ap3_ipe_2010_1_gab

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e Estat´ıstica Versa˜o Gabarito 01/2010 Coord. Edson Cataldo
1a Questa˜o [2,0 pontos] Quantos sa˜o os anagramas da palavra BRASIL em que o B ocupa o primeiro
lugar ou o R o segundo lugar?
Resoluc¸a˜o:
Consideremos M o conjunto dos anagramas da palavra BRASIL em que o B ocupa o primeiro
lugar e N o conjunto dos anagramas da palavra BRASIL em que o R ocupa o segundo lugar.
Temos,
n(M) = P (5) = 120 e n(N) = P (5) = 120. Tambe´m, n(N ∩M) = P (4) = 24. Portanto,
n(M ∪N) = N(M) + n(N)− n(M ∩N) = 120 + 120− 24 = 216.
2a Questa˜o [2,0 pontos] Desenvolva a expressa˜o (2x− 1)5, usando Binoˆmio de Newton.
Resoluc¸a˜o:
Usando Binoˆmio de Newton, temos
(2x − 1)5 = C(5, 0)(2x)5(−1)0 + C(5, 1)(2x)4(−1)1 + C(5, 2)(2x)3(−1)2 + C(5, 3)(2x)2(−1)3 +
C(5, 4)(2x)1(−1)4 + C(5, 5)(2x)0(−1)5 = 32x5 − 80x4 + 80x3 − 40x2 + 10x− 1.
3a Questa˜o [2,0 pontos] Um dado honesto e´ lanc¸ado duas vezes. Determine a probabilidade de se
obter um nu´mero menor do que treˆs em pelo menos um dos lanc¸amentos.
Resoluc¸a˜o:
O espac¸o amostral e´ dado por Ω = {(a, b)|1 ≤ a ≤ 6 e 1 ≤ b ≤ 6}. Assim #Ω = 36.
Consideremos o evento A = {(a, b) ∈ Ω|a e´ menor que treˆs ou b e´ menor que treˆs}.
Para contar o nu´mero de elementos de A podemos dividir o problema em treˆs casos: (i) no primeiro
lanc¸amento e´ obtido um nu´mero menor que treˆs e no segundo lanc¸amento e´ obtido um nu´mero maior
ou igual a treˆs; (ii) no primeiro lanc¸amento e´ obtido um nu´mero maior ou igual a treˆs e no segundo
lanc¸amento e´ obtido um nu´mero menor que treˆs e (iii) nos dois lanc¸amentos sa˜o obtidos nu´meros
menores que treˆs.
Para o primeiro caso temos 2×4 = 8 possibilidades. Para o segundo caso tambe´m temos 4×2 = 8
possibilidades. E, finalmente, para o terceiro caso tambe´m temos 2× 2 = 4 possibilidades. Logo, no
total temos 8 + 8 + 4 = 20 possibilidades.
Portanto, P (A) =
20
36
=
5
9
.
4a Questa˜o [2,0 pontos] Em uma populac¸a˜o, o nu´mero de homens e´ igual ao de mulheres. Sabe-se
ainda que 5% dos homens desta populac¸a˜o sa˜o daltoˆnicos e 1% das mulheres sa˜o daltoˆnicas. Uma
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pessoa desta populac¸a˜o e´ selecionada ao acaso.
(a) Determine a probabilidade de a pessoa selecionada ser daltoˆnica, sabendo que e´ mulher.
(b) Determine a probabilidade de a pessoa selecionada ser daltoˆnica?
(c) Determine a probabilidade de a pessoa selecionada ser mulher, sabendo que e´ daltoˆnica.
Resoluc¸a˜o:
Neste problema, o espac¸o amostral e´ formado pelas pessoas que pertencem a` populac¸a˜o citada.
Considere enta˜o os seguintes eventos:
H: pessoas da populac¸a˜o que sa˜o homens;M : pessoas da populac¸a˜o que sa˜o mulheres e D: pessoas
da populac¸a˜o que sa˜o daltoˆnicas.
De acordo com as informac¸o˜es contidas no enunciado, temos que: P (H) = 0, 5, P (M) = 0, 5 ,
P (D|H) = 0, 05 e P (D|M) = 0, 01.
(a) Temos, P (D|M) = 0, 01.
(b) Usando o Teorema da Probabilidade Total, temos P (D) = P (D|M) × P (M) + P (D|H) ×
P (H) = 0, 01× 0, 5 + 0, 05× 0, 5 = 0, 03.
(c) Pelo Teorema de Bayes, temos P (M |D) = P (D|M)× P (M)
P (D)
=
0, 01× 0, 5
0, 03
=
1
6
.
5a Questa˜o [2,0 pontos] Em um torneio de tiro ao alvo, a probabilidade de que determinado atirador
atinja o alvo e´ 0, 7. Se o atirador disparar 5 vezes contra o alvo, determine a probabilidade de ele
atingir o alvo em 3 dessas vezes.
Resoluc¸a˜o:
Usando o Teorema Binomial, temos:
P = C(5, 3)× (0, 7)3 × (0, 3)2 = 10× 343
1000
× 9
100
=
3087
10000
= 30, 87%.
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