AULA_cn epcar 14 06 2021

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1. (epcar 2012) Considere a parábola que representa a igualdade 2
yaxbxc,
=++
 de eixo de simetria PV,
suur
 e o quadrado ABCD indicados na figura abaixo.
Sabendo-se que os pontos A e B pertencem à parábola e ao eixo Ox
suur
 e sendo V o ponto onde a parábola tangencia o segmento DC,
 o valor de 2
b4ac
D=-
 é 
a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 
2. (epcar 2012) Sr. Luiz pretende dividir a quantia x reais entre seus netos. Observou que se der 50 reais para cada um lhe faltarão 50 reais e se der 40 reais para cada um, lhe sobrarão 40 reais. Com base nisso, é correto afirmar que 
a) Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos. 
b) Sr. Luiz tem mais de 10 netos. 
c) se um dos netos do Sr. Luiz não quiser o dinheiro, os demais receberão menos de 45 reais cada um. 
d) é possível que o Sr. Luiz divida a quantia x em partes iguais entre todos os seus netos, de forma que não lhe sobre nenhum centavo. 
3. (epcar 2012) Um reservatório d’água na forma de um paralelepípedo reto de base quadrada e cuja altura é metade do lado da base, está com 80% de sua capacidade máxima ocupada. 
Se fosse preciso acabar de encher este reservatório seriam necessários 500 baldes iguais cheios d’água com capacidade de 12800mL
 cada.Com base nesses dados, é correto afirmar que a altura da água que há neste reservatório 
a) é exatamente 15 dm b) é exatamente 1600 mm 
c) NÃO passa de 145 cm 
d) está a 0,5 m de atingir seu máximo. 
4. (epcar 2012) Sobre a equação x1
kx1,
k
-
-=
 na variável x, é correto afirmar que 
a) admite solução única se 2
k1
¹
 e 
b) NÃO admite solução se k1
=
 
c) admite mais de uma solução se k–1
=
 
d) admite infinitas soluções se k0
=
 
5. (epcar 2012) Uma pessoa foi realizar um curso de aperfeiçoamento. O curso foi ministrado em x dias nos períodos da manhã e da tarde desses dias. Durante o curso foram aplicadas 9 avaliações que ocorreram em dias distintos, cada uma no período da tarde ou no período da manhã, nunca havendo mais de uma avaliação no mesmo dia.
Houve 7 manhãs e 4 tardes sem avaliação.
O número x é divisor natural de 
a) 45 b) 36 c) 20 d) 18 
6. (epcar 2012) O conjunto solução da equação x
x714
2
-++=-
 está contido em 
a) b) 
c) d) 
7. (epcar 2012) Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimensões 30cm
 por 21cm
 e dobrou conforme o procedimento abaixo descrito.
1º) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M
2º) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E
3º) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G, respectivamente.
4º) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante.
Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a medida do segmento MR,
 em centímetros, é igual a 
a) 6 b) 62
 c) 9 d) 92
 
8. (epcar 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão.
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR
 de medida 62
 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB
 do rato, em metros, é um número entre 
a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7 
 
9. (epcar 2012) Considere os números reais
x2,7
=
1
3
4
y0,2516
-
-
æö
ç÷
=+
èø
(
)
2
2
3
1
3
5
3
2
2
5
2
7
22
z
1
2
-
æö
×
ç÷
èø
-
--
=
éù
æö
êú
-
ç÷
èø
ëû
É FALSO afirmar que 
a) z3
y2
<-
 b) 1
xy
5
-<
 c) xz0
+<
 
d) 
10. (epcar 2012) Os círculos abaixo têm centros fixos em 1
C,
 2
C,
 3
C
 e se tangenciam conforme a figura. Eles giram conforme a direção das setas, e não derrapam nos pontos de contato. Num certo momento, os pontos A e B das circunferências de centros 1
C
 e 2
C
 se encontram no ponto de tangência. A partir desse momento até A e B se encontrarem novamente, o número de voltas dadas pelo círculo de centro em 3
C
 é
 
