Razão, Proporção, Fatoração e MMC

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Razão, Proporção e Fatoração 
1. Razão: 
 
Razão (ou rácio) é a relação existente entre dois 
valores de uma mesma grandeza (ou seja, objetos, 
pessoas, estudantes, colheradas, unidades de 
qualquer dimensão idêntica), expressa geralmente 
como "a está para b", a:b ou a/b com (b≠0). 
 
1.1. Razão Escala: 
 
A escala, é a relação matemática entre as 
dimensões do desenho e a do objeto no real que o 
representa em um plano. 
 
1. (G1 - utfpr) Em um exame de seleção concorre-
ram 4800 candidatos para 240 vagas. A razão entre 
o número de vagas e o número de candidatos foi 
de: 
a) 1 .
2000
 
b) 1 .
200
 
c) 1 .
20
 
d) 1 .
2
 
e) 1. 
 
2. (G1 - ifpe) Nos mapas usados nas aulas de Ge-
ografia encontramos um tipo de razão chamada de 
escala. Uma escala é a relação matemática entre o 
comprimento ou a distância medida sobre um mapa 
e a sua medida real na superfície terrestre. Em um 
mapa encontramos a escala 1: 200.000. Se nesse 
mapa a distância entre duas cidades é igual a 65 
cm, então a distância real, em km, entre as cidades 
é igual a: 
a) 100 
b) 105 
c) 110 
d) 120 
e) 130 
 
3. Paulo sempre foi muito curioso. Assim que 
aprendeu que os mapas eram desenhados de 
modo a representar, de maneira proporcional, a 
distância entre os lugares, ele passou a adquirir um 
novo hobby: medir e calcular a distância entre di-
versas cidades. 
As primeiras foram as cidades A e B. Se a distância 
entre elas era 4,5 cm e o mapa utilizava uma escala 
de 1:600 000, isto é, cada cm no mapa representa 
600 000 cm na realidade, qual é a distância entre 
essas cidades? 
a) 27 km 
b) 54 km 
c) 13,5 km 
d) 60 km 
e) 6 km 
 
2. Proporção: 
 
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, 
formam nesta ordem, uma proporção se, e so-
mente se, a razão a : b for igual à razão c : d. 
 
2.1 Propriedade Fundamental: 
 
 
4. (G1 - ifal) A soma de dois números naturais, “m” 
e “n” (m < n), é igual a 20, e a razão entre eles é 
2
.
3
 
É verdade que: 
a) os dois números “m” e “n” são ímpares. 
b) os dois números “m” e “n” são maiores que 10. 
c) m = 4 e n = 16. 
d) m = 12 e n = 8. 
e) m = 8 e n = 12. 
 
5. Em uma sala de aula, a razão de moças para o 
número de rapazes é de 5/4. Se o número total de 
alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista 
uma festa quantas moças ficariam sem par? 
a) 5 b) 25 c) 20 d) 2 e) 10 
 
6. (UFPR) A tela de uma TV está no formato wides-
creen, no qual a largura e a altura estão na propor-
ção de 16 para 9. Sabendo que a diagonal dessa 
tela mede 37 polegadas, qual é sua largura e a sua 
altura, em centímetros? 
(Para simplificar os cálculos, use as aproximações 
337 18,5 e 1 polegada 2,5 cm ) 
a) 80 cm e 45 cm d) 90 cm e 45 cm 
b) 90 cm e 25 cm e) 85 cm e 40 cm 
c) 80 cm e 40 cm 
 
 
7. (ifsc) Em uma fábrica, quatro máquinas empa-
cotam 10 000 balas por hora. Se quisermos empa-
cotar 50 000 balas em meia hora, podemos concluir 
que o número de máquinas necessárias para exe-
cutar esse trabalho será exatamente 
a) 30. b) 20. c) 40. d) 60. e) 18. 
 
3. PRODUTOS NOTÁVEIS: 
 
Quadrado da Soma: 
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 
 
Quadrado da Dife-
rença: 
(a – b) 2 = a2 – 2ab + b2 
 
Diferença de Quadra-
dos: 
(a + b) (a – b) = a2 – b2 
 
Cubo da soma: 
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 
3ab2 + b3 
 
Cubo da diferença: 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 
3ab2 – b3 
 
Soma de cubos: 
a3 + b3 = (a + b) (a2 – 
ab + b2) 
Diferença de cubos: 
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab 
+ b2) 
Quadrado da soma de 
três termos: 
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + 
c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
 
4. FATORAÇÃO: 
 
Fatorar uma expressão é transformar sua forma al-
gébrica de 
soma para produto. 
 
