Apostila - Fenomenos de tranporte I

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade Acadêmica Tecnológica- UNITEC
Disciplina de Fenômenos de Transporte I 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
Introdução
Fenômenos de Transporte I ou Mecânica dos Fluidos é uma disciplina que 
estuda o movimento dos fluidos e as forças responsáveis pelo movimento. Pode-se 
definir fluído como uma substância que se deforma continuamente sob a ação de 
uma tensão de cisalhamento.
A disciplina de Mecânica dos Fluídos é importante para o entendimento de 
muitos processos de Engenharia, sendo ela uma disciplina base do currículo das 
Engenharias. 
1 Sistema de Unidades
Unidades Fundamentais: são medidas independentes umas das outras, e são 
suficientes para descrever quantidades físicas essenciais.
Unidades Derivadas: são desenvolvidas a partir das unidades fundamentais.
Durante os estudos serão vistas unidades em quatro sistemas : SI (Sistema 
Internacional de Unidades), SAE ( Sistema Americano de Unidades de Engenharia), 
USCSL (Sistema convencional dos EUA) e o Sistema Inglês de Unidades.
Tabela I – Unidades do SI
Quantidade Física Nome da Unidade Símbolo Definição
Unidade 
Fundamental
Comprimento Metro m
Massa Quilograma Kg
Tempo Segundo s
Temperatura Kelvin K
Quantidade Molar Quilograma mol Kgmol
Unidades 
Derivadas
Energia Joule J Kg.m2.s-2  Pa.m3
Força Newton N Kg.m.s-2 Joule/m
Potência Watts W Kg.m2.s-3Joule/s 
(Watts)
Densidade Quilograma por 
metro cúbico
Kg/m3 Kg/m3
Velocidade Metro por segundo m/s m/s
Pressão Newton por metro 
quadrado ou 
Pascal
N/m2 ou Pa N/m2 Pascal
Volume Litro L Ldm3
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1.1 Conversões de Unidades
Unidade de Comprimento: 1” -------- 2,54cm
1’ --------30,48cm
1m ------100cm
1m -----1000mm
Unidades de Massa: 1Kg -----1000g
1lbm ----0,45359Kg
1slug ---14,5939Kg
1slug ---32,2lbm
Unidade de Força: F=m.a
• No sistema Internacional  F=Kg.m.s-2 = N
• No sistema Inglês  F=lbm.ft.s-2 = poundal (pdl)
• No sistema SAE  F=lbm.ft.s-2 /gc= lbf
• No sistema USCSL  F= slug.ft.s-2 = lbf
1 lbf --------4,4482N
1poundal ---0,13825N
1Kgf ---------9,81N onde Kgf=UTM.m.s-2=F
Unidade de Pressão: N.m-2 =Pa (SI)
Lbf.ft-2 =PSF (USCSL)
Lbf.pol-2 =psi (SAE)
pdl.ft-2 (Sistema Inglês)
kgf.m-2 ou kgf.cm-2 
760mmHg----1atm---101.325Pa---1,01325bar---1,033Kgf.cm-2---10328Kgf.m-
2---14,7psi---10,34m.c.a---68039,6pdl.ft-2---2.116,8 psf
Unidade de Potência: watts=J/s=N.m.s-1 (SI)
lbf.ft.h-1 (SAE)
1hp---746watts---736cv
1hp---550lbf.ft/s
Aceleração da Gravidade: 9,81m/s --- 32,185ft/s
Massa Específica da Água:
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1g/cm-3---1000Kg/m3---62,4lbm/ft3---1,937slug/ft3
Temperatura: °C + 273= K
 (ºF – 32) 5/9 = ºC
2 Propriedades no Ponto
2.1 Densidade do Ponto (Massa específica)
 
Ex: Calcular a densidade da água: d=(1000kg.m-3)/ (1000kg.m-3) =1
Ex: Massa específica de um óleo : óleo = d. água
 óleo = 0,8.1000kg/m-3=800kg/m-3
A natureza de um fluído é representada pelo contínuo.
O contínuo é uma quantidade para qual uma média estatística comprove a 
sua representatividade da população ou, em outras palavras, o contínuo deve 
representar a natureza do fluído.
As propriedades dos fluídos mais comum são: , μ,k,cp.
2.2 Pressão no Ponto em um Fluido Estático
A soma das forças que atuam em um fluído estático são as da gravidade e de 
pressão e deve ser igual a zero através do fluido. Considere um fluído elementar de 
tamanho diferencial colocado em um sistema de coordenadas inercial, conforme 
figura abaixo:
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ΣF=0
Peso=m.g
Peso= .volume.g
Designando P1=P|x P3=P|z+Δz P5=P|y
 P2=P|x+Δx P4=P|z P6=P|y+Δy
.g.(Δx.Δy.Δz)+(P|x-P|x+Δx) Δy. Δz+( P|y- P|y+Δy) Δx. Δz+( P|z- P|z+Δz). Δx
. Δy=0. Dividindo todos os termos por Δx. Δy. Δz e levando ao limite:
Levando a equação ao limite:
PS: Quando adotamos diâmetros menores para o vaso, dx e dz=0
Portanto: ΔP= .g.h
2.2.1 Pressão Manométrica e Pressão Absoluta
A pressão manométrica ou pressão efetiva é informada pelo manômetro de 
um determinado equipamento ou sistema, sendo que ele informa a pressão interna 
do sistema sem levar em conta a pressão externa.
A pressão absoluta é a soma da pressão manométrica, mais a pressão 
externa (atmosfera local).
Pmanométrica=Pgage=psig
Psia=Pabsoluta=PMan+Patm.
Pa=PM+Patm
2.2.2 Experimento de Torricelli
No experimento de Torricelli, foi colocado mercúrio em um tubo com uma 
extremidade aberta (a) e outra fechada (b), em seguida foi fechado o tubo que tinha 
mercúrio e foi emborcado o tubo verticalmente em uma cuba contendo mercúrio. 
Quando foi retirada a tampa do tubo o mercúrio desceu até o ponto E ficando a uma 
altura de 760mm (ao nível do oceano e gravidade 9,81m/s2) (c). Acima do ponto E 
da coluna de mercúrio existe um espaço vazio que é chamado de vácuo parcial, ou 
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seja, com pressão praticamente nula pois, a pressão de vapor do mercúrio é 
desprezível nestas condições.
Como os pontos B’ e B estão no mesmo nível, eles possuem a mesma 
pressão ou seja, como a altura piezométrica no ponto B é 760mm, a pressão em B’ 
também é de 760mm de coluna de mercúrio. 
 Veja ilustração:
Designando:
Po=PB’=PB=PE+ Hg.g.h
Onde PE=0 (Vácuo parcial)
Hg= 13,6 vezes a da água= 13.600kg/m3
 PB= 0+13600kg/m3.9,81m/s.0,76m
 PB=101.321,604Pascal=PB’=Po, pois estão todos no mesmo nível.
PS: A medida que descemos na coluna de fluido (um ponto mais profundo em 
relação à superfície), tendo como referência a pressão da superfície, o valor da nova 
pressão aumenta, por isso, soma-se a pressão inicial + .g.h.
A medida que subimos na coluna de fluido (um ponto mais próximo à 
superfície), tendo como referência um ponto mais profundo, devemos diminuir da 
pressão inicial o termo - .g.h.
2.3 Exercícios Resolvidos
1-Calcule a Pressão absoluta e manométrica no ponto 1 da figura 
apresentada.
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Resolução:
P1= Patm+ .g.h (Pressão Absoluta)
P1=101.300Pa+1000Kg/m3.9,81m/s2.10m
P1= 199.400Pa
P1= Patm+ .g.h  Pressão manométrica
P1= 0+1000Kg/m3.9,81m/s2.10m
P1= 98.100Pa
2- Calcule qual a altura h da figura, sabendo que a pressão manométrica no 
ponto A é de 1,5kgf/cm2, que a densidade do óleo é de 0,8 e a do mercúrio é de 
13,6.
Resolução:
1,033kgf/cm2 101300Pa
1,5kgf/cm2 X=147095,84Pa
óleo = d. água
óleo = 0,8. (1000kg/m-3)=800kg/m-3
Hg = d. água
Hg = 13,6. (1000kg/m-3)=13600kg/m-3
PA+ oleo.g.h - Hg.g.h=PATM
147095,84Pa+800Kg/m3.9,81m/s2.(0,8+h) - 13600Kg/m3.9,81m/s2.(h)=0
147095,84Pa+6278,4Pa+7848.h-133416h=0
h=1,22m
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Exercícios Propostos
1 – Para uma pressão manométrica de -1000kgf/m2, qual a densidade do 
fluído B? (Resposta=1)
2 – Um aumento de pressão no reservatório R da figura abaixo ocasiona um 
rebaixamento do nível D para a posição B. Com isso, a água sobe na tubulação 
inclinada T do micromanômetro, desde o ponto N até C. Sabendo que as seções 
transversais do reservatório R e do tubo T tem áreas AR=3200mm2 e AT =80mm2, 
respectivamente, calcule a diferença de pressão entre B e C.
