T6 Circuitos Elétricos - Exercícios com Resolução

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Circuitos elétricos 
Lista de Exercícios 
Básicos 
1. Um resistor de 11 Ω é conectado a uma bateria de fem 6 𝑉 e de resistência interna 1Ω. Determine: 
a. A corrente. 
b. A tensão nos terminais da bateria. 
a) O circuito pode ser representado como no diagrama abaixo 
 
Esse é circuito é simples e pode ser resolvido pela Lei das Malhas. Pode também ser simplificado, tal que o 
circuito fique: 
 
E posteriormente aplicando a Lei de Ohm. 
𝑖 =
𝜀
𝑅𝑒𝑞
 
Uma vez que as resistência estão em série, temos: 𝑅𝑒𝑞 = 𝑟 + 𝑅 Assim: 
𝑖 =
𝜀
𝑟 + 𝑅
 
Substituindo os valores: 
𝑖 =
6
1 + 11
 
𝑖 = 0,5 𝐴 
b) Por causa da resistência interna, a tensão nos terminais da bateria não é igual à força eletromotriz, 
sendo necessário subtrair a energia perdida na resistência: 
𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝑉𝑟 
𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝑟𝑖 
𝑉𝑎𝑏 = 6 − 1 . 0,5 
𝑉𝑎𝑏 = 5,5 𝑉 
 
2. As forças eletromotrizes e resistências do circuito da figura abaixo têm os seguintes valores: ℰ1 =
4,4 𝑉, ℰ2 = 2,1 𝑉, 𝑟1 = 2,3 Ω, 𝑟2 = 1,8 Ω e 𝑅 = 5,5 Ω. 
 
a. Qual a corrente i no circuito? 
b. Qual é a diferença de potencial entre os terminais da Fonte 1? 
 
a) Podemos aplicar as leis de Kirchhoff para resolver esse problema. Pela lei das malhas: 
∑ 𝑉 = 0 
Lembrando que: 
 
Assim, percorrendo a malha no mesmo sentido que a corrente: 
−𝑟1𝑖 + ℰ1 − ℰ2 − 𝑟2𝑖 − 𝑅𝑖 = 0 
Deixando a corrente 𝑖 em evidência: 
ℰ1 − ℰ2 + 𝑖(−𝑟1 − 𝑟2 − 𝑅) = 0 
Isolando 𝑖: 
𝑖 =
ℰ2 − ℰ1
(−𝑟1 − 𝑟2 − 𝑅)
 
Substituindo os valores: 
𝑖 =
2,1 − 4,4
(−2,3 − 1,8 − 5,5)
 
𝑖 = 0,24 𝐴 
b) Por causa da resistência interna, a tensão nos terminais da bateria não é igual à força eletromotriz: 
𝑉 = ℰ1 − 𝑖𝑟1 
𝑉 = 3,85 𝑉 
3. Determine os potenciais nos pontos a até e na figura abaixo. 
 
Primeiramente, precisamos calcular a corrente i. Aplicando a lei das malhas: 
∑ 𝛥𝑉 = 0 
Adotando as nomenclaturas abaixo: 
 
𝜀1 − 𝑟1𝑖 − 𝑅1𝑖 − 𝑅2𝑖 − 𝜀2 − 𝑟2𝑖 − 𝑅3𝑖 = 0 
Substituindo os valores: 
12 − 𝑖 − 5𝑖 − 5𝑖 − 4 − 𝑖 − 4𝑖 = 0 
16𝑖 = 8 
𝑖 = 0,5 𝐴 
O ponto e está aterrado, logo 
𝑉𝑒 = 0 
Assim, a diferença de potencial entre a e e, fornece o potencial de a: 
𝑉𝑎 − 𝑉𝑒 = 𝜀1 − 𝑟1𝑖 
𝑉𝑎 − 𝑉𝑒 = 12 − 1 . 0,5 
𝑉𝑎 − 0 = 11,5 𝑉 
Tendo 𝑉𝑎 é possível calcular 𝑉𝑏: 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = −5 . 0,5 
𝑉𝑏 = 11,5 − 2,5 
𝑉𝑏 = 9 𝑉 
E assim, sucessivamente: 
𝑉𝑐 − 𝑉𝑏 = −5 . 0,5 
𝑉𝑐 = 9 − 2,5 
𝑉𝑐 = 6,5 𝑉 
 
𝑉𝑑 − 𝑉𝑐 = −4 − 1 . 0,5 
𝑉𝑑 = 6,5 − 4,5 
𝑉𝑑 = 2 𝑉 
4. A figura abaixo mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes valores: ℰ1 = 3 𝑉, ℰ2 = 6 𝑉, 
𝑅1 = 2 Ω e 𝑅2 = 4 Ω. Considerando que as três fontes são ideais, calcule o valor absoluto e o 
sentido das correntes nos três ramos. 
 
