T2 Campo Elétrico II - Lista Exercícios com Resolução

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Campo Elétrico II 
Lista de Exercícios 
Básicos 
1. A figura abaixo mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cilindro de raio R, imersa em 
um campo elétrico uniforme �⃗� , com o eixo do cilindro paralelo ao campo. Qual é o fluxo Φ do 
campo elétrico através dessa superfície fechada? 
 
 
 
Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∮ �⃗� . �̂� 𝑑𝐴
𝑆
 
A integral de uma superfície fechada pode ser dada pela soma das integrais da soma de cada uma das faces 
da superfície. No caso do cilindro temos três superfícies: 
Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = Φ𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 + Φ𝑚𝑒𝑖𝑜 + Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
No meio (superfície curva), o vetor normal à superfície é perpendicular ao campo. No produto escalar, a 
multiplicação de vetores perpendiculares é igual a zero. 
Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∮ �⃗� . (−�̂�) 𝑑𝐴
𝑆
+ 0 + ∮ �⃗� . �̂� 𝑑𝐴
𝑆
 
Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −𝐸 ∮ 𝑑𝐴
𝑆
+ 𝐸 ∮ 𝑑𝐴
𝑆
 
Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −𝐸𝐴 + 𝐸𝐴 
Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0 
2. Um cubo gaussiano de aresta de 2 m está posicionado conforme ilustra a figura abaixo. O cubo está 
submetido a um campo elétrico não uniforme dado por �⃗� = 3 𝑥 𝑖̂ + 4 𝑗,̂ sendo o campo dado em 
𝑁/𝐶 e x em 𝑚. Determine: 
 
a. O fluxo elétrico na face direita. 
b. O fluxo elétrico na face esquerda. 
c. O fluxo elétrico na face superior. 
d. A carga total envolvida pelo cubo. 
a) No caso de uma única face o fluxo é dado por: 
Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = ∫�⃗� . �̂� 𝑑𝐴 
Repare que a superfície não precisa ser fechada para o cálculo do fluxo que corta o plano. A superfície 
precisa ser fechada apenas na aplicação da Lei de Gauss, que não é o caso desse item. 
Na face direita o vetor normal aponta na direção do 𝑥 +, ou seja, �̂� = 𝑖̂. Sendo também dado no enunciado 
que �⃗� = 3 𝑥 𝑖̂ + 4 𝑗̂: 
Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = ∫(3𝑥 𝑖̂ + 4 𝑗̂). 𝑖̂ 𝑑𝐴 
Lembrando que o produto escalar de vetores unitários temos: 𝑖̂. 𝑖̂ = 1 e 𝑖.̂ 𝑗̂ = 0: 
Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = ∫3𝑥 𝑑𝐴 
Como o valor da área não depende da posição x, podemos considerar “3x” como constante: 
Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 3𝑥 ∫𝑑𝐴 
Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 3𝑥𝐴 
Como o cubo tem aresta de 2 m a área da face será 𝐴 = 22 = 4 𝑚2. Substituindo os valores: 
Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 3 . 3 . 4 
Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 36 𝑁.𝑚
2/𝐶 
b) 
Φ𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = ∫�⃗� . �̂� 𝑑𝐴 
Note que o vetor normal da face esquerda é oposta ao vetor unitário 𝑖:̂ �̂� = −𝑖 ̂
Φ𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = ∫(3𝑥 𝑖̂ + 4 𝑗̂). (−𝑖)̂ 𝑑𝐴 
Φ𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = −3𝑥 ∫𝑑𝐴 
Φ𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = −3𝑥𝐴 
Φ𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = −3 . 1 . 4 
Φ𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = −12 𝑁.𝑚
2/𝐶 
c) 
Φ𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = ∫�⃗� . �̂� 𝑑𝐴 
Na parte superior: �̂� = 𝑗 ̂
Φ𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = ∫(3𝑥 𝑖̂ + 4 𝑗̂). 𝑗̂ 𝑑𝐴 
Φ𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = ∫4. 𝑑𝐴 
Φ𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 4 𝐴 
Φ𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 4 . 4 
Φ𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 16 𝑁.𝑚
2/𝐶 
d) O cubo forma uma superfície gaussiana, de modo que podemos aplicar a Lei de Gauss. Note que para o 
campo aplicado (�⃗� = 3𝑥 𝑖̂ + 4 𝑗̂), o campo é constante ao longo de cada uma das faces. 
Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
𝜀0
 