a) 11 b) 1
11
3
 c) 2
11
3
 d) 12 
11. (epcar 2013) Lucas e Mateus são apaixonados por futebol. Eles praticam futebol no quintal de casa, que é totalmente plano e possui uma rede de 3m
de altura.
Numa brincadeira, Mateus posiciona a bola a 4m
 da rede e Lucas varia sua posição em lado oposto à rede, aproximando-se ou afastando-se dela, conservando uma mesma linha reta com a bola, perpendicular à rede.
Mateus lança a bola para Lucas, com um único toque na bola, até que ela atinja o chão, sem tocar a rede.
Considere um plano cartesiano em que:
— cada lançamento realizado por Mateus é descrito por uma trajetória parabólica;
— Lucas e o ponto de partida da bola estão no eixo Ox
suur
 e
— a posição da bola é um ponto (x,y) desse plano, onde (
)
yfx
=
 é a altura atingida pela bola, em metros, em relação ao chão.
Assinale, dentre as alternativas abaixo, aquela que tem a lei de uma função f que satisfaz às condições estabelecidas na brincadeira de Lucas e Mateus. 
a) (
)
2
x
fx2
8
=-+
 b) (
)
2
3x
fx3
16
=-+
 
c) (
)
2
xx15
fx
164
+
=-+
 d) (
)
2
fx0,1x0,2x4,8
=-++
 
12. (epcar 2013) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se
Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter 1
4
 da
quantia de Pitágoras.
Dessa forma, é correto afirmar que 
a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais. 
b) Pitágoras possui hoje, 2
3
 do que Tales possui. 
c) Tales possui hoje, mais que 220 reais. 
d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais. 
13. (epcar 2013) Hoje, dia 29 de julho de 2012, José tem o dobro da idade que Luiz tinha quando José tinha a idade que Luiz tem. Quando Luiz tiver a idade que José tem, a soma das idades deles será 90 anos.
Em 29 de julho de 2017, a razão entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, será 
a) 6
5
 b) 9
7
 c) 5
4
 d) 27
20
 
 
14. (epcar 2013) Analise as afirmativas seguintes e classifique-as em V (verdadeiro) ou F (falsa).
( ) Se p é um número inteiro, ímpar e p2,
>
 então o maior valor de x que satisfaz a inequação (
)
(
)
pxp22x
--³-
 é sempre um número ímpar.
( ) Para todo o conjunto solução da equação (
)
2mxmx10
-+=
 é {
}
S1.
=
( ) Se a menor raiz da equação (I) (
)
2
xm1x3m0
+--=
 e a menor raiz da equação (II) 2
2x5x30
+-=
 são iguais, então m é a outra raiz de (I).
Tem-se a sequência correta em 
a) F – F – V 
b) V – V – F 
c) V – F – V 
d) F – V – F 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [C] 
A diferença entre as raízes é igual ao y do vértice.
416.
a4a
ΔΔ
ΔΔ
=-Û=Û=
-
 
Resposta da questão 2:
 [A] 
x reais para dividir para n netos. De acordo com as informações do problema, podemos concluir que:
x50n50(I)
x40n40(II)
=-
ì
í
=+
î
Substituindo (I) em (II).
50n – 50 = 40n + 40
10n = 90
n = 9 e x = 400 
Logo, o Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos. 
Resposta da questão 3:
 [B] 
De acordo com os dados do problema, podemos escrever que:
(
)
63
50012800xxx/20,2
 6410= x 
x400cm.
×=×××
×
=
Portanto, a altura da água será h =80400
160cm1600mm.
1002
×==
 
Resposta da questão 4:
 [A] 
22
2
x1k1
kx1kxx1kx(k1)k1x
k
k1
--
-=Û×-+=Û×-=-Û=
-
Se k2 for diferente de 1, x é único.
Se k = 1, a equação possui infinitas soluções.
Se k = –1, a equação não possui solução. 
Portanto, a alternativa [A] é a correta. 
Resposta da questão 5:
 [C] 
x manhãs e x tardes
total de períodos 2x, logo 
2x97 4
2x20 
x10
-=+
=
=
Portanto, x é divisor natural de 20. 
Resposta da questão 6:
 [B] 
22
2
xxxx
x7147x147(x14)7x28x196
2222
2x57x3780
-++=-Þ+=-Þ+=-=+=-+Þ
-+=
Resolvendo a equação, temos: x = 18 oux = 10,5 ão convém, pois 10,5 – 14 < 0).
Portanto, o conjunto {18} está contido em {
}
x|17x25.
Î<<
¡
 
