Cálculo B - Introdução

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Cálculo B 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Revisão de Derivadas com Regra da 
Cadeia e Diferenciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
Revisão de Derivadas 
 
Derivada de uma Função 
 
Note-se que a inclinação de uma reta tangente à curva com equação ( )xfy = no ponto onde 
0xx = , como sendo 
x
xfxxf
m
x 
−+
=
→
)()(
lim
0
. 
Também se sabe que a velocidade instantânea, de um objeto, com uma função posição ( )tfs = 
no instante 0tt = é 
t
tfttf
t
s
v
tt 
−+
=


=
→→
)()(
limlim
00
0 . 
 
Assim, sempre que se calcula uma taxa de variação instantânea em ciência ou engenharia, tais 
como a taxa de reação em química ou o custo marginal em economia, da se a esta taxa de 
variação o nome de derivada da função no ponto 0xx = , Assim, dada uma função ( )xf , a sua 
derivada representada por ( )xf  é definida em 0xx = , 
 
 ( )
x
xfxxf
xf
x 
−+
=
→
)()(
lim
0
, 
 
se o limite existir. 
 
 
Exemplo: Supondo uma função dada por 
22243 smtsmtmx −+= que representa o 
movimento retilíneo de uma determinada partícula, obtenha (a) a posição, (b) a velocidade e (c) 
a aceleração desta partícula no instante st 40 = . 
 
Resolução: 
 
a) Posição: ( )( ) ( )( )220 42443 ssmssmmx −+= 
 
( )( ) mmmmssmmmx 1332163162163 220 −=−+=−+= 
 
b) Velocidade: 244 smtsm
dt
dx
v −== 
 
 ( )( ) smsmsmssmsm
dt
dx
v
st
12164444 2
40
−=−=−==
=
 
 
c) Aceleração: 2
2
2
4 sm
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dv
a −==





== 
 
 
Tabela de Derivadas: 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 16/02/2016 Introdução, revisão de derivadas e diferenciais 
 2 
1. cy = e sua derivada é 0=
dx
cd
 
2. xy = e sua derivada é 1=
dx
xd
 
3. nxy = e sua derivada é 1−= nn nxx
dx
d
 e ( )xuupara
dx
du
nuu
dx
d nn == −1 
4. vCy = e sua derivada é ( )xvvparav
dx
d
CCv
dx
d
== 
5. vuy += e sua derivada é ( )
dx
dv
dx
du
vu
dx
d
+=+ 
( ) ( )xvvparaxuupara == 
6. vuy = e sua derivada é ( )
dx
dv
u
dx
du
vvu
dx
d
+= 
( ) ( )xvvparaxuupara == 
7. 
v
y
1
= e sua derivada é ( )
dx
vd
vdx
vd
vv
dx
d
vdx
d
2
21 11
1
−=−==




 −− 
( )xvvpara = 
8. 
v
u
y = e sua derivada é 





−=





dx
dv
u
dx
du
v
vv
u
dx
d
2
1
( ) ( )xvvparaxuupara == 
9. uy = e sua derivada é 
dx
du
u
u
u
dx
d
= 
10. n uy = e sua derivada é 
dx
ud
u
n
u
dx
d
u
dx
d
nnn
1
11
1 −
== 
11. ( )uy sen= e sua derivada é ( )uu
dx
dy
= cos 
12. ( )uy cos= e sua derivada é ( )uu
dx
dy
−= sen 
13. ( )uy tan= e sua derivada é ( )uu
dx
dy
= 2sec 
14. ( )uy seccos= e sua derivada é ( ) ( )uuu
dx
dy
−= cotseccos 
15. ( )uy sec= e sua derivada é ( ) ( )uuu
dx
dy
= tansec 
16. ( )uy cot= e sua derivada é ( )uu
dx
dy
−= 2seccos 
17. ( )uy arcsen= e sua derivada é 
21 u
u
dx
dy
−

= 
18. ( )uy arccos= e sua derivada é 
21 u
u
dx
dy
−

−= 
19. ( )uy arctan= e sua derivada é 
21 u
u
dx
dy
+

= 
20. ( )uy secarccos= e sua derivada é 
12 −

−=
uu
u
dx
dy
 
 
 
 3 
21. ( )uy arccos= e sua derivada é 
12 −

=
uu
u
dx
dy
 
22. ( )uy arctan= e sua derivada é 
21 u
u
dx
dy
+

−= 
 
23. Se ( )xfy = e ( )ygx = é sua função inversa, então a derivada da função inversa é dada 
por: 
dx
dyyd
xd 1
= 
 
Regra da Cadeia 
 
Se y é uma função diferenciável de u e por sua vez u é for função diferenciável de x , então 
y é uma função diferenciável de x , então a sua derivada tem a forma: 
 
 
xd
ud
ud
yd
xd
yd
= 
 
A deriva da função 
nxy = é dada por 1−= nnx
xd
yd
. 
Por tanto, quando a função for ( )xuuparauy n == a deriva da função será dada por 
( )
xd
ud
nu
xd
ud
ud
yd
xd
yd n == −1 . 
 