Isolando 𝑞𝑒𝑛𝑣: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0Φ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
O fluxo total é dado pela soma dos fluxos que passam por cada face: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0(Φ𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 + Φ𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 + Φ𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + Φ𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + Φ𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 + Φ𝑡𝑟á𝑠) 
Como alguns vetores normais estão no contrafluxo, alguns valores serão negativos. Repare também que 
𝜙𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝜙𝑡𝑟á𝑠 = 0, pois o fluxo é perpendicular à normal das faces da frente e de trás (cuja normal está 
na direção de �̂�: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 8,85 × 10
−12(36 − 12 + 16 − 16 + 0 + 0) 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 2,1 × 10
−10 𝐶 
3. A figura abaixo mostra partes de duas placas de grande extensão, paralelas, não condutoras, ambas 
com uma carga uniforme de um dos lados. Os valores das densidades de cargas são 𝜎(+) =
6,8 𝜇𝐶/𝑚2 para a placa positivamente carregada e 𝜎(−) = −4,3𝜇𝐶/𝑚
2 para a placa negativamente 
carregada. Determine o campo elétrico: 
 
 
 
 
 
 
a. À esquerda das placas. 
b. À direita das placas. 
c. Entre as placas. 
 
 
Neste exercício, encontramos a equação de cada um dos planos individualmente e depois somamos os 
campos elétricos de cada placa para obtermos o campo elétrico total. Para um plano infinito de cargas, 
podemos utilizar a Lei de Gauss, ajustando-a a um cilindro como superfície gaussiana: 
 
Os vetores vermelhos indicam a direção e sentido do campo elétrico para o caso da densidade de carga ser 
positiva. Os sentidos dos vetores se invertem para uma densidade negativa. 
A Lei de Gauss é dada por: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0 ∮ �⃗� . �̂� 𝑑𝐴 
A integral de superfície fechada pode ser tratada como a soma das integrais (normais) de cada uma das três 
faces do cilindro: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0 (∫ �⃗� . �̂�𝑓𝑎𝑐𝑒 1 𝑑𝐴1 + ∫�⃗� . �̂�𝑓𝑎𝑐𝑒 2 𝑑𝐴2 + ∫�⃗� . �̂�𝑓𝑎𝑐𝑒 3 𝑑𝐴3) 
Note que o vetor normal à superfície é perpendicular ao campo elétrico na lateral curva: 
 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0 (∫ �⃗� . �̂�𝑓𝑎𝑐𝑒 1 𝑑𝐴1 + 0 + ∫ �⃗� . �̂�𝑓𝑎𝑐𝑒 3 𝑑𝐴3) 
E paralelo (e de mesmo sentido) que o campo nas faces direita e esquerda, de modo que o produto escalar 
entre �⃗� e �̂� nas duas faces resultará em um vetor positivo. As áreas das duas faces são iguais, então 𝐴1 =
𝐴3 = 𝐴 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0 (∫𝐸 𝑑𝐴 + 0 + ∫𝐸 𝑑𝐴) 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0 (𝐸𝐴 + 𝐸𝐴) 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 2𝜀0 𝐸𝐴 
Isolando E: 
𝐸 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
2𝜀0𝐴
 
Por fim, sendo 𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜎𝐴 
𝐸 =
𝜎𝐴
2𝜀0𝐴
 
𝐸 =
𝜎
2𝜀0
 
a) A diferença entre as duas placas é a densidade, tanto na polaridade (um é positivo e outro é negativo) 
quanto em seus valores. Independente dessa diferença, o campo total pode ser calculado como a soma dos 
campos individuais: 
�⃗� = �⃗� 1 + �⃗� 2 
Analisando as linhas de campo, podemos vetorialmente determinar o sentido (e, portanto, o sinal) dos 
campos gerados por cada placa. 
 
