equacao-de-bernoulli-e-aplicacoes-1

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Equação de Bernoulli e
Aplicações
Matemática
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul (UEMS)
46 pag.
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE NOVA ANDRADINA
CURSO DE MATEMÁTICA
CRISTIANO DA SILVA DOS ANJOS
EQUAÇÃO DE BERNOULLI E APLICAÇÕES
Nova Andradina-MS
2008
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE NOVA ANDRADINA
CURSO DE MATEMÁTICA
CRISTIANO DA SILVA DOS ANJOS
EQUAÇÃO DE BERNOULLI E APLICAÇÕES
Trabalho apresentado ao curso de
Matemática de Licenciatura Plena, da
Universidade Estadual de Mato Grosso
do Sul, Unidade de Nova Andradina,
como requisito final para a obtenção da
referida graduação sob a orientação do
Professor Luiz Oreste Cauz.
Nova Andradina-MS
2008
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI E APLICAÇÕES
CRISTIANO DA SILVA DOS ANJOS
Trabalho apresentado ao curso de
Matemática de Licenciatura Plena, da
Universidade Estadual de Mato Grosso
do Sul, Unidade de Nova Andradina,
como requisito final para a obtenção da
referida graduação sob a orientação do
Professor Luiz Oreste Cauz .
COMISSÃO EXAMINADORA
Luiz Oreste Cauz
Presidente
Marcio Demetrius Martinez
Membro
Otavio J. N.T.N. dos Santos
Membro
Nova Andradina-MS, 24 de Novembro, 2008
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À Deus.
Aos meus pais.
Aos meus amigos.
Dedico
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Se clamares por entendimento, e por inteligência
alcançares a tua voz; se como a prata a bus-
cares e como a tesouros escondidos a procurares,
então entenderás o temor do Senhor, e acharás
o conhecimento de Deus. Porque o Senhor dá a
sabedoria: da sua boca vem o conhecimento e o
entendimento. Provérbios 2:3-6
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Agradecimentos
Primeiramente a Deus, que em nome de Jesus Cristo me concedeu sabedoria para
conclusão da graduação.
À meu orientador, Profo.MSc.Luiz Oreste Cauz, pela amizade e paciêcia, pelo aux́ılio
que contribuiu para a elaboração deste trabalho.
À minha famı́lia, principalmente aos meus pais, João Francisco do Anjos e Quitéria da
Silva dos Anjos, que mesmo em momentos de dificuldades sempre me incentivou à estudar.
A todos os meus amigos de graduação, que ajudaram na realização desse trabalho.
A todos os professores que estiveram presentes durante minha graduação, pelos ensina-
mentos, pelas cobranças e pelos conselhos dados em aulas.
Aos meus amigos da Falcão Tratores, em especial ao Marcos Cesar de Paula, Ivaldo
Vanin e André Roberto Loyer, que estiveram contribuindo de forma indireta, durante minha
graduação.
Aos meus amigos da Igreja do Evangelho Quadrangular, principalmente ao Pr.Valdir
Aparecido dos Santos, que sempre me ajudou com seus conselhos, mostrando que Deus é a
principal fonte de sabedoria.
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Resumo
Neste trabalho apresentamos um estudo sobre a Equação de Bernoulli e algumas
aplicações. Para isto, inicialmente fizemos um estudo geral sobre as equações diferenciais, onde
aspectos como linearidade, ordem e tipos de equações diferenciais foram abordados. Além disso,
estivemos analisando o número de soluções para uma equação diferencial ordinária. Também
foi feito um estudo sobre os métodos de soluções de alguns tipos clássicos de equações diferen-
ciais de primeira ordem. Em seguida, estudamos a Equação de Bernoulli, que é uma equação
diferencial não linear que pode ser transformada em uma equação linear. Finalmente, apresen-
tamos algumas aplicações ligados à f́ısica e à biomatemática nas quais a modelagem matemática
leva a uma equacão diferencial na forma da Equação de Bernoulli.
Palavras-chave: Equação de Bernoulli, Aplicações, Equação Diferencial Ordinária, Equação
Diferencial Linear.
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Abstract
This work presents a study on the Bernoulli’s equation and some applications. For this,
initially made a general study on the differential equations, where issues such as linearity, order
and types of equations differentials have been addressed. Moreover, were analyzing the number
of solutions to an ordinary differential equation. Too was done a study on methods for solutions
of some types classical differential equations of the first order. Then, studied the Bernoulli’s
equation, which is an equation nonlinear differential that can be transformed into an equation
linear. Finally, we present some applications related to physical and Biomathematics in which
the mathematical modeling leads to a differential equation in the form of Bernoulli’s equation.
Keywords: Bernoulli’s Equation, Applications, Ordinary Differential Equation, Linear
Differential Equation.
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Sumário
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Introdução 11
1 Equações Diferenciais Ordinárias 13
1.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Equação Diferencial Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Solução de uma Equação Diferencial Ordinária . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Solução Expĺıcita e Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 21
2.1 Equações Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Equações com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Métodos de Solucão de uma Edo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Equações de Variáveis Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 Aplicações da Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Conclusão 45
Referências Bibliográficas 46
9
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1.1 Solução particular para a EDO
dy
dx
= 4x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Solução do PVI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Circunferência de raio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Famı́lia de soluções de x
dy
dx
+ y = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Solução do PVI (2.20). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
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Introdução
As equações que envolvem taxas de variação são chamadas de diferenciais. A taxa de
variação de uma quantidade é determinada pela diferença entre seus valores em dois tempos
próximos.
Mais precisamente, uma Equação Diferencial é uma equação que contém as derivadas de
uma função procurada ou sua diferencial. Resolver uma equação diferencial significa encontrar
uma função que dependa da variável independente x e que satisfaça a equação diferencial dada.
As equações diferenciais têm grandes aplicações em engenharia, f́ısica, matemática apli-
cada, biologia, etc. Vários fenômenos do mundo real são estudados modelando-os matemati-
camente por meio de equações diferenciais. Podemos estudar por exemplo, a posição de um
objeto, a variação da temperatura de um material, a concentração de um agente qúımico, a
concentração de poluentes ou nutrientes em um meio, a umidade do ar, o número de habitantes
de um páıs, a densidade de massa de um gás, etc.
Neste trabalho, fizemos um estudo sobre equações diferenciais de primeira ordem. Dare-
mos uma atenção especial sobre uma equação conhecida como Equação de Bernoulli. Embora
essa equação seja não linear, podemos transformá-la em uma equação linear por meio de uma
substituição de variáveis.
A equação diferencial da forma
dy
dx
+ P (x)y = f(x)yn
é chamada de Equação de Bernoulli.
