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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Tecnologia
Departamento de Engenharia Química
Profa. Cláudia Míriam Scheid
Prof. Luís Américo Calçada
IT 352
Mecânica dos Fluidos
Aplicações gerais
Apresentação
Os conceitos a serem estudados estarão distribuídos em 6 módulos
como descritos a seguir:
Módulo I – Introdução
Módulo II – Estática de Fluidos
Módulo III – Cinemática de Fluidos
Módulo IV – Equações Fundamentais
Módulo V – Escoamento de Fluidos
Módulo VI – Análise dimensional
Módulo VII – Turbulência
Bibliografia
Sabemos que 75% da superfície da terra é coberta com água e 100% coberta pelo ar atmosférico.
Assim, o campo da mecânica de fluidos é vasta e está relacionada com quase todas as áreas da vida
humana (Meteorologia, oceanologia, hidrologia, medicina, respiração, aerodinâmica, automobilismo,
hidrodinâmica etc.).
O objetivo da mecânica dos fluidos é o estudo do comportamento dos fluidos em movimento ou em
repouso e os efeitos da ação dos fluidos sobre as fronteiras sólidas ou outras fronteiras que podem ser
superfícies sólidas ou outros fluidos.
Bibliografia básica.
Avaliações
◼ 1ª Avaliação; (P1)
◼ Assíncrona;
◼ Com tempo pré-definido para entrega;
◼ Ocorrerá dentro dos limites de horário da aula;
◼ 2ª Avaliação; (P2)
◼ Assíncrona;
◼ Com tempo pré-definido para entrega;
◼ Ocorrerá dentro dos limites de horário da aula;
◼ Optativa; (substitui a P1 ou P2)
◼ Assíncrona;
◼ Com tempo pré-definido para entrega;
◼ Ocorrerá dentro dos limites de horário da aula;
◼ Trabalho (obrigatório)
As datas 
ainda serão 
definidas
Introdução: Histórico
Civilizações antigas: uso de remos no deslocamento de canoas e sistemas
de irrigação, tempos pré-históricos. Os gregos produziam informações
quantitativas. Archimedes e Hero de Alexandria postularam as adições
vetoriais (lei do paralelograma) terceiro século A.C. Archimedes (285-
212 A.C.) formularam a lei do empuxo e a aplicaram para o caso de
corpos flutuantes e submersos. Os Romanos construíram aquedutos no
quarto século A.C. mas não deixaram registros mostrando conhecimento
quantitativo dos princípios envolvidos nos projetos.
Jesus até o renascimento: houve um sólido progresso no projeto de
navios, canais etc mas não há evidencias de registros de base analítica
envolvida nestes projetos. Leonardo da Vinci (1452 a 1519) estabeleceu
a equação de conservação de massa para escoamentos unidirecional e
permanente (estabelecido). Leonardo foi um excelente experimentalista e
suas notas contém descrições precisas de ondulatória, jatos, bombas
hidráulicas e projetos envolvendo arraste. Um Frances, Edme Mariotte
(1620 a 1684) construiu o primeiro túnel de vento e testou modelos neste
túnel.
Archimedes
Leonardo da Vinci 
Edme Mariotte 
Introdução: Histórico
Séculos XV e XVI: Problemas envolvendo “momentum of fluids” (Quantidade
de movimento) pode finalmente ser analisado após Isaac Newton (1642 a 1727)
ter postulado a lei do movimento e a lei da viscosidade (Fluidos Newtonianos são
aqueles que obedecem a Lei da viscosidade de Newton). Daniel Bernoulli,
Euler, Jean D´Álembert, Joseph-Louis Lagrange, e Pierre Simon Laplace
produziram algumas das mais lindas soluções para problemas da mecânica dos
fluidos.
Euler desenvolveu a equação do movimento na forma diferencial e integral para
fluidos ideias. A equacao de Euler pode ser resolvida analiticamente para sistema
bidimensional dando origem a conhecida equação de Bernoulli, sendo esta a
equação da energia para fluido ideais. Este período de desenvolvimento teórico é
conhecido como HIDRODINÂMICA.
Os engenheiros começaram a rejeitar o que era observado como irrealístico e
desenvolveram a ciência conhecida como HIDRÁULICA, confirmando tudo
através de experimentos. Estes experimentalistas como: Chézy, Pitot, Borda,
Weber, Francis, Hagen Poiseuille, Darcy, Manningm Bazin e Weisbach
produziram dados para uma grande variedade de escoamentos como canais
abertos, escoamentos em tubos, turbinas etc.
Newton
Laplace
Bernoulli
Poiseuille
Bernoulli
Introdução: HistóricoReynolds
