Numeros Complexos Exercicios AFA EFOMM ESPCEX

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1. A parte real das raízes complexas da equação 2x 4x 13 0,   é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
2. Se i é a unidade imaginária, então 3 22i 3i 3i 2   é um número complexo que pode ser 
representado no plano de Argand-Gauss no __________ quadrante. 
a) primeiro 
b) segundo 
c) terceiro 
d) quarto 
 
3. Seja o número complexo z 1 3i,   onde i é a unidade imaginária. O valor de 8z é: 
a) 
4 4
z 256 cos isen
3 3
π π 
  
 
 
b) z 256 cos isen
3 3
π π 
  
 
 
c) 
5 5
z 256 cos isen
3 3
π π 
  
 
 
d) 
2 2
z 256 cos isen
3 3
π π 
  
 
 
e)  z 256 cos2 isen2π π  
 
4. Seja o número complexo 



x yi
z ,
3 4i
 com x e y reais e  2i 1. 
Se  2 2x y 20, então o módulo de z é igual a: 
a) 0 
b) 5 
c) 
2 5
5
 
d) 4 
e) 10 
 
5. No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado ABCD e os afixos dos números 
complexos Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, e Z5. 
 
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Se o afixo do produto de Z0 por um dos outros cinco números complexos indicados é o centro 
da circunferência inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é 
a) Z1. 
b) Z2. 
c) Z3. 
d) Z4. 
e) Z5. 
 
6. Sendo i 1  a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da 
expressão 6 6(i 1) (1 i)   é: 
a) 0 
b) 16 
c) 16 
d) 16i 
e) 16i 
 
7. O resultado da expressão 
3 2i
1 4i


 na forma x yi é 
a) 
11 14
i
17 17
 
b) 
11 14
i
15 15
 
c) 
11 14
i
17 17
 
d) 
11 14
i
15 15
 
e) 
1
3 i
2
 
 
8. Se y = 2x, sendo x= 
1 i
1 i


 e i = 1 , o valor de (x + y)2 é 
a) 9i 
b) – 9 + i 
c) –9 
d) 9 
e) 9 – i 
 
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9. Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss são números complexos, 
sendo três deles 1 + 2i, - 2 + i e -1 - 2i. O quarto vértice do quadrado é o número complexo 
a) 2 + i. 
b) 2 - i. 
c) 1 - 2i. 
d) -1 + 2i. 
e) - 2 - i. 
 
10. A figura indica a representação dos números 1Z e 2Z no plano complexo. 
 
 
 
Se 1 2Z Z a bi,   então a b é igual a 
a) 4(1 3). 
b) 2( 3 1). 
c) 2(1 3). 
d) 8( 3 1). 
e) 4( 3 1). 
 
11. Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um 
relógio de ponteiros, como indica a figura: 
 
Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre o 
número complexo 
a) -1 + ( 3 )i 
b) 1 + ( 3 )i 
c) 1 - ( 3 )i 
d) ( 3 ) - i 
e) ( 3 ) + i 
 
12. Seja o número complexo z = (x - 2i)2, no qual x é um número real. Se o argumento 
principal de z é 90°, então 1/z é igual a 
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a) -i/8 
b) -8i 
c) 4i 
d) -1 + 4i 
e) 4 - i 
 
13. Sejam α, β ∈ C tais que │α│ = │β│ = 1 e │α - β│ = 2 . Então α2 + β2 é igual a 
 
a) - 2 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 2i 
 
14. Assinale a opção que indica o módulo do número complexo 1/(1 + i cotg x), x ≠ kð, k ∈ Z. 
a) │ cos x │ 
b) (1 + sen x)/2 
c) cos2x 
d) │ cossec x │ 
e) │ sen x │ 
 
15. Considere a função f: IR  C, f(x) = 2 cos x + 2i sen x. Então, ∀x, y ∈ IR o valor do 
produto f(x)f(y) é igual a 
a) f(x + y) 
b) 2f(x + y) 
c) 4if(x + y) 
d) f(xy) 
e) 2f(x) + 2if(y) 
 