Esta equação é devido a Jacques Bernoulli (1654-1705). A famı́lia Bernoulli é com-
posta por oito cientista súıços que se destacaram nas áreas da metemática, f́ısica, Astrono-
mia em que a história datam do século XVI ao século XX. Entre eles Jacques Bernoulli,
Jean Bernoulli e Daniel Bernoulli, juntamente com Gottfried Wilhelm Leibniz, deram grandes
contribuições para o desenvolvimento das equações diferenciais.
No caṕıtulo 1, fizemos um estudo geral sobre equações diferenciais de primeira ordem
onde conceitos como ordem, grau e a linearidade de uma Equação Diferencial foram abordados.
A seguir, estudamos os tipos de soluções para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO);
solução expĺıcita, impĺıcita e solução de uma EDO com problema de valor inicial.
No caṕıtulo 2, estudamos as equações diferenciais de primeira ordem, onde apresenta-
mos alguns métodos de solução para uma EDO e procedimentos de solução para as seguintes
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equações diferenciais: com coeficientes constantes, lineares, de variáveis separáveis, homogêneas
e exatas. Ao final desse caṕıtulo apresentamos a equação de Bernoulli e algumas aplicações da
mesma.
Este trabalho foi baseado nas referências [1], [2], [3], [4], [5], [6] e [7].
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Caṕıtulo 1
Equações Diferenciais Ordinárias
As palavras diferencial e equações obviamente sugerem a resolução de algum tipo de
equação envolvendo derivadas. Tais equações podem envolver derivadas ordinárias ou derivadas
parciais. Neste trabalho, estudaremos apenas as equações que envolvam somente derivadas
ordinárias (EDOs).
Definição 1.1. Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma
F
(
x, y,
dy
dx
, ... ,
dny
dxn
)
= 0 (1.1)
envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais em que x é a
variável independente, y é a variável dependente e o śımbolo
dny
dxn
denota a derivada de ordem
n da função y = y(x).
Exemplo 1.1.
d2y
dx2
+ 3
dy
dx
+ 6y = sen(x)
(
d2y
dx2
)3
+ 3
dy
dx
+ 6y = tg(x)
d2y
dx2
+ 3 y
dy
dx
= ex
dy
dx
− 5y = 1
xdy − ydx = 0
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1.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial
Definição 1.2. (Ordem de uma EDO) A ordem da equação diferencial ordinária é a ordem
da mais alta derivada que aparece na equação.
Definição 1.3. (Grau de uma EDO) O grau de uma equação diferencial ordinária é o valor
do expoente para a derivada mais alta da equação.
Exemplo 1.2.
d2y
dx2
+ 3
dy
dx
+ 6y = sen(x), tem ordem 2 e grau 1
(
d2y
dx2
)3
+ 3
(
dy
dx
)10
+ 6y = tg(x), tem ordem 2 e grau 3
dy
dx
− 5y = 1 e 4xdy
dx
+ y = x, tem ordem 1 e grau 1
1.2 Equação Diferencial Linear
Definição 1.4. (EDO linear) Uma equação diferencial de ordem n é linear quando pode ser
escrita na forma:
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ ... + a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x). (1.2)
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:
• A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, a potência
de cada termo envolvendo y é 1.
• ai(x) (i = 1, 2, 3, ..., n) e g(x), só dependem da variável independente x.
Definição 1.5. (EDO não linear) As equações diferenciais ordinárias que não podem ser
colocadas na forma da equação (1.2) são chamadas de não-lineares.
As equações
xdy + ydx = 0
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ y = 0
x3
d3y
dx3
− x2 d
2y
dx2
+ 3x
dy
dx
+ 5y = ex
são equações diferenciais ordinária lineares de primeira, segunda e terceira ordens, respectiva-
mente.
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Por outro lado,
y
d2y
dx2
− 2dy
dx
= x
d3y
dx3
+ y2 = 0
são equações diferenciais ordinária não-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente.
Uma equação diferencial de n-ésima ordem da forma (1.2) com g(x) = 0 é chamada
homogênea, enquanto que, se g(x) não é identicamente nula, a equação é chamada de
não-homogênea. A palavra homogênea neste contexto não se refere aos coeficientes como
sendo funções homogêneas. Um estudo desse caso será feito na seção (2.6).
1.3 Solução de uma Equação Diferencial Ordinária
Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substitúıda na equação
diferencial (1.1), reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no
intervalo.
Em outras palavras, uma solução para uma equação diferencial ordinária (1.1) é uma
função f que possui pelo menos n devivadas e satisfaz a equação, isto é
F (x, f(x), f ′(x), ..., fn(x)) = 0,
para todo x no intervalo I.
Dependendo do contexto, I pode representar um intervalo aberto (a, b), um intervalo
fechado [a, b], um intervalo infinito (0,∞) e assim por diante.
Quando resolvemos uma equação diferencial de n-ésima ordem (1.1), esperamos uma
famı́lia a n-parâmetros de soluções
G(x, y, c1, c2, ..., cn) = 0. (1.3)
Uma solução para uma equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários
é chamada de solução particular. Uma maneira de obter uma solução particular é escolher
valores espećıficos para o(s)parâmetro(s) na famı́lia de soluções.
Se toda solução para (1.1) no intervalo I pode ser obtida de (1.3) por uma escolha
apropriada dos ci, i = 1, 2, ..., n, dizemos que a famı́lia a n-parâmetros é uma solução geral,
ou completa, para a equação diferencial.
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Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial representa uma famı́lia de
curvas (curvas integrais), que também podem ser chamadas de primitivas da equação diferencial
dada.
Uma solução para uma equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I
é em geral referida como solução trivial.
Às vezes, uma equação diferencial possui uma solução que não pode ser obtida especifi-
cando-se os parâmetros em uma famı́lia de soluções. Tal solução é chamada de solução singular.
Exemplo 1.3. A solução da equação diferencial
dy
dx
= 4x
é y = 2x2 + C, onde C é uma constante, que representa uma famı́lia de curvas: uma curva
para cada valor da constante C. Podemos verificar uma solução particular, tomando C = 2,
na figura (1.1).
Figura 1.1: Solução particular para a EDO
dy
dx
= 4x.
Exemplo 1.4. Considere a equação
y′(x) − y(x) = 0
A função y = ex é uma solução particular para a equação linear.
Para isso calculamos
y′(x) = (ex)′ = ex,
observe que
y′(x) − y(x) = ex − ex = 0
para todo x real.
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Exemplo 1.5. Sabe-se que num movimento retiĺıneo uniformemente variado, a aceleração
a =
dv
dt
é constante. Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que v(t) =
ds
dt
,
vamos determinar s(t).
Como
dv
dt
= a, pode ser resolvida por integração direta, então
v(t) =
∫
adt + c1
= at + c1
sendo t ≥ 0 e c1 constante.