Note que o campo gerado pela placa positiva, está orientada para no sentido negativo de x, enquanto que 
o campo gerado pela placa negativa está orientado para o sentido positivo. Assim: 
𝐸 =
−6,8 × 10−6 + 4,3 × 10−6
2 . 8,85 × 10−12
 
𝐸 = −1,41 × 105𝑁/𝐶 
b) Uma propriedade importante do plano infinito de cargas é que o campo gerado por ele não varia com a 
posição. Assim, tanto do lado direito quanto do lado esquerdo a soma dos campos terá o mesmo valor. 
Note apenas que o sentido do campo resultante no lado direito será oposto ao do lado esquerdo: 
 
𝐸 = 1,41 × 105𝑁/𝐶 
c) No meio, os campos elétricos gerados pelas placas têm o mesmo sentido, apesar de terem cargas 
opostas: 
 
Assim: 
𝐸𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 =
6,8 × 10−6 + 4,3 × 10−6
2 . 8,85 × 10−12
 
𝐸𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 6,27 × 10
5 𝑁/𝐶 
4. Determine o campo elétrico gerado por uma linha infinitamente longa de cargas com densidade 
linear uniforme 𝜆 = 2 𝑛𝐶/𝑚, a uma distância 𝑅 = 0,2 𝑚 do fio. 
𝛷 = ∮ �⃗� . �̂� 𝑑𝐴
𝑆
 
Conforme visto em sala de aula, ajustando um cilindro como superfície gaussiana à linha de cargas, 
chegamos na seguinte equação para o fluxo: 
𝛷 = 𝐸 (2𝜋𝑅ℎ) 
Aplicando a Lei de Gauss: 
𝑞𝑒𝑛𝑣
𝜀0
= 𝐸 (2𝜋𝑅ℎ) 
Isolando E: 
1
2𝜋𝑅𝜀0
𝑞𝑒𝑛𝑣
ℎ
= 𝐸 
Lembrando que λ = q/h: 
𝐸 =
1
2𝜋𝑅𝜀0
𝜆 
Substituindo os valores: 
𝐸 =
1
2𝜋 . 0,2 . 8,85 × 10−12
. 2 × 10−9 
𝐸 = 180 𝑁/𝐶 
5. Uma casca esférica de raio 𝑅 = 3 𝑚 tem o seu centro na origem e tem uma densidade superficial 
de carga 𝜎 = 3 𝑛𝐶/𝑚2. Uma carga puntiforme 𝑞 = 250 𝑛𝐶 está no eixo y, em 𝑦 = 2 𝑚. Determine 
o campo elétrico, no eixo x, em 𝑥 = 4 𝑚. 
Podemos representar a situação esquematicamente como na figura abaixo: 
 
Uma casca esférica, quando vista de fora da casca, se comporta como uma fonte puntiforme no centro da 
esfera. Assim, o sistema pode ser esquematicamente simplificado como duas fontes pontuais: 
 