16. Dentre os números complexos z = a + bi, não nulos, que têm argumento igual a π/4, 
aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola y = x2 é 
a) 1 + i 
b) 1 - i 
c) - 1 + i 
d) 2 + 2i 
e) - 2 + 2i 
 
17. Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para 
os quais (a+i)4 é um número real? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) infinitos 
 
18. Dado o número complexo z= 3 +i qual é o menor valor do inteiro n ≥1 para o qual zn é 
um número real? 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
19. Sabendo que á é um número real e que a parte imaginária do número complexo (2 + i)/(á 
+ 2i) é zero, então á é: 
a) - 4. 
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b) - 2. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 4. 
 
20. Sabe-se que os números complexos 1Z [2m(3 m)] (3n 5)i    e 
2
2Z (2m 12) [4(n 1)]i    são iguais. Então, os valores de m e n são, respectivamente 
a) 3 e 1 
b) 2 e 1 
c) 2 e 1 
d) 3 e 1 
 
21. Seja o somatório abaixo, onde i é a unidade imaginária. 
 
2020
j
j 0
S i

  
 
Sobre o valor de S, é correto afirmar que 
a) S 1 i  
b) S 1 i  
c) S 1 
d) S i 
e) 3S i 
 
22. Resolvendo 2 n1 i i i ,    com n 4k 1  e k (nos inteiros), obtemos 
a) ni . 
b) n1 i . 
c) 1. 
d) 21 i . 
e) 1 i. 
 
23. Resolvendo o sistema 
 
| z 2 | | z 4 |
,
| z 3 | | z 3 | 10
  

   
 para z complexo, encontramos como solução 
a) 
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
    
b) 
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
    
c) 
6 8 6 8
1 i; 1 i
5 5
    
d) 
6 8 6 8
1 i; 1 i
5 5
    
e) 
8 6 8 6
1 i; 1 i
5 5
    
 
24. Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B, sendo 
A x 2i, x   e B 1 i.  
 
Se no produto A B tem-se Re(A B) Im(A B),   então, sobre todos os números complexos A, 
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é correto afirmar que 
a) seus afixos formam uma reta. 
b) nenhum deles é imaginário puro. 
c) o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal. 
d) existe A tal que | A | | B | . 
 
25. Resolva a equação 3z 1 0  no conjunto dos números complexos. Considerando as 
raízes encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F 
(FALSA). 
 
( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1. 
( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é 
3 3
2
 unidades de área. 
( ) Duas das raízes são conjugadas. 
( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. 
 
A sequência correta é 
a) V – F – V – V 
b) V – V – F – V 
c) F – F – V – F 
d) V – F – V – F 
 
26. Considere os números complexos 1z x i,  2
1
z i,
2
 3z 1 2i   e 4z x yi  em que 
x , *y  e 
2i 1  e as relações: 
 
I. 1 2 1 2Re(z z ) Im(z z )   
II. 3 4| z z | 5  
 
O menor argumento de todos os complexos que satisfazem, simultaneamente, as relações I e 
II é 
a) 
6
π
 
b) 0 
c) 
2
π
 
d) 
3
π
 
 
27. O número complexo z a bi  é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura 
abaixo. 
 
 
 
É correto afirmar que o conjugado de 
2z tem afixo que pertence ao 
a) 1º quadrante. 
b) 2º quadrante. 
c) 3º quadrante. 
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d) 4º quadrante. 
 
28. Na figura abaixo está representado o plano de Argang-Gauss com os afixos de 12 
números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e 
que 0Z 1. 
 
 
 
Sobre o número complexo dado por 
2
2 5
3
(Z ) Z
Z

 é correto afirmar que é um número 
a) real e negativo. 
b) real e positivo. 
c) Imaginário com parte real negativa e parte imaginária positiva. 
d) Imaginário com parte real positiva e parte imaginária negativa. 
e) Imaginário puro com parte imaginária negativa. 
 
29. Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 
números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a 
circunferência em 12 partes iguais e que A (1, 0). 
 
