���� − �� = 0 
 
 
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Sucessões limitadas (acotadas) 
Uma sucessão ��diz-se limitada se, e só se, o conjunto dos seus termos for 
limitado, isto é, se for majorado e minorado: 
� ≤ �� ≤ � 
Onde: � é o minorante; � é o majorante. 
Exemplo: Mostre que a sucessão de termo geral �� =
���
����
 é monótona crescente e 
limitada. 
Resolução: 
 
Progressão Aritmética (PA): 
Definição: Uma sequência de números reais é chamada de Progressão 
Aritmética quando a diferença entre cada termo, a partir do segundo, e o termo anterior 
é constante. Ou seja: 
�� é uma ProgressãoAritmética se ,e só se: ���� − �� = �, ∀� ∈ ℕ e � é uma 
constante. 
Ao número � chama-se razão da progressão aritmética e deve ser igual para 
todos os casos. 
Exemplo: 
1) Os números 6, 10, 14, 18, … formam uma P.A. de termo geral �� = 4� + 2 e 
razão � = 4; 
2) Os números −1, −4, −7, −10, … formam uma P.A. de termo geral �� = 2 − 3� 
e razão � = −3; 
Termo geral de uma Progressão Aritmética 
O termo geral �� de uma P.A. conhecidos o primeiro termo �� e a razão � é 
calculado pela fórmula: 
�� = �� + (� − �) × �. 
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Com esta fórmula pode-se obter o valor de qualquer termo de ordem �, dado ��e �: 
�� = �� + (� − 1) × �. 
Conhecidos dois termos de ordem � e � respectivamente, sendo � > �, pode-se calcular 
a razão usando a fórmula generalizada: 
�� = �� + (� − �) × �. 
Com a fórmula do termo geral, podemos relacionar qualquer termo da P.G. a partir do 
segundo, com a razão e o primeiro termo: 
 Se � = 2, tem-se: �� = �� + �; 
 Se � = 3, tem-se: �� = �� + 2�; 
 Se � = 4, tem-se: �� = �� + 3�; 
 Se � = 5, tem-se: �� = �� + 4�; 
 …; 
 Se � = �, tem-se: �� = �� + (� − 1)� 
Exemplos: 
1) Determine o termo geral da P.A. (6, 10, 14, 18, …). 
Resolução: 
2) Determine o termo geral da P.A. sabendo que �� = 10 e �� = 20. 
Resolução: 
 
Monotonia de uma P.A. 
Sendo ��uma P.A. sabe-se que ���� − �� = �, onde� é uma constante, tem-se: 
 Se � > 0, a P.A. é crescente; 
 Se � < 0, a P.A. é decrescente; Se � = 0, a P.A. é constante; 
Exemplo: estude a monotonia da P.A. �� = 3� +
�
�
 
 
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Soma dos � primeiros termos de uma P.A. 
A soma ��dos � primeiros termos P.A. conhecido ��é calculada pela fórmula: 
�� =
� × (�� + ��)
2
 
Exemplo: Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A.(6, 10, 14, …) 
Resolução: 
Termo médio de uma P.A. 
O termo médio��de uma P.A. dado ��e �� é calculado pela fórmula: 
�� =
�� + ��
2
 
Exemplo: Achar o termo medio entre 6 e 30. 
Resolução: 
Interpolação aritmética 
Para interpolar (inserir) meios aritméticos, calcula-se a razão pela seguinte 
fórmula: 
� =
� − �
� + 1
 
Onde � é o primeiro termo e � é o último termo. 
Exemplo: Interpole três meios ariméticos entre 6 e 22. 
Resolução: 
 
Progressão Geométrica (P.G.) 
Definição: Uma sequência de números reais não-nulos é chamada de progressão 
geométrica, quando cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual ao produto do 
seu anterior por uma constante(�) chamada razão da P.G. ou seja: 
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�� é uma progressão geométrica se, e só se, �� = ���� × � com � ∈ ℕ e � ≥ 2 
A razão (�) é igual ao quociente entre um termo, a partir do segundo, e o seu 
antecessor e deve ser igual para todos os casos. Isto é: 
� =
��
��
=
��
��
=
��
��
= ⋯ =
����
��
 
