BG_MAT_5_10_05_2021

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1. (ifce 2019) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é do seu ângulo externo é 
a) octógono. b) dodecágono. c) decágono. 
d) icoságono. e) eneágono 
2. (cftmg 2016) Na figura a seguir, o pentágono regular está inscrito numa circunferência de centro e as semirretas e são tangentes à circunferência nos pontos e respectivamente.
A medida do ângulo em graus, é igual a 
a) b) c) d) 
3. (cftrj 2011) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia a semirreta BA no ponto A e tangencia o segmento BE no ponto C. Sabendo ainda que BA é paralela à reta OF, que o segmento EF é perpendicular a OF e que o menor arco da circunferência com extremidades em A e C mede º 60, podemos afirmar que o ângulo DÊF mede:
 
a) 20º b) 30º c) 50º d) 60º 
4. (Uff 2012) No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular, é comum se encontrar um modelo no qual as torres de transmissão estão localizadas nos centros de hexágonos regulares, congruentes, justapostos e inscritos em círculos, como na figura a seguir.
Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo seja igual a é correto afirmar que a distância (entre as torres e ), a distância (entre as torres e ) e a distância (entre as torres e ) são, respectivamente, em km, iguais à 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (Espm 2011) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a: 
a) b) c) d) e) 
6. (Insper 2013) O quadrado ABCD está inscrito na circunferência de centro O e raio de medida como mostra a figura.
Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao lado e os vertesses G e H pertencem à circunferência. Assim, a medida do lado do quadrado EFGH, em cm, é igual a 
a) 0,8. b) 0,9. c) 1,0. d) 1,1. e) 1,2. 
7. (Fgv 2013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele.
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a 
a) b) c) 6 d) e) 
8. (Espcex 2021) Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual a 
a) b) c) 
d) e) 
9. (Espcex 2020) Na figura abaixo é um hexágono regular de lado igual a e são quadrados.
Com base nessas informações, a medida do segmento é igual a 
a) b) c) d) 
e) 
10. (Insper 2014) Um polígono regular possui n lados, sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois vértices desse polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P1 e P2, congruentes entre si. O número de lados do polígono P1 é igual a 
a) b) c) d) e) 
11. (Udesc 2016) Um filtro de ar automotivo é fabricado dobrando-se uma folha retangular de papel filtro em formato de sanfona (uma dobra para cima e outra para baixo repetidamente) e, posteriormente, unindo-se duas laterais opostas dessa folha, de modo a formar uma superfície, conforme a representada na figura abaixo.
Considere como "raio interno" a distância do centro do cilindro até as pontas interiores das dobras e "raio externo" a distância do centro até as pontas externas. 
Um filtro específico é fabricado "sanfonando" o papel 6 vezes (6 dobras para dentro e 6 dobras para fora), sem sobreposições das extremidades do papel que são unidas para formar a superfície da figura. Sabendo que esse filtro tem raio interno de raio externo de e altura de a área superficial desse filtro é de: 
a) b) 
c) d) e) 
 
12. (epcar 2021) Para participar de um concurso no qual serão escolhidos mosaicos para a calçada de uma igreja, um artista construiu seu mosaico usando pentágonos regulares e losangos dispostos conforme figura a seguir:
Sabe-se que e são ângulos do pentágono regular e do losango, respectivamente.
Se a soma equivale a graus, então, quanto ao valor de pode-se afirmar que é um número 
a) primo. b) quadrado perfeito. c) divisível por 
d) múltiplo de 
 
13. (col. naval 2019) Observe a figura a seguir.
Nela temos dois triângulos equiláteros de lado Sabe-se que o círculo no interior do primeiro triângulo e o quadrado no interior do segundo triângulo, tem as maiores áreas possíveis. É correto afirmar, que a razão entre os perímetros do círculo e do quadrado é igual a: 
a) b) c) 
d) e) 
 
14. (Acafe 2015) Tomando-se ao acaso uma das diagonais formadas pelos vértices de um octógono regular, a probabilidade de que a diagonal passe pelo centro do octógono é de: 
a) b) c) d) 
 