No final do século 19 iniciou-se a unificação entre a hidráulica experimental
e a teoria hidrodinâmica.
Willian Froude (1810 a 1879) e seu filho Robert (1846 a 1924)
desenvolveram modelos, Lord Rayleugh (1842 a 1919) a técnica de análise
dimensional e Osborne Reynolds (1842 a 1912) publicou em 1883 seu
experimento clássico que demonstrou a importância do adimensional
número de Reynolds. Navier (1785 a 1836) e Stokes (1819 a 1903)
adicionaram com sucesso termos viscosos à equação do movimento. O
resultado da equação de Navier-Stokes é muito difícil de ser analisado para
um escoamento arbitrário. Em 1904 um engenheiro alemão chamado
Ludwig Prandtl (1875 a 1953) publicou um artigo muito importante na
mecânica de fluidos. Prandtl estabeleceu que para o escoamento de fluidos
com baixa viscosidade como a água e o ar que o mesmo escoamento pode
ser dividido em uma pequena camada limite ou envolvente que ser forma
perto da superfície sólida e um outro escoamento inviscito fora desta
camada, onde a equação de Euler e Bernoulli (fluido ideal) se aplica. A
teoria da camada limite se mostrou uma ferramenta importante na análise
moderna de escoamentos.
Reynolds
Navier
Stokes
Prandtl
Módulo I - Introdução
I.1) Caracterização de um fluido
Do ponto de vista da Mecânica de Fluidos, temos a matéria dividida em 
Comportamento do fluido avaliado
Forças cisalhantes, Fc
Forças normais (pouco importante), Fn
Módulo I - Introdução
Sob a ação de uma força cisalhante o sólido sofre uma deformação finita (para
materiais elásticos, como a borracha, ele volta à configuração inicial quando a
força é suprida). No caso da matéria fluida, a posição de observação (•) varia
continuamente com o tempo, ou seja, enquanto a força cisalhante Fc estiver
atuando o fluido irá se deformar continuamente e irreversivelmente.
Com base no exposto, a melhor definição para fluido seria: “o material que
continua a mudar de forma enquanto estiver presente uma tensão cisalhante
por menor que ela seja”.
I.2) O fluido como contínuo
Uma análise rigorosa de problemas de escoamento de fluidos deveria levar em conta a ação
de cada molécula individualmente ou de grupos moleculares. Tal rigor aplicado a problemas
de engenharia seria no mínimo enfadonho. Na maioria das aplicações estamos
interessados em valores médios representativos das manifestações de inúmeras
moléculas, tais como: pressão, densidade etc. Estas manifestações podem ser
interpretadas como sendo oriundas de uma distribuição contínua de matéria (o contínuo).
Como conseqüência direta da hipótese do Meio Contínuo aplicada aos fluidos, cada
propriedade do fluido é suposta ter um valor definindo em cada ponto do espaço.
Assim outras grandezas como pressão, velocidade, temperatura, densidade etc, são
considerados como uma função contínua da posição e do tempo.
Ex:  = (x,y,z,t).
OBS: Está hipótese do contínuo perde consistência a medida que as dimensões 
significativas, inerentes a um problema, forem da ordem de grandeza do livre 
percurso médio molecular. Tal situação ocorre, por exemplo, nos escoamentos 
rarefeitos, comuns em tecnologia de alto vácuo. 
I.3) Grandezas Físicas
O conceito do fluido como contínuo nos permite descrever a distribuição (ou 
campo) contínuo de uma dada grandeza física que por sua vez é descrita por 
funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo.
Existem 3 tipos de gradezas físicas:
1) Grandeza escalar
É aquela para a qual é exigida apenas a espcificação do seu 
valor númerico para que a grandeza seja completamente 
descrita.
Exemplo:  = (x,y,z,t) , T = T(x,y,z,t).
2) Grandeza vetorial
É aquela que além da especificação do seu valor numérico 
requer também a especificação da sua direção e sentido
Exemplo: 
são denominados vetores unitários de direção
são denominados componentes escalares da velocidade
Módulo I - Introdução
3) GrandezaTensorial
Tensão num ponto
A definição da tensão implica que se tenha a relação entre 2 grandezas vetoriais 
F e A sendo
onde 
sendo Fi é a componente i do vetor F
Ai é a componente i do vetor A
kFjFiFF zyx