Exemplo: Calcule a razão da P.G. (2, 6, 18, …) 
Resolução: 
Termo geral da progressão geométrica 
O termo geral ��de uma P.G. conhecido o primeiro termo ��e a razão �, é 
calculado pela seguinte fórmula: 
�� = �� × �
��� 
 Com esta fórmula pode-se obter o valor de qualquer termo de ordem �, dado �� 
e �: 
�� = �� × �
���. 
Conhecidos dois termos de ordem � e � respectivamente, sendo � > �, pode-se 
calcular a razão usando a fórmula generalizada: 
�� = �� × �
���. 
Com a fórmula do termo geral, podemos relacionar qualquer termo da P.G. a partir do 
segundo, com a razão e o primeiro termo: 
 Se � = 2, tem-se: �� = �� × �; 
 Se � = 3, tem-se: �� = �� × �
�; 
 Se � = 4, tem-se: �� = �� × �
�; 
 Se � = 5, tem-se: �� = �� × �
�; 
 …; 
 Se � = �, tem-se: �� = �� × �
���; 
 
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Exemplo: Calcule o termo geral da P.G. (2, 6, 18, …) 
Resolução: 
Soma dos termos de uma P.G. 
 A soma �� dos � primeiros termos P.G. conhecido ��é calculada pela fórmula: 
�� =
��×(�
���)
���
 , com� ≠ 1 
 A soma dos termos de uma P.G. infinita é calculada pela fórmula 
�� =
��
���
 , com0 < � < 1 
Exemplos: Calcule a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, …) 
Resolução: 
Produto dos n primeiros termos de uma P.G. 
O produto dos n primeiros termos de uma P.G. finita dado o primeiro termo ��e 
a razão � é calculado pela fórmula: �� = �� × �
�(���)
� 
Exemplo: Calcule o produto dos quatro primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, …) 
Resolução: 
Interpolação geométrica 
Para interpolar (inserir) meios geométricos, calcula-se a razão pela seguinte 
fórmula: 
� = �
�
�
���
 
Onde � é o primeiro termo e � é o último termo. 
Exemplo: Interpole três meios geométricos entre 2 e 32. 
Resolução: 
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Exercícios propostos 
Grupo I 
1. Dada a sucessão de números reais �� =
����
�
+ 1: 
a) Calcule ��, �� e ��; 
b) Verifique se 31 é termo da sucessão e indique a sua ordem; 
2. Verifique se as seguintes sucessões são monótonas e limitadas: 
a) �� =
�����
�
; 
b) �� =
���
���
; 
c) �� =
����
����
 ; 
d) �� =
����
���
 