(Resposta= 4738,23Pa)
3 – Dada a figura abaixo. Calcule as pressões em m.c.a nos pontos B, C e D.. 
A densidade da água é 1 e a do óleo é 0,895.
(Resposta: PB=2,7m.c.a; PC=1,6m.c.a; PD= 0,526m.c.a)
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4 – O sistema ar-óleo-água da figura abaixo está a 70ºF. O manômetro A 
indica 16,1 psig ou lbf/in2 e o manômetro B indica 2 psig a menos do que o 
manômetro C. Calcule :
 - A massa específica do óleo em lbm/ft3 e em Kg/m3.
- A leitura dos manômetros C e B em psig.
(Resposta: óleo=804,666Kg/m3 ou 50,2438lb/ft3 ; PB=16,7983psig ; PC=18,7983psig)
 5 - Os reservatórios A e B contém água e estão submetidos a pressões de 
30psi e 15 psi respectivamente. Qual o valor da deflexão de Hg (começa em C e 
termina em D) em ft?
(Resposta: h=3,3793ft)
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6 – Conforme figura abaixo, o manômetro M fornece uma pressão de 
-0,122kgf/cm2. Obtenha os valores de y e z (coluna A); da coluna B calcule o valor 
da altura entre G e H e o valor de z, na coluna C. Calcule a altura de J até I e z, na 
coluna K; calcule o valor de Hm. (Resposta: Coluna A (y=1,355m;z=908,645m); 
Coluna B(y=1,48m;z=908,48m); Coluna C (y=2,90m;z=907,9m); Coluna K 
(Hm=0,62356m);
7 - Determinar a pressão efetiva do gás nos 2 reservatórios da figura;
(Resposta: Gás A (PA= -20012,4Pa); Gás C (Pc= -6278,4Pa) )
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8 – Um manômetro diferencial é colocado entre as seções A e B em um tubo 
horizontal, no qual escoa H2O. A deflexão do Hg no manômetro é de 576mm, o nível 
mais próximo de A sendo o mais baixo deles. Calcular a diferença de pressão entre 
as seções A e B em kgf/m2.
(Resposta: ΔP=7258,8667kgf/m2)
 9 - A perda através do dispositivo X deve ser medida por um manômetro 
diferencial usando um óleo de densidade 0,75 como fluido indicador. O líquido que 
escoa tem uma densidade de 1,50. Determine a diferença de pressão entre A e B 
para a deflexão do óleo indicado.
(Resposta: ΔP=33108,75Pa)
10 – Dada a figura abaixo, calcule a pressão do ar interno do tanque, sabendo 
que o manômetro está indicando 5psig.
(Resposta: 32960,7383Pa)
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3 Descrição de um fluído em movimento
Existem três leis físicas fundamentais que podem ser aplicadas a um fluxo de 
um fluido de qualquer natureza. Elas são:
• Lei da conservação de massa.
• Segunda Lei de Newton do Movimento.
• Primeira lei da termodinâmica (Lei da conservação de Energia).
Existem duas formas de representação de um campo de fluxo de um fluído. A 
forma de Lagrange e a forma de Euler.
Campo: Quantidade definida em função da posição e do tempo através de 
uma dada região.
Exemplo da representação do campo da forma de La Grange: v=v(a,b,c,t);
Exemplo da representação do campo da forma de Euler: v=v(x,y,z,t) Adotar-
se-á a forma de Euler pois nela todas as variáveis são independentes.
Um fluxo de um fluido é dito estacionário quando, em qualquer ponto do 
fluido, as propriedades não variam com o tempo.
Já em um fluxo transiente, em algum ponto do fluxo, uma das propriedades 
varia com o tempo. Ex: , temperatura, μ, etc.
É possível transformar um fluxo transiente em um fluxo estacionário pela 
escolha de um novo sistema de coordenadas. Vejamos a ilustração abaixo, onde, 
dependendo da coordenada, o fluxo se torna transiente ou estacionário.
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3.1 Linha de Fluxo
É a linha tangente ao vetor velocidade desenhada em cada ponto do fluxo de um 
fluido.
(a)Linha de fluxo de uma elipse
(b) Linha de fluxo de uma semi-elipse
Na figura (b), no ponto 1 temos uma zona de baixa pressão e velocidade 
maior, pois as flechas do fluxo tem que chegar juntas com as flechas do fluxo 2 que 
possui um zona de alta pressão e velocidade menor.
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(c) Linha de fluxo de um barco trafegando na água
Na figura (c) no ponto 1, temos uma maior turbulência e uma força que puxa o 
barco para trás.
Um sistema é definido como uma quantidade de matéria de identidade fixa. Já 
um volume de controle é uma região no espaço através da qual um fluido flui. Dentro 
de um volume de controle a massa ou a matéria pode mudar, a natureza energética 
também, mas a forma é fixa. O volume de controle pode ser finito ou infinitesimal. 
Ex:
3.2 A Lei de Conservação de Massa
Aplicando a lei da conservação de massa a um volume de controle (V.C) no 
campo de fluxo de um fluido, podemos afirmar que:
(Taxa de massa que sai do V.C) – (Taxa de massa que entra no V.C) + (Taxa 
acumulada no V.C) =0
Sai - Entra=Acúmulo
Sai - Entra=0 ( estado estacionário)
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A expressão abaixo representa a Lei da Conservação de massa aplicada ao 
fluido em movimento, também é chamada de equação da continuidade.
 
3.2.1 Formas especiais da equação da continuidade
Caso 1: Se o fluxo do fluido ocorrer no Estado Estacionário a equação fica:
Caso 2: Se o fluxo ocorrer no estado estacionário e incompreensível ( = 
constante).
Caso 3: Integrando para um V.C. com áreas A1 e A2 de entrada e saída do 
fluido: no caso de 1A1v1 na entrada do volume de controle e 1A2v2 na saída do 
volume de controle.
1A1v1= 2A2v2= 3A3v3= nAnvn e se for constante:
A1v1= A2v2=A3v3=constante  v.A=m/s.m2=Q(m3/s)=constante em todos 
os pontos do fluxo.
3.3 Segunda Lei de Newton do Movimento
“A taxa de mudança do movimento de um sistema é igual à força líquida que 
atua no sistema e toma lugar na direçãoda força”.
Substituiu-se a equação da continuidade no valor (dm/dt) e acrescentou-se a 
velocidade nas integrais.
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3.4 Lei da Conservação de Energia
A primeira lei da termodinâmica afirma que “Se um sistema é conduzido 
através de um ciclo, o calor total adicionado no sistema a partir de seus arredores é 
proporcional ao trabalho feito pelo sistema nos seus arredores”. Aplicando a lei da 
conservação de energia para um volume de controle localizado no campo de fluxo 
de um fluido e designando uma quantidade “e” como a energia específica do sistema 
ou a energia por unidade de massa de fluido, podemos escrever:
(A) – (B) = (C) – (D) + (E)
(A)= Taxa de adição de calor no volume de controle;
(B)= taxa de trabalho feito pelo V.C;
(C)= Taxa de energia que sai do V.C;
(D)=Taxa de energia que entra no V.C;
(E)= Taxa de acumulação de energia dentro do V.C;
Descrevendo a 1ª Lei da Termodinâmica tem-se a seguinte equação:
Onde: Ws=Wshaft=Weixo ; P/ = Pressão Dinâmica do sistema
Wμ=Wviscosidade ; e=energia do sistema
3.4.1 Casos Especiais
Caso 1: Encontre a expressão da lei da conservação de energia aplicada a 
um volume de controle (figura abaixo), sabendo que o fluxo do fluído ocorre em 
estado estacionário e não há perdas por fricção.
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Sendo que: v2/2 = energia cinética ;
u= energia interna do sistema;
g.h= energia potencial;
Como 1A1v1= 2A2v2=m (taxa) (segundo a conservação de massa.
Caso 2: Equação de Bernoulli
A expressão da primeira lei da termodinâmica aplicada ao volume de controle 
da figura abaixo onde o fluxo é estacionário, incompreensível, sem viscosidade, sem 
trabalho de eixo, sem adição de calor e sem variação da energia interna do sistema, 
pode ser escrita da seguinte forma:
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Aplicação da Equação de Bernoulli
Encontre a expressão da equação da primeira lei da conservação de energia 
no caso do esvaziamento de um tanque com nível constante.
Fazendo o balanço de energia entre os pontos 1 e 2 do V.C.:
3.5 Exercícios Resolvidos
1 – Água flui em condições estacionárias e uma bomba libera 3hp para o 
fluido, conforme dados da figura abaixo. Qual a taxa líquida de massa em lbm/s se 
desprezarmos as perdas por fricção?
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Resolução
COLOCAR OS PONTOS, ou seja, definir o volume de controle e as 
superfícies de controle, identificando-as como ponto 1 ( entrada do fluido) e ponto 2 ( 
saída do fluido).
