Aula 13 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): TáciTo Vieira
assunto: Função LogaríTmica - ParTe ii
frente: maTemáTica ii
OSG.: 119496/17
AULA 13
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Propriedades operatórias
1) log
a
 (b · c) = log
a
 b + log
a
 c produto
2) loga
b
c
 = log
a
 b – log
a
 c = log
a
 b + colog
a
 c quociente
3) log log
b b
a aβ α
α
β
= potências
4) log
c
 b · log
a
 c = log
a
 b cancelamento
5) log
c
 b = 
log
log
a
a
b
c
 mudança de base
6) log
a
 b = 
1
logb a
 inversão
Exercícios
01. (EsPCEx) Um satélite será levado ao espaço por um foguete 
que tem seu consumo de combustível calculado pela função 
C t(t) log log ,= +( ) + ⋅2 2
2
27 2
1
7
em que C é o consumo em 
toneladas e t é o tempo em horas. Para colocar o satélite em 
órbita, o foguete deverá percorrer uma distância de 56000 km a uma 
velocidade média de 8000 km/h. Com base nessas informações, 
o físico responsável pelo cálculo chegou à conclusão de que o 
foguete, para cumprir a missão, terá um consumo de combustível 
igual a:
A) 1 tonelada.
B) 2 toneladas.
C) 6 toneladas.
D) 7 toneladas.
E) 8 toneladas.
02. Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o 
tempo necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à 
metade. Uma substância radioativa decresce exponencialmente 
de modo que sua quantidade, daqui a t anos, é Q(t) = A ⋅ (0,975)t.
 Adotando os valores ln 2 = 0,693 e ln 0,975 = – 0,025, o valor da 
meia-vida dessa substância é aproximadamente:
A) 25,5 anos B) 26,6 anos
C) 27,7 anos D) 28,8 anos
E) 29,9 anos
03. Adotando-se log 2 = a e log 3 = b, o valor de log
1,5
 135 é igual a:
A) 
3ab
b a−
 B) 
2 1
2
b a
b a
− +
−
C) 
3b a
b a
−
−
 D) 3b a
b a
+
−
E) 3 1b a
b a
− +
−
04. (Enem) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 
3000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. 
Use 0,477 como aproximação para log
10
(3) e 1,041 como 
aproximação para log
10
(11). O tempo decorrido, em hora, até 
que a liga atinja 30 °C é mais próximo de:
A) 22 B) 50
C) 100 D) 200
E) 400
05. Seja M = log
3
 5 ⋅ log
4
 27 ⋅ log
25
 2 , o valor de M corresponde a:
A) 
1
4
 B) 
2
7
C) 
3
8
 D) 
4
5
E) 
5
6
06. Em um piano bem afinado, a frequência de cada nota é 212 vezes 
a frequência da nota imediatamente abaixo dela. Adotando-se 
log 2 = 0,3, e utilizando-se algum dado da tabela, é correto 
dizer que o aumento percentual da frequência entre duas notas 
consecutivas de um piano afinado é:
x log x
1,025 0,011
1,059 0,025
A) 1,1% B) 2,5%
C) 5,9% D) 11,0%
E) 25,0%
2F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
OSG.: 119496/17
07. Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento 
a um de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, 
conforme a seguir.
 Tomar x gotas do medicamento a de 8 em 8 horas. A quantidade 
de gotas y diária deverá ser calculada pela fórmula log
8
y = log
2
6.
 É correto afirmar que x pertence ao intervalo:
A) [0, 15[ B) [15, 30[
C) [30, 45[ D) [45, 60[
E) [60, 75[
08. (EsPCEx) O valor de x na equação exponencial 72x –1 – 7x – 7x – 1 = 0 é:
A) 2
2
7
log
log
 B) 3 3
7
log
log
C) 2 3
7
log
log
 D) 3 2
7
log
log
E) 3 8
7
log
log
09. Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma 
tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se 
transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar 
do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. 
Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo 
com inicialmente m
0
 gramas se decomponha segundo a equação 
matemática: m(t) = m
0
 · 1070
−t
, onde m(t) é a quantidade de massa 
radioativa no tempo t (em anos). 
 Quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha 
até atingir um oitavo da massa inicial?
 (Considere log 2 = 0,3)
A) 60 B) 61
C) 62 D) 63
E) 64
10. Se x é um número real positivo tal que
log log x log x2 2 46 2
2
3
2
9
+ + + +