Exemplo: A deriva da função ( )32 13 += xy 
 
 ( )22223 133133 +=+=== x
du
dy
xuparau
du
dy
uy 
 
 x
dx
du
xu 613 2 =+= 
Por tanto: 
 
( )  ( ) ( )2222 13186133 +=+== xxxx
xd
ud
ud
yd
xd
yd
. 
 
Exercício: A deriva da função ( )54 2xxy += 
 
 ( )44445 2525 xx
du
dy
xxuparau
du
dy
uy +=+=== 
 
 242 34 +=+= x
dx
du
xxu 
Por tanto: 
 
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 4 
( )  ( ) ( )( )443344 22452425 xxxxxx
xd
ud
ud
yd
xd
yd
++=++== . 
 
A deriva da função ( )xseny = é dada por ( )x
xd
yd
cos= . 
Por tanto, quando a função for ( ) ( )xuuparauseny == a deriva da função será dada por 
( )( )
xd
ud
u
xd
ud
ud
yd
xd
yd
== cos . 
 
 
Exemplo: A deriva da função ( )32xseny = 
 
 ( ) ( ) ( )33 2cos2cos x
du
dy
xuparau
du
dy
useny ==== 
 
 23 62 x
dx
du
xu == 
Por tanto: 
 
( )  ( ) ( )3223 2cos662cos xxxx
xd
ud
ud
yd
xd
yd
=== . 
 
Exercício: A deriva da função ( )xxseny 32 += 
 
 ( ) ( ) ( )xx
du
dy
xxuparau
du
dy
useny 3cos3cos 22 +=+=== 
 
 3232 +=+= x
dx
du
xxu 
Por tanto: 
 
( )  ( ) ( ) ( )( )xxxxxx
xd
ud
ud
yd
xd
yd
3cos32323cos 22 ++=++== . 
 
 
A deriva da função ( )xy cos= é dada por ( )xsen
xd
yd
−= . 
Por tanto, quando a função for ( ) ( )xuuparauy == cos a deriva da função será dada por 
( )( )
xd
ud
usen
xd
ud
ud
yd
xd
yd
−== . 
 
 
Exemplo: A deriva da função ( )xey cos= 
 
 
 
 5 
 ( ) ( ) ( )xx e
du
dy
euparau
du
dy
useny coscos ==== 
 
 xx e
dx
du
eu == 
Por tanto: 
 
( )  ( ) ( )xxxx eeee
xd
ud
ud
yd
xd
yd
coscos === . 
 
Exercício: A deriva da função ( )23 35cos xxy += 
 
 ( ) ( ) ( )2323 3535cos xxsen
du
dy
xxuparausen
du
dy
uy +−=+=−== 
 
 xx
dx
du
xxu 61535 223 +=+= 
Por tanto: 
 
( )  ( ) ( ) ( )232223 3561561535 xxsenxxxxxxsen
xd
ud
ud
yd
xd
yd
++−=++−== . 
 
A deriva da função 
xey = é dada por xe
xd
yd
= . 
Por tanto, quando a função for ( )xuuparaey u == a deriva da função será dada por 
( )
xd
ud
e
xd
ud
ud
yd
xd
yd u == . 
 
 
Exemplo: A deriva da função 
13 += xey 
 
 1313 +=+=== xuu e
du
dy
xuparae
du
dy
ey 
 
 313 =+=
dx
du
xu 
Por tanto: 
 
( ) 1313 33 ++ === xx ee
xd
ud
ud
yd
xd
yd
. 
 
Exercício: A deriva da função 
( )x
ey 2
log
= 
 
 ( ) ( )xxuu e
du
dy
uparae
du
dy
ey 22
loglog
==== 
 
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 6 
 ( )
( )2ln
1
log 2
xdx
du
xu == 
Por tanto: 
 
( )
( )
( )
( )2ln2ln
1 2
2
log
log
x
e
x
e
xd
ud
ud
yd
xd
yd xx
=





== . 
 