Grupo II 
1. Dada a P.A.( 3, 5, 7, …), determine ��e �� 
2. Escreva a P.a. de razão 3 e ��� = 52 
3. Sendo �� = 25 e ��� = 60, calcule a razão. 
4. Escreva a P.A. em que �� = 13 e ��� = 49; 
5. Calcule o numero de termos da P.A.( 7, 9, 11, …), sabendo que a soma deles é 
160. 
6. Calcule o numero de termos da P.A.( 5, 10, … , 785); 
7. Interpole sete meios aritméticos entre -2 e 22; 
8. Interpole cinco meios aritméticos entre 9 e 189; 
9. Interpole quatro meios aritméticos entre 3 e 18; 
10. Escreva os 12 primeiros termos da P.A. de razão 3 e ��� = 52; 
11. Dada a P.A.( 5, 9, 13, …), determine: 
a) ��; 
b) ��� + ��� 
12. Numa P.A. em que �� + �� = 22 e �� − �� = 4, determine: 
a) A razão e o primeiro termo; 
b) Uma expressão do termo geral; 
c) A soma dos trinta primeiros termos; 
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13. Calcule os 20 primeiros termos na P.A. em que �� + �� = 34 e �� + �� = 50 
14. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora e assim por 
diante em uma P.A. Quantos km percorreu em cinco horas? 
15. Um corpo em queda livre percorre 3 metros no primeiro segundo, 12 metros no 
segundo segundo, 21 metros no terceiro e assim por diante continuando nessa 
sequência. Quantos metros terá percorrido apos 10 segundos? 
16. Numa P.A. de razão � = 3, �� = 29 e �� = 155. Calcule ��e o valor de �; 
17. Escreva os cinco primeiros termos da P.A. em que �� = 43e ��� = 58; 
18. Numa P.A. de 15 termos, a razão é o duplo de ��e o ultimo termo é 
58.determine a soma dos n termos; 
19. Numa P.A. de razão 
�
�
 , o primeiro e o ultimo termo são respectivamente iguais a 
15 e 27. Quantos termos tem a progressão? 
20. A soma e a diferença entre ��e ��de uma P.A. são respectivamenteiguais a 3 e 
20. Escreve a expressão do termo geral ��e calcule o último termo sabendo que 
a progressão é crescente e tem apena 18 termos. 
Grupo III 
1. Dada a P.G.(1, 5, 25,…). Determine o termo geral e a soma dos quatro primeiros 
termos. 
2. Dada a P.G.( 2, 4, 8, …), calcule: 
a) A razão e o termo geral; 
b) A soma ��� e o produto �� 
3. Numa P.G. o terceiro e o sexto termos são respectivamente12 e 
�
�
 . Calcule o 
décimo termo. 
4. Determine quantos termos tem a P.G.( 6, 18, … , 1458). 
5. Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G.(−3, 6, −12, 24, …). 
6. Determine ��� da P.G. em que ��� + �� = −488 e � = −10 
7. Determine ��� da P.G. em que �� = 6 e �� = 18 
8. A sucessão (��) é uma P.G. de razão 0,3 e �� = 0,9. Calcule ��, ��, �� e �� 
9. A soma dos termos de uma P.G. é 2186. Determine o numero de termos �, 
sabendo que a razão � = 3 e �� = 2 
10. Calcule o produto dos sete primeiros termos da P.G.(
�
��
; 
�
��
; 
�
��
; …). 
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11. Se o produto dos dez primeiros termos de uma P.G. é 3���, determine o 
primeiro termo dessa P.G. sendo a razão igual a 
�
�
 . 
12. Determine a soma dos trinta primeiros termos da P.G.(−4, −4, −4, …). 
13. Inserir seis meios geométricos entre 1 e 2. 
14. Interpole dois meios geométricos entre 3 e 81 
15. Entre os números 18 e � foram inseridos dois meios geométricos obtendo-se 
assim uma P.G. de razão 3. Qual é o valor de�? 
16. A produção de uma empresa respectivamente nos meses de Janeiro, Fevereiro e 
Março forma uma P.G. Se a produção em Janeiro for de 3.000 unidades e em 
Março 27.000, quantas unidades foram produzidas em Fevereiro? 
17. Determine uma P.G. de três elementos que são números inteiros sabendo que a 
soma deles é igual a 31 e o produto é 125. 
18. Calcule a soma dos termos da P.G. infinita (3,
�
�
,
��
��
,
��
���
, …) 
19. Calcule ��� da P.G. em que �� = 3 e a razão � = 2 
20. Calcule três termos consecutivos de uma P.G. sabendo que a sua soma é 14 e o 
seu produto é 64. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.2. Limites de sucessões 
Definição: Dada uma sucessão de termo geral �� , diz-se que � (� ∈ ℝ) é limite da 
sucessão �� , se para qualquer � > 0 existe um número �= �(�) tal que |�� − �| < � 
, sendo � > �. 
Traduzindo de forma simbólica: 
lim�→� �� = A ⟺ ∀ϵ > 0, ∃N( �): |�� − �| < �, � > �(�). 
Exemplo: Mostre pela definição que lim�→� �� = 1, sendo �� =
���
���
 
Demonstração: 
lim�→�
���
���
= 1 ⟺ ∀ϵ > 0, ∃N(�): �
���
���
− 1� < �, � > �(�) 
Agora vamos trabalhar apenas com a desigualdade modular: 
�
���
���
− 1� < � ⟺ �
�������
���
� < � ⟺ �
��
���
� < � ⟺
�
���
< � ⟺
�
�
< � + 3 ⟺
�
�
− 3 < � 
ou � >
����
�
= �(�) ⟺ � > �(�) 
Como a condição � > �(�) da definição está satisfeita, então, é verdade que 1 é o 
limite da sucessão �� =
���
���
 , ou seja, lim�→�
���
���
= 1. 
 