3hp= 1.650 lbf.ft/s
Sabemos que a taxa é massa por unidade de tempo, e como esta é constante 
temos: 
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Calculando a diferença de Pressão entre P2 e P1:
 
Substituindo na equação da energia:
A taxa líquida será de: 
2 – Um tanque pressurizado de seção circular com 6ft de diâmetro tem uma 
pressão constante acima da superfície líquida de 4” de Hg. O tanque tem óleo de 
densidade 0,75, nível constante, 5 ft de altura de óleo que é drenado por uma 
tubulação lateral com 2” de diâmetro. Quanto tempo leva para baixar o nível de óleo 
em 2ft?
Dados: d(óleo)=0,75 d(Hg)=13,6
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Resolução
COLOCAR OS PONTOS, ou seja, definir o volume de controle.
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Portanto:
3 – O tanque abaixo, aberto à pressão atmosférica, contém óleo e salmoura, 
conforme ilustração. Calcule o tempo que a salmoura leva para escoar, sabendo que 
a densidade do óleo é de 0,8 e da salmoura é de 1,2.
Resolução
COLOCAR OS PONTOS, ou seja, definir o volume de controle.
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Para determinar o valor de h, em uma mistura heterogênea, temos que 
converter as alturas dos dois fluidos com propriedades diferentes, para uma única 
altura de um mesmo fluido. 
Portanto a altura equivalente do tanque em óleo será de 2,5+1,05=3,55m.
Voltando a equação:
4 – Água flui em estado estacionário através de um tubo colocado na vertical. 
Se a pressão manométrica onde está instalado o manômetro mede 0, determine:
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a) A vazão;
b) A pressão na entrada da tubulação;
Resolução
a)
 COLOCAR OS PONTOS, ou seja, definir o volume de controle.
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b) Realizando um novo balanço
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Exercícios Propostos
1 – Determine h se a pressão de estrangulamento é de -10psig e o nível do 
tanque é constante.
(Resposta:0,161m)
2 – Determine a perda de energia em m.c.a quando a água flui do lago 
superior para o lago inferior a uma vazão de 0,178ft/s. Calcule a potência da bomba 
em Hp para elevar água do lago inferior ao superior nessas condições. Considere os 
níveis dos lagos constantes.
(Resposta:15,24m.c.a; 2,02hp)
3 - Assumindo que o nível da água no reservatório da figura abaixo é 
constante e que não há perdas por fricção na tubulação, determine:
a) A vazão na saída da tubulação;
b) A velocidade nos pontos A,B,C e D;
c) A pressão nos pontos A, B,C e D;
 Resposta: (a)=2,2166x10-2 m3/s
 (b) =2,734m/s
 (c) PA=65024,797Pa
 PB=PD=56064,16PaPD=-3737,378Pa
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4 – Um exaustor retira ar da atmosfera através de um duto cilíndrico que tem 
uma entrada sem turbulência. Um manômetro diferencial é conectado na parede do 
duto indicando uma pressão de 1”H2O. A densidade do ar é de 1,22x10-3. Determine 
a vazão de ar no duto em ft3/s e a potência do exaustor em hp.
(Resposta:Q=1,4869m3/s; W=0,504889hp)
5 – Calcule a potência da bomba em watts para uma instalação de 
bombeamento de água entre dois reservatórios, conforme figura.
(Resposta:4034,82Watts)
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6 – Um tanque de grande diâmetro contém ar comprimido, gasolina de 
densidade 0,68, óleo de densidade 0,8 e água, conforme figura abaixo. A pressão do 
ar indicada pelo manômetro é 120KPa. Negligenciando perdas por atrito, qual a taxa 
de massa em Kg/s que sai do jato (J) com 20mm de diâmetro?
(Resposta: 4,011Kg/s)
7 – Um sistema de aspersão de H2O em jardins consiste de uma tubulação vertical 
com 2m de comprimento e 20cm de diâmetro, composto por dois discos circulares 
sobrepostos a uma distância mínima de 15mm, ambos com 0,5m de raio, por entre 
os quais a água de espalha. Estime a vazão de H2O em m³/s deste sistema. A 
pressão na base do duto vertical e no centro da tubulação é estimada em 70KPa.
(Resposta: Q=0,4232m³/s)
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8 – Em um sistema de tubulação para teste de esforços, a seção de teste, 
parte de um duto cilíndrico, tem vários pequenos furos com 5mm de diâmetro por 
onde flui ar a uma velocidade de 12m/s. O número total de furos é de 850 
espalhados uniformemente na seção da tubulação que mede 90cm de diâmetro e 
4m de comprimento. A velocidade do ar na entrada desta seção é de 40m/s. 
Considerando ar à temperatura média de 25ºC a 1 atm. Estime:
a) Velocidade no início da tubulação com 2,5cm de diâmetro;
b) A vazão total de sucção de ar em m³/s;
c) A velocidade de saída do ar no duto com 2,3m de diâmetro.
(Resposta: a)5,18m/s; b)25,24m³/s; c)6,06m/s)
9 – Ar a 20ºC circula através de um duto conforme figura. A pressão a 
montante do estrangulamento é de 6x10³Pa, o fluido no reservatório é H2O e os 
manômetros antes e no estrangulamento são respectivamente 25mm e 10mm. 
Calcule a menos vazão de ar em L/s capaz de provocar a pulverização de H2O no 
duto de escoamento do ar.
(Resposta: Q=274,54L/s)
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10 – Bombeia-se óleo através de uma linha com 75Km de extensão. A saída 
está em um nível 60m abaixo do nível da estrutura e a pressão na descarga deve ter 
no mínimo 24psig. O óleo tem d=0,81. Há uma perda de carga no trajeto equivalente 
a 50KPa. Qual a vazão de fluido?
(Resposta: 8,58m³/s)
11 – Um duto (tubulação) com 0,25m de diâmetro e 60m de comprimento 
interliga dois tanques de armazenamento de água. Os tanques estão no mesmo 
nível (mesma base horizontal), mas possuem capacidades e alturas diferentes. Um 
tem 80m e outro 30m. O duto de ligação está situado 3m abaixo da superfície líquida 
do maior tanque e 6m abaixo da superfície líquida do menor tanque. Qual a vazão 
entre os dois tanques em L/s se considerarmos uma perda de carga de fricção de 
7m.c.a.?
(Resposta: 1430L/s aproximadamente)
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12 – Determine a vazão em m³/s de óleo (densidade=0,82) que é retirado de 
um reservatório por sifonagem e a pressão (em Pascal) no ponto mais alto do sifão. 
Sabe-se que a mangueira do sifão tem 40mm de diâmetro e que a perda de energia 
entre os pontos A e B é de 2m.c.a. e entre os pontos A e C é de 3m.c.a.
(Resposta: Q=6,458x10-3 m³/s; P=-46512,56Pa)
13 – Calcule a potência de uma bomba centrífuga em Hp e em Watts, 
considerando um rendimento de 70% capaz de bombear 0,4L/s de um fluido com 
densidade 0,7, por uma tubulação com 1,4cm de diâmetro interno e 1,5cm de 
diâmetro externo ligando dois tanques A e B. Os dois tanques têm um desnível entre 
as duas superfícies líquidas de 3m, e no percurso a queda de pressão é equivalente 
a 0,6m.c.a.. O nível é constante nos dois tanques.
(Resposta: 2,028x10-2 HP ou 15,1309Watts)
14 – Se 140L/s de água flui através do sistema da figura abaixo. Calcule a 
altura H do tanque entre os pontos 1 e 2 se a perda por fricção entre os pontos 2 e 3 
é de 11,80m.c.a.
(Resposta: 29,9832m)
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15 – A bomba da figura abaixo libera água a uma vazão de 1,2ft3/s. A 
tubulação de sucção tem um diâmetro interno de 6” e 20’ de comprimento. Se dos 
20’, 12’ estão submersos, qual a pressão em Pa e em m.c.a na tubulação após a 
bomba se:
• O manômetro colocado na entrada da sucção indica - 2 psig;
• O diâmetro da tubulação de recalque é de 5”.
(Resposta: 25854,5271Pa ou 2,6391m.c.a)
16 – A água a uma temperatura de 20°C tem uma vazão de 5L/s. Uma 
tubulação com 3” de diâmetro interno, liga o reservatório inferior até a bomba e outra 
com 2” de diâmetro interno, liga a bomba ao reservatório superior. Os níveis dos 
tanques são constantes. A pressão absoluta após a bomba é de 50 psig. Determine 
a potencia da bomba centrífuga em HP considerando um rendimento de 80%.
(Resposta: 4,2 hp)
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4 Fluxo viscoso
Todos os fluidos são viscosos, mas, em certas situações um fluído pode ser 
considerado ideal ou sem viscosidade.
4.1 Experimento de Reynolds
A existência de dois tipos de fluxos viscosos é universalmente aceita, seja 
observando a fumaça de um cigarro, seja observando a água que sai de uma 
torneira. 
O fluxo bem ordenado de moléculas em lâminas ou camadas que deslizam 
suavemente umas sobre as outras é conhecido como fluxo laminar. Neste caso a 
mistura de fluido entre as camadas ocorre a nível molecular.