++=
kAjAiAA zyx

++= AnA =

- Vetor unitário normal a 
superfície
Módulo I - Introdução
Desta forma termos:
A
F
lim
0A





=
→
Nomenclatura
onde i → direção da normal ao plano em que a força está atuando (i = x, y, z)
j → direção da força (j = x, y, z)
Assim
i
j
0Aij
A
F
lim
i 

= →
Exemplo:
representa a componente x do vetor elemento de 
força atuando sobre a componente y do elemento de área 
y
x
0Ayx
A
F
lim
y 

= →
ij
yx
Módulo I - Introdução
A representação no volume de controle as representação das 9 componentes do tensor é 
dada na figura abaixo.
zzzyzx
yzyyyx
xzxy xx
ij
 
 
 



=
A forma de apresentação do 
tensor de 2a ordem ocorre 
através de uma matriz (3x3).
OBS: Tensões normais podem ser representadas por 
i=j tensão normal
i≠j tensão cisalhante
Módulo I - Introdução
Desenhe no volume de controle as representação das 9 componentes do tensor
Atenção a mudança nas posições dos eixos.
zzzyzx
yzyyyx
xzxy xx
ij
 
 
 



=
Exercício:
Natureza da 
grandeza
Ordem No de 
componentes
Escalar 0 1
Vetorial 1 3
Tensorial 2 9
------ ---- ----
Tensorial i 3i
OBS: O operador matemático  altera a ordem da grandeza.
Dica: grad div
Módulo I - Introdução
Módulo I - Introdução
a) Líquidos
❑ Pouco influenciada pela pressão. 
❑ A influência da temperatura é mais significativa sendo que quanto maior a
temperatura menor será densidade.
I.4) Propriedades dos Fluidos
I.4.1) Densidade, 
V
m
lim 0V


= → sendo  =  (T,P) 
Onde obter dados de densidade de líquidos?
➢ Dados de densidade de líquidos Perry e Chilton, Capitulo 3
➢ Estimativas precisas envolve variáveis reduzidas Smith & Van Ness
➢ Correlações empíricas The properties of gas and liquids (Rei, Prauznitz e 
Sherwood)
b) Gases
A densidade dos gases sofre grande influência da temperatura e da pressão
Gases Ideais 
Comportamento Ideal: Pr<0,01 e Tr>2
Gases não Ideais 
onde z=z(Tr, Pr) fator de compressibilidade