Infinitésimo ou infinitamente pequeno 
Definição: diz-se que uma sucessão de termo geral �� é um infinitésimo quando 
∀ϵ > 0 (tão pequeno quanto se quiser), ∃N(�): |��| < � , � > �(�). 
Na prática escreve-se lim�→� �� = 0. 
lim�→� �� = 0 ⟺ ∀ϵ > 0 ∃N(�): |��| < �, � > �(�) 
Infinitamente grandes 
 Infinitamente grande positivo 
lim�→� �� = +∞ ⟺ ∀A > 0 ∃N(�): � > �(�) ⟹ �� > �. 
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Exemplo: 1, 4, 9, 16, … , �� ⟹ �� = �
�, ∀n ∈ ℕ. 
 Infinitamente grande negativo 
lim�→� �� = −∞ ⟺ ∀A > 0 ∃N(�): � > �(�) ⟹ �� < −�. 
Exemplo: −1, −4, −9, −16, … , −�� ⟹ �� = −�
�, ∀n ∈ ℕ. 
 Infinitamente grande modular 
lim�→� �� = ∞ ⟺ ∀A > 0 ∃N(�): � > �(�) ⟹ |��| > �. 
Exemplo: 1, −4, 9, −16, … , (−1)����� ⟹ �� = (−1)
�����, ∀n ∈ ℕ. 
Resumindo: 
������õ��
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ −������������: (��� ������ ������). ��: �� =
�
� + 1
 
−�����������
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧−���������: (��� ���������õ�� ��� ������� ����������). ��: �� = (−1)
�
�
� + 1
−�������� �
−������������� ������ ��������. ��: �� = �
� 
−������������� ������ ��������. ��: �� = −�
� 
−������������� ������ �������. ��: �� = (−1)
�����
�
�
� 
Exemplo: 
1. Mostre que ����� =
�
�
 , se �� =
����
����
 
 
Propriedades fundamentais do limite 
1. Unicidade do limite: 
Se uma sucessão tem limite, este limite é único. Isto é, se {��} é convergente e se 
����� = �� e ����� = �� então �� = �� . 
2. Toda a sucessão convergente é limitada. 
3. Se {��}, {��} são duas sucessões convergentes para o mesmo limite � e se �� ≤
�� ≤ �� desde um certo índice �,então também tem-se ����� = � . 
4. Se {��} é uma sucessão crescente (respectivamente decrescente) e limitada 
superiormente (respect. Inferiormente), então {��} é convergente. 
5. Qualquer sub-sucessão de uma sucessão convergente é também convergente para o 
mesmo limite. 
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Exemplo: A sucessão �� =
���
�
 tem as subsucessões �� =
��
����
 e �� =
����
��
 e todas 
elas convergem para o mesmo limite que é 1. 
6. Se �� e �� são sucessões convergentes, então: 
a) �� ± �� também é convergente e lim(�� ± ��) = ����� ± ����� ; 
b) �� ∗ �� também é convergente e lim(�� ∗ ��) = ����� ∗ ����� ; 
c) ��/�� também é convergente e lim �
��
��
� = �����/����� ; 
d) (��)
� também é convergente e lim (��)
� = (�����)
� ; 
e) ���
� também é convergente e ��� ���
� = ������
�
 ; 
f) ��
�� também é convergente e lim ��
�� = �����
����� ; 
g) log �� também é convergente e lim (log ��) = log(�����). 
 