O fluxo nos quais pequenos pacotes de partículas de fluidos são 
transportados entre camadas, dando uma natureza flutuante ao fluxo, denomina-se 
regime de fluxo turbulento e ocorre a nível macroscópico.
O experimento de Reynolds em 1883 comprovou a existência de dois tipos de 
fluxos de um fluido em movimento:
• O fluxo laminar, as moléculas do corante não se misturam.
•O fluxo turbulento, as moléculas do corante se misturam.
O experimento consistiu de:
• Uma tubulação transparente.
• Um reservatório de água.
• Um corante introduzido na água na direção do fluxo
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Osborne Reynolds acreditou que o tipo de fluxo era função apenas da 
velocidade, mas, hoje em sua homenagem a combinação das quatros variáveis que 
influenciam no tipo de fluxo, criando uma razão adimensional, leva seu nome: 
Onde neste caso, v seria a velocidade, a massa específica do fluido, e µ a 
viscosidade do fluido e L o raio hidráulico (será visto adiante mais detalhadamente), 
que é designado por:
Para tubulações cilíndricas L é próprio diâmetro interno da tubulação 
representado por D ou Di. Para geometrias planas L é a medida na direção do fluxo.
O numero de Re também pode ser escrito por:
Onde ν seria a viscosidade cinemática do fluido, sendo ν=µ/ .
Valores do Número de Reynolds até 2300, para fluxo em condutos circulares, 
correspondem a fluxos laminares, entre 2300 a 2800 fluxos de transição e acima 
deste valor os fluxos podem ser considerados turbulentos.
4.2 Força do Arrasto
Reynolds demonstrou que existem dois tipos de fluxo mas, outra maneira de 
demonstrar a dependência do número de Re e do tipo de fluxo é através do arrasto.
As tensões de cisalhamento na superfície de um corpo movendo-se em um 
fluido viscoso causa uma força de arrasto devido à fricção e esta força pode ser 
avaliada por: 
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O arrasto total sobre um objeto pode ser devido aos efeitos de fricção e de 
pressão e neste caso, a força é avaliada por:
A quantidade ( v2/2) é freqüentemente chamada de pressão dinâmica do 
sistema. 
Ap é a área projetada da superfície.
CD é o coeficiente de arrasto (drag).
A pressão de arrasto se deve a duas fontes: o arrasto induzido ou arrasto 
devido ao lift (elevação) e à esteira do arrasto, que desvia as linhas de fluxo 
causando diferenças de pressão no corpo.
Em um fluxo incompressível o coeficiente de arrasto depende do número de 
Reynolds e da geometria do corpo.
4.3 Conceito de Camada Limite
A observação de uma região de influencia decrescente da tensão de 
cisalhamento é descrita por Ludwig Prandt em 1904.
Prandtl mostrou que muitos escoamentos viscosos podem ser analisados 
considerando duas regiões: uma próxima das fronteiras sólidas e outra cobrindo o 
restante. Apenas na região muito delgada adjacente a fronteira sólida (camada 
limite) o efeito da viscosidade é importante. Na região fora da camada limite o efeito 
da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como não-viscoso. Em 
muitas situações reais, a camada limite desenvolve-se sobre uma superfície sólida 
plana. Exemplo disso é escoamento sobre cascos de navios e de submarinos, asas 
de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano. Estes casos podem ser 
ilustrados pelo caso mais simples analisando uma placa plana.
De acordo com ele (Prandtl), os efeitos da fricção do fluido em altos valores 
de Re estão limitados a uma fina camada perto da superfície do corpo, chamada de 
camada limite. Não há ao longo desta região uma variação brusca de pressão, 
portanto a pressão no meio do fluxo do fluido pouco viscoso é similar a camada 
limite e o tratamento analítico pode ser simplificado. Somente as velocidades são 
variáveis desconhecidas.
A espessura da camada limite de um fluido escoando sobre uma superfície 
plana pode ser tomada arbitrariamente como uma distância a partir da superfície 
onde a velocidade alcança 99% da velocidade do fluxo livre.
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Figura da camada limite de espessura exagerada sobre uma placa plana 
Existem algumas fórmulas para calcular a espessura da camada limite e a 
força de arrasto, para fluxo laminar e para fluxo turbulento. 
 Para superfícies abertas temos os seguintes limites para o número de 
Reynolds (Re). Se Re for menor de 300.000 o fluxo é laminar e se Re for maior do 
que 300.000 o fluxo é considerado turbulento, ou:
 Re ≤ 3X105 (fluxo laminar) ; Re≥ 3X105 (fluxo turbulento). 
Quando temos um fluxo laminar os cálculos para a espessura da camada 
limite seguem a solução de Blasius: 
A equação acima é utilizada para calcular a espessura (σ) da camada limite 
laminar para uma distância “x” a partir da borda de ataque.
A equação acima é utilizada para calcular o coeficiente de fricção local.
Já a fórmula escrita acima é utilizada para calcular o coeficiente de fricção 
total.
Para a camada limite no fluxo turbulento, utilizamos a soluções de von 
Kármán.
A expressão acima é utilizada para calcular a espessura da camada limite 
turbulenta.
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Já a expressão acima é utilizada para calcular o coeficiente de fricção local.
E por fim, esta ultima expressão é utilizada para calcular o coeficiente de 
fricção total.
4.4 Fluxo em Condutos fechados
4.4.1 Análise Dimensional de Fluxo em Tubulações
Como abordagem inicial, utilizar-se-á a análise dimensional para se obter os 
parâmetros significativos do fluxo de um fluido incompressível em uma tubulação 
reta, horizontal, de área transversal circular constante.
As variáveis significativas e suas dimensões fundamentais são representadas 
na tabela abaixo: 
Variável Símbolo Dimensão
Queda de pressão ∆P M/Lt2
Velocidade v L/t
Diâmetro do tubo D L
Comprimento do tubo L L
Rugosidade da 
Tubulação
e L
Viscosidade do Fluido µ M/Lt
Massa específica do 
Fluido
M/L3
Cada uma das variáveis é familiar, com exceção da rugosidade da tubulação, 
simbolizada por “e”. A rugosidade representa as condições da superfície interna da 
tubulação e pode ser pensada como a altura das projeções a partir da parede da 
tubulação, tendo, portanto, uma dimensão de comprimento.
De acordo com o Teorema de Buckingham, o número de agrupamentos 
adimensionais formados será de quatro, valor obtido na expressão i= n-r. Onde i é o 
número de agrupamentos adimensionais, n o número de variáveis envolvidas e r o 
número de dimensões necessárias para expressar as variáveis.
 Os grupos de variáveis a serem formados são obtidos a partir das relações:
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Aplicando a análise dimensional encontramos:
 
 
O primeiro grupo é o Número de Euler, (Eu), e como a queda de pressão 
se deve a fricção, este parâmetro é geralmente escrito como ∆P/ e substituido por 
hL, a perda de carga ou “head loss”. O terceiro grupo é a razão da rugosidade da 
tubulação pelo diâmetro da tubulação, chamada de rugosidade relativa. O quarto 
grupo é o conhecido Número de Reynolds.Para superfícies fechadas (condutos ou tubulações) o Numero de Reynolds 
fica limitado em: Re≤ 2000 à 2300 (fluxo laminar), e Re≥2300 (fluxo turbulento). 
Lembrando que para tubulações podemos calcular o numero de Reynolds utilizando 
a seguinte expressão:
Dados experimentais provam que a perda de carga em fluxo 
completamente desenvolvido é diretamente proporcional a razão L/D onde L e o 
comprimento da tubulação e D o diâmetro interno.
 Pode-se expressar a perda de carga em função de um fator de fricção “f” da 
seguinte forma:
O fator ff é o fator de fricção de Fanning mas, se utilizarmos o fator de 
fricção de Darcy, “fD” , a relação fica:
Obviamente que fD=4ff. O fator de fricção de Fanning é similar ao fator de 
fricção de superfícies abertas Cf, descrito anteriormente mas, e válido para 
superfícies fechadas.
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4.4.2 Fatores de fricção para fluxos laminares, turbulentos e de 
transição, completamente desenvolvidos, em condutos circulares
A) Fluxo Laminar
Como os comportamentos dos fluidos podem ser muito bem descritos 
neste regime, de acordo com a Lei de Newton da viscosidade, não se espera 
dificuldades para obter uma relação para o fator de fricção ff no caso de fluxo 
laminar. O fluxo como já dito é considerado laminar para números de Re menores 
que 2300.
Da análise de um elemento de fluido diferencial, a equação de Hagen-
Poiseulle foi derivada para fluxo incompressível, laminar e em condutos fechados 
circular, obtendo-se:
Para condutos fechados não circulares utilizamos a equação de Darcy-
Weiscbach:
Este resultado simples indica que o fator de fricção é inversamente 
proporcional ao Número de Reynolds no fluxo laminar, e não é função da rugosidade 
da tubulação para valores de Re<2300.