 
Nos exercícios anteriores de uma malha, o grau de arbitrariedade é pequeno e, normalmente, o meio 
alternativo é mais trabalhoso. De duas malhas em diante, as possibilidades aumentam com alternativas 
análogas; no entanto, as respostas sempre devem convergir. Abaixo há uma exemplificação de um tipo de 
resolução, mas sempre cabe salientar que há outras formas de se chegar nas mesmas respostas. 
A primeira coisa que faremos, é definir um sentido arbitrário para as correntes. 
 
Ressaltamos novamente, que o sentido é arbitrário, qualquer outra escolha é igualmente válida. Para essa 
definição, a equação da conservação de carga no nó b fica: 
𝑖3 = 𝑖1 + 𝑖2 
O passo seguinte, é definir arbitrariamente um sentido para percorrer as malhas: 
 
A partir das quais construímos as equações baseadas na lei das malhas. Vale um lembrete: 
 
Assim, para a primeira malha: 
𝜀1 − 𝑅1𝑖𝑖 − 𝑅2𝑖3 − 𝜀2 − 𝑅1𝑖1 = 0 
Para a segunda malha: 
𝜀2 − 𝑅1𝑖2 − 𝑅2𝑖3 − 𝜀2 − 𝑅1𝑖2 = 0 
A diferença de potencial, em todos os resistores, foi negativa, porém, isso não será verdade sempre. 
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos um conjunto de três equações para três incógnitas: 
{
𝑖3 = 𝑖1 + 𝑖2
3 − 2𝑖𝑖 − 4𝑖3 − 6 − 2𝑖1 = 0
6 − 2𝑖2 − 4𝑖3 − 6 − 2𝑖2 = 0
 
{
𝑖3 = 𝑖1 + 𝑖2
−2𝑖𝑖 − 4𝑖3 − 2𝑖1 = 3
−2𝑖2 − 4𝑖3 − 2𝑖2 = 0
 
Substituindo a primeira relação nas outras duas: 
{
−2𝑖𝑖 − 4(𝑖1 + 𝑖2) − 2𝑖1 = 3
−2𝑖2 − 4(𝑖1 + 𝑖2) − 2𝑖2 = 0
 
{
−2𝑖𝑖 − 4𝑖1 − 4𝑖2 − 2𝑖1 = 3
−2𝑖2 − 4𝑖1 − 4𝑖2 − 2𝑖2 = 0
 
{
−8𝑖𝑖 − 4𝑖2 = 3
−4𝑖1 − 8𝑖2 = 0
 
Multiplicando a segunda equação por (-2) e somando com a primeira: 
12𝑖2 = 3 
𝑖2 =
3
12
 
𝑖2 = 0,25 𝐴 
Substituindo o resultado na primeira equação: 
−8𝑖1 − 4.0,25 = 3 
𝑖1 = −
4
8
 
𝑖1 = −0,5 𝐴 
O sinal negativo, significa que o sentido da corrente é o contrário do que foi inicialmente adotado. Para o 
𝑖3: 
𝑖3 = 0,25 − 0,5 
𝑖3 = −0,25 𝐴 
Que também é negativo. Ou seja, os sentidos reais das correntes são: 
 
 
5. Um capacitor de 4 𝜇𝐹 é carregado a 24 𝑉 e, então, conectado a um resistor de 200 Ω. Determine: 
a. A carga inicial do capacitor. 
b. A corrente inicial no resistor de 200 Ω. 
c. A constante de tempo. 
d. A carga no capacitor após 4 𝑚𝑠. 
 
a) Inicialmente, o capacitor é carregado por uma bateria de 24 V, logo: 
𝑞0 = 𝐶𝑉0 
Substituindo os valores (tomando o cuidado com as unidades: 𝐶 = 4 × 10−6 𝐹): 
𝑞0 = 4 × 10
−6 . 24 
𝑞0 = 9,6 × 10
−5 𝐶 
b) A corrente pode ser dada pela Lei de Ohm: 
𝑖0 =
𝑉0
𝑅
 