4.1. FATOR COMUM: 
 
𝑐. 𝑥 + 𝑐. 𝑦 = 𝑐. (𝑥 + 𝑦) 
 
4.2. AGRUPAMENTO: 
 
c.x + c.y + bx + by = c (x + y) + b (x + y) = (x + y) (c 
+ b) 
 
Exercícios (Produtos Notáveis e Fatoração) 
 
8. A temperatura T de um forno (em graus centígra-
dos) é reduzida por um sistema a partir do instante 
de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com 
a fórmula 𝑇(𝑡) = −
𝑡2
4
+ 400 , com t em minutos. 
Esta fórmula pode ser expressa, em sua forma fa-
torada, por 
a) 𝑇(𝑡) = (20 −
𝑡
2
)
2
+ 20𝑡 
b) 𝑇(𝑡) = (20 +
𝑡
2
)
2
− 20𝑡 
c)𝑇(𝑡) = 202 − (
𝑡
2
)
2
 
d)T(𝑡)=(20 +
𝑡
2
) (20 −
𝑡
2
) 
e) 𝑇(𝑡) = 102 − (
𝑡
2
)
2
 
 
9. Um criador de aves verificou que, após colocar 
n + 2 aves em cada um dos n viveiros disponíveis, 
sobraria apenas uma ave. O número total de aves, 
para qualquer valor de n ∈ , é sempre: 
a) um número par. 
b) um número ímpar. 
c) um quadrado perfeito. 
d) Um número primo. 
e) um número divisível por 3. 
 
10. O número de peixes em um determinado rio va-
ria de acordo com o dia e mês do ano da seguinte 
maneira: N = x2y + xy2, em que x representa o dia 
e y representa o mês. No dia do ano em que x3 + 
y3 = 793 e x + y = 13, determine o número de peixes 
no rio. 
a) 468 
b) 624 
c) 702 
d) 756 
e) 1512 
 
11. Krushenko chegou à sala e se deparou com 
uma equação no 
quadro envolvendo duas variáveis p e q: 
E = p3 + q3 + p2q +pq2. 
Ao longo da aula o professor foi distribuindo dicas 
e o objetivo final seria encontrar o valor da expres-
são E. Sabendo que duas das dicas foram: 𝑝 +
 𝑞 = 4 e 𝑝𝑞 = 5, qual o valor de E? 
a) 24 b) 26 c) 30 d) 34 e) 36 
 
12. Em uma empresa de roupas, o lucro, em reais, 
obtido em um mês com a venda de x peças é dado 
por 
L(x) = x2 + 14x + 49. 
Em janeiro de determinado ano, foram vendidas 
1.573 peças e em fevereiro do mesmo ano, foram 
vendidas 1.583 peças de roupa. Qual a diferença 
entre o lucro obtido em fevereiro e janeiro? 
a) 29700 
b) 30700 
c) 31700 
d) 32700 
e) 33700 
 
4. EXERCÍCIOS (MMC e MDC) 
 
13.Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua 
colmeia nos seguintes grupos para exploração am-
biental: um composto de 288 batedoras e outro de 
360 engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sa-
bendo que cada grupo deve ser dividido em equi-
pes constituídas de um mesmo e maior número de 
abelhas possível, então você redistribuiria suas 
abelhas em: 
a) 8 grupos de 81 abelhas. 
b) 9 grupos de 72 abelhas. 
 
 
c) 24 grupos de 27 abelhas. 
d) 2 grupos de 324 abelhas. 
e) 2 grupos de 304 abelhas. 
 
14. No alto de uma torre de uma emissora de tele-
visão duas luzes “piscam” com frequências diferen-
tes. A primeira, “pisca“ 12 vezes por minuto e a se-
gunda, “pisca“ 15 vezes por minuto. Se num certo 
instante as luzes piscam simultaneamente, após 
quantos segundos elas voltarão a piscar simultane-
amente? 
a) 10 segundos. 
b) 20 segundos. 
c) 15 segundos. 
d) 40 segundos. 
e) 30 segundos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1 
C 
2 
E 
3 
A 
4 
E 
5 
A 
6 
A 
7 
C 
8 
C 
9 
C 
10 
B 
11 
A 
12 
C 
13 
B 
14 
B 
 
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