Na expressão de v(t), fazendo t = 0, obtemos v(0) = c1, como o movimento começa do
repouso, segue que c1 = 0 e portanto v(t) = at. Assim,
v(t) =
ds
dt
= at
então
s(t) =
∫
at + c2
=
1
2
at2 + c2
sendo t ≥ 0 e c2 constante.
Tomando t = 0 na expressão de s(t), teremos s(0) = c2.
Logo,
s(t) =
1
2
at2 + s(0).
1.4 Problema de Valor Inicial
O problema



dy
dx
= f(x, y)
y(x0) = y0
(1.4)
é chamado problema de valor inicial (PVI).
Uma solucão do problema de valor inicial em um intervalo I, é uma funcão y(x) que
está definida neste intervalo, tal que a sua derivada também está definida em I e satisfaz (1.4).
Exemplo 1.6. A equação
dy
dx
= e3x
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pode se resolvida por integração direta, temos
y(x) =
∫
e3xdx =
e3x
3
+ c,
que é a solução geral da equação diferencial dada.
Vamos determinar a solução do PVI





dy
dx
= e3x
y
(
1
3
)
=
e
3
Substituindo x =
1
3
e y =
e
3
na solução geral encontrada, obtemos c = 0. Assim a
solução do PVI é
y =
e3x
3
,
válida para −∞ < x < ∞, que é o maior intervalo em que a solução e suas derivadas estão
definidas (fig. 1.2).
Figura 1.2: Solução do PVI.
A seguir vamos enunciar o teorema de existência e unicidade para o problema de valor
inicial, cuja demonstração foge do propósito deste trabalho e pode ser encontrada, na referência
[7].
Teorema 1.1. (Existência de uma Única Solução)
Seja R uma região retangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que
contém o ponto (x0, y0) em seu interior. Se f(x, y) e
∂f
∂y
são cont́ınuas em R, então existe um
intervalo I centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de
valor inicial (1.4).
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Exemplo 1.7. O teorema (1.1) garante que existe um intervalo contendo x =
1
3
no qual
y =
e3x
3
é a única solução para o PVI do exemplo (1.6):





dy
dx
= 3y
y(1
3
) =
e
3
Isso segue do fato de que f(x, y) = 3y e
∂f
∂y
= 3 são cont́ınuas em todo o plano xy. A
solução está definida no intervalo de (−∞,∞).
1.5 Solução Expĺıcita e Impĺıcita
Uma solução para uma equação diferencial ordinária (1.1) que pode ser escrita na forma
y = f(x) é chamada de solução expĺıcita. No exemplo (1.4) temos que y = ex é uma solução
expĺıcita de y′(x) − y(x) = 0.
Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma solução implicita de uma equação diferen-
cial ordinária (1.1) em um intervalo I, se ela define uma ou mais solução expĺıcita em I.
Uma equação diferencial geralmente possui um número infinito de soluções. Por substi-
tuição direta, podemos verificar que qualquer curva, isto é, função, da famı́lia a um parâmetro
y = cex, em que c é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencial do exemplo (1.4).
A solução trivial é um membro dessa famı́lia de soluções, correspondente a c = 0.
Exemplo 1.8. Para −2 < x < 2, a relação x2 + y2 − 4 = 0 (fig. 1.3) é uma solução impĺıcita
para a equação diferencial
dy
dx
= −x
y
.
Segue, por derivação impĺıcita, que
d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) − d
dx
(4) = 0
2x + 2y
dy
dx
= 0 ou
dy
dx
= −x
y
.
A relação x2 + y2 − 4 = 0, define duas funções diferenciais expĺıcitas: y =
√
4 − x2 e
y = −
√
4 − x2 no intervalo (−2, 2).
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Figura 1.3: Circunferência de raio 2.
Exemplo 1.9. Para qualquer valor de c, a função y =
c
x
+ 1 é uma solução da equação
diferencial de primeira ordem
x
dy
dx
+ y = 1,
no intervalo (0,∞). Temos
dy
dx
= − c
x2
,
então
x
dy
dx
+ y = x
(
− c
x2
)
+
( c
x
+ 1
)
= 1.
Variando o parâmetro c, podemos gerar uma infinidade de soluções. Em particular,
fazendo c = 0, obtemos uma solução constante y = 1. Veja a figura (1.4). A função y =
c
x
+1
é uma solução da equação diferencial em qualquer intervalo que não contenha a origem, pois
y não é diferenciável em x = 0.
Figura 1.4: Famı́lia de soluções de x
dy
dx
+ y = 1.
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Caṕıtulo 2
Equações Diferenciais de Primeira
Ordem
Neste caṕıtulo, fizemos um estudo sobre equações diferenciais de primeira ordem. Apre-
sentamos alguns métodos de soluções das seguintes equações diferenciais: com coeficientes
constantes, lineares, de variáveis separáveis, homogêneas e exatas.
O objetivo principal deste caṕıtulo será estudar as equações de Bernoulli, que embora
não sejam lineares, podem ser transformadas em equações lineares através de uma simples
mudança de variáveis.
2.1 Equações Lineares de Primeira Ordem
Da definição (1.2) uma equação diferencial de primeira ordem tem a seguinte forma:
a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x). (2.1)
A equação (2.1) pode ser escrita na seguinte forma
dy
dx
+ p(x)y = q(x), (2.2)
onde p(x) =
a0(x)
a1(x)
e q(x) =
g(x)
a1(x)
.
Observe que p(x) e q(x) estão bem definidas se a1(x) 6= 0.
21
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2.2 Equações com Coeficientes Constantes
Se p(x) = a e q(x) = b, onde a e b são constantes, então a equação(2.2) tem a forma
dy
dx
+ ay = b, (2.3)
e esta é chamada equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
Vamos analisar os seguintes casos:
1. Se a = b = 0 a equação (2.3) se transforma em
dy
dx
= 0, cuja solução geral é dada
por y = c, onde c é uma constante.
2. Se a 6= 0 e b = 0, temos que (2.3) tem a seguinte forma
dy
dx
+ ay = 0,
cuja solução geral é da forma y = ce−ax, onde c é uma constante. A equação (2.3) é chamada
equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes homogênea.
3. Se a = 0 e b 6= 0, a equação (2.3) é dada por
dy
dx
= b,
cuja solução geral é da forma y = bx + c, onde c é uma constante.
4. Se a 6= 0 e b 6= 0, temos a equação (2.3), que é chamada equação linear de primeira
ordem com coeficientes constantes não-homogênea.
Vamos encontrar a solução desta equação. De fato,
dy
dx
+ ay = b
dy
dx
= −ay + b
= −a(y − b
a
)
dy
dx
y − b
a
= −a.
Integrando ambos os lados da última equação, temos
ln
∣
∣
∣
∣
y − b
a
∣
∣
∣
∣
= −ax + c1
∣
∣
∣
∣
y − b
a
∣
∣
∣
∣
= ce−ax
y =
b
a
+ ce−ax,
onde c é constante.
