Aula 2 - Determinantes

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Álgebra linear
Determinantes
Professor Dr. Josivan Pedro
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
Determinantes
1. Introdução:
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.
2. Definição:
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da matriz .
Ex.:
3. Cálculo dos Determinantes:
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária .
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem
Ex.:
A = 
a11
a12
a21
a22
O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
a11
a12
a21
a22
= a11 · a22 – a12 · a21
 
a11 · a22
- (a12 ·a21)
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Matrizes - Determinantes
Ex: 1)
+
-
7
2
 3
5
= 7.5 
- 2.3
= 29 
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Matrizes - Determinantes
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus)
1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os elementos das outras duas filas à sua direita.
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Ex.:
-
-
-
+
+
+
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0
= - 4
Ex: 1)
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
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Matrizes - Determinantes
Ex: 2)
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
4. Cofator de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. Chama-se cofator de um elemento aij de A ao número real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij .
Ex.:
A12 = -7
5. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Ex.:
3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34
=
-
-
-
+
+
+
3 . (-40 + 9 + 2 – 12 – 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 – 4 – 12 – 8) 
3 . (-48) - 2 . (16) 
= -144 - 32 
= - 176
-
-
-
+
+
+
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
Outro exemplo
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
Mapa Conceitual construído com o Software Cmap Tools, evidenciando Determinantes.
Propriedades dos Determinantes
P1. Fila Nula
Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 .
Ex.:
0
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Matrizes - Determinantes
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 
Ex: 
P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0 .
Ex.:
e
2ª linha = 2 x 1ª linha 
Se liguem, sempre que nos referimos a filas, estamos falando de linhas e também de colunas!
1ª coluna = 3ª coluna 
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
Ex:
Ex:
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
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1)
Ex: 
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
2)
Outras propriedades:
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P3. Matriz Transposta
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Ex.:
= 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1
= 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1
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• det(A)=det(At)
Ex: 
1)
2)
P4. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:
det(A . B) = det A . det B
Ex.:
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60
det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60
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• det(A.B)=detA.detB
Ex: 
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Quinto nível
P5. Matriz Triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Ex.:
= 5 .1 .8 = 40
MATEMÁTICA, Série 2ª 
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1)
2)
Ex: 
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
P6. Troca de Filas Paralelas
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma outra matriz M´, tal que:
det M´ = - det M
Ex.:
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Matrizes - Determinantes
Ex:
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
Ex:
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Quarto nível
Quinto nível
P7. Produto de uma Fila por uma Constante
Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado por k.
Ex.:
= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos:
= -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
Ex: 
1)
2)
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
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Matrizes - Determinantes
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
Consequência:
Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos:
det (k . A) = kn . det A
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1)
Ex: 
P8. Determinante da Matriz Inversa
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então:
Ex.:
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• det(A-1)=1/detA
Ex: 
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Matrizes - Determinantes
P9. Adição de Determinantes
Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante.
Ex.:
+
+
=
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P10. Teorema de Jacobi
Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que:
det M´ = det M
Ex.:
-3
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Terceiro nível
Quarto nível
Quinto nível
EXEMPLO 1
28
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Matrizes - Determinantes
EXEMPLO 2
29
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
EXEMPLO 3
30
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Matrizes - Determinantes
EXEMPLO 4
31
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
Ex.:
1 . A21 + 0 . A22 + 0 . A23+ 2 . A24
=
-
-
-
+
+
+
-1 . (0 + 0 + 3 + 12 – 2 + 0) + 2 . (2 + 6 + 0 – 0 +8– 1) 
-1 . (13) + 2 . (15) 
= -13 + 30 
= 17
-
-
-
+
+
+
EXEMPLO 5
33
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
Agora vamos colocar a mão na massa.
1)Entrar no site abaixo e baixar o software Cmaptools para cada um montar seu mapa conceitual com os determinantes e suas propriedades. 
http://www.baixaki.com.br/download/cmaptools.htm
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes
3
2
3
2
-
=
-
5
3
8
1)]
(
 
.
 
3)
[(
 4)
.
 
(2
4
1
3
2
=
-
=
-
-
-
=
-
-
ú
û
ù
ê
ë
é
=
5
3
27
A
=
-
5
3
1
4
2
0
3
2
1
=
-
3
1
-
2
0
2
1
 
5
3
1
4
2
0
3
2
1
4
1
3
1
2
5
3
1
2
-
1
3
2
5
1
2
-
1001
620
211
-
-
100
62
01
-
12
A
 
calcule
 
,
5
2
-
4
2
1
-
3
0
2
1
A
 
Seja
=
5
4
2
3
.
)
1
(
A
2
1
12
+
-
=
)
8
15
(
 
.
 
1
-
-
=
Þ
=
-
5
2
3
4
2
0
0
3
3
4
1
2
1
1
2
1
3134
211121
3 .(-1) .143+2 .(-1).214
325432
++
-
=
-
-
3
4
1
2
2
1
 
2
3
4
4
1
2
1
2
1
 
.
 