Os campos elétricos de fontes distintas, se somam vetorialmente. Assim: 
�⃗� 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = �⃗� 𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 + �⃗� 𝑝𝑢𝑛𝑡 
�⃗� 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑘𝑄𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎
𝑟𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎
2 �̂�𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 +
𝑘𝑄𝑝𝑢𝑛𝑡
𝑟𝑝𝑢𝑛𝑡
2 �̂�𝑝𝑢𝑛𝑡 
Lembrando que a 𝑄𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 = 𝜎𝐴, onde a área da superfícieda esfera é 𝐴 = 4𝜋𝑅
2 e inferindo 
geometricamente os vetores diretores: �̂�𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 = 𝑖̂ e �̂�𝑝𝑢𝑛𝑡 = cos 𝜃 𝑖̂ − sen𝜃 𝑗̂: 
�⃗� 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑘
4𝜋𝑅2𝜎
𝑟𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎
2 𝑖̂ +
𝑘𝑄𝑝𝑢𝑛𝑡
𝑟𝑝𝑢𝑛𝑡
2 (cos 𝜃 𝑖̂ − sen𝜃 𝑗̂) 
A distância entre o ponto de cálculo e a carga pontual não são dados e o ângulo 𝜃 também não. Estes, 
podem ser obtidos por trigonometria: 𝑟𝑝𝑢𝑛𝑡 = √4
2 + 22 = 4,47 𝑚 e que 𝜃 = arctan (
2
4
) = 26,6°. Assim: 
�⃗� 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8,99 × 10
9
4𝜋32 . 3 × 10−9
42
𝑖̂ + 8,99 × 109
250 × 10−9
4,472
(cos 26,6° 𝑖̂ − sen 26,6° 𝑗̂) 
�⃗� 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (291 𝑖̂ − 50,4 𝑗̂) 𝑁/𝐶 
6. Determine o campo elétrico a uma distância de 𝑟 = 0,3 𝑚 do centro de uma esfera sólida 
uniformemente carregada carga total igual a 𝑄 = 2 𝜇𝐶 e que tem raio 𝑅 = 0,5 𝑚 (note que o 
ponto de cálculo do campo elétrico fica dentro da esfera). 
Podemos representar o problema esquematicamente pela figura abaixo: 
 
A superfície gaussiana mais apropriada, seria uma esfera com raio 0,3 m (em vermelho, na figura abaixo): 
 
A Lei de Gauss, para esta superfície, será dada por: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0 ∮ �⃗� . �̂� 𝑑𝐴
𝑆
 
Note que a carga interna 𝑞𝑒𝑛𝑣 não é a carga total fornecida no enunciado. Isso porque as cargas que ficam 
fora da superfície gaussiana não contribuem para o campo elétrico. Desse modo, a carga envolvida pela 
superfície gaussiana será: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝑉𝜌 
𝑞𝑒𝑛𝑣 =
4
3
𝜋𝑟3𝜌 
Como a esfera é homogênea 𝜌 =
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎
𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
, sendo 𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
4
3
𝜋𝑅3 o volume de toda a esfera: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 =
4
3
𝜋𝑟3
𝑄
4
3
𝜋𝑅3
 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝑄
𝑟3
𝑅3
 
Retornando na Lei de Gauss: 
𝑄
𝑟3
𝑅3
= 𝜀0 ∮ �⃗� . �̂� 𝑑𝐴
𝑆
 
Como o campo é perpendicular e constante ao longo de toda a superfície gaussiana: 
𝑄
𝑟3
𝑅3
= 𝜀0𝐸 ∮ 𝑑𝐴
𝑆
 
𝑄
𝑟3
𝑅3
= 𝜀0𝐸𝐴 
Lembrando novamente que a área, é a área da superfície gaussiana e não de toda a esfera: 
𝑄
𝑟3
𝑅3
= 𝜀0𝐸4𝜋𝑟
2 
Isolando 𝐸: 
𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀0
 