A deriva da função ( )xy ln= é dada por 
xxd
yd 1
= . 
Por tanto, quando a função for ( ) ( )xuuparauy == ln a deriva da função será dada por 
xd
ud
uxd
ud
ud
yd
xd
yd






==
1
. 
 
Exemplo: A deriva da função ( )3ln 2 += xy 
 
 ( )
3
1
3
1
ln
2
2
+
=+===
xdu
dy
xupara
udu
dy
uy 
 
 x
dx
du
xu 232 =+= 
Por tanto: 
 
( )
3
2
2
3
1
22 +
=





+
==
x
x
x
xxd
ud
ud
yd
xd
yd
. 
 
Exercício: A deriva da função ( )xxy 32ln 5 += 
 
 ( )
xxdu
dy
xxupara
udu
dy
uy
32
1
32
1
ln
5
5
+
=+=== 
 
 31032 45 +=+= x
dx
du
xxu 
Por tanto: 
 
( )
xx
x
x
xxxd
ud
ud
yd
xd
yd
32
310
310
32
1
5
4
4
5 +
+
=+





+
== . 
 
 
Exercício: ( )22 2xxy += achar y
xd
d
 
 
xxu 22 += , logo 
2uy = 
 
 e 
 
 
 
 7 
( )( ) ( )( ) xxxxxxxu
xd
ud
ud
yd
xd
yd
y
xd
d
81242222222 232 ++=++=+=== 
 
 
Exercício: ( ) 12 += xxf pela regra da cadeia faz-se 12 += xu 
 
( ) uxf = ; ( ) ( ) ( )xu
xd
d
xf
ud
d
xd
du
ud
dy
xf
xd
d
== para ( )xfy = 
 
 
então 
 
( ) ( ) ( )
12
2
2
2
1
1
2
2
1
22
1
+
==





=+=
−
x
x
u
x
xux
xd
d
u
ud
d
xf
xd
d
 
 
 
Exercício: Dado ( ) ( )1002 5xxxf += calcule( )xf
xd
d
 
Faz-se xxu 52 += e usa-se a regra da cadeia 
 
( ) ( ) ( ) ( )xx
xd
d
u
ud
d
xu
xd
d
xf
ud
d
xf
xd
d
52100 +== 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )99299299 52500200525210052100 xxxxxxxuxf
xd
d
++=++=+= 
 
Exercício: Dado ( ) xxxf −= 22 calcular ( )xf
xd
d
 
 
Faz-se xxu −= 22 e usa-se a regra da cadeia, isto é, ( ) uxf = , logo 
 
( ) ( ) ( ) ( )xx
xd
d
u
ud
d
xu
xd
d
xf
ud
d
xf
xd
d
−== 22 
 
( ) ( ) ( )
xx
xxx
xx
xxxx
x
xx
xx
x
u
u
xf
xd
d
−
+−
=
−
+−−
=−








−
−
=−








=
2
23
2
223
2
2
2
68
2
248
14
2
2
14 
 
 
Se y é uma função diferenciável de u , que por sua vez é função diferenciável de v , que por 
sua vez é função diferenciável de t , que por sua vez é função diferenciável de s , e esta é 
função diferenciável de x , então y é uma função diferenciável em x , e sua derivada tem a 
forma: 
 
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 8 
 
xd
sd
sd
td
td
vd
vd
ud
ud
yd
xd
yd
= 
 
Exemplo: ( ) ( )( )3cos 22 += xnxf  achar ( )xf
xd
d
 
 
Neste caso troca-se parte da função na variável x por uma nova na variável u , fazendo 
 
( ) ( )3cos/ 22 +=== xnupuuyy  , 
 
( ) ( ) ( )3cos/ 2 +=== xvpvnvuu  , 
 
( ) ( )3cos/ 2 +=== xtpttvv , 
 
( ) ( ) 3/cos 2 +=== xspsstt , 
 
assim 
 
( ) ( )3cos23cos/2 22 +=+== xn
du
dy
xnupu
du
dy
 , 
 
( )
( )3cos
1
3cos/
1
2
2
+
=+==
xdv
du
xvp
vdv
du
, 
 
( )
( )3cos2
1
3cos/
2
1
2
2
+
=+==
xdt
dv
xtp
tdt
dv
, 
 
( ) ( )3sen3/sen 22 +−=+=−= x
ds
dt
xsps
ds
dt
, 
 
x
dx
ds
2= , 
 
e voltando à variável x , tem-se: 
 
 ( ) ( )
( ) xd
sd
sd
td
td
vd
x
xn
xd
sd
sd
td
td
vd
vd
ud
xn
xd
yd
3cos
3cos2
3cos2
2
2
2
+
+
=+=

 
 