Sucessão de Cauchy 
A sucessão �� é uma sucessão de Cauchy ou sucessão fundamental se, e só se: 
qualquer que seja o número positivo � e existe � tal que, sempre que �� e �� sejam dois 
inteiros positivos maiores que � , ���� − ���� < � , isto é: 
∀� > 0∃� ∈ ℕ∀��, �� ∈ ℕ(��, �� > �) ⟹ ���� − ���� < � 
Propriedade: Qualquer sucessão de Cauchy é limitada. 
Teorema:Uma sucessão real é convergente se, e só se é sucessão de Cauchy. Isto é: 
Sucessão convergente ⟺ sucessão de Cauchy. 
Critério de comparação: 
Se �� ≤ �� e �� e �� são convergentes, entao, ����� ≤ ����� 
 
Cálculos de limites 
Calcular um limite é substituir a variável pela sua tendência. 
Exemplo: lim�→�(�
� + 1) = ∞� + 1 = ∞ 
Nota: seja � uma constante diferente de zero, temos: 
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�
�
= ∞; 
�
�
= 0; 
�
�
= 0; 
�
�
= ∞; �(+∞) = +∞se� > 0; �(−∞) = −∞se� > 0 
; ∞ + ∞ = ∞ ; � + ∞ = +∞ ; � − ∞ = −∞ ; ∞� = ∞ ; 
��� = �
0 , �� 0 < � < 1
+∞ , �� � > 1
� 
Exemplos: (
�
�
)�� = 0 ; 2�� = +∞ 
Ao calcularmos um limite, quando não for possível determinar uma operação 
dizemos que estamos perante uma indeterminação. 
 
Tipos de indeterminações: 
Existem vários tipos de indeterminações mas citaremos apenas alguns e 
operaremos também com alguns deles. 
�
�
 ; 
�
�
 ; 1� ; 0 ∗ ∞ ; ∞ − ∞ ; ∞� ; 0� ; … 
 
Levantamento de indeterminação 
É o processo de resolver determinada indeterminação. 
Indeterminação do tipo∞ − ∞ 
Normalmente são levantadas pondo em evidência o termo de maior grau, ou no 
caso em que envolve raízes, multiplica-se e divide-se pelo conjugado 
Exemplo: 
1) lim�→�(�
� − 2�) = ∞� − 2 ∗ ∞ = ∞ − ∞ ; 
Levantando a indeterminação: 
lim�→�(�
� − 2�) = lim�→� �
� �
��
��
−
��
��
� = lim�→� �
� �1 −
�
�
� = ∞� �1 −
�
�
� = ∞ ; 
2) lim�→�(√� + 1 − √�) = √∞ + 1 − √∞ = √∞ − √∞ =
∞ − ∞ (��������������) 
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Levantando a indeterminação: 
lim
�→�
(√� + 1 − √�) = lim
�→�
�√� + 1 − √�� ∗ (√� + 1 + √�)
(√� + 1 + √�)
= lim
�→�
(√� + 1)� − (√�)�
√� + 1 + √�
= lim
�→�
� + 1 − �
√� + 1 + √�
= lim
�→�
1
√� + 1 + √�
=
1
√∞ + 1 + √∞
=
1
∞ + ∞
=
1
∞
= 0 
 
Indeterminação do tipo 
�
�
 ; 
�
�
 ; � ∗ ∞: 
Normalmente são levantadas pondo em evidência os termos de maior grau. 
Exemplo: 
lim
�→�
5� + 1
7�� + 2� + 3
=
5∞ + 1
7∞� + 2∞ + 3
=
∞
∞
 (����������çã�) 
Levantando a indeterminação: 
lim
�→�
5� + 1
7�� + 2� + 3
= lim
�→�
5�
��
+
1
��
7��
��
+
2�
��
+
3
��
= lim
�→�
5
� +
1
��
1 +
2
� +
3
��
=
5
∞ +
1
∞�
1 +
2
∞ +
3
∞�
=
0
7
= 0 
 
Indeterminação do tipo1� 
Para levantar este tipo de indeterminação deve-se escrever o limite dado em uma das 
formas seguintes: 
1. lim�→� �1 +
�
�
�
�
= � 
2. lim�→� �1 +
�
�
�
�
= �� 
Onde � chama-se Euler ou número de Neper e é igual a 2,718 … 
 