B) Fluxo Turbulento
No caso de fluxo turbulento em condutos fechados ou tubulações, a 
relação para o fator de atrito ff não é tão simples de ser obtida.
Caso 1: Tubos lisos (sem rugosidade):
As equações obtidas foram as de von Kármán e Nikuradse:
Caso 2: Tubos Rugosos:
Estas equações mostram que o fator de fricção para fluxo turbulento em 
tubos rugosos, é função da rugosidade “e” da superfície e do diâmetro.
Caso 3: Região de Transição:
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Existe uma região em que o fator de fricção é em função do Re e da 
rugosidade, é a região de transição. Uma equação empírica foi obtida por 
Colebrook para a região de transição:
 
4.4.3 Determinação do fator de fricção e da perda de carga para fluxo 
em tubulações
A) Gráfico do fator de fricção
Moody apresentou um gráfico baseado nas equações anteriormente 
apresentadas para o fator de fricção. O gráfico representa no eixo das abscissas os 
valores do Numero de Reynolds e no eixo das ordenadas os valores do coeficiente 
de atrit. As diferentes curvas equivalem a uma faixa de valores da rugosidade 
relativa e/D.
Existem vários gráficos semelhantes ao de Moody, mas, basicamente um 
em função do fator de atrito de Fanning e outro em função do fator de atrito de 
Darcy.
A rugosidade relativa necessária para se obter o fator de fricção pode ser 
difícil de avaliar após certo tempo de uso da tubulação e por isso, foram feitas 
tabelas para se determinar o valor de e/D para um determinado diâmetro de tubo e 
tipo de material de construção do tubo, para tubos novos e para tubos com alguns 
anos de uso.
A perda de carga friccional para um determinado comprimento L de 
tubulação, com diâmetro interno D, pode ser obtida , usando ff ou fD, da relação:
Na página seguinte, temos a ilustração do gráfico de Moody, e abaixo, segue 
uma tabela dos valores da rugosidade “e”, para determinados tipos de materiais.
Tipo e(mm)
Tubo estirado 0,0015
Latão, chumbo, vidro 0,0076
Aço comercial ou Aço carbono ou 
Ferro Usinado
0,0457
Ferro fundido (recoberto com asfalto) 0,1219
Ferro galvanizado 0,1524
Tubos de aduelas de madeira 0,1829 a 0,914
Ferro fundido (não revestido) 0,2591
Concreto 0,305 a 3,05
Aço rebitado 0,914 a 9,14
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B) Perda de carga nos acessórios
A perda de carga calculada anteriormente é apenas parte da perda de 
carga total que deve ser considerada em linhas de fluxo de tubulações e outros 
circuitos. 
Outras perdas de carga ocorrem devido à passagem do fluido por válvulas, 
joelhos, curvas e outros acessórios e que envolvem uma mudança na direção do 
fluxo ou no tamanho da passagem de fluxo.
Estas perdas de carga em acessórios são função da geometria do 
acessório, do número de Re e da rugosidade.
Para uma primeira aproximação, a perda de carga pode ser calculada, 
nestes casos, por:
Onde K é uma constante que depende do tipo do acessório.
Outro método equivalente de determinação da perda de carga em acessórios pode 
ser através do comprimento equivalente.
 Onde Le é o comprimento equivalente da tubulação que produz uma perda 
de carga similar no acessório em particular.
A equação anterior é similar a do calculo da perda de carga e significa que 
a perda de carga total pode ser obtida pela adição de comprimentos equivalentes 
dos acessórios ao comprimento real da tubulação
A comparação das duas equações anteriores nos mostra que o valor de “K” 
pode ser determinado por : 
k=(4ff Le)/D
O coeficiente de fricção para um acessório depende somente da 
rugosidade do acessório, apesar de aparecer o fator de fricção na relação da 
determinação de K. Valores de K e de Le/D são dados na tabela abaixo:
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Acessório K Le/D
Válvula globo, aberta 7,5 350
Válvula de ângulo, aberta 3,8 170
Válvula gaveta, aberta 0,15 7
Válvula gaveta ¾ aberta 0,85 40
Válvula gaveta ½ aberta 4,4 200
Válvula gaveta ¼ aberta 20 900
Joelho padrão 90º 0,7 32
Joelho raio curto 90º 0,9 41
Joelho raio longo 90º 0,4 20
Joelho padrão 45º 0,35 15
T,com saída lateral 1,5 67
T, com saída reta 0,4 20
Curva 180º 1,6 75
Ampliação Gradual - 12
Cotovelo de 90º, raio 
longo
- 22
Cotovelo de 45º 0,4 16
Curva de 90º(R/D=1) 0,9 21
Curva de 45º 0,2 15
Entrada normal 0,5 17
Entrada de borda - 35
Junção - 30
Redução - 6
Registro de globo aberto 100 350
Saída de canalização 1,00 32
T, saída bilateral 1,8 65
Válvula de pé e crivo - 250
Válvula de retenção - 100
Registro de gaveta aberto 0,2 -
Também podemos encontrar o comprimento equivalente (Le ou Leq) em um gráfico 
tipo Ábaco, que fornece os comprimentos equivalentes para perdas por atrito em 
diversos acessórios, para diferentes diâmetros.
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C) Diâmetro Equivalente ou Diâmetro Hidráulico
As equações anteriores valem para fluxo de fluidos em tubulações de área 
transversal circular. Estas equações podem ser usadas para determinar a perda de 
carga em outras configurações não circulares, utilizando o “diâmetro equivalente”, ou 
o raio hidráulico, calculados de acordo com:
Deq=4(Área transversal ao fluxo / perímetro molhado)
Ou ainda: 
Deq = (4A)/P
A razão da área transversal de fluxo pelo perímetro molhado é chamado de 
“Raio hidráulico”. Pode-se verificar facilmente que Deq=Di para um conduto de área 
transversal circular.
Para outras configurações como a área anular (forma de anel) entre dois 
tubos concêntricos, o diâmetro equivalente será: Deq= D0 + Di
Neste caso: A = π/4(D02 –Di2) e P= π(D0 + Di)
4.4.4 Fator de Fricção para fluxo na entrada de um conduto circular
O desenvolvimento feito para a avaliação do fator de fricção em tubulações, 
considerou que as condições de fluxo não mudavam ao longo da tubulação. Em 
alguns casos isto não acontece e, em determinados lugares, a altura da camada 
limite cresce da mesma forma descrita para uma superfície plana.
Quando o valor de “x” ( distancia da entrada da tubulação e...) for tal que a 
camada limite preencher toda a área de fluxo, o fluxo é dito ser “completamente 
desenvolvido”.
A distância a jusante da entrada da tubulação onde o fluxo é completamente 
desenvolvido e chamada de “comprimento de entrada” e simbolizado por Le.
O comprimento de entrada para um fluxo completamente desenvolvido, em 
regime laminar, foi descrito por Langhaar, de acordo com a expressão:
Leq/D=0,0575Re
Onde D representa o diâmetro interno da tubulação e Re o Numero de 
Reynolds.
Não há uma relação estabelecida para prever o comprimento de entrada para 
fluxos em regime turbulento. Deissler e outros mostraram que há uma relação do 
valor do comprimento de entrada com o formato (design) da entrada do fluido na 
tubulação. Ele concluiu que o fluxo passa a ser completamente desenvolvido depois 
de uma certa distância da entrada da tubulação, ou seja.
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Le= 50 D
A figura abaixo nos mostra a influencia da camada limite em condutos 
fechados (tubulações) no comportamento do perfil de velocidade. Depois de um 
comprimento de entrada, o perfil de velocidade torna-se completamente 
desenvolvido e a forma dele e do tipo parabólica.
4.5 Exercícios Resolvidos
1) Ar a 65ºC com viscosidade cinemática de 1,86x10-5 m²/s escoa ao longo 
de uma placa plana lisa a 12m/s. Para escoamento laminar qual a distância a partir 
da borda de ataque onde a espessura da camada limite é de 0,5cm?
Resolução:
Em superfície aberta Re<300x105 para fluxo laminar.
Analisando os dados do problema e utilizando a solução de Blasius
=0,5cm (espessura)=0,5x10-2m
 ar =1,86x10-5m²/s
v=12m/s
 L=x=?
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2) Um tubo de Pitot, localizado no trem de pouso de uma aeronave a 10cm 
da sua borda de ataque, deve ser usado para monitorar a velocidade aérea que 
varia de 9 até 36 m/s. O trem de pouso é aproximadamente plano e o gradiente de 
pressão pode ser desprezado. A pressão do ar é de 4ºC, a pressão é de 63 cm Hg e 
a viscosidade do fluído é de 1,8x10-5N-s/m². A que distância do trem de pouso deve 
ser localizado o tubo de Pitot para que esteja fora da camada limite.
Resolução:
O tubo de Pitot deve ser localizado fora da camada limite para indicar a 
velocidade real do fluido. Como a massa específica do ar varia com a temperatura, 
calcula-se pelos dados fornecidos no enunciado do problema. 
Calcula-se a espessura utilizando o menor numero de Re, pois queremos a 
máxima espessura da camada limite.