Com os valores fornecidos no enunciado: 
𝑖0 =
24
200
 
𝑖0 = 0,12 𝐴 
c) A constante de tempo de um capacitor é dada por: 
𝜏 = 𝑅𝐶 
Logo: 
𝜏 = 200 . 4 × 10−6 
𝜏 = 8 × 10−4 𝑠 
d) Considerando que o capacitor estava inicialmente carregado e ele foi sendo descarregado ao longo do 
tempo, utilizamos a seguinte equação: 
𝑞 = 𝑞0𝑒
−
𝑡
𝜏 
Uma forma de não confundir a equação do carregamento com o descarregamento é fazendo 𝑡 = 0. Na 
equação acima, vemos que em 𝑡 = 0, 𝑞 = 𝑞0. Conforme o tempo passa, a carga vai se tornando menor. 
Substituindo os valores (𝑡 = 4 × 10−3 𝑠): 
𝑞 = 9,6 × 10−5𝑒
−
4×10−3
8×10−4 
𝑞 = 6,5 × 10−7 𝐶 
 
Contextuais 
1. Uma bateria de carro totalmente carregada deve ser conectada por cabos a uma bateria 
descarregada para carregá-la. Considere que a bateria carregada tenha uma fem de ℰ1 = 12 𝑉, 
enquanto a descarregada tenha ℰ2 = 11 𝑉, que as resistências internas das baterias sejam 𝑟1 =
𝑟2 = 0,02 Ω e que a resistência de cada um dos cabos de ligação seja de 𝑅 = 0,005 Ω. 
a. A qual terminal da bateria descarregada você deve conectar o terminal positivo da bateria 
carregada? Desenhe o diagrama do circuito no carregamento. 
b. Qual será a corrente? 
a) Conectamos o terminal positivo com o positivo e o negativo com o negativo. 
 
O diagrama fica: 
 
b) Aplicando a lei das malhas: 
∑ Δ𝑉 = 0 
ℰ1 − 𝑟1𝑖 − 𝑅𝑖 − 𝑟2𝑖 − ℰ2 − 𝑅𝑖 = 0 
𝑖 =
ℰ1 − ℰ2
𝑟1 + 𝑟2 + 2𝑅
 
𝑖 = 20 𝐴 
 
2. Os peixes elétricos são capazes de gerar correntes elétricas com o auxílio de células chamadas de 
eletroplacas, que funcionam como fontes de tensão biológicas. No poraquê, as eletroplacas estão 
dispostas em 140 linhas, cada linha se estendendo horizontalmente ao longo do corpo do animal e 
contendo 5000 eletroplacas. O circuito. correspondente aparece na figura abaixo. Cada eletroplaca 
tem uma força eletromotriz ℰ de 0,15 𝑉 e uma resistência interna 𝑟 de 0,25 Ω. A água em torno da 
enguia completa o circuito entre as extremidades do conjunto de eletroplacas, uma na cabeça do 
animal e a outra na cauda. 
 
a. Se a água em torno da enguia tem uma resistência 𝑅𝑎 = 800 Ω, qual é o valor da corrente 
que o animal é capaz de produzir na água? 
b. Qual é a corrente 𝑖𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 em cada uma das linhas? 
O exercício só parece complicado, por causa da grande quantidade de resistores envolvidos. No entanto, 
podemos ver que é um exercício simples se o simplificarmos. Cada linha possui uma série de resistores em 
série. Ou seja: 
𝑟𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 = ∑ 𝑟𝑖 
Como todos os 5000 resistores internos têm o mesmo valor de 𝑟 = 0,25: 
𝑟𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 = 5000 . 0,25 
𝑟𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 = 1250 𝛺 
As140 linhas estão em paralelo entre si. Assim, a resistência equivalente se torna: 
1
𝑟𝑒𝑞
= ∑
1
𝑟𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎,𝑖
𝑖
 
Como todas as 140 linhas têm o mesmo valor, temos: 
1
𝑟𝑒𝑞
=
140
𝑟𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎
 
Invertendo a relação: 
𝑟𝑒𝑞 =
𝑟𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎
140
 
𝑟𝑒𝑞 =
1250
140
 
𝑟𝑒𝑞 = 8,93 𝛺 
As eletroplacas em cada linha estão série, logo os potenciais também se somam: 
ℰ𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 = ∑ ℰ𝑖 
ℰ𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 = 5000 . 0,15 
ℰ𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 = 750 𝑉 
Como a diferença de potencial entre os extremos de todas as linhas é o mesmo, podemos aplicar a lei das 
malhas ao circuito simplificado: 
 
Assim: 
∑ 𝑉 = 0 
ℰ𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 − 𝑖𝑅𝑎 − 𝑖𝑟𝑒𝑞 = 0 
750 − 𝑖800 − 𝑖8,93 = 0 
𝑖 =
750
800 + 8,93
 
𝑖 = 0,927 𝐴 
b) A corrente total é a soma das correntes vindas de cada uma das linhas: 
𝑖 = ∑ 𝑖𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎,𝑖 
Como são 140 linhas fornecendo uma corrente de mesmo valor: 
𝑖 = 140𝑖𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 
Assim: 
𝑖𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 =
0,927
140
 
𝑖𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 = 6,62 × 10
−3 𝐴 
 
3. Quando um carro está em movimento, elétrons passam do piso para os pneus e dos pneus para a 
carroceria. O carro armazena essa carga em excesso como se a carroceria fosse uma das placas do 
capacitor e o piso a outra placa. 
 