 
 
O polígono regular cujos vértices são os afixos de 4 E é 
a) BEHK. 
b) CFIL. 
c) ADGJ. 
d) BDHJ. 
e) CEIK. 
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30. Seja a igualdade 
4
a b
i cos isen ,
3 5 6 6
π π 
   
 
 onde i é a unidade imaginária. Se a e b 
são números reais, então o quociente 
a
b
 é igual a 
a) 
3
.
5
 
b) 
3 3
.
5
 
c) 
3 3
.
5
 
d) 
3
.
5
 
e) 
15 3
.
4
 
 
31. Sejam z e v números complexos onde | z | 1 e v tem coordenadas no plano de 
Argand-Gauss 
2 2
, .
2 2
 
  
 
 Sobre o número complexo z e v (resultante da multiplicação dos 
complexos z e v), podemos afirmar que 
a) sempre é um número real. 
b) sempre tem módulo igual a 2. 
c) sempre é um número imaginário puro. 
d) pertence à circunferência 2 2x y 1.  
e) sempre tem argumento igual a .
4
π
 
 
32. Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número 
complexo 1 + i, determine z3: 
a) 1 – i 
b) – 1 + i 
c) – 2i 
d) – 1 – 2i 
e) 2 + 2i 
 
33. De todos os números complexos z que satisfazem a condição z (2 2i) 1,   existe um 
número complexo z1 que fica mais próximo da origem. A parte real desse número complexo z1 
igual a: 
a) 
4 2
2

 
b) 
4 2
2

 
c) 
4 2
4

 
d) 
4 2
4

 
e) 
2
2
 
 
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34. Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o número 
complexo Z que satisfaz à condição Z 2Z 2 Zi   é 
a) z 0 1i  
b) z 0 0i  
c) z 1 0i  
d) z 1 i  
e) z 1– i 
 
35. Considere a progressão aritmética representada pela sequência 
7 47 59
, , ........
12 60 60
π π π 
 
 
 
Se todos os termos dessa PA forem representados num círculo trigonométrico, eles 
determinarão 
nesse círculo os vértices de um 
 
a) pentágono (5 lados). 
b) hexágono (6 lados). 
c) octógono (8 lados). 
d) decágono (10 lados). 
e) dodecágono (12 lados). 
 
36. Um dos resultados importantes da produção de conhecimentos reside na possibilidade 
que temos de fazer a interação de múltiplos saberes. O conceito de número complexo é um 
bom exemplo dessa possibilidade exploratória da produção científica, ao permitir relações com 
álgebra, geometria plana, geometria analítica, trigonometria, séries e aritmética. Neste sentido, 
considere os números complexos 1z 2 2 i,   2z 5 6 i,   3z 4 18 i    e os números reais 
1k e 2k tais que a soma dos números complexos 1 1k z e 2 2k z resulta o complexo 3z . Nestas 
condições, o valor de 2
k
1k é: 
a) 9 
b) 8 
c) 1 
d) 
1
8
 
e) 
1
9
 
 
37. Uma estratégia para obter efeito humorístico em quadrinhos é atribuir a objetos abstratos 
características e ações tipicamente humanas. A figura a seguir é um exemplo de aplicação 
desse recurso. 
 
 
 
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Supondo que cada número diga uma verdade matemática sobre si mesmo, relacione as frases 
(de I a IV) aos balões de diálogo (de A a D). 
 
I. Meu cubo é irracional. 
II. Sou racional. 
III. Sou puramente imaginário. 
IV. Meu inverso multiplicativo coincide com meu conjugado. 
 
 
 
Assinale a alternativa que contém a associação correta. 
a) I-B, II-C, III-A, IV-D. 
b) I-C, II-B, III-A, IV-D. 
c) I-D, II-A, III-C, IV-B. 
d) I-D, II-A, III-B, IV-C. 
e) I-D, II-C, III-B, IV-A. 
 
38. Dados os números complexos 1z (2, 1)  e 2z (3, x), sabe-se que 1 2z z .  Então x 
é igual a 
a) 6. 
b) 
3
.
2
 
c) 0. 
d) 
3
.
2
 
e) 6. 
 