 
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O tubo de Pitot deve estar localizado pouco acima do valor encontrado como 
segurança.
3) Avaliar a força de arrasto devido ao atrito superficial em um cilindro de 
60cm de diâmetro e 90cm de comprimento, localizado axialmente em um túnel de 
vento, quando a velocidade do ar é de 4,5m/s. Dados: =1,86x10-5m²/s e 
=1,06 kg/m³.
 
Resolução:
4) Qual a perda de pressão, expressa em Pascal, em 18m de um tubo liso 
de 1cm de diâmetro por onde escoa benzeno a 30ºC com uma velocidade média de 
0,1m/s?
Dados: =6,5x10-7m²/s e d=0,8.
Resolução:
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5) Ar a 20°C e 1 atm escoa paralelamente a uma placa plana com 
velocidade de 3,5m/s. Comparar a espessura da camada limite e o coeficiente de 
atrito superficial local para x=1m usando a solução exata de Blasius e o método de 
Von Kármán, supondo perfil cúbico de velocidade.
Dados da Tabela 2 – Propriedades de líquidos no estado saturado 
=1,5x10-5m²/s.
 Pela solução de Blasius:
Pela solução de Von Kármán:
6) Qual a perda de carga em 30m de um duto retangular de 1,2cm por 2,5cm 
quando água a 50°C escoa no seu interior com velocidade de 0,06m/s. Considere 
que a água molha totalmente as paredes do duto. 
Considere: =5,57x10-7m²/s.
7) Á água está a uma temperatura de 20ºC e tem uma vazão de 5L/s. Uma 
tubulação de aço carbono comercial com 3” de diâmetro interno, liga o reservatório 
inferior até a bomba e outra tubulação com 2” de diâmetro interno, liga a bomba ao 
reservatório superior.
Determine a potencia da bomba centrifuga em Hp considerando as perdas 
de carga no trajeto e uma eficiência do conjunto moto-bomba de 80%.
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Resolução:
Primeiro temos que definir o volume de controle e suas superfícies de 
controle.
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Para a sucção : 
Acessórios:
ParaRecalque:
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Acessórios:
Exercícios Propostos
1) 4,7x10-4m3/s de água a 20ºC escoam no interior de um tubo de cobre liso 
de 2,5cm de diâmetro e 60m de comprimento. Determine: a) o coeficiente de atrito. 
b) a perda de carga.
(Resposta: a)0,0245; b)2,71x104 Pa)
2) Qual a força total de arrasto exercida por um vento, a 13m/s soprando 
normalmente, a uma placa de sinalização tendo o formato de um disco de 1,5m de 
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diâmetro, montada num poste de 15cm de diâmetro e 3m de altura? A temperatura 
do ar é de 26°C e a viscosidade cinemática é de 1,57x10-5m²/s.
(Resposta: Aproximadamente 252N)
3) Qual a perda de carga num tubo de ferro galvanizado de 15cm de 
diâmetro interno, a 600m de comprimento, que conduz água a 40ºC numa 
velocidade de 0,17m/s?
(Resposta: 1,44x103Pa)
4) Água a 59°F flui através de uma seção de uma tubulação de 6” de 
diâmetro interno com uma velocidade média de 4ft/s. A tubulação tem 120ft de 
comprimento e há um aumento de elevação de 2ft na saída da água. Qual a 
potencia da bomba para manter este fluxo nestas condições?
(Resposta: Aproximadamente 0,306HP)
5) Óleo com viscosidade cinemática de 0,08x10-3ft²/s e uma massa 
especifica de 57lbm/ft³ flui através de um tubo horizontal de 0,24” de diâmetro a uma 
taxa de 10gal/h. Determine a queda de pressão em 50ft de comprimento, fornecendo 
o valor em psi.
(Resposta: Aproximadamente 4,63Psi)
6) Qual a perda de carga em psi, Pa, m.c.a de um condutor cilíndrico de 
um tubo de ferro galvanizado com 15cm de diâmetro interno e 600m de 
comprimento que conduz a água a 40ºC com uma velocidade de 0,17m/s.
(Resposta:1,437x10³Pa;0,208 psi; 0,146mc.a)
7) Determine a vazão da água em L/s que passa em uma válvula gaveta 
que é colocada em uma tubulação com 20cm de diâmetro interno. Sabe-se que a 
pressão antes da válvula é de 236kPa e que a válvula descarrega água a pressão 
atmosférica. Calcule para:
a) Válvula gaveta ¾ aberta;
b) Válvula gaveta ½ aberta;
(Resposta: a) 559,29L/s ; b) 245,82L/s)
8) Uma rede de tubulação, com 10560ft de comprimento, construída em 
ferro fundido, deve transportar água a uma vazão de 4,64ft³/s. A tubulação de saída 
tem um nível 175ft mais elevado que a entrada. Um engenheiro precisa decidir qual 
o diâmetro da tubulação a ser utilizada na construção desta rede de modo a otimizar 
os custos da obra. Os dados comerciais do tubo escolhido, ferro fundido, são:
- Cano de 10” de diâmetro, ferro fundido – U$ 7,60/ft;
- Cano de 14” de diâmetro, de ferro fundido - U$ 11,20/ft;
Adote a rugosidade do ferro fundido como 0,00085ft.
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Os custos da energia elétrica consumida no bombeamento, são estimados 
em U$ 0,024/KWh para os 20 anos de vida útil da rede. Sabendo-se que a bomba 
tem uma eficiência de 80% e que a temperatura media da água é de 50°F, 
determine: Qual a tubulação (diâmetro) que ele deve utilizar para que os custos 
totais do projeto (de bombeamento e instalação da rede) sejam os menores?
(Resposta: bitola de 14”)
9) Um fluido com densidade 50% maior que a da água, escoa por uma 
tubulação, com 8” de diâmetro, movido por uma bomba. A tubulação de recalque 
tem um diâmetro de 4” e uma pressão de 200kPa. A vazão é de 0,2m³/s e a pressão 
na tubulação de sucção é de -0,2m.c.a. Se o nível de saída da tubulação está em 
um nível 2,5m abaixo do nível da entrada , qual deve ser a potência da bomba em 
HP e em Watts, para manter este escoamento? Despreze as perdas por atrito, 
considere uma potencia real da bomba de 85% e uma válvula globo totalmente 
aberta no recalque.
(Resposta: 945064W; 1266,84HP)
10) Determine a perda de carga entre dois pontos, distantes 600m, dentro 
de uma tubulação de ferro fundido em que a vazão (água) é de 2,3m³/s e a bomba 
tem 2HP. O desnível da saída é de 4m acima da entrada, o diâmetro da tubulação é 
de ½” e a diferença de pressão entre os pontos equivale a 20cmHg. Expresse os 
resultados em m.c.a e em psi.
(Resposta:2,717m.c.a; 3,8632psi)
11) Determine a diferença de nível entre as superfícies líquidas de dois 
tanques abertos à pressão atmosférica, unidos por uma tubulação de ferro 
galvanizado DN10”Sch40, com 1050m de cumprimento. A tubulação sai pela base 
do tanque superior e entra pela base do tanque inferior. A vazão de água a 30ºC e 
de 75L/s. Na tubulação estão instalados 2 cotovelos padrão, duas válvulas ou 
registros tipo gaveta, uma aberta e outra ¾ aberta e um bordo de entrada (usar 
ábaco).
(Resposta:11,05m)
5 PROJETO DE BOMBAS CENTRIFUGAS
Este exemplo de projeto-dimensionamento aplica os conteúdos vistos ao 
longo da disciplina. 
 O reservatório superior é alimentado com água a 25ºC, com uma vazão de 18 
m3/h. Sabendo que o nível dos tanques são mantidos constantes com um LC-Level 
Controller, solicita-se:
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-Especificar o diâmetro nominal comercial das tubulações de recalque e sucção para 
aço comercial tipo IPS, usando o método da velocidade econômica de Remi e 
Telles;
-Calcular as perdas de carga por dois métodos: a equação universal e a de Hazen 
Williams;
-Calcular a altura manométrica total em m.c.a;
-Calcular a potência da bomba centrifuga em Hp, pelo método tradicional, utilizando 
a equação do balanço de energia;
-Selecionar a melhor bomba utilizando o catálogo dos fabricantes e as curvas 
características das bombas (usar CD da Indústria Schneider);
-Comparar os resultados da escolha das bombas pelos dois métodos.
Nota: usar C=100 (dado do fabricante), 60 Hz e 3500 rpm para bombas do tipo 
monoestágio. 
OBS: ver desenho em anexo.
