2- Sistemas lineares

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ÁLGEBRA LINEAR 
 
4 – SISTEMAS LINEARES 
 
Problema: Encontrar a equação de uma parábola que passa pelos pontos P1(1,2), P2(-1,12) e P3(4,2). Devemos 
nos lembrar da equação da parábola e de que esses pontos pertencem a ela. Para resolver problemas como esse e 
outros, precisaremos aprender sobre sistemas lineares. 
Definição 1: Chamamos equação linear com n incógnitas, x1 , x2 , x3 ,..., ,xn , a toda equação de 1º grau, 
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +...+ a1n xn = b, onde os a1j são escalares (números reais) denominados coeficientes da 
equação e b é o termo independente. 
 Exemplos de equações lineares: 
Definição 2: A solução de uma equação linear, como a dada na definição 1, acima, é toda n-upla ordenada 
(s1 , s2 , s3 ,..., ,sn) que satisfaz a equação dada. 
Definição 3: Um sistema linear de equações com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações lineares 
do tipo 







=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S
...
... ... ................................................
...
...
:
33221
22323222121
11313212111
, com aij e bj reais. 
 Exemplos: 
Definição 4: Solução de um sistema linear é toda n-upla ordenada (s1 , s2 , s3 ,..., ,sn) que satisfaz simultaneamente 
a todas as m equações do sistema, isto é, satisfaz a todas elas ao mesmo tempo. 
Definição 5: Um sistema linear em que todos os termos independentes são iguais a zero, é denominado sistema 
linear homogêneo. 
 Exemplos: a) 





=++
=−+−
=+−
0
035
023
zyx
zyx
zyx
 b) 







=−+
=−++−
=+−+
=−+−
0463
0
024
02
wzy
wzyx
wzyx
wzyx
 c) 




−
=
=+−
2
3
025
t
s
ts
 
Número de soluções de um sistema linear 
Consideremos os sistemas abaixo 
a) 





=++
−=−−−
=++
122
3
82
zyx
zyx
zyx
 b) 



=+
=+
124
32
ts
ts
 c) 





=−+
=−+−
=++
02
0
0
zyx
zyx
zyx
 d) 



=+
=+
624
32
ts
ts
 e) 



=−++−
=+−+
32
1
wzyx
wzyx
 
Ao resolvermos os mesmos, teremos que S=(5, 3, -5) é a solução do primeiro; o segundo não tem solução; S=(0, 0, 
0) é solução do terceiro; o quarto tem infinitas soluções e o quinto também tem infinitas soluções; basta atribuir 
valores, por exemplo, a x e a y e calcular z e w [ex. S=(1, 1, -1, -2) e S=(0, 0, -5, -4) são soluções]. Assim, os 
sistemas em (a) e (c) tem solução única, o sistema em (b) não tem solução e os sistemas em (d) e (e) tem infinitas 
soluções. 
Definição 6: Dois sistemas são ditos equivalentes, se possuírem as mesmas soluções. Exemplo: Os sistemas 



=+
−=−
234
42
yx
yx
 e 



−=+
−=+
68
226
yx
yx
 são equivalentes. Confira. 
Significado geométrico de sistemas lineares de duas e de três incógnitas 
2 
 
Duas equações a duas incógnitas: conjunto de retas no plano. 
Três equações a três incógnitas: Conjunto de planos no espaço tridimensional. 
 
Significado geométrico da solução de sistemas lineares de duas e de três incógnitas: os 
pontos de interseção das retas ou dos planos. 
Representação matricial de um sistema linear de m equações e n incógnitas: 
AX=B, onde A é a matriz dos coeficientes das incógnitas, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna 
dos termos independentes. 
Matrizes associadas a um sistema linear: 
• Matriz dos coeficientes: A 
• Matriz ampliada (ou aumentada): A= A|B 
Classificação dos sistemas lineares quanto ao número de soluções: 





→



→
→
→
solução tem não ------------ el)incompatív (ou Impossível
soluções infinitas adoIndetermin
 única solução oDeterminad
 ) compatível (ou Possível
: LinearesSistemas 
Analogia entre a quantidade de m de equações e a quantidade n de incógnitas com a quantidade m de tarefas a 
serem executadas por n operários numa fábrica. 
Resolução de sistemas lineares 
Existem vários métodos para a resolução de sistemas lineares. Estudaremos os seguintes: 
1) Método de Gauss-Jordan – Escalonamento (obtenção da matriz escada) da matriz ampliada A= A|B 
2) Método de Gauss – Obtenção da matriz escalonada da matriz ampliada A =A|B. 
3) Regra de Cramer – somente válida para sistemas com mesmo número de equações e incógnitas. 
 
Definição 7: O grau de liberdade de um sistema de m equações e n incógnitas, AX=B, para o qual p( A ) = p(A), é 
definido como sendo o número n – p(A) (a nulidade de A) e exprime quantas incógnitas estão sobrando em relação 
ao número de equações do sistema, ou seja, quantas incógnitas estão livres. 
Assim, se, por exemplo, supondo p(A) = p(A ) = 3 (o que significa que A tem três linhas não nulas) e m=5 e n=4, 
então n – p(A) = 4 – 3 = 1 
 
Discussão de sistemas lineares 
Seja um sistema AX=B com m equações e n incógnitas. 
a) Se p(A) ≠ p(A ), então o sistema é impossível. 
b) Se p(A) = p(A ), então o sistema é possível → 



→<
→=
 SPI np(A) 2)
SPD np(A) 1)
 
OBSERVAÇÃO: SPD → sistema possível determinado (solução única). 
 SPI → sistema possível indeterminado (infinitas soluções).