39. Leia o texto a seguir. 
 
Na virada do século XVIII para o século XIX, um agrimensor norueguês, Wessel (1798), e um 
desconhecido matemático suíço, Argand (1806), foram, aparentemente, os primeiros a 
compreender que os números complexos não têm nada de “irreal”. São apenas os pontos (ou 
vetores) do plano que se somam através da composição de translações e que se multiplicam 
através da composição de rotações e dilatações (na nomenclatura atual). Mas essas iniciativas 
não tiveram repercussão enquanto não foram redescobertas e apadrinhadas, quase 
simultaneamente, por Gauss, grande autoridade daquele tempo que, já em vida, era 
reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. 
 
Adaptado de: CARNEIRO, J. P. “A Geometria e o Ensino dos Números Complexos”. Revista do 
Professor de Matemática. 2004. v.55. p.18. 
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Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma composição de rotação dos pontos 
P( 3, 4) e Q(2, 3) representados pelos números complexos z 3 4i   e w 2 3i.  
a) 18 17i  
b) 6 12i  
c) 1 i  
d) 5 7i 
e) 6 17i 
 
40. O produto das raízes cúbicas do número complexo z = –1 é igual a 
a) 
1 3
4
 i
. 
b) i
π π 
 
 
cos sen .
3 3
 
c) 
1 3
.
2 4
i  
d) 
1 2
.
3
i

 
e) -1. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Do enunciado, temos: 
   
2
4 4 4 1 13
x
2 1
4 36
x
2
4 6i
x
2
x 2 3i
      


 



 
 
 
Logo, a parte real das raízes complexas é 2. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Sendo 
 
3 22i 3i 3i 2 2i 3 3i 2
1 i
( 1,1),
       
  
 
 
 
podemos concluir que a imagem do complexo 3 22i 3i 3i 2   está situada no segundo 
quadrante. 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
O módulo de z é 
2 2( 1) ( 3) 2.ρ      Logo, se θ é o argumento de z, então 
1
cos
2
θ   
e 
3
sen .
2
θ   Em consequência, temos 
4
rad.
3
π
θ  Daí, a forma trigonométrica de z é 
 
4 4
z 2 cos isen .
3 3
π π 
  
 
 
 
Portanto, pela Primeira Fórmula de Moivre, segue que 
 
8 8 4 4z 2 cos 8 isen 8
3 3
2 2
256 cos isen .
3 3
π π
π π
    
       
    
 
  
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Sabendo que 1 1
2 2
z | z |
,
z | z |
 com 2z 0, obtemos 
2 2
2 2
x y| x yi | 20 2 5
| z | .
| 3 4i | 5253 4

   
 
 
 
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Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
É fácil ver que o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD é o ponto ( 1,5; 1,5).  
Desse modo, queremos calcular kZ , tal que 
 
0 kZ Z 1,5 1,5 i.     
 
Assim, como 0Z 1 i,   temos 
 
k
2
1,5 1,5 i
Z
1 i
1,5 1,5 i 1 i
1 i 1 i
1,5 1,5 i 1,5 i 1,5
1 1
1,5 i
Z .
  

 
    
 
   
    


 

 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Resposta da questão 7: 
 ANULADA 
 
Questão anulada no gabarito oficial. 
 
Lembrando que 2i 1,  temos 
2
2
3 2i 3 2i 1 4i
1 4i 1 4i 1 4i
3 12i 2i 8i
1 16i
5 14
i.
17 17
  
 
  
  


  
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
x = i
i
i
iii
i
i
i
i









2
2
1
2
1
1
1
1
22
22
 e y = 2i 
 
(x+y)2 = (i + 2i)2 = (3i)2 = 9i2 = - 9 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
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Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Resposta da questão 19: 
 [E] 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
2
1 2
2m (3 m) 2m 12 6m 12 m 2
Z Z
3n 5 4 (n 1) 3n 5 4n 4 n 1
        
  
         
 
 
Portanto, m 2 e n 1. 
 