= −…
Então, log
3
 x é igual a:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
11. Se log a + lob b = p, o valor de log log
1 1
a b
+ corresponde a:
A) p2 B) p
C) p D) –p
E) –p2
12. Estima-se que o PIB de uma ilha, daqui a x anos, seja y
1
 = 60 000 ⋅ e0,05x 
unidades monetárias, em que:
x = 0 é o ano de 2014,
x = 1 é o ano de 2015, e assim por diante.
 Estima-se também que o número de habitantes da ilha, daqui a 
x anos, seja y
2
 = 10000 e0,04x.
 Daqui a quantos anos o PIB per capita (ou PIB por pessoa) será 
aproximadamente 50% superior ao de 2014?
A) 31 B) 26
C) 36 D) 41
E) 46
Utilize a tabela:
x 0,5 1 2 3 4 5
lnx – 0,69 0 0,69 1,10 1,39 1,61
13. Pode-se afirmar corretamente que a equação
log
2
 (1 + x4 + x2) + log
2
 (1 + 2x2) = 0:
A) não admite raízes reais.
B) admite exatamente uma raiz real.
C) admite exatamente duas raízes reais, as quais são iguais.
D) admite exatamente três raízes reais.
E) admite exatamente quatro raízes reais.
14. O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão 
pH = –log[H+], em que [H+] indica a concentração, em mol/L, 
de íons de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10. 
Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador 
verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio era 
[H+] = 5,4 · 10–8 mol/L.
 Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados 
de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3.
 Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi:
A) 7,26 B) 7,32
C) 7,58 D) 7,74
E) 7,95
15. (EsPCEx) A intensidade (I) de um terremoto, em uma 
determinada escala, é definida por I
E
E
=
2
3 0
log , em que E é 
a energia instantânea liberada pelo terremoto, em kWh e 
E
0
 = 10–3 kWh. Um determinado terremoto, cuja duração foi de 
8 segundos, variou em função do tempo conforme a equação 
l t
t
t( ) = − +
2
4
2 , t em segundos e I em kWh. No instante em que 
a intensidade do terremoto era máxima, a energia liberada, em 
kWh, era de:
A) 5 · 102 B) 103
C) 2 · 103 D) 2,5 · 102
E) 4 · 103
Anotações
3 F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
Resoluções
01. Da física, temos d v t= ⋅ , onde:
• d → distância
• v → velocidade
• t → tempo
 Assim: d = v ⋅ t → 56000 = 8000 ⋅ t → t h= 7 
 Logo:
 
C t
C
C
(t) log log
( ) log log
( ) log
= +( ) +
= +( ) +
=
2
2 2
2
2
2 2
2
2
7 2
1
7
7 7 7 2
1
7
7 566
1
7
7 56
1
7
7 56
2
2
2
2
2
2
2
+ 



= ⋅ 











=
log
( ) log
( ) log
C
C ⋅⋅











= = ( )
( ) = =
1
7
8 2
7 2 6
2
2
2
2
3 2
2
6
log log
logC toneladas
 Resposta: C
02. Q(t) = A ⋅ (0,975)t
t Q A Q A quantidade inicial
Assim
A
A
= → = ⋅ ⇒ =
= ⋅
0 0 0 975 0
2
0
0( ) ( , ) ( ) ( )
:
( ,, ) ( , )
n n( , ) n n ,
n
975
1
2
0 975
1
2
0 975 2 0 975
2
1
t t
t t
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = ⋅
⇒ − =
−l l l l
l tt t
t t t
⋅ − ⇒ − ≅ ⋅ −
⇒ ≅ −
−
⇒ ≅ ⇒ ≅
( , ) , ( , )
,
,
,
0 025 0 693 0 025
0 693
0 025
693
25
27 77 anos
 Resposta: C
03. 
log
log
log ,
log
log
log l
,15
10
10
10
3
10
10
135
135
1 5
3 5
15
10
3 3
= =
⋅( )
=
=
+ oog
log log
log log
log
log
10
10 10
10 10
10
10
5
15 10
3 3
10
2
3 5 1
3 3
−
=
+
⋅( ) −
=
++ −
+ −
=
+ −
+
log log
log log
log log
log l
10 10
10 10
10 10
10
10 2
3
10
2
1
3 3 1 2
3 oog log10 1010 2 1− −
Mas, log 2 = a e log 3 = b 
Assim:
= ⋅ + −
+ − −
= − +
−
3 1
1 1
3 1b a
b a
b a
b a
 Resposta: E
04. Diante do exposto, tem-se:
T
T
T
Tn
0 30
130
2 30
2
3000
99
100
3000
99
100
3000
⋅
⋅
⋅
⋅
=
= 



