PRISMAS & CILINDROS AFA EN & ESPCEX

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PRISMAS & CILINDROS
 Superfície Prismática:
 Secção reta:
Tipos de Prismas
 Prismas Regulares:
 Tronco de Prismas:
 Paralelepípedos:
 Casos Particulares:
 Propriedades Métricas:
[1] Área Lateral: 
[2] Área Total: 
 Obs: 
 Ortoedro:
 Prisma Oblíquo
 Volumes:
	
 Superfície Cilíndrica:
 Cilindro:
Cilindro de Revolução:
 Volume:
Observação: Cilindro Equilátero tem altura igual ao diâmetro da base, i.e., sua secção meridiana é um quadrado.
 Planificação do Cilindro:
 Observação: Se o cilindro for equilátero, teremos:
Tronco de Cilindro:
 Observação: 
 Exercícios:
[1] (Ita 1995) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm3, é: 
a) 27 b) 13 c) 12 d) 54 e) 17 
[2] (Ime 2018) Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão Sua área total é de Calcule o valor da diagonal do referido prisma. 
a) b) c) d) 
[3] (Ita 2005) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a 
a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) 22. 
[4] (Uerj 2012) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes.
Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: 
a) b) c) d) 
[5] (Uerj 2011) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
Em relação ao prisma, considere:
- cada um dos ângulos Â, , e da base superior mede 120º;
- as arestas medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m2 e que
= 1,73.
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: 
a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85 
 [6] (Ita 1996) As dimensões x, y, z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm2, então o volume deste paralelepípedo, em cm3, é igual: 
a) 1.200 b) 936 c) 1.155 d) 728 e) 834 
 [7](Mackenzie 1998) No cubo da figura a seguir, a distância do vértice A à diagonal PQ é . Então, o volume do cubo é:
 a) 9 b) 8 c) 27 d) 64 e) 125 
[8] (Fuvest 2002) Em um bloco retangular (isto é, paralelepípedo reto retângulo) de volume 27/8, as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é. 
a) 7/8 b) 8/8 c) 9/8 d) 10/8 e) 11/8 
 [9](Mackenzie 2003) Se, no cubo da figura, a distância entre as retas t e u é 3, a área total desse cubo é:
 a) 150 b) 300 c) 216 d) 180 e) 280 
 
[10](Ufscar 2008) A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões sendo e quatro de seus vértices.
A distância de até o plano que contém e é igual a 
a) b) c) d) e) 
[11] (Ime 2015) Em um prisma oblíquo cuja base é um hexágono regular de lado a face lateral está inclinada em relação à base, e a projeção ortogonal da aresta sobre a base coincide com a aresta O volume do prisma é: 
a) b) c) d) e) 
 