==
T
T
P
P
T.R
P.PM o
o
o
T.R.z
P.PM
=
Mistura de Gases 
Módulo I - Introdução
Os fluidos são geralmente caracterizados pelo comportamento 
da viscosidade da seguinte forma:
Ideais ( = 0) (fluido inviscido)
Fluidos 
Reais (  0) Newtonianos 
Não-Newtonianos 
I.4.2) Viscosidade, 
A viscosidade é a propriedade física responsável pelo transporte de 
quantidade de movimento
Fluido Ideal (µ = 0)
Qual a implicação em considerar o fluido ideal?
O escoamento de um fluido ideal é sem atrito, não existem tensões 
cisalhantes, o que facilita enormemente o tratamento matemático de 
problemas de escoamento.
Fluidos reais (µ ≠ 0)
a) Fluidos Newtonianos (lei de Newton da viscosidade)
Vamos supor um fluido entre duas placas paralelas, sendo que no instante inicial (t=0) a 
placa inferior é deslocada com velocidade V. Teremos as seguintes etapas:
Módulo I - Introdução
Observou-se que:
dy
dvx
yx 
Onde, o tensor representa o fluxo de quantidade de movimento na direção y devido à 
atuação de uma força na direção x. A constante de proporcionalidade é o coeficiente 
de viscosidade, de forma que,
yx
dy
dvx
yx −= Onde é a taxa e deformação
dy
dvx=
Os fluidos que apresentam uma relação linear entre  e  e que passa pela origem são 
ditos newtonianos. Entre eles estão os gases e a maioria dos líquidos simples (água, 
solventes orgânicos, glicerina, óleos, etc).
➢ Por que o sinal negativo?
=
É um tensor de 9 componentes!
=
OBS: Lembra que é um tensor de 9 componentes!
Inclinação da reta
Viscosidade
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
Módulo I - Introdução
Do ponto de vista físico, a viscosidade é interpretada como um coeficiente de resistência 
do fluido à deformação provocada por forças cisalhantes.
Mecanismo físico
➢ Força de coesão (mais importante nos líquidos)
➢ Movimentação de moléculas (mais importante em gases)
Módulo I - Introdução
Efeito da temperatura e pressão
Líquidos (praticamente independente da pressão)
 T   
Gases
 T   
 P   
Exemplo:
Ar:  = 1,8x10 g/cm.s (25oC e 1 atm)
Água:   1,0x10 g/cm.s = 1 cP (25oC e 1 atm)
-4
-2
UNIDADE: 1 g/cm.s = 1 Poise = 1P
Muito comum usar cP = centi Poise = 10 g/cm.s-2  água = 1cP
Como determinar a viscosidade 
de líquidos e gases?
NOMOGRAMAS (líquidos e gases)
Exemplo de nomograma para líquidos
Correlações empíricas
A e B ctes para cada líquido
(Grizman-Andrade)
Líquidos
Gases
b e S constantes para cada gás
(Sutherland)
Módulo I - Introdução
b) Fluidos não-Newtoniano
Estes fluidos, geralmente, são divididos em três grandes grupos:
• Fluidos independentes do tempo ou puramente viscosos: pertencem a este grupo, 
os fluidos que apresentam taxas de deformação num ponto dependente apenas da 
tensão cisalhante instantânea aplicada nesse mesmo ponto;
• Fluidos dependentes do tempo: são aqueles que apresentam viscosidade aparente 
dependente do tempo de aplicação da taxa de cisalhamento. Esses fluidos são 
classificados em reopéticos e tixotrópicos
• Fluidos viscoelásticos: são fluidos que apresentam propriedades viscosas e elásticas 
simultaneamente.
Módulo I - Introdução
Newtonianos
Fluidos
não-Newtonianos
ViscoelásticosDependentes do Tempo
Independentes do Tempo
Reopéticos
Dilatante BinghamPseudoplástico
Tixotrópicos
Módulo I - Introdução
Curvas típicas de comportamento para fluidos NÃO-NEWTONIANOS
puramente viscosos e independentes do tempo.
  - tensão cisalhante
- taxa de deformação
❑ Bingham: pasta de dente, suspensões de 
argila
❑ Pseudoplastíco: soluções poliméricas, polpa 
de papel
❑ Dilatante: suspensões de amido e areia
Fluido Pseudo-plastico. Fluido de Binham.
Fluido de Casson.
Fluido Pseudo-plástico.
Módulo I - Introdução
=
op =
nk=
( )nok +=
( ) 5,0o
5,05,0 += 
Modelo Equação Parâmetros
Newton 
Bingham
, se  > o
=0, se  < o
p e o
Ostwlad-de 
Waele
k e n
Buckley-
Herschell
se  > o
=0, se  < o
k, n e o
Robertson-Stiff k, n e o
Casson
se  > o
=0, se  < o
∞ e o
Exemplos de modelos reológicos.
o
nk +=
Comentário adicional: fluidos pseudoplásticos
Fluidos com características reológicas 
dependetes do tempo
Fluidos tixotrópicos: a viscosidade 
aparente decresce com o tempo a 
medida que o fluido é cisalhado.
Exemplo: tinta de parede
Fluidos reopéticos: a viscosidade 
aparente cresce com o tempo a medida 
que o fluido é cisalhado.
Exemplo: clara de ovo
Para estes fluidos a relação entre a tensão cisalhante e a taxa de 
deformação varia com o tempo.
fluido dilatante e reopético
fluido pseudoplástico e tixotrópico
(Fonte: Rheotec, 2018).
Fluidos viscoelásticos
São fluidos que apresentam comportamento concomitante de fluido viscoso e de 
sólido elástico. Apresentam, no entanto, apenas uma recuperação parcial de sua 
forma após ter sido deformados (são chamados também de fluido de memória)
Extremos:
Borracha (sólido elástico) – 100% de memória
Água (fluido newtoniano) – 0% de memória
https://www.latercera.com/la-tercera-
tv/noticia/362242/362242/
Exige uma caracterização dos módulos de elasticidade 
G´e G´´ (reometros com ensaios oscilatórios)
Equipamentos para medir reologia
Viscosímetro
FANN 35A
Viscosímetro
Brookfield
Reômetro
Thermo Scientific
I.5) Tipos de escoamento
O campo de escoamento pode ser:
v=v(x,y,z,t) 3D
v=v(x,y,t) 2D
v=v(x,t) 1D
v=v(x,y,z) 3D
v=v(x,y) 2D
v=v(x) 1D
Transiente Permanente
Exemplos:Escoamento Tridimensional, impelidor de uma bomba centrífuga
I.5.1) Escoamento 1D, 2D e 3D
Escoamento Bidimensional
Neste caso a variável é descrita como uma 
função de duas coordenadas espaciais.
Escoamento Unidimensional
Na região do Le Na região após o Le
Le  1/
Le  v
Exemplo: Escoamento em tubo.
• Compressíveis:  =  (x,y,z,t), ou seja, a variação da densidade do 
fluido é importante.
• Incompressível:  = constante, a variação da densidade do fluido é 
desprezível
Na prática, consideram-se líquidos como incompressíveis e os gases como 
compressíveis. 
Os gases também podem se comportar como fluidos incompressíveis. 
Avaliar número de Mach
onde v é a velocidade do fluido e c é a velocidade do som no fluido.
c
v
Ma =
I.5.2) Fluido compressível e incompressível
Avaliação da compressibilidade do gás
Para Ma < 0,3 as variações de densidade do 
fluido são dá ordem de 2%, ou seja, o fluido é 
praticamente incompressível.
No caso do ar, isso 
significa escoar 
com velocidade 
abaixo de 102 m/s 
A natureza viscosa de um fluido conduz a características diferentes de escoamento. 
Quando um fluido viscoso escoa em um tubo, por exemplo, podemos verificara existência 
de 3 regimes de escoamento:
➢ Laminar
➢ Transição
➢ Turbulento
O parâmetro físico que regula esse escoamento é o número de Reynolds, que fisicamente 
representa a relação entre as forças viscosas e as forças inerciais.


