Lista_4_-_Produto_vetorial

Prévia do material em texto

IFSudeste de Minas Gerais
Núcleo de Matemática
Geometria Anaĺıtica
Prof.ª Priscila Roque de Almeida
Lista 4: Produto Vetorial
1. Dados os vetores #»u = (2, 3,−1), #»v = (1,−1, 1) e #»w = (−3, 4, 0) determine:
(a) #»u · #»v
(b) #»u × #»v
(c) #»u · ( #»v × #»w)
(d) É posśıvel calcular ( #»u · #»v )× #»w? Justifique.
2. Dados os vetores #»u = (3,−1, 0), #»v = (2, 1,−1) e #»w = (0,−2, 3) determine:
(a) || #»u × #»u ||
(b) (2 #»v )× (3 #»v )
(c) #»u × ( #»v + #»w)
(d) ( #»u × #»v ) · #»w
(e) ( #»u × #»v )× #»w
(f) ( #»u × #»v )× ( #»v × #»u )
3. Dados os vetores #»u = (2,−3, 2) e #»v = (4,−1, 2), determine:
(a) #»u × #»v
(b) O seno do ângulo entre #»u e #»v .
4. Dados os pontos A(2, 3, 0), B(4, 0, 1) e C(0, 1, 2) em R3, determine:
(a) O comprimento do lado AB.
(b) A medida do ângulo entre os lados BA e BC.
(c) A área do triângulo ABC.
(d) O comprimento da altura do triângulo ABC relativa ao vértice A.
5. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo:
(a) A(−4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0,−1, 3)
(b) A(2, 3, 0), B(0, 2, 1) e C(2, 0, 2)
6. Encontre um vetor #»u que seja ortogonal aos vetores (2, 3,−1) e (2,−4, 6) tal que || #»u || = 3
√
3.
7. Sabendo que || #»u || = 4, || #»v || = 3 e que o ângulo entre #»u e #»v é de 45o, determine:
(a) A área do triângulo determinado por #»u e #»v .
(b) A área do paralelogramo determinado por #»u e − #»v .
(c) A área do paralelogramo determinado por #»u + #»v e #»u − #»v .
8. A área do triângulo ABC é
√
6. Sabendo que A(2, 1, 0), B = (−1, 2, 1) e que o vértice C está
no eixo y, encontre as coordenadas de C.
Aplicação: F́ısica
Torque
Considerando-se uma força
#»
F agindo sobre um corpo ŕıgido em um determinado ponto de um
vetor posição #»r , o torque #»τ (em relação à origem) é definido como o produto vetorial entre o
vetor posição e o vetor força, isto é,
#»τ = #»r × #»F ,
e mede a tendência do corpo para girar em torno da origem. A intensidade do torque é o
comprimento do vetor #»τ .
Em outras palavras, dizemos que o torque, ou momento de uma força, é a tendência que uma
força tem de rotacionar um corpo sobre o qual ela é aplicada. O torque é um vetor perpendicular
ao plano formado pelos vetores força e raio de rotação.
9. Um parafuso é apertado aplicando-se uma força de 40N a uma chave de boca de 0, 25m, como
mostrado na figura abaixo. Determine o módulo do torque em relação ao centro do parafuso.
10. O pedal de uma bicicleta é empurrado por um pé com força de 60N , como mostrado. A haste
do pedal tem 18cm de comprimento. Determine o módulo do torque em relação a P .
Bons estudos!