Resposta da questão 21: 
 [C] 
 
Do enunciado, 
 
 
 
2020
j
j 0
0 1 2 3 2020
2021
2020
2010
2
2010
S i
S i i i i i
1 i 1
S
i 1
i i 1
S
i 1
i i 1
S
i 1
1 i 1
S
i 1
i 1
S
i 1
S 1


    
 


 


 


  







 
 
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Resposta da questão 22: 
 ANULADA 
 
Questão anuladano gabarito oficial. 
 
Admitindo que i refere-se à unidade imaginária, ou seja, 
2i 1,  temos: 
 2 n1, i, i , ..., i é uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1 e possui n 1 termos. 
 
Assim, 
 n 12 n 1 i 1S 1 i i ... i
i 1
 
     

 
 
Como n 4k 1, n 1 4k 2, k ,      portanto, 
 
 
 
4k 2
k
4 2
2 2
i 1
S
i 1
i i 1
S
i 1
2
S
i 1
2 i 1
S
i 1 i 1
2 1 i
S
i 1
2 1 i
S
2
S 1 i
 


 





 
 
 
  


  


 
 
 
 
Note que: 
 
k
n 4k 1 41 i 1 i 1 i i 1 i        
 
Assim, as alternativas [B] e [E] são corretas. 
 
Resposta da questão 23: 
 [A] 
 
z 2 z 4
z 3 z 3 10
   

   
 
 
Fazendo z x yi,  com x e y reais, 
     
     
2 22 2
2 22 2
x 2 y x 4 y i
x 3 y x 3 y 10 ii

    

      
 
 
Da equação  i , 
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   
   
   
2 22 2
2 2
x 2 y x 4 y
x 2 x 4 0
x 2 x 4 x 2 x 4 0
2x 2 0
x 1
    
   
       
 
 
 
 
Substituindo x 1  na equação  ii , 
 
2 2 2 24 y 2 y 10     
 
Fazendo 2y 4 a,  
   
2 2
2
12 a a 10
12 a 10 a
12 a 10 a
12 a 100 20 a a
20 a 88
22
a
5
22
a
5
  
  
  
   


 
  
 
 
 
Verificando, 
2 2
22 22
12 10
5 5
784 22
10
25 5
28 22
10
5 5
10 10
   
     
   
 
 

 
 
Logo, 
2
22
a
5
 
  
 
 é solução da equação 12 a a 10   
Como 2a y 4,  
2
2
784
y 4
25
384
y
25
8 6
y
5
 

 
 
 
Então, 
8 6
z 1 i
5
   ou 
8 6
z 1 i
5
   
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
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De A x 2i,  
A x 2i  
 
De B 1 i,  
B 1 i  
 
Assim, 
   
   
2
A B x 2i 1 i
A B x xi 2i 2i
A B x xi 2i 2
A B x 2 2 x i
    
    
    
    
 
 
Como    Re A B Im A B ,   
x 2 2 x
2x 0
x 0
  


 
 
Observe que o número complexo A que possui o menor módulo é A 2i cujo módulo é 2 e o 
argumento principal é .
2
π
 
Para quaisquer outros valores de x, A sempre apresentará argumento principal menor que 
.
2
π
 
Dessa forma, o número complexo A que possui menor módulo é o que tem o maior argumento 
principal. 
 
Resposta da questão 25: 
 [A] 
 
[I] Verdadeira. Calculando as raízes: 
 3 3
2k
z 1 z cis 2k z cis
3
k 0 z 1
1 i 3
k 1 z
2
1 i 3
k 2 z
2
π
π
 
      
 

   

 
  

  
  

 
 
[II] Falsa. Calculando: 
22
2 2
2
3 31 1, , ,
2 2 2 2
1 1 3 3
3
2 2 2 2
3 3 3
S
4 4
    
   
   
  
             

 
 
 
[III] Verdadeira. Sim, quando k 1 ou k 2 obtêm-se raízes conjugadas. 
 