=
vD
Re
D – diâmetro do tubo
<v> - velocidade média 
 - densidade do fluido
µ - viscosidade dinâmica
Q – vazão volumétrica
A – área da seção 
transversal ao escoamento
I.5.3) Escoamento de um fluido real incompressível 
Módulo I - Introdução
O experimento de Reynolds (1883)
O que ele observou:
Regime laminar: Re  2.100
Regime de transição: 2.100<Re  4.000
Regime turbulento: Re > 4.000
Perfil de velocidade
Módulo I - Introdução
Avaliação da velocidade em um ponto
Em termos de velocidade num dado ponto em regime permanente, as figuras abaixo 
ilustram o escoamento laminar e turbulento dentro de um tubo vz = vz(t).
zz
_
z vvv +=
z
_
v
zv
velocidade 
média temporal
flutuação da 
velocidade
Classificação da mecânica de fluidos 
dos meios contínuos
I.5.4 Escoamento externos e internos
Escoamento interno: são aqueles limitados 
inteiramente por fronteiras sólidas, que é o 
caso do escoamento em dutos.
Asa de avião
Escoamento externo: são assim denominados os 
escoamentos para os quais ocorre uma superfície livre no 
campo de escoamento.
I.5.5 Escoamento rotacional e irrotacional
• Volume de controle (VC) é o volume arbitrário onde, através das suas fronteiras, pode 
haver troca de quantidade de movimento, massa e calor.
• Superfície de controle (SC) é a superfície, ou a envoltório, do volume de controle.
A superfície e o volume de controle são escolhidos de acordo com o sistema de coordenadas 
adotado:
Cartesiano
Cilíndrico
Esférico
I.6) Volume de controle e superfície de controle
I.7) Forças de campo e de superfície
Forças de campo – são aquelas que atuam a distância, ou seja, não precisam estar em 
contato com o corpo para atuar. Ex: força gravitacional, elétrica e magnética
Forças de superfície – são aquelas que atuam nos contornos dos corpos, ou seja, precisam 
estar em contato com o corpo para atuar. Ex: força cisalhante, força normal.
I.7) Forças de campo e de superfície
https://www.youtube.com/watch?v=F78v-w3At2c
Vídeos de escoamento laminar
Vídeos fluidos dilatantes.
https://www.youtube.com/watch?v=QPg2XkGXF1I
https://www.youtube.com/watch?v=uetgd47gJMU
Fluidos pseudo plásticos: areia movediça 
Alguns vídeos interessantes
https://www.youtube.com/watch?v=F78v-w3At2c
https://www.youtube.com/watch?v=QPg2XkGXF1I
https://www.youtube.com/watch?v=uetgd47gJMU