𝑟
𝑅3
 
Substituindo os valores: 
𝐸 =
2 × 10−6
4𝜋 . 8,85 × 10−12
0,3
0,53
 
𝐸 = 4,32 × 104 𝑁/𝐶 
 
Contextuais 
1. A mulher da fotografia abaixo estava em uma plataforma de observação do Sequoia National Park 
quando uma grande nuvem de tempestade passou no céu. Muitos elétrons de condução do corpo 
da mulher foram repelidos para a terra pela base da nuvem, negativamente carregada, o que 
deixou o corpo da mulher positivamente carregado. Observando a fotografia, é possível concluir 
que o corpo da mulher está carregado, já que os fios de cabelo se repelem mutuamente e se 
projetam para cima ao longo das linhas de campo elétrico produzidas pela carga do corpo. A 
mulher não foi atingida por um relâmpago, mas estava correndo um sério risco, pois o campo 
elétrico estava a ponto de causar uma ruptura dielétrica no ar à sua volta. Essa ruptura teria 
ocorrido ao longo de uma trajetória ascendente, no que é chamado de descarga para cima, que é 
perigosa porque a ionização que produz nas moléculas do ar libera um grande número de elétrons. 
Se a mulher tivesse provocado urna descarga para cima, os elétrons livres do ar teriam sido 
atraídos para o seu corpo, produzindo um choque que, dependendo da intensidade, poderia 
interromper a respiração ou os batimentos cardíacos, além de causar queimaduras. 
 
Vamos modelar o corpo da mulher como um cilindro vertical estreito de altura 𝐿 = 1,8 𝑚 e raio 
𝑅 = 0,10 𝑚, cujo fluxo do campo elétrico é emitido pelas laterais. Suponha que a carga Q esteja 
uniformemente distribuída ao longo do cilindro e que a ruptura dielétrica ocorra quando o módulo 
do campo elétrico excede o valor crítico 𝐸𝐶 = 2,4 𝑀𝑁/𝐶 (lembrando que M se refere ao prefixo 
“mega”). Para que valor de Q o ar em volta da mulher está a ponto de sofrer uma ruptura 
dielétrica? 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwii3Knl16zgAhWeErkGHXTnDsoQjRx6BAgBEAU&url=https://www.nbcnews.com/healthmain/decades-later-hair-raising-photo-still-reminder-lightning-danger-6C10791362&psig=AOvVaw28viZT9e1tLDM4kQr6QCMY&ust=1549729467410809
Partindo da equação do fluxo de um campo elétrico: 
Φ = ∮ �⃗� . �̂� 𝑑𝐴
𝑆
 
Como estamos simplificando a situação, modelando a mulher como uma superfície gaussiana cilíndrica 
temos: 
Φ = 𝐸𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 
Onde estamos desconsiderando as áreas da parte superior e inferior do cilindro, uma vez que é 
explicitamente colocado no enunciado que o “fluxo do campo elétrico é emitido pelas laterais’. 
Sendo 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑅𝐿 e aplicando a Lei de Gauss Φ =
𝑄
𝜀0
: 
Q
ε0
= 𝐸 (2𝜋𝑅𝐿) 
Q = 2𝜋ε0𝐸𝑅𝐿 
Assim, substituindo os valores fornecidos: 
Q = 2𝜋 . 8,85 × 10−12 . 2,4 × 106 .0,1 . 1,8 
𝑄 = 2,4 × 10−5 𝐶 
2. Na média, o campo elétrico da Terra é de aproximadamente 100 N/C direcionado para o centro do 
planeta. Qual é a carga total sobre a superfície da Terra? 
Podemos resolver esse problema pela Lei de Gauss: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝜀0 ∮ �⃗� . �̂� 𝑑𝐴
𝑆
 
O ajuste óbvio é uma superfície gaussiana esférica: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = −𝜀0𝐸4𝜋𝑅
2 
Onde 𝑅 é o raio da Terra e o sinal negativo indica que o campo está direcionado no sentido oposto ao vetor 
normal à superfície: 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = −4𝜋𝜀0𝑅
2𝐸 
Embora o raio da Terra não seja fornecido no enunciado, o dado pode ser facilmente encontrado na 
literatura como uma constante de valor 𝑅 = 6371 𝑘𝑚 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = −4𝜋 . 8,85 × 10
−12 . (6,37 × 106)2 .100 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = −4,51 × 10
5 𝐶