⋅
= 



⋅
330
99
100
3000= 



⋅
n
decrescimento em P.G. ou exponencial
Devemos ter:
99
100
3000 30
99
100
1
100
1 100
99




⋅ =




=
=
−
−
n
n
n
log log
log logg
log
log( ) log
log log
100
0 10
3 11 10
0 2
2 3 11 2
2
2
2 2
→ =
−
⋅ −
→
→ =
−
⋅ + −
=
−
n
n
n
22 0 477 1 041 2
2
0 005
400 30 12000 2
⋅ ( ) + − =
−
−
= → =⋅ = =
, , ,
minn Tempo n utos 000 horas
 Resposta: D
05. M = log
3
 5 ⋅ log
4
 27 ⋅ log
25
 2
 M = log
3
 5 ⋅ log log
2
3
5
1
2
2 23 2⋅
 M = log
3
 5 ⋅
3
2
3
1
2
2
22 5⋅ ⋅ ⋅log log →
 
M = M =
M =
3
2
1
4
5 3 2
3
2
1
4
1
3
8
3 2 5⋅ ⋅ ⋅ ⋅ → ⋅ ⋅log log log
 Resposta: C
06. Considerando f como sendo a frequência imediatamente abaixo, 
temos que a frequência acima é dada por 212 f 
 Assim:
 
x
f
f
x x
x x
=
⋅
→ = → = →
→ = ⋅ → = ⋅ →
→
2
2 2
1
12
2
1
12
0 3
12 1
12
1
12log log
log log log ,
llog , ,
,
,
x x
x x
x
=  → = →
→ = + → = + →
0 025 1 059
1 0 059
100
100
5 9
100
Tabela
== +100 5 9% , % aumento 
 Resposta: C
4F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
OSG.: 119496/17
07. log
8 
y = log
2
 6 ⇒
8 2 2 6 2162
2
26 3
6 6 3 3log log log= ⇒ = ( ) ⇒ = ( ) ⇒ = ⇒ =y y y y y
 Assim, o paciente deve tomar 216 gotas diariamente, ou seja, a 
cada 24 h. Portanto, 
÷ 3
216 gotas → 24 h em 24 h
72 gotas → 8 h em 8 h
Assim, x = 72 gotas
x ∈ [60, 75[
 Resposta: E
08. 72x – 1 – 7x – 7x – 1 = 0
 
7
7
7
7
7
0
7 7 7 7 0 7
8 0
2
2
2
x
x
x
x x x x A
A A
− − =
( ) − ⋅ − = = 
− ⋅ =
substituindo: 
RRa zes
A
A
b
a
Ax
x
í
ã
:
1
2
0
8
7
0
=
= − =
=
= →
Substituindo em :
7 n o existe xx
7 8
7 8
7 8
2
7
3 2
7
3
x
x
x
x
=
=
⋅ =
= → = ⋅
log log
log log
x
log
log
log
log
Resposta: D
09. 
I. log8 = log23 = 3 ⋅ log2 = 3 ⋅ 0,3 = 0 9,
II. m t m m m
t
( ) = → = ⋅ ∴1
8
1
8
100 0 0 70
 
 
∴ = ∴ =
∴ − = − ⋅ ∴ − = − ∴
− − − −2 10 2 10
3 2
70
10 0 9
70
3 70 3 70
t t
t t
t
log log
log log , == 63 anos
Resposta: D
10. 
log lo2 6 2
2
3
2
9
+ + + +