Exemplo: 
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lim
�→�
�
� + 1
� + 2
�
�
= 1� (�����������çã�) 
Levantando a indeterminação: 
lim
�→�
�
� + 1
� + 2
�
�
= lim
�→�
�1 +
� + 1
� + 2
− 1�
�
= lim
�→�
�1 +
� + 1 − � − 2
� + 2
�
�
= lim
�→�
�1 +
−1
� + 2
�
�
= lim
�→�
�1 +
−1
� + 2
�
���
��
∗
��
���
∗�
= [ lim
�→�
�1 +
−1
� + 2
�
���
��
]
��
���
∗� = �
���
�→�
��
��� = ��� =
1
�
 
 
1.3.3. Limites de funções 
Definição: Sejam � e � úmeros reais, diz-se que uma função � = �(�) tem como limite 
�, quando � tende para � se, e só se, dado um número positivo �( por mais pequeno que 
seja), se pode associar-lhe um número positivo � de modo que �(�) pertença a 
vizinhança � de �, quando � esteja na vizinhança � de �, e � ≠ �. 
Traduzindo de forma simbólica, tem-se: 
lim�→� �(�) = � ⟺ ∀� > 0, ∃� > 0: |� − �| < � ∧ � ≠ � ⟹ |�(�) − �| < �. 
 
 |�(�) − �| < � e |� − �| < � traduz-se: �(�) − � é um infinitésimo simultâneo com 
� − �. 
Exemplo: Prove, por definição, que lim�→�(2� + 1) = 3. 
Demonstração: pretende-se mostrar que |(2� + 1) − 3| é um infinitésimo simultâneo 
com |� − 1|. Temos: 
lim�→�(2� + 1) = 3 ⟺ ∀� > 0, ∃� > 0: |� − 1| < � ∧ � ≠ 1 ⟹ |(2� + 1) − 3| < � 
 |(2� + 1) − 3| < � ⟺ |2� + 1 − 3| < � 
 ⟺ |2� − 2| < � 
 ⟺ |2(� − 1)| < � 
 ⟺ |2||� − 1| < � 
 ⟺ 2|� − 1| < �⟺ |� − 1| <
�
�
= � 
 ⟹ |� − 1| < �. 
Quando |� − 1| < � ⟹ |(2� + 1) − 3| < �, logo, lim�→�(2� + 1) = 3. (c.q.d.). 
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Limites laterais 
Definição: 
a) Chama-se limite à esquerda da função �(�), ao limite denotado por 
lim�→��� �(�) , onde � → 0. 
b) Chama-se limite à direita da função �(�), ao limite denotado por 
lim�→��� �(�) , onde � → 0. 
Para a existência do limite da função �(�), quando � → �, é necessário e suficiente 
que lim�→��� �(�) = lim�→��� �(�). 
Exemplo: Calcule, se existe, o limite da função �(�) = �
� + 1 , �� � ≤ 0
2� + 3 , ��� > 0
�. 
Resolução: 
Propriedades: são as mesmas que as dos limites de sucessões. 
 
Cálculo de limites de funções. 
Se �(�) e �(�) são polinómios inteiros e �(�) ≠ 0 ou �(�) ≠ 0, então, o limite da 
fracção racional é achado directamente, isto é, lim�→�
�(�)
�(�)
=
�(�)
�(�)
 . 
Exemplo: lim�→�
��������
���
 
Se �(�) = �(�) = 0, então, recomenda-se simplificar a fracção 
�(�)
�(�)
 , em uma ou mais 
vezes pelo binômio � − �. 
Exemplo: lim�→�
�������
��������
 
O limite das expressões irracionais, em muitos casos, achamos racionalizando o 
numerador e∕ou o denominador da fracção. 
Exemplo: lim�→�
��√���
�����
 
Outro método para achar o limite das fracções irracionais, é a introdução de uma nova 
variável para reduzí-la à forma racional. 
Exemplo: lim�→�
√���
√�
�
��
 