Resolução:
a) diâmetro da tubulação de recalque
Q = 18 m 3 x 1h = 0.005 m3/s
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 h 3600s 
V = (1,5 + 3,0) / 2 = 2,25 m/s
 Velocidade econômica por Remi e Telles - (Tabela 1 – Valores de 
velocidades econômica (Remi, Telles) ) - Água / Descarga da bomba( 1,5 a 3,0 m/s )
Q = V.A
0,005 m3 = 2,25m.( π .D 2)
 s s 4
D = 0,0531m x 1in = 2,09in
 0,0254m
Especificando:
- Material: aço comercial
- Schedule: 40Sch 
- Diâmetro interno mais próximo de 2,09in (40sch) encontrado na tabela de 
propriedades de tubulações de aço é:
Diâmetro interno: 2,067in = 0,0525m
Diâmetro nominal: 2in
Calculando a nova velocidade:
VR = Q
 A
VR = 0,005m 3 /s = 2,31m/s
 ( π .(0,0525m) 2 )
 4
A velocidade 2,31m/s será a velocidade adotada na tubulação de recalque, 
uma vez que está entre 1,5 e 3,0m/s.
Diâmetro deSucção:
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Especifica-se uma bitola comercial acima do diâmetro de recalque conforme 
método da velocidade econômica.
Diâmetro nominal de sucção: 2,5in = 0,0635m
Diâmetro interno de sucção: 2,469 = 0,0627m
Q = Vs. ( π .D 2 )
 4
0,005 m 3 = Vs . ( π .(0,0627m) 2 )
 s 4
Vs = 1,62m/s
A velocidade encontrada está dentro da faixa estabelecida por Remi (1 a 
2,5m/s) e por Telles (1,0 a 1,5) para tubos de sucção - Tabela 1. 
b) Perda de carga total por Hazen-Willians e pela Fórmula Universal
Fórmula Universal
hL = fD . L .V 2 
 D 2 
Sucção (Dinterno : 2,469in = 0,0627m = 62,7mm; L = 6,6m; Q = 0,005m3/s )
Q = Vs. ( π .D 2 )
 4
0,005 m 3 = Vs . ( 3,14.(0,0627m)2 )
 s 4
Vs = 1,62m/s
Re = D.V = 0,0627m . 1,62m/s = 110526 ou 1,1x105
 ν 0,919x10-6m2/s
ν = encontrado na Tabela 2 (em anexo) – Propriedades de líquidos no estado 
saturado com a temperatura de 25oC. Foi efetuada uma interpolação entre os 
valores de temperatura 20oC e 40 oC.
Tabela 7 (em anexo) – Comprimento equivalente expresso em número e 
diâmetro e valores de K( em anexo).
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Acessórios
Entrada de borda: L = 35 ⇒ L = 35 L = 2,1945 m 
 D 0,0627
Curva de 90o: L = 21 ⇒ L = 21 L = 1,3167m
 D 0,0627
Redução gradual: L = 6 ⇒ L = 6 L = 0,3762m 
 D 0, 0627
Leq = Ltubulação + Lacessórios
Leq = 6,6m + (2,1945+1,3167+0,3762)m
Leq = 10,4874m
e = encontrado na Tabela 3 (em anexo) – Rugosidade de Materiais
e = 0,0457mm = 0,00073
D 62,7mm
fD = 0,0209 ⇒ valor encontrado a partir dos resultados de Reynolds e 
rugosidade relativa de Moody (grafico em anexo).
hL = fD . L .V 2 
 D 2
hL = 0,0209 . 10,487m . (1,62m/s)2
 0,0627m 2
hL = 4,458m2/s2 que dividindo por 9,81m/s2 = 0,467m.c.a
Recalque (Dinterno = 2,067in=0,0525m=52,5mm; L = 26,7m; Q = 0,005m3/s)
Q = VR. ( π .D 2 )
 4
0,005 m 3 = VR . ( 3,14.(0,0525m)2 )
 s 4
VR = 2,31m/s
Re = D.V = 0,0525m . 2,31m/s = 131964 ou 1,31x105
 δ 0,919x10-6m2/s
e = 0,0457mm = 0,00087
D 52,5mm
fD = 0,021 ⇒ valor encontrado a partir dos resultados de Reynolds e 
rugosidade relativa de Moody.
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Curva de 90o : L = 21 ⇒ L = 21 L = 1,1025mx2= 2,205m
 D 0,0525
Registro gaveta ¼ fechado: L = 40 ⇒ L = 40 L = 2,1m
 D 0,0525
Válvula de Segurança aberta: 14,9ft = 4,54m (Ábaco)
Leq = Ltubulação + Lacessórios
Leq = 26,7m + (2,205+2,1+4,54)m
Leq = 35,545m
hL = fD . L .V 2 
 D 2
hL = 0,021 . 35,545m . (2,31m/s)2
 0,0525m 2
hL = 37,934m2/s2 que dividindo por 9,81m/s2 = 3,867m.c.a
Hazen Willians
lw = hL= L . 10,643 . Q 1,85 
 C1,85 D4,87
Sucção (Dinterno = 0,0627m; Leq = 10,4874m; Q = 0,005m3/s)
lw= L . 10,643 . Q 1,85 
 C1,85 D4,87
lw = 10,4874 . 10,643 . (0,005)1,85
 1001,85 (0,0627)4,87
lw = 0,887m que multiplicando por 9,81m/s2 = 8,701m2/s2
Recalque (Dinterno=0,0525m ; Leq= 31,383m; Q=0,005m3/s)
lw= L . 10,643 . Q 1,85 
 C1,85 D4,87
lw = 35,545 . 10,643 . (0,005) 1,85 
 1001,85 (0,0525)4,87
lw = 7,14m que multiplicando por 9,81m/s2 = 70,05m2/s2
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c) Altura manométrica total em m.c.a
H = g. (y2 – y1) + hperda de carga + P2 – P1
 ρ
Patm = 10,2067m.c.a à altitude de 100m - Tabela 4 (em anexo) – Pressão 
atmosférica em função da altitude.
Temperatura: 25 oC ⇒ massa específica = 997kg/m3 - Tabela 5 (em anexo) – 
Alguns valores de Pressão de Vapor e Densidade da Água
Obs: Para achar a Patm , foi feita uma interpolação entre 0 e 300m de 
altitude.
Patm = 10,2067m.c.a ou 99994,07Pa
Pman1 = 5 m.c.a
Pman2 = 2,0 m.c.a
Pman1 + Patm = 5 m.c.a + 10,2067 m.c.a = 15,2067 m.c.a ou 148978,59Pa
Pman2 + Patm = 2,0 m.c.a + 10,2067 m.ca = 12,2067 m.c.a ou 119587,88Pa
H = g. (y2 – y1) + hperda de carga + P2 – P1
 ρ
H = 9,81m/s2(19,8)m + (37,934+4,58)m2/s2 + (119587,88 – 148978,59)Pa
 997Kg/m3
H = 207,15m2/s2 transformando para m.c.a basta dividir por 9,81m/s2.
H ≅ 21,12m.c.a este valor é relativo a perda de carga calculada pela fórmula 
universal.
Agora calculamos a altura manométrica utilizando a perda de carga calculada 
pela fórmula de Hazen – Willians.
H = g. (y2 – y1) + h2 + P2 – P1
 ρ
H = 9,81m/s2(19,8)m + (70,05+8,701)m2/s2 + (119587,88 – 148978,59)Pa
 997Kg/m3
H = 243,51m2/s2 transformando para m.c.a basta dividir por 9,81m/s2.
H= 24,82m.c.a
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d) Calcular a potência da bomba centrifuga em HP, pelo método 
tradicional, utilizando a equação do balanço de energia.
• Potência segundo perda de carga pela fórmula universal;
|Pot| = (g. (y2 – y1) + hrecalque + hsuccção + (P2 –P1)/ ρ ). ρ.Q
|Pot| = (9,81m/s2.(19,8m) + (37,934+4,58)m/s2 + (119587,88 - 
148978,59)Pa/997Kg/m3). 0,005m3/s.997Kg/m3
|Pot|= 1032,52Watts/746 = 1,38HP acrescentando 50% (Observação 1) para 
bombas de até 2HP temos = 2,076HP = 2,10cv
• Potência segundo perda de carga de Hazen – Willians
|Pot| = (g. (y2 – y1) + hrecalque + hsuccção + (P2 –P1)/ ρ ). ρ.Q
|Pot| = (9,81m/s2.(19,8m) + (70,05+8,701)m/s2 + (119587,88 - 
148978,59)Pa/997Kg/m3).0,005m3/s.997Kg/m3
|Pot|= 1213,89Watts/746 = 1,62HP acrescentando 50% para bombas de até 
2HP temos  2,44HP2,47cv
e) Selecionar a melhor bomba utilizando o catálogo dos fabricantes e as 
curvas características das mesmas (usar CD da Indústria Schneider).