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Exemplo 2.1. A equação diferencial ordinária de primeira ordem linear com coeficientes
constantes
dy
dx
+ 2y = 3,
tem solução geral da forma y(x) =
3
2
+ ce−2x, onde c é constante.
5. Se a é constante e b = f(x), temos a equação (2.3), da seguinte forma
dy
dx
+ ay = f(x). (2.4)
Multiplicando ambos os membros de (2.4) por eax, que é conhecido como fator integrante
(um estudo detalhado sobre fator integrante será visto na seção 2.4), obtemos
eax
dy
dx
+ ayeax = eaxf(x)
ou
d
dx
[yeax] = eaxf(x) (2.5)
pois,
d
dx
[yeax] = eax
dy
dx
+ ayeax. Como f é cont́ınua em I, eaxf(x) admite primitiva em I. Da
equação (2.5) segue que yeax é da forma
yeax = C +
∫
eaxf(x)dx
ou
y = Ce−ax + e−ax
∫
eaxf(x)dx, (2.6)
com C uma constante. Portanto as funções da forma (2.6) são soluções de (2.4).
Exemplo 2.2. Considere a equação
dy
dx
+ y = x + 1
Vamos encontar a solução geral, temos (a = 1 e f(x) = x + 1), assim
y = C1e
−x + e−x
∫
ex(x + 1)dx.
Como
∫
ex(x + 1)dx = xex + C2, logo
y = Ce−x + x,
onde C = C1 + C2.
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2.3 Métodos de Solucão de uma Edo
1o Método de solução: Vamos supor que y(x) = u(x)v(x), onde as funções u e v são
também desconhecidas. Substituindo na equação (2.2) temos
du
dx
v + u
dv
dx
+ p(x)uv = q(x),
logo
v
(
du
dx
+ p(x)u
)
+ u
dv
dx
= q(x).
Se escolhermos a função u de forma que ela satisfaça a equação
du
dx
+ p(x)u = 0
então,
u
dv
dx
= q(x)
ou equivalentemente
dv
dx
=
q(x)
u(x)
.
Mas a equação acima tem um segundo membro que só depende de x. Então,
y(x) = u(x)
(
∫
g(x)
u(x)
dx + c1
)
.
Resta-nos então o problema de resolver a equação
du
dx
+ p(x)u = 0,
podemos reescrevê-la, como
du
dx
u
= −p(x),
mas sabemos que
d
dx
ln |u(x)| =
du
dx
u
,
onde por ln |u(x)| entende-se o logaritmo natural de |u(x)|. Segue então que
d
dx
ln |u(x)| = −p(x),
mas esta equação tem um segundo membro que só depende de x. Assim sendo,
ln |u(x)| = −
∫
p(x)dx + c3
|u(x)| = e(−
∫
p(x)dx+c3)
= (ec3)
[
e−
∫
p(x)dx
]
,
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como c3 é uma constante de integração então c2 = e
c3 também é uma constante. Assim,
u(x) = c2e
(−
∫
p(x)dx).
Logo,
y(x) = c2.e
(−
∫
p(x)dx)
[
∫
q(x)
u(x)
dx + c1
]
y(x) = e(−
∫
p(x)dx)
∫
q(x)
u(x)
dx + ce(−
∫
p(x)dx),
onde c = c1c2. Não aparece constante no primeiro termo pois a expressão de u envolve a
constante c2.
Vamos definir a função w(x) como sendo
w(x) =
∫
q(x)
u(x)
dx.
Segue então que
y(x) = u(x)w(x) + u(x).
Observe ainda que
d
dx
[u(x)w(x)] =
du(x)
dx
w(x) + u(x)
dw(x)
dx
= −p(x) u(x) w(x) + q(x).
Logo, a função u.w é uma solução particular da equação linear. Além disso, podemos
ver que a solução geral da equação linear é a soma da solução geral da equação homogênea
com uma solução particular da equação não-homogênea. Este resultado é caracteŕıstico das
equações lineares em geral.
Exemplo 2.3. Através do 1o Método, vamos determinar a solução geral da equação diferencial
y′(x) = 2xy(x) + x.
Consideremos em primeiro lugar a equação homogênea
du(x)
dx
= 2xu(x)
cuja solução é
u(x) = c1e
∫
2xdx
= c1e
x2 ,
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pelo 1o Método, temos
dv(x)
dx
=
xe−x
2
c1
.
Logo,
v(x) =
1
c1
∫
xe−x
2
dx = −e
−x2
2c1
+ c2.
Então,
y(x) = u(x)v(x)
= c1e
x2
(
−e−x2
2c1
+ c2
)
= −1
2
+ cex
2
onde c = c1c2.
2o Método de solução: Vamos resolver a equação diferencial dada por
y′(x) = −y(x) + x3.
Em primeiro lugar, consideremos a equação homogênea
du
dx
= −u
cuja solução é
u(x) = c1e
−x.
Consideremos agora
w(x) = γ(x)e−x,
onde tomamos a solução da equação homogênea e em vez de uma constante consideramos uma
função de x, a qual devemos determinar. Substituindo w(x) na equação dada, obtemos
γ′(x)e−x − γ(x)e−x = −γ(x)e−x + x3.
Segue então que
dγ(x)
dx
= x3ex
e portanto,
γ(x) =
∫
x3exdx,
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integrando por partes, obtemos
γ(x) = x3ex − 3x2ex + 6xex − 6ex + c2.
A solução geral y(x) da equação dada é tal que
y(x) = u(x) + w(x)
= c1e
−x + x3 − 3x2 + 6x − 6 + c2e−x
= ce−x + x3 − 3x2 + 6x − 6
onde fizemos c = c1 + c2.
Este método de encontrar uma solução particular da equação completa é chamado de
método da variação das constantes.
2.4 Fator Integrante
Um bom método geral para resolver uma equação da forma
y′ + p(x)y = g(x), (2.7)
é multiplicar todos os membros da equação por um fator integrante, que é uma função µ = µ(x)
tal que
µ(x)y′(x) + µ(x)p(x)y(x) = µ(x)g(x)
de tal maneira que o termo da esquerda da nova equação seja exatamente a derivada da função
µ(x)y(x), isto é
d
dx
[µ(x)y(x)] = µ(x)y′(x) + µ(x)p(x)y(x).
Mas, para que isso ocorra, devemos exigir que µ = µ(x) satisfaça
µ(x)y′(x) + µ′(x)y(x) = µ(x)y′(x) + µ(x)p(x)y(x).
Assim, basta tomar
µ′(x)y(x) = µ(x)p(x)y(x).
Admitindo que y = y(x) não seja identicamente nulo, obtemos
µ′(x) = µ(x)p(x).