15. (Ime 2019) Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio São sorteados vértices distintos do hexágono, a saber: e Seja o raio do círculo inscrito ao triângulo Qual a probabilidade de que 
a) b) c) d) e) 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [E]
Observação: Todo polígono regular é convexo.
Considerando que é a medida do ângulo externo do polígono regular de lados e a medida de seu ângulo interno, temos a seguinte equação:
Portanto, o polígono citado é um eneágono regular. 
Resposta da questão 2:
 [C]
Os vértices do pentágono regular dividem a circunferência em cinco arcos congruentes de medida igual a Além disso, como e são tangentes à circunferência nos pontos e segue que os ângulos e são retos. Em consequência, é o suplemento do ângulo central ou seja, 
Resposta da questão 3:
 [B]
y + 60o = 90o;
Logo, y = 30o e z = 60o.
Portanto, x + z = 90o = x = 30o 
Resposta da questão 4:
 [D]
 
Resposta da questão 5:
 [B]
Sabendo que o número de diagonais de um polígono regular em função do número de lados é dado por temos que 
Logo, e são vértices consecutivos de um octógono regular, cujo ângulo interno mede 
De posse desses dados, considere a figura abaixo.
Como os triângulos e são congruentes, basta calcularmos pois é retângulo.
Assim, 
Por conseguinte,
 
Resposta da questão 6:
 [A] 
Considere a figura.
Sejam e respectivamente, os lados dos quadrados e 
Sabendo que vem
		 
Além disso, temos que e Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo encontramos
		 
Resposta da questão 7:
 [B]
Como basta calcularmos 
Sabendo que e pela Lei dos Cossenos, obtemos
 
Portanto, e o resultado pedido é 
 
Resposta da questão 8:
 [C]
Da figura abaixo, temos que:
E:
Portanto:
 
Resposta da questão 9:
 [A]
Sabendo que o ângulo interno de um hexágono regular mede podemos concluir que os triângulos e são isósceles congruentes, com ângulo do vértice igual a 
Portanto, tomando o triângulo pela Lei dos Cossenos, vem
Considere agora o trapézio isósceles cujos ângulos agudos medem 
Seja é o pé da perpendicular baixada de sobre O triângulo é retângulo isósceles e, portanto, temos
Finalmente, ainda do trapézio segue que
 
Resposta da questão 10:
 [B]
Os polígonos e possuem dois vértices em comum (vértices do polígono de lados), e vértices distintos. Logo, o número de vértices de é isto é, lados. 
Resposta da questão 11:
 [A]
Considere a vista superior do filtro.
Desde que e pela Lei dos Cossenos, temos 
Portanto, segue que a área da superfície do filtro é dada por
 
Resposta da questão 12:
 [B]
Considerando que seja a medida do ângulo externo do pentágono regular, temos:
 
Resposta da questão 13:
 [D]
Vamos, inicialmente, calcular a altura do triângulo equilátero: 
O raio círculo de área máxima será o apótema do triângulo: 
Portanto, o com o perímetro do círculo será dado por: 
O próximo passo será calcular o perímetro do quadrado inscrito no triângulo equilátero dado.
Considerando que seja a medida do lado do quadrado, obtemos:
Logo, o perímetro do quadrado será dado por:e a razão pedida será dada por:
 
Resposta da questão 14:
 [C]
Pode-se calcular o número total de diagonais de um octógono lados) pela fórmula: 
Destas, apenas as diagonais que ligam vértices opostos passam pelo centro, ou seja, apenas diagonais passam pelo centro do polígono. Assim, a probabilidade de que tomando-se ao acaso uma das diagonais formadas pelos vértices de um octógono regular, essa passe pelo centro é de: 
Resposta da questão 15:
 [B]
O total de triângulos que podem ser obtidos com os vértices do hexágono é:
Observe a figura abaixo:
Note que os pontos e também geram um triângulo equilátero com as mesmas configurações do triângulo logo, há duas possibilidades para o triângulo 
Dessa forma, a probabilidade pedida é dada por:
 
