Prova2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
Área do Conhecimento de Ciências Exatas e Engenharias
Cálculo Numérico – Prova 2
Prof. Leonardo Dagnino Chiwiacowsky – Data: 12/11/2020
Nome: .................................................................................
Questão 1 (2,0 pts): Considere o sistema de equações lineares (SEL) descrito abaixo:
2x1 − 32x4 − 19x5 = 0
12x1 − 6x3 − 40x5 = −8
−24x1 + 72x3 + 12x4 = −12
69x2 − x3 + 42x6 = 24
44x1 − 13x2 − 7x4 = 3
18x2 − 33x5 + 57x6 = 6
a) (0,5 pts) Com o objetivo de empregar um método iterativo para solução do SEL, verifique
a condição de convergência. Caso necessário, reorganize o sistema original e apresente-o;
b) (1,0 pt) Encontre uma aproximação para o vetor solução do SEL pelo emprego do Método
de Gauss-Jacobi, assumindo como aproximação inicial o vetor x(1) = [1 1 . . . 1]T e usando
como critério de parada o reśıduo relativo δrel < 10
−4. Informe o número de iterações
necessário para atingir o critério de parada e o respectivo valor do erro relativo (ER) da
última aproximação.
c) (0,5 pts) Informe o número de iterações necessário para atingir o critério de parada e o
respectivo valor do erro relativo (ER) da última aproximação.
Apresente os resultados representando os valores numéricos com 8 d́ıgitos significativos.
Questão 2 (3,0 pts): Um executivo de uma empresa de Caxias do Sul viajou recentemente para
São Paulo, Rio de Janeiro e Salvador com o objetivo de prospectar novos clientes. Sabe-se que
ele permaneceu em São Paulo um número de dias três vezes maior do que o número de dias que
ele ficou em Salvador. Ele gastou $230, $120 e $105 por noite em hospedagem nas cidades de
São Paulo, Rio de Janeiro e Salvador, respectivamente, sendo que o gasto com as contas de hotel
totalizaram $ 3225. Sabe-se também que o gasto diário com alimentação foi de $80, $120 e $70
nas cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Salvador, respectivamente, sendo que suas despesas
com refeições totalizaram $1770. Com base nestas informações, deseja-se determinar quantos dias
ele ficou em cada cidade.
a) (0,5 pts) Formule o problema descrito no formato de um sistema de equações lineares (SEL);
b) (0,5 pts) Com o objetivo de empregar um método iterativo para solução do SEL, verifique
a condição de convergência. Caso necessário, reorganize o sistema original e apresente-o;
c) (1,0 pt) Aplique o método de Gauss-Seidel para determinar o número de dias que o executivo
permaneceu em cada cidade, assumindo como aproximação inicial o vetor x(1) = [0 0 0]T ,
e critério de parada ER < 10−3. Informe o número de iterações necessário para atingir
o critério de parada e o respectivo valor do reśıduo relativo (δrel) da última aproximação.
Escreva o vetor solução final, com 8 d́ıgitos significativos.
d) (0,5 pts) Forneça a solução do mesmo sistema de equações lineares empregando agora o
método de Gauss. Apresente os resultados representando os valores numéricos com 4 d́ıgitos
significativos.
e) (0,5 pts) Assumindo a solução fornecida pelo método de Gauss como uma solução exata (E)
e a solução fornecida pelo método iterativo de Gauss-Seidel como a solução aproximada (A),
calcule o respectivo erro relativo ER e apresente o resultado em notação cient́ıfica com 6
d́ıgitos significativos, onde: ER =
‖E − A‖
‖E‖
.
Questão 3 (3,0 pts): Considerando a função
f(x) = exp [sin(x)]− 2 cos(4x)
e assumindo cinco pontos experimentais no intervalo x ∈ [−2, 2], igualmente espaçados:
a) (1,0 pt) Determine o polinômio interpolador utilizando os cinco pontos. Escreva a expressão
matemática do polinômio identificado usando 6 d́ıgitos significativos;
b) (1,0 pt) Determine a spline cúbica a ser utilizada para estimar o valor v quando u = 0, 65.
Escreva a expressão matemática da spline cúbica identificada usando 6 d́ıgitos significativos;
c) (0,5 pts) Calcule estimativas para v = f(0, 65) usando o polinômio interpolador identificado
no item (a) e a spline cúbica identificada no item (b);
d) (0,5 pts) Com base nos valores estimados (A) e o valor exato (E) fornecido pelo emprego
da função definida acima, calcule e apresente os respectivos erros relativos e conclua qual
método forneceu a estimativa de melhor qualidade.
Questão 4 (2,0 pts): A tabela abaixo fornece os valores experimentais de pressão P , de uma dada
massa de gás, correspondentes a diferentes valores do volume V .
Volume (polegada3) 54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194
Pressão (libras) 61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1
Com base nos dados tabelados:
a) (1,0 pt) Identifique qual o tipo de função (quadrática, linear, exponencial ou potência) que
melhor se ajusta aos dados e justifique numericamente a sua escolha;
b) (0,5 pts) Determine e forneça a função de ajuste identificada no item (a);
c) (0,5 pts) Utilize a função de ajuste determinada no item (b) a fim de estimar para qual
volume se observa uma pressão no valor de 80 libras.
Apresente os resultados representando os valores numéricos com 6 d́ıgitos significativos, em notação
decimal ou cient́ıfica.