Como se percebe no cálculo das potências, utilizando os dois métodos de 
perda de carga (forma universal e Hazen Willians), os dois valores de perda de 
carga são bem diferentes mas, pelo método de Hazen Willians a potencia e um 
pouco maior. Quando vamos procurar a bomba percebemos que se levarmos em 
consideração a altura manometriacalculada usando a perda de carga de Hazen 
Willians temos que utilizar uma bomba com uma potência maior devido a altura 
manométrica, pois se utilizamos uma bomba de 3cv a altura manométrica 
apresentada no gráfico é inferior aquela calculada, mas se utilizarmos uma bomba 
de 4cv a altura manométrica apresentada no gráfico é bem maior do que aquela 
calculada. Vejamos a seguir os gráficos:
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As característica da primeira bomba (com altura manométrica calculada 
utilizando as perdas de carga da formula universal):
Fabricante: Indústrias Schneider;
Tipo: centrifuga monoestágio;
Modelo: BC-21 R 1/2;
Rendimento: 57,05%
NPSHr: 2,87
Potência: 3 cv
Rotação: 3500 rpm
 Aplicações:
 * Irrigação
* Cabines de pintura
* Sistemas de refrigeração
* Fontes e cascatas
* Abastecimento predial
* Sistemas de prevenção e combate contra incêndio
* Indústrias
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As características da segunda bomba (altura manométrica calculada 
utilizando as perdas de carga segundo Hazen Willians):
Fabricante: Indústrias Schneider;
Tipo: centrifugas monoestágio;
Modelo: BC-21 R 1/2;
Rendimento: 54,68%
NPSHr: 2,87
Potência:4 cv
Rotação: 3500 rpm
 Aplicações:
 * Irrigação
* Cabines de pintura
* Sistemas de refrigeração
* Fontes e cascatas
* Abastecimento predial
* Sistemas de prevenção e combate contra incêndio
* Indústrias
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Como podemos perceber, foram encontradas duas bombas, a primeira 
(método universal) nos oferece um rendimento maior e uma potência requerida 
menor, ou seja, a potencia é bem próxima do valor calculado, tornando-se mais 
atraente economicamente. A segunda nos oferece uma potência maior porém, um 
rendimento pouco atrativo, mas, como se percebe, se formos pelo método de 
Hazen-Willians teremos que utilizar uma bomba deste perfil, pois não foi encontrado 
no catálogo da Industria Schneider outra bomba com um rendimento maior do que 
este. Para o método universal foi selecionado esta bomba BC- 21 R 1 ½ com 
potência de 3cv, pois foi a bomba com o maior rendimento disponível encontrada.
e) Calculo se haverá ou não cavitação
Cavitação segundo perda de carga da forma universal
NPSHa = P1 – Z1 – hLs – Pv
 ρ ρ
P1 = 15,2067 m.c.a
Z1 = -4m (o nível do tanque 1 esta acima da bomba)
lw = 0,452m
Pv = 0,0322Kg/cm2 (T=25ºC , Tabela 5 – Alguns valores de Pressão de Vapor 
e Densidade da Água.
ρ = 997Kg/m3
0,0322 Kg/cm2.(100cm)2/1m2 = 322kg/m2 = (322kg/m2)/(997kg/m3)= 0,3229m
 
NPSHa = 15,2067 m.c.a + 4m – 0,452 m – 0,3229 m
NPSHa = 18,4318 m
Se não houver problemas mecânicos e de má instalação, a bomba não 
cavitará, uma vez que o NPSHa (18,4318 m) é bem maior que o NPSHr (2,87m).
Cavitação segundo perda de carga de Hazen – Willians
NPSHa = P1 – Z1 – hLs – Pv
 ρ ρ
P1 = 15,2067 m.c.a
Z1 = -4m (o nível do tanque 1 esta acima da bomba)
lw = 0,887m
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 Pv = 0,0322Kg/cm2 Tabela 5 – Alguns valores de Pressão de Vapor e 
Densidade da Água.
ρ = 997Kg/m3
0,0322 Kg/cm2.(100cm)2/1m2 = 322kg/m2 = (322kg/m2)/(997kg/m3)= 0,3229m
 
NPSHa = 15,2067 m.c.a + 4m – 0,887 m – 0,3229 m
NPSHa = 17,9968 m
Se não houver problemas mecânicos e de má instalação, a bomba não 
cavitará, uma vez que o NPSHa (17,9968 m) é bem maior que o NPSHr (2,87m).
Tabelas em anexo
Tabela 1 – Valores de velocidade econômica (Remi, Telles)
Fluido/Aplicação Velocidade Econômica
Água/sucção de bomba 1,0 a 2,5 (1,0 a 1,5 – segundo Telles)
Água/descarga de bomba 1,5 a 3,0
Água/ Redes de cidade 1,0 a 2,0
Água/Redes em instalações 
Industriais
2,0 a 3,0
Água/Alimentação de caldeira 2,5 a 3,0 (4 a 8, segundo Telles)
Vapor/até 2kg/cm – saturado 20 a 40
Vapor/ 2 a 10Kgf/cm² 40 a 80
Vapor/ mais de 10kgf/cm² 80 a 200
Ar comprimido/longas distâncias 5 a 7
Ar comprimido/ dentro da fabrica 10
Ar comprimido/ linhas flexíveis 15 a 20
Fluido frigorifico/ condensador ao 
receptor
Até 0,61
65
Profª Maria Lúcia Soares Cochlar Elaborada por 
Daniela De Nez em 2010
 
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade Acadêmica Tecnológica- UNITEC
Disciplina de Fenômenos de Transporte I 
Fluido frig./receptor a válvula de exp 0,5 a 1,25
Fluido frig/ Linha de sucção 5,0 a 10,0
Fluido frig/ linha de descarga 5,0 a 25
Ar condicionado 5,0 a 10,0
HC líq/ linha de sucção 1 a 2
HC liq/outras linhas 1,5 a 2,5
HC gasoso 25,0 a 30,0
Tabela 2 – Propriedades de líquidos no estado saturado
T, ºC
, Kg/m
cp, 
KJ/Kg-k
, m²/s k , W/m-
K
x, m²/s Pr B, 1/k
Água (H2O)
0 1002,28 4,215 1,788 
x10-6
0,552 1,308x10-
7
13,6 -
20 1000,51 4,179 1,006 0,597 1,43 7,02 0,18x10-3
40 994,59 4,176 0,658 0,628 1,512 4,34 -
60 985,46 4,181 0,478 0,65 1,554 3,02 -
80 974,08 4,194 0,364 0,668 1,636 2,22 -
100 960,63 4,213 0,294 0,68 1,68 1,74 -
120 945,25 4,247 0,247 0,685 1,708 1,446 -
140 928,27 4,28 0,214 0,683 1,724 1,241 -
160 909,69 4,339 0,19 0,68 1,729 1,099 -
180 889,02 4,414 0,173 0,675 1,724 1,004 -
200 866,76 4,502 0,16 0,664 1,706 0,937 -
220 842,41 4,606 0,15 0,652 1,68 0,891 -
240 815,66 4,753 0,143 0,635 1,639 0,871 -
260 785,87 4,954 0,137 0,611 1,577 0,874 -
280 752,55 5,205 0,135 0,579 1,481 0,910 -
66
Profª Maria Lúcia Soares Cochlar Elaborada por 
Daniela De Nez em 2010
 
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade Acadêmica Tecnológica- UNITEC
Disciplina de Fenômenos de Transporte I 
300 714,26 5,724 0,135 0,54 1,324 1,010 -
Amônia, NH3
-50 703,69 4,463 0,435x
10-6
0,547 1,742x
10-7
2,6 -
-40 691,68 4,467 0,406 0,547 1,775 2,28 -
-30 679,34 4,476 0,387 0,549 1,801 2,15 -
-20 666,69 4,509 0,381 0,547 1,819 2,09 -
-10 653,55 4,564 0,378 0,543 1,825 2,07 -
0 640,1 4,635 0,373 0,54 1,819 2,05 -
10 626,16 4,714 0,368 0,531 1,801 2,04 -
20 611,75 4,798 0,359 0,521 1,775 2,02 2,45x10-3
30 596,37 4,890 0,349 0,507 1,742 2,01 -
40 580,99 4,999 0,340 0,493 1,701 2,00 -
50 564,33 5,116 0,330 0,476 1,654 1,99 -
Dióxido de Carbono CO2
-50 1156,34 1,84 0,119x
10-6
0,0855 0,4021x
10-7
2,96 -
-40 1117,77 1,88 0,118 0,1011 0,4810 2,46 -
-30 1076,76 1,97 0,117 0,1116 0,5272 2,22 -
-20 1032,39 2,05 0,115 0,1151 0,5445 2,12 -
-10 983,38 2,18 0,113 0,1099 0,5133 2,20 -
0 926,99 2,47 0,108 0,1045 0,4578 2,38 -
10 860,03 3,14 0,101 0,0971 0,3608 2,80 -
20 772,57 5,0 0,091 0,0872 0,2219 4,10 14,00x
10-3
30 597,81 36,4 0,080 0,0703 0,0279 28,7
Tabela 3 – Rugosidade de Materiais
Tipo e(mm)
Tubo estirado 0,0015
Latão, chumbo, vidro 0,0076
Aço comercial ou Aço carbono ou 
Ferro Usinado
0,0457
Ferro fundido (recoberto com asfalto) 0,1219
Ferro galvanizado 0,1524
Tubos de aduelas de madeira 0,1829 a 0,914
Ferro fundido (não revestido) 0,2591
Concreto 0,305 a 3,05
Aço