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Desse modo, devemos primeiramente resolver esta última equação diferencial, para obter
uma solução como
µ(x) = e
∫
p(t)dt,
observamos que a variável de integração foi alterada para evitar erros na obtenção de tal função.
Para simplificar, tomaremos
P (x) =
∫
p(t)dt
para podermos escrever o fator integrante µ = µ(x), como
µ(x) = e[P (x)].
Multiplicando os membros da equação (2.7) por µ(x) = e[P (x)], obteremos
eP (x) y′ + p(x) eP (x)y(x) = g(x) eP (x). (2.8)
Note que o membro da esquerda da equação (2.8) é a derivada da função y(x) e[P (x)] em relação
à variável x. Então escrevendo (2.8) como
d
dx
(y(x)e[P (x)]) = g(x) e[P (x)]
e calculando a integral indefinida em ambos os lados da igualdade, obteremos
y(x) e[P (x)] =
∫
g(x) e[P (x)]dx+ C.
Dessa forma, teremos uma expressão para y = y(x) dada por
y(x) = e[−P (x)]
[
∫
g(x) e[P (x)]dx + C
]
Exemplo 2.4. Para a equação y′(x) + 2xy = x, p(x) = 2x e g(x) = x, assim, a solução
depende de P (x) = x2 e
y(x) = e−x
2
[
∫
ex
2
x dx + C
]
,
logo
y(x) = e−x
2
[
1
2
ex
2
+ C
]
=
1
2
+ C e−x
2
.
28
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2.5 Equações de Variáveis Separáveis
Uma equação diferencial da forma
dy
dx
=
g(x)
h(y)
,
é chamada de separável ou tem variáveis separáveis.
Observe que uma equação separável pode ser escrita como
h(y)
dy
dx
= g(x). (2.9)
Quando h(y) = 1, é imediato que (2.9) se reduz a
dy
dx
= g(x).
Agora, se y = f(x) denota uma solução para (2.9), temos
h(f(x)) f ′(x) = g(x).
Logo
∫
h(f(x)) f ′(x) dx + c1 =
∫
g(x) dx + c2. (2.10)
Mas dy = f ′(x) dx, assim a equação (2.10) é a mesma que
∫
h(y) dy =
∫
g(x) dx + c, (2.11)
onde c = c2 − c1.
A equação (2.11) indica o procedimento na resolução para equações diferenciais separáveis.
Exemplo 2.5. Vamos encontar a solução geral da equação
dy
dx
=
x2
y2
.
Podemos reescrever a equação dada como
y2 dy = x2 dx.
Através do procedimento (2.11), temos
∫
y2 dy =
∫
x2 dx
y3
3
=
x3
3
+ c1
y(x) = (x3 + c)
1
3 ,
onde c é uma constante arbitrária.
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Exemplo 2.6. Dada a equação
dy
dx
= ex−y,
podemos reescrevê-la como
ey dy = ex dx.
Integrando cada termo independente, teremos
∫
ey dy =
∫
ex dx + c ⇒ ey = ex + c ⇒ y = ln(ex + c).
2.6 Equações Homogêneas
Antes de considerar o conceito de equação diferencial homogênea de primeira ordem e
seu método de solução, vamos examinar a natureza de uma função homogênea.
Definição 2.1. Se uma função f sastifaz
f(tx, ty) = tnf(x, y)
para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.
Exemplo 2.7. f(x, y) = x2 + y2 é homogênea de grau 2
f(x, y) = 3
√
x2 + y2 é homogênea de grau 2
3
h(x, y) = x3 + y3 + 1 não é homogênea, pois h(tx, ty) 6= t3h(x, y))
f(x, y) = x
2
y2
é homogênea de grau 0
Propriedade 2.1. Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, temos
f(x, y) = xn f
(
1,
y
x
)
e f(x, y) = yn f
(
x
y
, 1
)
,
em que f
(
1,
y
x
)
e f
(
x
y
, 1
)
são ambas homogêneas de grau zero.
Exemplo 2.8. f(x, y) = x2 + 3xy + y2 é homogênea de grau dois, logo
f(x, y) = x2
[
1 + 3
(y
x
)
+
y2
x2
]
= x2 f
(
1,
y
x
)
f(x, y) = y2
[
x2
y2
+ 3
(
x
y
)
+ 1
]
= y2 f
(
x
y
, 1
)
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Uma função diferencial homogênea de primeira ordem é definida em termos das funções
homogêneas.
Definição 2.2. Uma equação diferencial da forma
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (2.12)
é chamada de equação homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do
mesmo grau.
Ou seja, (2.12) é homogênea se
M(tx, ty) = tn M(x, y) e N(tx, ty) = tnN(x, y)
Uma equação diferencial homogenea da forma (2.12) pode ser resolvida por meio de
uma substituição algébrica.
Especificamente, a substituição y = uv ou x = vy, em que u e v são as novas variáveis
independentes, transformará a equação em uma equação diferencial primeira ordem separável.
Sendo assim, tomando y = ux e substituindo sua diferencial dy = udx + xdu em (2.12)
temos
M(x, ux) dx + N(x, ux) [udx + xdu] = 0
Agora pela propriedade (2.1), podemos escrever
xnM(1, u)dx + xnN(1, u)[udx + xdu] = 0
ou
[M(1, u) + uN(1, u)]dx + xN(1, u)du = 0.
Assim,
dx
x
+
N(1, u)du
M(1, u) + uN(1, u)
= 0.
Exemplo 2.9. Seja (x2 + y2)dx + (x2 − xy)dy = 0. Tanto M(x, y) quanto N(x, y) são
homogeneas de grau dois. Se fizermos y = ux, segue-se que
(x2 + u2x2)dx + (x2 − ux2)[udx + xdu] = 0
x2(1 + u)dx + x3(1 − u)du = 0
1 − u
1 + u
du +
dx
x
= 0
[
−1 + 2
1 + u
]
du +
dx
x
= 0.
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Depois de integrar a última linha, obtemos
−u + 2 ln |1 + u| + ln |x| = ln |c|
substituindo u =
y
x
, temos
−y
x
+ 2 ln
∣
∣
∣
1 +
y
x
∣
∣
∣
+ ln |x| = ln |c|
Usando propriedades de logaritmo, podemos escrever a equação anterior como
ln
∣
∣
∣
∣
(x + y)2
cx
∣
∣
∣
∣
=
y
x
,
logo
(x + y)2 = cxe
y
x .
2.7 Equações Exatas
Embora a equação
ydx + xdy = 0
seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também equivalente à diferencial do produto
de x e y, isto é
ydx + xdy = d(xy) = 0
Por integração, obtemos imediatamente a solução impĺıcita xy = c.
Se z = f(x, y) é uma função com derivadas parciais cont́ınuas em uma região R do
plano xy, então sua diferencial total é
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy. (2.13)
Agora, se f(x, y) = c, segue-se de (2.13) que
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy = 0.