[IV] Verdadeira. Calculando: 
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22
22
z 1
1 3
z 1
2 2
1 3
z 1
2 2




     
          

    
           
 
 
Resposta da questão 26: 
 [D] 
 
Desde que 1 2
1
z z x i,
2
   temos 1 2 1 2Re(z z ) lm(z z )   se, e somente se, 
1
x .
2
 Por outro 
lado, 3 4| z z | 5  se, e somente se, 
2 2x y 1.  Em consequência, os complexos que 
satisfazem as condições pertencem à circunferência 2 2x y 1,  com 
1
1 x
2
   e 0 y 1.  
Logo, se θ é o argumento do complexo procurado, então 
1
cos
2
θ  e, portanto, rad.
3
π
θ  
 
Resposta da questão 27: 
 [C] 
 
2 2
2
22
22
60
z a b
z z cos60 i sen60
z z cos(2 60 ) i sen(2 60 )
z z cos(240 ) i sen(240 )
θ  
 
      
        
      
 
 
Portanto, o conjugado de z2 pertence ao terceiro quadrante. 
 
Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
Da figura abaixo, obtemos: 
 
 
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2
2
3 3
5
5
1 3
z i
z 1 cos60 1 sen60 i 2 2
z 0 1i z i
z 1 cos30 1 sen30 i 3 1
z i
2 2

      
 
    
           

 
 
Logo: 
2
2
2 5
3
1 3 3 1
i i
2 2 2 2z z
z i
1 3 3 3 1 1 3 3 1
i i i i
4 2 4 2 2 2 2 2 2
i i
3 1 3 3
i i
i4 4 4 4 1
i i
   
             

       
                       
       
 
  

   
 
 
Portanto, se trata de um número real e negativo. 
 
Resposta da questão 29: 
 [A] 
 
Sendo O o centro da circunferência, temos: 
2ˆAOB
12 6
2ˆAOE 4
6 3
π π
π π
 
  
 
 
Sendo 4z o número complexo cujo afixo é o ponto E, 
4 2 2z 1 cos isen
3 3
π π 
   
 
 
 
Fazendo  z cos isen ,ρ θ θ  
 4 4z cos4 isen4ρ θ θ  
 
Daí, 
 4
2 2
cos4 isen4 1 cos isen
3 3
2
1e cos4 cos
3
π π
ρ θ θ
π
ρ θ
 
    
 
 
 
 
De 
2
cos4 cos ,
3
π
θ  
 
2
4 2k , k 0,1, 2, 3
3
1 3k , k 0,1, 2, 3
6
π
θ π
π
θ
  
  
 
 
Para k 0, 
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6
π
θ  
 
Para k 1, 
2
3
π
θ  
 
Para k 2, 
7
6
π
θ  
 
Para k 3, 
5
3
π
θ  
 
Assim, os afixos de 4 E são os pontos B, E, H e K, portanto, o polígono regular é o polígono 
BEHK. 
 
Resposta da questão 30: 
 [A] 
 
4a b 4 4i 1 cos isen
3 5 6 6
a b 2 2
i cos isen
3 5 3 3
a b 1 3
i i
3 5 2 2
a 1 3
a
3 2 2
b 3 5 3
b
5 2 2
π π
π π
 
    
 
  
   
    
    
 
 
Então, 
a 3 2
b 2 5 3
a 3
b 5 3
a 3 3
b 5 3 3
a 3
b 5
 
    
 

 

 
 
Resposta da questão 31: 
 [D] 
 
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Escrevendo os complexos z e v na forma trigonométrica, temos: 
z 1 (cos isen )
v 1 (cos45 i sen45 )
θ θ  
     
 
 
Efetuando o produto de z e v na forma trigonométrica, temos: 
   z v 1 1 cos(45 ) i sen(45 ) 1 cos(45 ) i sen(45 )θ θ θ θ                   
 
Com o módulo do produto continua sendo 1, concluímos que este produto também pertence à 
circunferência de equação 2 2x y 1.  
 