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Outros limites importantes (limites notáveis trigonométricos e exponenciais) 
Limites trigonométricos 
i. lim�→�
���(�)
�
= 1; 
ii. lim�→�
�
���(�)
= 1; 
iii. lim�→�
���(�)
�
= 1; 
iv. lim�→�
�
���(�)
= 1 
Exemplo: Calcule os seguintes limites: 
a) lim�→�
���(��)
��
; 
b) lim�→�
���(���)
��
; 
c) lim�→�
���(��)
���(��)
 
Limites exponenciais 
i. lim�→�
����
�
= 1; 
ii. lim�→�
����
�
= ln(�) 
iii. lim�→�(1 + �)
�
� = � 
Exemplos: Calcule os seguintes limites: 
a) lim�→�
�������
�
; 
b) lim�→�
�����
�
; 
c) lim�→�(
����
����
)
�
� ; 
 
1.4. Continuidade e descontinuidade de uma função num ponto. 
Definição 1: Seja � um ponto interior ou fronteiro do dominio de existência da função 
� = �(�). O ponto � é chamado um ponto contínuo desta função se as tra~es condições 
seguintes são satisfeitas: 
i. �(�) é definida neste ponto, isto é, ∃�(�); 
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ii. ∃lim
�→�
�(�); 
iii. lim
�→�
�(�) = �(�) 
Obs.: Se pelo menos uma das três condições não é satisfeita, a função �(�) é 
descontínua no ponto � = � e � é chamado ponto descontínuo de �(�). 
Exemplo: Estude a continuidade da função �(�), no ponto � = 2, se �(�) =
�
� + 3 , �� � ≥ 2
�� + 1 , �� � < 2
� 
Definição 2: A função � = �(�) é contínua no ponto � se, e só se, ∃�(�) e lim
∆�→�
∆� =
lim
∆�→�
[�(� + ∆�) − �(�)] = 0 , onde: 
∆� é o acréscimo do argumento e ∆� é o acréscimo da função. 
Exemplo: verifique se a função � = 5�� − 3� + 1 é contínua no ponto � = 2. 
Nota: toda a função elementar � = �(�) é contínua em todo o ponto onde ela é definida. 
 
Continuidade lateral 
Definição: 
a) A função �(�) é contínua à esquerda em � = �, se ∃�(�) e lim
�→���
�(�) = �(�); 
b) A função �(�) é contínua à direita em � = �, se ∃�(�) e lim
�→���
�(�) = �(�). 
 
Exemplo: Estude a continuidade da função �(�), no ponto � = 1, se �(�) =
�
2� + 1 , �� � ≤ 1
�� − 1 , �� � > 1
� 
Classificação dos pontos descontínuos 
Se para a funão �(�) existirem limitesfinitos: lim
�→���
�(�) = �(� − �) e lim
�→���
�(�) =
�(� + �) , sendo que os três números �(�), �(� − �) e �(� + �) não são iguais entre si, 
então � é chamado ponto de descontinuidade de 1ª espécie. 
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Em particular, se �(� − �) = �(� + �), então, � é chamado ponto de descontinuidade 
evitável. 
Se � não é ponto descontínuo de 1ª espécie, então é de 2ª espécie. 
 
Propriedades da função contínua 
Sejam � e � contínuas em � e seja � uma constante, tem-se: 
i. �� é contínua no ponto �; 
ii. � ± � é contínua no ponto �; 
iii. �� é contínua no ponto �; 
iv. 
�
�� é contínua no ponto � , (�(�) ≠ 0); 
v. ��
� é contínua no ponto � , (satisfazendo a condição de existência da raíz, 
caso � seja par ou ímpar). 
vi. Toda a função polinomial é contínua para qualquer que seja número real �. 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 
	OBJECTIVOS:
	1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. LIMITES E CONTINUIDADES.
	1.1. Noções topológicas em ℝ.
	1.2. Funções reais de variável real: generalidades.
	1.3. Conceito de limites. Algumas propriedades.
	1.3.1. Breve revisão sobre sucessões de números reais. 
	1.3.2. Limites de sucessões 
	1.3.3. Limites de funções
	1.4. Continuidade e descontinuidade de uma função num ponto.