Em outras palavras, dada uma famı́lia de curvas f(x, y) = c, podemos gerar uma
equação diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total.
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Definição 2.3. Uma equação diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy (2.14)
é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de
alguma função f(x, y). Uma equação diferencial da forma
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
é chamada de uma Equação Exata se a expressão (2.14) é uma diferencial exata.
Teorema 2.1. Sejam M(x, y) e N(x, y) funções cont́ınuas com derivadas parciais cont́ınuas
em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição
necessária e suficiente para que (2.14) seja uma diferencial exata é
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
Demonstração. Vamos mostrar inicialmente que a condição do teorema (2.1) é necessaria.
Sendo assim, vamos supor que M(x, y) e N(x, y) tenham derivadas parciais de primeira ordem
cont́ınuas em todo plano (x, y). Se a expressão M(x, y)dx + N(x, y)dy é exata, existe alguma
função f tal que
M(x, y)dx + N(x, y)dy =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy,
para todo (x, y) em R. Logo,
M(x, y) =
∂f
∂x
, N(x, y) =
∂f
∂y
dy,
e
∂M
∂y
=
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂N
∂x
A igualdade das derivadas parciais mistas é uma consequência da continuidade das
derivadas parciais de primeira ordem de M(x, y) e N(x, y). Também temos que a condição do
teorema (2.1) é suficiente, mas para isso devemos mostrar que existe uma função f , tal que
∂f
∂x
= M(x, y) e
∂f
∂x
= N(x, y). A construção de tal função reflete um procedimento básico na
resolução para equações exatas.
Método de Solução:
Dada a equação
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy = 0
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Devemos primeiramente mostrar que
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
Depois supor que
∂f
∂x
= M(x, y),
dáı podemos encontrar f integrando M(x, y) com relação a x, considerando y constante.
Escrevemos,
f(x, y) =
∫
M(x, y)dx + g(y), (2.15)
em que a função arbitrária g(y) é a constante de integração. Agora, derivando (2.15) com
relação a y e supondo
∂f
∂y
= N(x, y):
∂f
∂y
=
∂
∂y
∫
M(x, y)dx + g′(y) = N(x, y).
Assim,
g′(y) = N(x, y) − ∂
∂y
∫
M(x, y)dx. (2.16)
Finalmente,calculamos a integral de (2.16) com relação a y e substituimos o resultado
em (2.15). A solução para a equação será f(x, y) = c.
Exemplo 2.10. Vamos resolver a equação
2xydx + (x2 − 1)dy = 0.
Como M(x, y) = 2xy e N(x, y) = x2 − 1, temos
∂M
∂y
= 2x =
∂N
∂x
.
Logo, a equação é exata e, pelo teorema (2.1), existe uma função f(x, y), tal que
∂f
∂x
= 2xy e
∂f
∂y
= x2 − 1.
Da primeira dessas equações, obtemos, depois de integrar,
f(x, y) = x2y + g(y).
Derivando a última expressão com relação a y e igualando a N(x, y), temos
∂f
∂y
= x2 + g′(y) = x2 − 1.
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Segue-se que
g′(y) = −1 e g(y) = −y.
A constante de integração não precisa ser inclúıda, pois a solução é f(x, y) = c. A solução
para a equação não é f(x, y) = x2y − y. Antes, a solução é f(x, y) = c ou f(x, y) = 0, se uma
constante é usada na integração de g′(y).
2.8 Equação de Bernoulli
A equação diferencial
dy
dx
+ P (x)y = f(x)yn, (2.17)
em que n é um número real qualquer, é chamada de Equação de Bernoulli . Para n = 0 e
n = 1, a equação (2.17) é linear em y. Agora, se y 6= 0, (2.17) pode ser escrita como
y−n
dy
dx
+ P (x)y1−n = f(x). (2.18)
Se fizermos w = y1−n, n 6= 0, n 6= 1, então
dw
dx
= (1 − n)y−n dy
dx
.
Com essa substituição, (2.18) transforma-se na equação linear
dw
dx
+ (1 − n)P (x)w = (1 − n)f(x). (2.19)
Resolvendo (2.19) e depois fazendo y1−n = w, obtemos uma solução para (2.17).
Exemplo 2.11. Vamos encontar a solução para a seguinte equação de Bernoulli,
dy
dx
+
1
x
y = xy2.
Em (2.17), identificamos P (x) =
1
x
, f(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variável
w = y−1 nos dá
dw
dx
− 1
x
w = −x.
O fator de integração para essa equação linear em, digamos, (0,∞) é
e(−
∫
dx
x ) = e− ln |x| = x−1,
35
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assim
d
dx
[x−1w] = −1.
Integrando essa última forma, obtemos
x−1w = −x + c ou w = −x2 + cx.
Como w = y−1, então y =
1
w
ou
y =
1
−x2 + cx.
Para n > 0, note que a solução trivial y = 0 é uma solução para (2.17). No exemplo (2.11),
y = 0 é uma solução singular para a equação dada.
Exemplo 2.12. Vamos resolver o seguinte problema de valor inicial



dy
dx
− 2y = y3
y(0) = 1
(2.20)
Notemos que a equação dada é de Bernoulli, com n = 3. Se fizermos w = y−2, teremos
dw
dx
+ 4w = −2, (2.21)
cujo fator integrante é e4x. Portanto, ao multiplicarmos (2.21) por este fator ela se torna
d
dx
[e4xw] = −2e4x,
ou seja,
e4xw(x) = −2
∫
e4xdx = −1
2
e4x + c.
Portanto, a solução geral de (2.20) é
w(x) =
−1
2
e4x + c
e4x
= −1
2
+ ce−4x.
Voltando à variável inicial, temos y−2 =
1
2
+ ce−4x.
Como y(0) = 1, devemos tomar c =
1
2
, logo,
y−2 =
1
2
(1 + e−4x),
portanto
y = ±
[
1
2
(1 + e−4x)
]−
1
2
.
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Como y(0) = 1 > 0, a solução do problema de valor inicial (2.20) é
y =
[
1
2
(1 + e−4x)
]−
1
2
cujo gráfico é mostrado na figura (2.1)
Figura 2.1: Solução do PVI (2.20).
2.9 Aplicações da Equação de Bernoulli
A seguir, apresentaremos algumas aplicações onde as equações a serem estudadas
são Equações de Bernoulli. Não serão feitas as modelagens de tais equações pois, aspectos
de modelagem não fazem parte dos objetivos deste trabalho e, além disso, para modelar tais
equações precisaŕıamos conceitos de f́ısica e de biologia.
