Parte final resumo álgebra

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Plano: 
 
Equação Geral do Plano - 
 
Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente ao plano π e n→ = (a, b, c), n→ ≠ 
0→, um vetor normal (ortogonal) ao plano. 
Como n→ ┴ π, n→ é ortogonal a todo valor representado em π. 
Então, um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, o vetor AP→ é 
ortogonal a n→, ou seja, n→.(P-A) = 0, 
ou (a, b, c).(x-x1, y-y1, z-z1) = 0, ou a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0 ou, 
ainda, ax + by + cz -ax1 -by1 -cz1 = 0. 
Fazendo -ax1 -by1 -cz1 = d, obtemos: ax + by + cz + d = 0. Esta é 
a equação geral do plano. 
 
Exemplo 1 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 - 
 
 
 
Exemplo 3 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planos Perpendiculares - 
 
Consideremos dois planos π1 e π2, e sejam n1→ e n2→ vetores normais a 
π1 e π2, respectivamente. 
Concluindo assim que: π1 ┴ π2 <=> n1→ ┴ n2→ <=> n1→ . n2→ = 0. 
 
Exemplo 5 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano - 
 
Seja uma reta r com a direção do vetor v→ e um plano π , sendo n→ um 
vetor normal a π. 
Concluindo assim que: r || π <=> v→ ┴ n→ <=> v→ . n→ = 0, e que r ┴ π 
<=> v→ || n→ <=> v→ = αn→. 
 
Exemplo 6 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas - Método Adição -> 
 
 
MMC (Mínimo Múltiplo Comum) -> 
 
 
 
Sistemas Lineares: 
 
Para sistemas 2x2, os métodos mais rápidos (e simples) de resolução são: 
▪ Método da Substituição. 
▪ Método da Adição. 
 
Para sistemas 3x3 (ou superiores), os métodos de resolução mais usados 
são: 
▪ Regra de Cramer. 
▪ Escalonamento. 
 
 
 
Classificação de um Sistema: 
 
Um sistema linear pode ser classificado de três maneiras: 
▪ SPD – Sistema possível e determinado → possui uma quantidade finita 
de soluções. 
▪ SPI – Sistema possível e indeterminado → possui infinitas soluções. 
▪ SI – Sistema impossível → não possui soluções, ou seja, o conjunto 
solução será 𝑆 = ∅ 𝑜𝑢 𝑆 = { }. 
Exemplo 1- Classifique os sistemas abaixo como SPD, SPI ou SI e dê o 
conjunto solução quando o sistema for possível. 
 
A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) 
 
 
 
 
C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de Cramer: 
 
A regra de Cramer só pode ser utilizada quando o sistema tiver o mesmo 
número de incógnitas e de equações. 
Sistemas 2x2 
Dado o sistema 2𝑥2: {𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1 / {𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 
Calculamos os determinantes: 
 
 
As soluções do sistema serão calculadas da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 - 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas 3 x 3 
 
 Dado o sistema 3𝑥3 vamos determinar a regra de Cramer de forma 
análoga ao sistema 2𝑥2: 
 
 
 
 
 
 
 
As soluções serão: 
 
 
 
Exemplo 3 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escalonamento: 
 
Sistemas 3 x 3 
 Dizemos que um sistema está escrito da forma escalonada quando ele se 
apresenta da seguinte forma: 
 
 
 
O processo de escalonamento de um sistema linear ocorre por meio de operações 
elementares, que são iguais às utilizadas no teorema de Jacobi. 
Para escalonar um sistema linear, resolvê-lo e depois classificá-lo, algumas 
transformações podem ser feitas: 
 T1: um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de 
duas equações quaisquer do sistema; 
T2: um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os 
membros de qualquer uma das equações do sistema, por um nº real não nulo; 
 T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma 
equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta 
equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 -