Resposta da questão 32: 
 [E] 
 
 
 
O complexo obtido com a rotação de 90° de 1 + i é z = –1 + i 
 
Fazendo: (–1 + i)3, temos: 
 
z3 = (i – 1)3 = i3 –3.i2.1 + 3.i.12 –13 = –i + 3 + 3i – 1 = 2 + 2i 
 
Resposta da questão 33: 
 [A] 
 
 
22 2 2x (2 2i) 1 (x 2) (y 2)i 1 (x 2) y 2 1 (x 2) (y 2) 1                  
 
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Logo, o centro da circunferência será o ponto (2,2) e a reta que passa pela origem e pelo 
centro da circunferência terá equação y = x. 
 
Resolvendo o sistema abaixo determinaremos os pontos Z1 e Z2: 
 
2 2(x 2) (y 1) 1
y x
    


 
 
Temos: 
2 4 2 4 22x – 8x 7 x x
2
0 ou .
2
 
    
 
Portanto, a parte real pedida é 
4 2
x .
2

 
 
Resposta da questão 34: 
 [D] 
 
Se z a bi,  com a e b reais, então z a bi.  Desse modo, 
 
 
z 2z 2 zi a bi 2 (a bi) 2 (a bi) i
3a bi (b 2) ai.
           
    
 
 
Logo, obtemos o sistema 
 
 
3a b 2 a 1
.
a b b 1
   
 
  
 
 
Portanto, o número complexo z que satisfaz a condição dada é z 1 i.  
 
Resposta da questão 35: 
 [D] 
 
A Segunda fórmula de Moivre pode ser escrita sob a forma 
 
    nk k kz (cosw i senw ), 
 
em que   k 0w w k r, 

0w
n
 e 


2
r .
n
 
 
Desse modo, como a razão da progressão aritmética 
   
 
 
7 47 59
, , ,
12 60 60
 é 
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   
  
47 7 12
,
60 12 60 5
 
 
segue que 
 
 
  
2
n 10.
n 5
 
 
Portanto, se todos os termos dessa PA forem representados num círculo trigonométrico, eles 
determinarão nesse círculo os vértices de um decágono regular. 
 
Resposta da questão 36: 
 [E] 
 
Tem-se que 
 
1 1 2 2 3 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1
2
k z k z z k (2 2 i) k (5 6 i) 4 18 i
(2k 5k ) (2k 6k ) i 4 18 i
2k 5k 4
2k6k 18
k 3
.
k 2
           
        
  

 


 
 
 
Portanto, a resposta é 2k 21
1
k 3 .
9
  
 
Resposta da questão 37: 
 [E] 
 
[I] deve ser relacionada com a letra D, pois 
3
7 7 7 (irracional) 
[II] deve ser relacionado com a letra C, pois 
2
9 9
log 2 2 9
2 2
    (racional) 
[III] deve ser relacionado com a letra B, pois 2i é imaginário puro. 
[IV] deve ser relacionado com a letra A, pois 
21 3 i 1 3 i 1 3
1
2 2 4
    
   
 
Logo, a opção correta será dada por: 
[E] I-D, II-C, III-B, IV-A 
 
Resposta da questão 38: 
 [D] 
 
Calculando: 
   2 i 3 xi 6 2xi 3i x
2x 3 0
3
2x 3 x
2
      
 
  
 
 
Resposta da questão 39: 
 [E] 
 
Queremos calcular o produto z w, ou seja, 
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2
z w ( 3 4i)(2 13i)
6 9i 8i 12i
6 17i.
    
    
 
 
 
Resposta da questão 40: 
 [E] 
 
O produto das raízes cúbicas do número complexo z 1  corresponde ao produto das raízes 
da equação algébrica 3x 1 0.  Portanto, das Relações de Girard, segue que o resultado 
pedido é 
1
1.
1
   
 
 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade 
 
Data de elaboração: 21/06/2021 às 07:49 
Nome do arquivo: COMPLEXOS 
 
 
Legenda: 
Q/Prova = número da questão na prova 
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® 
 
 
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 
 
 
1 ............. 182486 ..... Baixa ............. Matemática ... Eear/2019 ............................ Múltipla escolha 
 
2 ............. 162881 ..... Baixa ............. Matemática ... Eear/2017 ............................ Múltipla escolha 
 