Queda de um Corpo num Meio com Atrito
Suponha que um corpo esteja caindo no ar e que a força de atrito deste seja proporcional
ao quadrado da velocidade com que o corpo se move no mesmo. Então, a força resultante será
mv
dv
dx
= mg − γv2,
onde g é a aceleração da gravidade, m é a massa do corpo, v e x são respectivamente velocidade
e posição do corpo em relação ao tempo t. Observe ainda que mv
dv
dx
= m
dx
dt
dv
dx
= m
dv
dt
. A
sua velocidade obedece a seguinte equação diferencial de primeira ordem
dv
dx
+
γ
m
v = gv−1, (2.22)
que é uma equação de Bernoulli e também de variáveis separáveis.
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Exemplo 2.13. Supondo que v(0) = v0, vamos mostrar que
v(x) =
√
√
√
√mg
γ
+
(
v20 −
mg
γ
)
e
−
2γ
m
x
. (2.23)
Em geral, se a força de atrito for da forma −γ|v|n, o procedimento acima nos leva a
uma equação de variáveis separáveis.
Se multiplicarmos por v ambos os lados da equação (2.22), obtemos
v
dv
dx
+
γ
m
v2 = g.
Se fizermos w = v2, então
dw
dx
= 2v
dv
dx
,
com essa substituição a equação (2.22) se transforma em
dw
dx
+ 2
γ
m
w = 2g, (2.24)
cujo fator integrante será e
2γ
m
x
.
Portanto ao multiplicarmos (2.24) por esse fator, teremos
d
dx

e
2γ
m
x
w

 = 2ge
2γ
m
x
ou seja,
e
2γ
m
x
w =
∫
2ge
2γ
m
x
dx.
Sendo assim, a solução geral da equação (2.24) é
w(x) =
mg
γ
+ ce
−
2γ
m
x
,
voltando à variável inicial, temos
v2 =
mg
γ
+ ce
−
2γ
m
x
.
Como v(0) = v0, devemos tomar c = v
2
0 −
mg
γ
, logo
v2 =
mg
γ
+
(
v20 −
mg
γ
)
e
−
2γ
m
x
.
Portanto a solução do valor inicial será dado pela equação (2.23).
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Crescimento de peixes (von Bertalanffy)
O modelo de Von Bertalanffy, é um caso de EDO de Bernoulli, em que podemos resolver
a equação através de uma substituição nas variáveis, que transforma a equação do modelo em
uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Exemplo 2.14. A pesca sempre foi um elemento importante para a sobrevivência de muitas
raças. Com o desenvolvimento de materiais sofesticados e muitas vezes predatórios, o estoque
de peixes diminuiu muito, até mesmo causando o perigo de extinção de algumas espécies. O
controle de pesca, na maioria dos casos, é feita com base no peso, por exemplo, no pantanal
mato-grossense o pacu só pode ser pescado se estiver com peso superior a 3 kg. Atualmente
existem leis internacionais que definem a maneira como a pesca deve ser efetuada, impondo
controle sobre o tamanho das redes, tamanho das malhas e peŕıodos de aprisionamento. Os
modelos matemáticos podem ser utilizados para se medir o efeito de tais controles e estabelecer
em que condições o peixe pode ser capturado.
O peso p(t) de cada espécie é dado pela equação de von Bertalanffy:
dp
dt
= αp
2
3 − βp (2.25)
a qual pelo prinćıpio da alometria, temos que: que o aumento do peso de um peixe é propor-
cional à área de sua superf́ıcie externa (anabolismo), e o decaimento é proporcional à energia
consumida (catabolismo).
• α é a constante de anabolismo, representando a taxa de śıntese de massa por unidade de
superf́ıcie do animal.
• β é a constante de catabolismo, representando a taxa de diminuição da massa por unidade
de massa.
A equação (2.25) é uma equação de Bernoulli com n =
2
3
, isto é
dp
dt
+ βp = αp
2
3 .
Fazendo a substituição w = p1−
2
3 = p
1
3 ,
dw
dt
=
1
3
p−
2
3
dp
dt
=
1
3
(α − βp 13 ),
então
dw
dt
+
β
3
w =
α
3
. (2.26)
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O fator integranteé e(
β
3
), multiplicando (2.26) por este fator, temos
d
dx
[
e
βt
3 w
]
=
α
3
e
β
3
t
e
βt
3 w =
α
3
∫
e
β
3
t,
assim a solução geral da equação (2.25), será
w =
α
β
+ Ce
−βt
3 .
Portanto
p(t) =
(
α
β
)3 (
1 +
Cβ
α
e
−βt
3
)3
.
Quando t = 0, o valor de p é insignificante. Considerando p(0) ∼= 0, temos
(
α
β
)3 (
1 +
Cβ
α
)3
= 0,
então
(
1 +
Cβ
α
)
= 0
ou
C = −α
β
.
Assim,
p(t) =
(
α
β
)3
(
1 − e−βt3
)3
. (2.27)
Quando t tende a infinito, o limite de p(t) é
lim
t→0
p(t) = lim
t→0
(
α
β
)3
(
1 − e−βt3
)3
=
(
α
β
)3
.
Portanto, o peso máximo (p∞) do peixe é
p∞ =
(
α
β
)3
,
tomando, k =
β
3
e substituindo o valor de p∞ na equação (2.27), temos
p(t) = P∞(1 − e−kt)3, (2.28)
que fornece o peso do peixe em cada instante t.
A equação (2.28) é chamada de von Bertalanffy, para o aumento de peso do peixe.
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Epidemiologia
A epidemiologia é uma ciência que estuda quantitativamente a distribuição dos
fenômenos de saúde-doença, e seus fatores condicionais, nas populações humanas. A pesquisa
epidemiológica é responsável pela produção de conhecimento sobre o processo saúde-doença
por meio de estudos de frequência e distribuição das doenças na população humana com iden-
tificação de seus fatores determinantes.
Devido a relevância deste assunto, vários pesquisadores vêm desenvolvendo modelos
matemático que possam contribuir para a compreensão e erradicação de doenças infecciosas.
Esta área denominada epidemiologia matemática, foi desenvolvida inicialmente por
Daniel Bernoulli na última metade do século XVIII, quando fez trabalhos sobre a vaŕıola.
Os estudos de Daniel Bernoulli, tinha como objetivo avaliar a eficácia de um programa
controverso de vacinação contra vaŕıola, que era, na época, uma grande ameaça à saúde pública.
Seu modelo pode ser aplicado, igualmente bem, a qualquer doença que, se uma pessoa a contrai
e sobrevive, tem imunidade para o resto da vida.
Exemplo 2.15. Suponha que uma determinada população pode ser dividida em duas partes:
os que têm a doença e podem infectar outros e os que não a têm, mas são suscet́ıveis. Sejam
x a proporcção de indiv́ıduos suscet́ıveis e y a proporção dos indiv́ıduos infectados; então
x + y = 1. Suponha que a doença espalha-se através do contato entre elementos doentes e sãos
da população, e que a taxa de dissiminação
dy
dt
é proporcional ao número de tais contatos.