Página 1 de 3
PA
uuur
VN
23.
-
3
2.
3
-
3
1.
3
-
31.
-
3
.
3
n
2.
2
+
n
1.
2
+
n
.
2
n
1.
2
-
PB
uuur
n
2.
2
-
3cm,
6cm,
10cm,
2
360523cm
-
2
36053cm
-
2
7203cm
2
7202cm
2
3601323cm
+
A
ˆ
a
ˆ
b
ˆ
ˆ
ab
+
x
x
7.
10.
23.
6(33)
12
π
×+
B,
6(31)
12
π
×-
(33)3
6
π
+
3(323)
36
π
×+
3(36)
36
π
×+
50%.
40%.
20%.
0%.
R.
3
A,B
C.
r
ABC.
R
r?
2
=
ˆ
APB,
0
110
35
120
16
e
n
7e
2
ie180
7e
e180
2
7e2e360
9e360
e40
360
40n9
n
+=°
+=°
+=°
=°
=°
°
=Þ=
360
72.
5
°
=°
36.
PA
uuur
PB
uuur
A
B,
µ
OAP
$
OBP
$
APB
µ
AOB,
18072108.
°-°=°
3,8
4.1.3
d4.a23
2
===
72.
3,5
d1113
=++=
2
2
5,8
3984
d21
224
=
æö
æö
+==
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
(d)
(n)
n(n3)
d,
2
×-
=
2
n(n3)
20n3n400n8.
2
×-
=Û--=Þ=
A,B,C
D
180(n2)180(82)
135.
n8
°×-°×-
==°
AB'B
CC'D
AB',
BB'C'C
108.
AB12
AB'.
2
22
===
AD2AB'B'C'
2
21
2
21.
=×+
=×+
=+
l
x,
ABCD
EFGH.
==
OCOG22cm,
=×Û=×
Û=
ll
l
22OC2222
4cm.
4
MO2cm
22
===
l
MNFG2NG.
==×
GON,
154.
2
222
22
2
x
NGONOG(x2)(22)
2
5x16x160
x0,8.
æö
+=Û++=
ç÷
èø
Û+-=
Þ=
EFFAAQQC1dm,
====
CE.
µ
CDE120
=°
CDDE1dm,
==
µ
222
22
CECDDE2CDDEcosCDE
1
11211
2
3.
=+-×××
æö
=+-×××-
ç÷
èø
=
CE3dm
=
EFFAAQQCCE(43)dm.
++++=+
360
222,5
8
θθ
°
=Þ=°
2
2
cos2x2cosx1
cos1
cos2cos1cos
222
2
1
cos45122
2
cos22,5
222
θθθ
θ
=-
+
=-Þ=
+
°++
°===
r22
cos22,5
R2
R
r22
2
+
°==
\=+
120,
°
AFN,CBU
DEV
30.
°
AFN,
222
2
22
2
FNAFAN2AFANcos30
3
FN11211
2
FN23
FN23
31
FN.
2
=+-×××°Þ
=+-×××Þ
=-Þ
=-Þ
-
=
EFNV,
1km,
1207545.
°-°=°
H
N
EF.
FHN
FN31
HFHF.
2
2
-
=Û=
EFNV,
VN12HF
31
12
2
23.
=-×
-
=-×
=-
1
P
2
P
3,8
d
n
n2n
1
22
-
=-
1
P
nn
121,
22
-+=+
n
1
2
+
OA3cm,
=
OB6cm
=
µ
AOB30,
=°
µ
222
2
22
ABOAOB2OAOBcosAOB
3
AB36236
2
AB3523cm.
=+-×××Û
=+-×××Þ
=-
2
12352310360523cm.
×-×=-
3
360
e72
5
a18072108
b1802e18014436
ab144 (quadrado perfeito)
°
==°
=°-°=°
=°-×=°-°=°
\+=°
3
h233
2
=××=
3
r1
3
==
C212
ππ
=××=×
x
x3x
3
23
3x6323x
3x23x63
x(233)63
63
x
233
-
=
=-
+=
×+=
=
+
243
P
233
=
+
(
)
3233
2233233
2
36
243243123
233
π
π
ππ
××+
×++
=××=×=
+
(n8
=
8
n(n3)85
ddd20
22
×-×
=®=®=
4
4
0,220%
20
=®
6,3
6,3
6!
C
3!3!
C20
=
×
=
P,Q
S,
ABC,
ABC.
21
2010
=
3,5
d
3
5
5,8
d
5
8
3,83,55,8
d23,d3,d323.
===+
3,83,55,8
d4,d3,d5.
===
3,83,55,8
3333
d4,d,d4.
22
===+
3,83,55,8
d23,d3,d21.
===
3,83,55,8
339
d4,d,d.
22
===
7
2
2
12
+
221
-
221
+
22
22cm,
CD
42
+
43
+
45
+
2(22)
+
O
R,
R
12.
2
+
R
13.
2
+
R
22.
2
+
R
23.
2
+
R
23.
2
-
ABCDEF
1,
ABMN
CDVU