3 ............. 158794 ..... Baixa ............. Matemática ... Efomm/2016 ......................... Múltipla escolha 
 
4 ............. 116907 ..... Baixa ............. Matemática ... Espcex (Aman)/2012 ........... Múltipla escolha 
 
5 ............. 126160 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgv/2013 .............................. Múltipla escolha 
 
6 ............. 107034 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgv/2009 .............................. Múltipla escolha 
 
7 ............. 171569 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2017 ................... Múltipla escolha 
 
8 ............. 90738 ....... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2010 ................... Múltipla escolha 
 
9 ............. 78784 ....... Não definida .. Matemática ... Fgv/2008 .............................. Múltipla escolha 
 
10 ........... 71958 ....... Não definida .. Matemática ... Fgv/2007 .............................. Múltipla escolha 
 
11 ........... 58942 ....... Não definida .. Matemática ... Fgv/2005 .............................. Múltipla escolha 
 
12 ........... 10541 ....... Não definida .. Matemática ... Fgv/1995 .............................. Múltipla escolha 
 
13 ........... 79915 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2008 ................................ Múltipla escolha 
 
14 ........... 73606 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2007 ................................ Múltipla escolha 
 
15 ........... 57238 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2004 ................................ Múltipla escolha 
 
16 ........... 23435 ....... Não definida .. Matemática ... Fuvest/1998 ......................... Múltipla escolha 
 
17 ........... 11635 ....... Não definida .. Matemática ... Fuvest/1997 ......................... Múltipla escolha 
 
18 ........... 3880 ......... Não definida .. Matemática ... Fuvest/1996 ......................... Múltipla escolha 
 
19 ........... 732 ........... Não definida .. Matemática ... Fuvest/1995 ......................... Múltipla escolha 
 
20 ........... 162750 ..... Média ............ Matemática ... Eear/2016 ............................ Múltipla escolha 
 
21 ........... 190755 ..... Média ............ Matemática ... Efomm/2020 ......................... Múltipla escolha 
 
22 ........... 173593 ..... Média ............ Matemática ... Efomm/2018 ......................... Múltipla escolha 
 
23 ........... 173594 ..... Média ............ Matemática ... Efomm/2018 ......................... Múltipla escolha 
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Página 26 de 26 
 
 
24 ........... 183498 ..... Média ............ Matemática ... Epcar (Afa)/2019 .................. Múltipla escolha 
 
25 ........... 162367 ..... Média ............ Matemática ... Epcar (Afa)/2017 .................. Múltipla escolha 
 
26 ........... 142629 ..... Média ............ Matemática ... Epcar (Afa)/2015 .................. Múltipla escolha 
 
27 ........... 106447 ..... Média ............ Matemática ... Epcar (Afa)/2011 .................. Múltipla escolha 
 
28 ........... 196146 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2021 ........... Múltipla escolha 
 
29 ........... 174117 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2018 ........... Múltipla escolha 
 
30 ........... 174113 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2018 ........... Múltipla escolha 
 
31 ........... 163502 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2017 ........... Múltipla escolha 
 
32 ........... 127736 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2014 ........... Múltipla escolha 
 
33 ........... 127740 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2014 ........... Múltipla escolha 
 
34 ........... 120726 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2013 ........... Múltipla escolha 
 
35 ........... 106669 ..... Média ............ Matemática ... Espcex (Aman)/2011 ........... Múltipla escolha 
 
36 ........... 139720 ..... Baixa ............. Matemática ... Uepa/2015 ........................... Múltipla escolha 
 
37 ........... 182848 ..... Baixa ............. Matemática ... Uel/2019 ............................... Múltipla escolha 
 
38 ........... 184483 ..... Baixa ............. Matemática ... Ufrgs/2019 ........................... Múltipla escolha 
 
39 ........... 136778 ..... Baixa ............. Matemática ... Uel/2015 ............................... Múltipla escolha 
 
40 ........... 116456 ..... Baixa ............. Matemática ... Ulbra/2012 ........................... Múltipla escolha