2
2
3
4
1
1
2
 
5
2
3
3
4
1
1
1
2
 
.
 
3
=
-
-
-
6
2
0
1
0
0
0
0
4
4
1
3
5
4
2
1
0
0
0
0
8
9
2
5
3
1
=
-
0
16
0
5
8
0
2
5
0
1
=
0
8
0
8
5
4
5
2
3
2
=
-
0
5
0
4
4
2
6
2
1
3
=
-
-
-
[
]
[
]
[
]
4
2
6
2
1
3
2
2
1
3
-
=
-
=
-
0
9
1
8
0
9
2
1
2
3
1
8
0
9
2
1
=
-
-
p
0
8
8
4
2
0
1
6
9
3
=
-
-
3
1
L
L
=
3
1
C
.C
2
=
3
15
18
9
3
5
2
=
-
=
3
18
15
3
9
2
5
-
=
-
=
,
5
 
Se
=
t
s
r
z
y
x
c
b
a
5
 
então
-
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c
b
a
z
y
x
t
s
r
8
4
3
0
1
5
1
0
2
-
4
3
1
5
0
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8
0
1
4
1
0
3
5
2
-
0
1
1
0
5
2
-
,
6
12
18
9
4
3
2
=
-
=
6
12
18
9
3
4
2
,
=
-
=
então
,
10
 
Se
=
t
s
r
z
y
x
c
b
a
10
 
então
=
t
z
c
s
y
b
r
x
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
2
1
0
3
B
 
e
 
3
2
1
4
A
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
6
9
2
13
2
1
0
3
 
.
 
3
2
1
4
.
3
2
1
4
B
 
e
 
7
5
2
3
A
 
Sejam
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
det(A.B)?
 
 vale
Quanto
110
11.10
det(A.B)
 
=
=
11
detA
 
=
10
detB
 
=
8
7
2
0
1
9
0
0
5
-
=
7
9
7
0
3
5
0
0
2
42
7
.
3
.
2
=
=
-
2
0
0
0
5
3
0
0
6
8
5
0
0
8
7
2
60
2
.
3
.
5
.
2
-
=
-
22
28
6
2
7
4
3
-
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-
=
22
6
28
4
3
2
7
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-
=
3
1
C
.C
2
=
 
 
5
1
1
4
3
0
2
9
1
-
-
1
1
3
0
9
1
-
-
 
 
5
3
1
4
9
0
2
27
1
-
-
-
3
1
9
0
27
1
-
-
-
6
9
4
3
2
=
30
6
.
5
9
4
.
5
3
2
.
5
=
=
70
10
.
7
.
7
.
7
.
7
 
então
=
=
t
s
r
z
y
x
c
b
a
6
9
4
3
2
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150
6
.
5
9
.
5
3
.
5
4
.
5
2
.
5
2
=
=
A
 
det
1
A
 
det
1
-
=
5
2
3
1
2
1
3
A
 
det
-
=
-
-
=
-
=
5
1
25
5
25
2
25
3
5
3
5
2
5
1
5
1
A
 
det
1
-
-
=
-
=
-
-
=
-
=
:
ia
Consequênc
I
A.A
-1
=
det(I)
)
det(A.A
-1
=
Þ
1
)
(A
det(A).det
-1
=
Þ
/detA
1
)
det(A
-1
=
Þ
:
é
 
9
3
5
2
A
 
de
 
inversa
 
da
 
te
determinan
 
O
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
1/3
/detA
1
)
det(A
-1
=
=
=
-
-
-
+
-
-
+
-
6
2
3
1
3
0
0
2
2
6
0
3
1
3
0
0
1
2
6
4
3
1
1
0
0
5
2
6
2
3
1
1
0
0
4
2
-
6
1
4
7
2
4
5
3
1
-
6
11
4
7
10
4
5
0
1
-
-
-
=
 Calcule o determinante de 
43
12
=2.4-1.3=5 
 
 Calcule o determinante de =2.4-1.3=5
4
3
1
2
Calcule o determinante de 
63
24
. 
Calcule o determinante de .
6
3
2
4
Calcule o determinante de 
021
102
321
 
Calcule o determinante de 
0
2
1
1
0
2
3
2
1
 
Calcule o determinante de: 
2103100211223210
 
Calcule o determinante de: 
2103
1002
1122
3210
-
2103
1002
1122
3210
=
-
2124
103210
1 .(-1) .122+2 .(-1).112
210321
++
--
1031021021
-1 . 122 122 . 112 11
2102132132
+=
----
 (FUVEST) É dada a matriz 
P = 






10
11
. 
a)Calcule P
2
 e P
3
 
b) Qual a expressão P
n
? 
 (FUVEST) É dada a matriz 
P = .
a)Calcule P2 e P3
b) Qual a expressão Pn?
ú
û
ù
ê
ë
é
1
0
1
1