Além disso, suponha que elementos de ambos os grupos move-se livremente entre si, de modo
que o número de contatos é proporcional ao produto de x e y. Como x = 1 − y, obtemos o
problema de valor inicial



dy
dt
= αy(1 − y)
y(0) = y0
(2.29)
onde α é um fator de proporcionalidade positiva e y0 é a população inicial de indiv́ıduos infec-
tados em relação ao tempo (t).
Notemos que a equação dada em (2.29) é uma equação de Bernoulli, com n = 2, isto é
dy
dt
− αy = −αy2.
Fazendo a substituição, w = y−1, então
dw
dt
= −y−2dy
dt
,
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então
dw
dt
+ αw = α. (2.30)
O fator integrante é µ(t) = eαt, multiplicando (2.30) por este fator, temos
d
dt
[
eαtw
]
= eαtα
eαtw = α
∫
e−αt + C
w = 1 + Ce−αt.
Voltando à variável inicial, temos,
y(t) =
1
1 + Ce−αt
Como y(0) = y0, devemos tomar C =
(
1 − y0
y0
)
Portanto, a solução do problema de valor inicial será
y(t) =
y0
y0 + (1 − y0)e−αt
Quando t tende a infinito, o limite y(t) é
lim
t→∞
y(x) = lim
t→∞
y0
y0 + (1 − y0)e−αt
= 1
Logo, y(t) → 1, o que significa que, certamente, a doença se espalhará por toda a
população.
Exemplo 2.16. Considere o grupo de indiv́ıduos nascido em um determinado ano (t = 0) e
seja n(t) o número de sobreviventes, t anos depois, entre esses indiv́ıduos. Seja x(t) o número
de elementos desse grupo que não tiveram vaŕıola até o ano t e que são, portanto, suscet́ıveis.
Seja β a taxa segundo a qual os indiv́ıduos suscet́ıveis contraem vaŕıola e seja v a taxa segundo
a qual as pessoas que contráıram vaŕıola morrem da doença. Finalmente, seja µ(x) a taxa de
mortes de todas as outras causas, exceto a vaŕıola. Então,
dx
dy
, a taxa segundo a qual o número
de indiv́ıduos suscet́ıveis decresce, é dada por
dx
dt
= −[β + µ(x)]x; (2.31)
a primeira parcela na expressão entre colchetes na equação (2.31) é a taxa segundo a qual os
indiv́ıduos suscet́ıveis contraem vaŕıola, enquanto a segunda é a taxa de mortalidade de todas
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as outras causas. Temos, também,
dn
dt
= −vβx − µ(x)n, (2.32)
onde
dn
dt
é a taxa de mortalidade de todo o grupo e as duas parcelas na expressão à direita
do sinal de igualdade corresponde às taxas de mortalidade devido à vaŕıola e a todas as outras
causas, respectivamente.
Tomando z =
x
n
, vamos mostar que z, satisfaz o problema de valor inicial



dz
dt
= −βz(1 − vz)
z(0) = 1
(2.33)
Como z =
x
n
, então
dz
dt
=
d
dt
[x
n
]
=
dx
dt
n − dn
dt
x
n2
,
substituindo (2.31) e (2.32), obtemos
dz
dt
= −βz − µ(t)z + vβz2 + µ(t)z,
como o problema de valor inicial (2.33), não depende de µ(t), então
dz
dt
= −βv + vβz2
= −βz(1 + vz).
Vamos encontar z(t), resolvendo a Equação de Bernoulli (2.33)
Como n = 2, se fizermos w = z−1, teremos
dw
dt
= −z−2dz
dt
= −z−2(−βz + βvz2)
= βz−1 − βv
então
dw
dt
− βw = −βv (2.34)
O fator integrante é e−βt, multiplicando (2.34) por este fator, temos
d
dt
[
e−βw
]
= −e−βtβv
e−βtw = ve−βt + c
w = v + ceβt.
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Voltando à variável inicial, temos
z(t) =
1
v + ceβt
.
Como z(0) = 1, devemos tomar c = 1 − v, logo a solução do problema de valor inicial
(2.33) será
z(t) =
1
v + (1 − v)eβt .
Bernoulli estimou que v = β =
1
8
, através desses valores, vamos determinar a proporção
de pessoas com 20 anos que não tiveram vaŕıola. Sendo assim, temos
z(20) =
1
1
8
+
(
1 − 1
8
)
e
20
8
= 0, 0927.
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Conclusão
Equações diferenciais ordinárias nem sempre podem ser resolvidas através de uma
integração direta das mesmas. Na maioria das vezes, precisamos identificar o tipo de EDO para
que possamos aplicar o melhor método para encontrar a solução da equação desejada. Essas
soluções podem ser numéricas ou anaĺıticas. Quanto mais alta a ordem de uma EDO, maior é a
dificuldade em se obter uma solução. Além disso, caracteŕısticas como não linearidade podem
dificultar a resolução de tais equações.
Quando a EDO é de primeira ordem a solucão é mais simples. Em grande parte
das equações de primeira ordem, podemos apresentar soluções anaĺıticas utilizando-se algum
método espećıfico para a resolução das mesmas. No caso da Equação de Bernoulli, que é
uma equação diferencial ordinária não linear de primeira ordem, através de uma substituição
de variável conseguimos transformá-la em uma EDO linear, e assim resolvê-la, com apoio de
algum método de solução como por exemplo, o fator integrante.
Com relação as aplicações, como a Equação de Bernoullié uma EDO linear, isso faz que
a mesma seja uma das ferramentas utilizadas na modelagem de problemas ligados à ciência, en-
genharia, f́ısica, enfim. Tal equação é utilizada em diversos modelos matemáticos desde o século
XVI, como por exemplo os estudos de Daniel Bernoulli, no controle de doenças epidêmicas.
Através dessa equação, encontramos solução para o modelo do problema da queda de um corpo
num meio com atrito (fonômeno f́ısico), e também para o modelo de von Bertalanffly, onde
estuda-se o controle do peso de cada espécie de peixe.
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Referências Bibliográficas
[1] ZILL D. G.; CULLEN M.R. Equações Diferenciais. São Paulo, Makron Books, 2001.
[2] LEITHOLD L. O Cálculo com Geometria Anaĺıtica. São Paulo, Editora Harba,1994.
[3] BOYCE W. E.; DIPRIMA R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. Rio de Janeiro, Editora LTC, 2002.
[4] BASSANEZI, R.C. Modelagem Matemática. São Paulo, Editora Contexto, 2002.
[5] GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Rio de Janeiro, Editora LTC, 2001, v.1 e v.2.
[6] GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Rio de Janeiro, Editora LTC, 2002, v.4.
[7] OLIVEIRA, E. C.; TYGEL M. Métodos Matemáticos para Engenharia. Rio de Janeiro,
SBM, 2005.
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