Resposta da questão 7:
 [D] 
O Δ
MEN é isósceles, logo ˆ
ENM45.
=
o
ˆˆ
QRMENM45
@=
o
 (ângulos correspondentes) e MQ = QR = 15 – 6 = 9.
Logo, o segmento MR2 = 92 + 92 MR92.
Þ=×
 
Resposta da questão 8:
 [B] 
O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que 222
h h(62),
+=
 logo h = 6.
No triângulo APR, podemos escrever:
e 4 < 4,2 < 5. 
Resposta da questão 9:
 [A]
7255
x2,72
993
==+==
1
1
3
311
4
4
111158
y0,2516
4162885
-
-
--
-
æö
æö
æöæöæö
ç÷
ç÷
=+=+=+==
èø
ç÷ç÷ç÷
ç÷
èøèøèø
èø
(
)
(
)
2
2
3
1
3
5
3
2
15
2169.251615142
5
221414
7
7
2222222(22)
z2
22
2
1
2
-
æö
×
ç÷
èø
-
-----
=====-
--
éù
-
æö
êú
-
ç÷
èø
ëû
[A] FALSA. z32353
(absurdo!)
8
y2242
5
--
<-Þ<Þ-<-
[B] VERDADEIRA. 158111
xy
5355155
-<Þ-<Þ<
[C] VERDADEIRA. 5
xz020
3
+<Þ-<
[D] VERDADEIRA. xyz(),
++Ï-
¡¤
 pois a soma de três números racionais será sempre um número racional. 
Resposta da questão 10:
 [C] 
mmc (7,5) = 35, ou seja, o círculo 1 deverá dar 5 voltas, e o círculo 2, 7 voltas para que os pontos A e B voltem a se encontrar.
Número de voltas do círculo 3: 352
11.
33
=
 
Resposta da questão 11:
 [D] 
a) Falsa, pois a altura máxima atingida pela bola é menor que 3 m.
máx
1
42
1
8
h2m
11
4a
4
82
Δ
æö
-×-×
ç÷
èø
=-=-=-=
-
×
-×
b) Falsa, pois a maior altura atingida pela bola é igual a 3 m.
máx
3
9
43
16
4
h3m
312
4a
4
1616
Δ
æö
-×-×
ç÷
èø
=-=-=-=
-
×
-×
c) Falsa. Observando o gráfico da função, conclui-se que a bola toca a rede.
d) Verdadeira.
 
Resposta da questão 12:
 [A] 
Pitágoras possui p reais e Tales possui t reais. Temos, então, o sistema abaixo:
p50t50
p100
t100
4
-=+
ì
ï
í
+
-=
ï
î
Resolvendo o sistema, temos t = 200 e p = 300.
Portanto, a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais. 
Resposta da questão 13:
 [B] 
De acordo com as informações do problema, podemos organizar a seguinte tabela:
E escrever o sistema x2(2yx)x4y2x3x4y
.
2xyx903xy903xy90
=×-=-=
ììì
ÛÛ
ííí
-+=-=-=
îîî
Resolvendo o sistema, temos y = 30 e x = 40, daqui a cinco anos x + 5 = 45 e y + 5 = 35.
Portanto, x5459
.
y5357
+
==
+
 
Resposta da questão 14:
 [C] 
(Verdadeira)
(
)
(
)
2
2
2
pxp22x
pxp42x
(2p)x4p(como p>2)
p4
x
p2
xp2
--³-
-+³-
-׳-
-
£
-
£+
Como p é impar, qualquer p + 2 também será ímpar.
(Falsa)
2mx – mx – m = 0
 mx = m 
 x = 1 ( m¹
0)
 
Obs.: Se m = 0, a equação terá infinitas soluções.
(Verdadeira)
Determinando as raízes da equação 2x2 + 5x – 3 = 0, temos x= ½ ou x = –3.
Substituindo x = –3 na equação (I) (
)
2
xm1x3m0
+--=
, temos:
(–3)2 + (m – 1)×
(–3) – 3m = 0
9 – 3m + 3 – 3m = 0
6m = 12
m = 2
Fazendo m = 2 na equação (I), temos: x2 + (2 – 1)×
x – 3×
2 = 0 Þ
x2 – 5x + 6 = 0, cujas raízes são 2 e –3, concluindo então que m = 2 é raiz da equação (I).