 
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) xd
sd
sd
td
x
xn
xd
sd
sd
td
xx
xn
xd
yd
3cos
3cos
3cos2
1
3cos
3cos2
2
2
22
2
+
+
=
++
+
=

 
 
 
( )( )
( )
( )  ( ) ( )( )
xd
sd
xnx
xd
sd
x
x
xn
xd
yd
3cos3tan3sen
3cos
3cos
222
2
2
++−=+−
+
+
= 

 
 
 
 
 9 
 ( ) ( )( )( )xxnx
xd
yd
23cos3tan 22 ++−=  
 
 ( ) ( )( )3cos3tan2 22 ++−= xnxx
xd
yd
 
 
Exercício: ( )23sen xxy += achar 
xd
yd
 
( ) ( ) ( )23/sen xxupuuyy +=== , 
 
( ) xxvpvvuu +=== 32 / , 
 
logo: 
 
( ) ( ) ( )2323 cos/cos xx
du
dy
xxupu
du
dy
+=+== , 
 
( )xx
dv
du
xxvpv
du
du
+=+== 33 2/2 , 
 
( )132 2 += x
dx
ds
, 
e 
( )     2622cos 2323 +++== xxxxx
xd
vd
vd
ud
ud
yd
xd
yd
 
 
( ) ( )23234 cos1334 xxxxxx
xd
yd
++++= 
 
Calcular as derivadas 
 
1. ( ) ( )832 −= xxf ; R: ( ) ( )73216 −= xxf 
2. ( )
3
2
13





 +
=
x
x
xf ; R: 
( ) 




 +





 +
−=
3
2
2
2313
3
x
x
x
x
xf 
3. ( ) 122 −+= xxxg ; R: ( )
12
1
2 −+
+
=
xx
x
xg 
4. 3 34 23 xxy += ; R: 
3 234
23
)23(3
612
xx
xx
dx
dy
+
+
= 
5. ( )1023 354 ++= xxy ; R:
( ) ( )xxxx
dx
dy
101235410 2
923 +++= 
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 10 
6. ( )4510 3xxogy +=  ; R: ( ) ( )45
34
310
125
xxn
xx
dx
dy
+
+
=

 
7. ( )23 54cos xxy += ; R: 
( ) ( )xxxx
dx
dy
101254sen 223 ++−= 
8. ( )xxy 2tan 3 += ; R: ( ) ( )232sec 232 ++= xxx
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
Diferenciais 
 
Diferencial 
 
Seja )(xf uma função e sejam x e y , variáveis e relacionadas por )(xfy = . Então, a 
diferencial dxé um valor qualquer do domínio de )(xf para o qual a derivada 
( )
dx
xdf
existe , 
e a diferencial de dy é definida por 
 
( )
xd
xd
fd
dx
xd
xfd
yd 





=





= 
 
Exemplo: Se 123)(
2 +−== xxxfy , obter a diferencial dy . 
 
Solução: 
1o passo: obtém-se a derivada 
dx
yd
, isto é, 
 
 
( )
26
123 2
−=
+−
= x
dx
xxd
dx
yd
. 
 
2o passo: obtém-se a diferencial dy , sabendo que esta é igual à derivada 
dx
yd
multiplicada 
pela diferencial xd , ou seja, 
 
 ( ) xdxyd 26 −= . 
 
Em resumo: 
 
 
( ) ( )
( ) xdxydx
dx
xxd
dx
xfd
dx
yd
2626
123 2
−=−=
+−
== . 
 
 
 11 
 
 
Deve observar-se a diferença entre a diferencial dxda variável independente x e a diferencial 
dy da variável dependente y . Pois, dx pode assumir qualquer valor, mas o valor de dy
depende de x , dx e )(xf ; e por tanto, de 
( )
dx
xdf
. 
 
Exercício: Calcular a derivada de 1a ordem da função ( ) ( )23 xxsenxy += utilizando a regra da 
cadeia. 
 
 
Solução: ( ) ( )23 xxsenxy += 
 
( ) ( )usenuy = ( )23/ xxup += ( )u
du
dy
cos= 
 
( ) 2vvu = , xxvp += 3/ v
du
du
2= 
 
( ) xxxv += 3 ( )132 2 += x
dx
ds
 
 
logo: 
 


















=
xd
vd
vd
ud
ud
yd
xd
yd
 
 
como: 
 
( ) ( )
( )
( )
( )     2622cos
132
22
coscos
2323
2
3
23
+++=
















+=
+==
+==
xxxxx
xd
yd
x
dx
ds
xxv
du
du
xxu
du
dy
 
 
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