=…
  
soma infinita de P.G.
gg log2 4x x−
onde a
1
 = 6 e q =
1
3
Logo: S
a
qoo
=
−
=
−
= =1
1
6
1
1
3
6
2
3
9
Assim:
log log x
log
log
log log
log
log log x
2 2
2
2
2 2
2
2 2
9
4
9
2
9 1
1
2
= −
= −
= ⋅ −

x
x
x



log log log log log log2 2 2 2 2 29
1
2
2 9 81 81= ⋅ → = → = → =x x x x
Assim,
log log log3 3 3
481 3 4x = = =
 Resposta: D
11. log a + log b = p
log (a · b) = p → ab = 10p
log log log log log log
1 1 1 1 1 1
10
10
a b a b ab
p
p
p+ = ⋅



= = = = −−
 Resposta: D
12. Para 2014, temos x = 0. Logo:
 PIB ⇒ y
1
 = 60000 e0,05 ⋅ 0 ⇒ y
1
 = 60000
 Nº hab. ⇒ y
2
 = 10000 ⋅ e0,04 ⋅ 0 ⇒ y
2
 = 10000
 Assim, o PIB per capita será:
 
y
y
1
2
60000
10000
6= =
 Daqui a x anos, o PIB per capita será 50% superior ao do ano de 
2014. Logo:
 
y
y
e
e
e e
x
x
x x
1
2
0 05
0 04
0 05 0 04 0 0
15 6
60000
10000
9
9
6
= ⋅ ⇒ ⋅
⋅
=
⇒ = ⇒−
,
,
,
, , , 11
0 01
3
2
3
2
0 01 3
1
2
x
, ,
=
⇒ = ⇒ = +l l l ln e n x n nx
 (TAB) ⇒ 0,01x = 1,10 + (–0,69) ⇒ 0,01x = 0,41
 
⇒ =x anos41
 Resposta: D
13. Temos que:
 log
2
(1 + x4 + x2) + log
2
 (1 + 2x2) = 0
 Então:
 log
2
[(1 + x4 + x2) ⋅ (1 + 2x2)] = 0
 Pela definição: (1 + x4 + x2) ⋅ (1 + 2x2) = 20 = 1
 Fazendo x2 = y, encontramos:
 (1 + y2 + y) ⋅ (1 + 2y) = 1
 2y3 + 3y2 + 3y = 0
 y ⋅ (2y2 + 3y + 3) = 0
 Daí:
I. y = 0 ⇒ x2 = 0 ou
II. 2y2 + 3y + 3 = 0 ⇒ ∆ = –15 ⇒ y ∉ R
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
 Para x2 = 0, temos na equação original: log
2
 1 + log
2
 1 = 0 ⇔ 0 
= 0 (verdade)
 Logo, nos reais, a equação original equivale a x2 = 0, cujas raízes 
são x
1
 = x
2
 = 0
 Resposta: C
14. 
pH
pH
= − ⋅( ) = − ⋅ ⋅( )∴
= − + − ⋅( )
− −log , log
log log log
5 4 10 2 3 10
2 3 3 9 10
8 3 9
∴∴
= − + ( ) −[ ]∴
=
pH
pH
0 3 3 0 48 9
7 26
, ,
,
 Resposta: A
15. Como I(t) é função do 2º grau (concavidade para baixo) temos 
que [I(t)]
máx.
 ocorre quando t
b
a
= −
2
 (x
vértice
), logo:
 I
t
t(t) = − +
2
4
2 , onde: a = − 1
4
 e b = 2
 Assim: X
b
a
V = − = −
⋅ −



=
2
2
2
1
4
4 
 Portanto:
 
I I
m x m x
( ) ( )4
4
4
2 4 4 4 1
2
[ ] = − + ⋅ → [ ] =á á ○
 
mas E kwh0
310 2= − ○
Substituindo 1○ e 2○ em I E
E
= 2
3 0
log 
Temos: 4
2
3 10 3
= −log
E
4
2
3 10
2 3
10
6 10
6 3
6
2
1
3
3
3
=
⋅ =
= −
= − −
= +
−
−
−
log
log
log log
log ( )
logE
E
E
E
E
33
3
10
1000
3
=
=
=
logE
E
E kWh
Resposta: B
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TÁCITO VIEIRA
DIG.: GEORGENES – 02/10/17 – REV.: KATIARY