Quando o carro para, descarrega o excesso de carga através dos pneus, da mesma forma como um 
capacitor se descarrega através de um resistor. Se um objeto condutor se aproxima do carro antes que 
esteja totalmente descarregado, a diferença de potencial associada ao excesso de cargas pode produzir 
uma centelha entre o carro e o objeto. Suponha que o objeto condutor seja o bico de uma mangueira de 
combustível. Nesse caso, a centelha não inflamará o combustível, produzindo um incêndio, se a energia da 
centelha foi menor que o valor crítico 𝑈𝑓𝑜𝑔𝑜 = 50 𝑚𝐽. 
Suponha que, quando o carro para no instante 𝑡 = 0, a diferença de potencial entre o carro e o piso 
seja de 𝑉0 = 30 𝑘𝑉. A capacitância do sistema carro-piso é 𝐶 = 500 𝑝𝐹. Quanto tempo é necessário para 
que a energia associada às cargas do carro caia abaixo do valor crítico 𝑈𝑓𝑜𝑔𝑜? 
a. se a resistência de cada pneu é 𝑅𝑝𝑛𝑒𝑢 = 100 𝐺Ω (valor típico de um pneu comum). 
b. se a resistência de cada pneu é 𝑅𝑝𝑛𝑒𝑢 = 10 𝐺Ω (quando a borracha dos pneus é misturada com um 
material condutor). 
 
Para este problema, precisamos associar o tempo de descarga à energia acumulada no “capacitor”. 
Iniciamos com a equação da energia associada à carga de um capacitor, que é dada por: 
𝑈 =
𝑞2
2𝐶
 
A carga do capacitor varia com o tempo, de acordo com a equação q = q0e
−
t
RC 
𝑈 =
(𝑞0𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶)
2
2𝐶
 
𝑈 =
𝑞0
2
2𝐶
𝑒−
2𝑡
𝑅𝐶 
A carga inicial do capacitor é dada pela diferença de potencial ao qual o capacitor é submetido q0 = CV0: 
𝑈 =
(𝐶𝑉0)
2
2𝐶
𝑒−
2𝑡
𝑅𝐶 
𝑈 =
𝐶𝑉0
2
2
𝑒−
2𝑡
𝑅𝐶 
Isolando t: 
2𝑈
𝐶𝑉0
2 = 𝑒
−
2𝑡
𝑅𝐶 
ln
2𝑈
𝐶𝑉0
2 = −
2𝑡
𝑅𝐶
 
𝑡 = −
𝑅𝐶
2
ln
2𝑈
𝐶𝑉0
2 
a) Uma vez que encontramos a relação entre o tempo, energia, capacitância e potencial elétrico, 
precisamos encontrar a resistência equivalente. Os quatro pneus configuram uma associação de resistores 
em paralelo. Assim: 
1
𝑅𝑒𝑞
= ∑
1
𝑅𝑛
 
Como são 4 pneus com a mesma resistência: 
1
𝑅𝑒𝑞
= 4
1
𝑅𝑝𝑛𝑒𝑢
 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅𝑝𝑛𝑒𝑢
4
 
𝑅𝑒𝑞 =
100 × 109
4
 
𝑅𝑒𝑞 = 2,5 × 10
10 𝛺 
Aplicando na equação do tempo: 
𝑡 = −
2,5 × 1010 . 500 × 10−12
2
ln [
2 . 50 × 10−3
500 × 10−12 . (30 × 103)2
] 
𝑡 = 9,4 𝑠 
b) Recalculando o 𝑅𝑒𝑞 com o novo valor: 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅𝑝𝑛𝑒𝑢
4
 
𝑅𝑒𝑞 =
10 × 109
4
 
𝑅𝑒𝑞 = 2,5 × 10
9 𝛺 
Aplicando na equação do tempo: 
𝑡 = −
2,5 × 109 . 500 × 10−12
2
ln [
2 . 50 × 10−3
500 × 10−12 . (30 × 103)2
] 
𝑡 = 0,94 𝑠