[12](Insper 2016) A figura indica um bloco maciço com formato de paralelepípedo reto-retângulo. As áreas das faces
indicadas por A, B e C são, respectivamente, e 
O número de blocos como esse que devem ser mergulhados em um tanque completamente cheio de água para que haja um transbordamento de exatamente litros de líquido é igual a 
a) b) c) d) e) 
[13] (Insper 2016) Um tanque, inicialmente vazio, tem a forma de prisma triangular regular e suas paredes têm espessuras desprezíveis. Após algum tempo despejando água no tanque, um cano de vazão por minuto o encheu parcialmente, tendo a água ocupado o espaço de um prisma triangular regular, conforme indicado na figura.
Funcionando na mesma vazão, o tempo necessário para que o cano acabe de encher o tanque é de minutos e segundos, sendo que é um número no intervalo 
a) b) c) d) 
e) 
[14] (Espm 2017) Em volta do paralelepípedo reto-retângulo mostrado na figura abaixo será esticada uma corda do vértice ao vértice passando pelos pontos e 
De acordo com as medidas dadas, o menor comprimento que essa corda poderá ter é igual a: 
a) b) c) d) e) 
[15](Fgv 2018) Sobre a face quadrada do paralelepípedo reto-retângulo foram traçados e intersectando-se em com e dividindo em três segmentos congruentes tais que Sabe-se ainda que e que é um prisma reto de volume 
O volume do paralelepípedo em é igual a 
a) b) c) d) e) 
 [16] (Acafe 2018) Sabendo que as raízes do polinômio são as dimensões internas, em metros, de um reservatório com forma de paralelepípedo, e que a menor raiz representa a altura desse poliedro, é correto afirmar, exceto: 
a) O nível de água do reservatório está na marca de dois terços de sua altura. Então, a quantidade de água existente no reservatório é superior a litros. 
b) A capacidade desse reservatório, em litros, é igual a litros. 
c) A soma das medidas de todas as arestas do sólido que representa o reservatório é 
d) Deseja-se revestir com um produto especial a parte interna do reservatório para evitar vazamentos. Cada lata desse produto reveste Se todas as faces do reservatório, inclusive a tampa, devem ser revestidas, uma lata do produto não será suficiente para realizar esse serviço. 
[17] TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Os motores a combustão utilizados em veículos são identificados pelas numerações 1.0, 1.6 ou 2.0, entre outras, que representam a capacidade volumétrica total da câmara dos pistões, calculada de acordo com o diâmetro e o curso de cada pistão e a quantidade de pistões.
Para o cálculo dessa capacidade, considera-se que cada câmara tem o formato de um cilindro reto cuja altura é o curso do pistão. Desse modo, um motor que possui 4 cilindros que deslocam de mistura gasosa cada totaliza uma capacidade volumétrica de sendo chamado de um motor cilindradas ou, simplesmente, 1.4. 
(Unesp 2021) Há alguns anos, muitas montadoras de automóveis passaram a adotar motores 3 cilindros ao invés dos usuais 4 cilindros. Uma delas desenvolveu motores 3 cilindros cujas cilindradas e curso do pistão eram os mesmos do antigo motor 4 cilindros.Mantida a altura dos cilindros, o aumento percentual que o raio de cada cilindro precisou sofrer para que o motor 3 cilindros tivesse as mesmas cilindradas do motor 4 cilindros é um valor 
a) entre 15% e 18%. b) superior a 18%. c) entre 9% e 12%. 
d) entre 12% e 15%. e) inferior a 9%. 
[18] (Unesp 2020) O quilate do ouro é a razão entre a massa de ouro presente e a massa total da peça, multiplicada por Por exemplo, uma amostra com partes em massa de ouro e partes em massa de outro metal (ou liga metálica) é um ouro de 18 quilates.Assim, um objeto de ouro de quilates tem de ouro e de outro metal em massa.O ouro é utilizado na confecção de muitos objetos, inclusive em premiações esportivas. A taça da copa do mundo de futebol masculino é um exemplo desses objetos.
A FIFA declara que a taça da copa do mundo de futebol masculino é maciça (sem nenhuma parte oca) e sua massa é de pouco mais de Acontece que, se a taça fosse mesmo de ouro e maciça, ela pesaria mais do que o informado.
(“O peso da taça”. https://ipemsp.wordpress.com. Adaptado.)
Considere que a taça seja feita apenas com ouro quilates, cuja composição é de ouro com densidade e uma liga metálica com densidade e que o volume da taça é similar ao de um cilindro reto com de raio e de altura.Utilizando sea taça fosse maciça, sua massa teria um valor entre 
a) e b) e c) e 
d) e e) e 
 
[19](Acafe 2012) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de por hora. 
Com base nestes dados, e considerando analise as afirmações a seguir.
I. A função h(t), em que h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o tempo em horas, é uma função do segundo grau.
II. O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjunto 
III. O tempo total de enchimento desta piscina será de 12 horas e 56 minutos.
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas I e II são verdadeiras. b) Apenas II e III são verdadeiras. c) Todas as afirmações são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
[20](Fgv 2011) Após t horas do inicio de um vazamento de óleo de um barco em um oceano, constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia com o tempo t mediante a função metros. A espessura da mancha ao longo do circulo é de 0,5 centímetro. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular, podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t = 4 horas e t = 9 horas foi de: 
a) 12,5m3 b) 15m3 c) 17,5m3 d) 20m3 e) 22,5m3 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura.
 
[21](Insper 2011) Um quadrado de lados medindo sofre uma rotação completa em torno de um eixo paralelo a um de seus lados. A distância desse eixo a um dos vértices do quadrado é como mostra a figura.
O gráfico que melhor representa a área total do sólido gerado por essa rotação, em em função de para é 
a) 
 b) 
c) 
d) 
e) 
 
[22](Fatec 2006) Considere o losango cujos lados medem 6 cm e um dos ângulos internos mede 60°.
A rotação desse losango em torno de um de seus lados gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é 
a) 146 () π 
b) 162 π
c) 162 () π 
d) 178 
e) 178 () π 
 
[23] (Ita 1995) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m2, vale: “Treine enquanto eles dormem. Estude enquanto eles se divertem. Persista enquanto eles descansam.
E então VIVA o que eles SONHAM.”
a) 32/4 
b) 9(2 + )/4 
c) (2 + ) 
d) 2/2 
e) 3( + 1)/2 
[24] (Ita 2000) Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5 cm do eixo e separa na base um arco de 120°. Sendo de 30cm2 a área da secção plana retangular, então o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm3, 
a) 30π - 10. 
b) 30π - 20. 
c) 20π - 10. 
d) 50π - 25. 
e) 100π - 75. 
 
[25] (Ita 2013) No sistema xOy os pontos e são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão em unidade de comprimento, é igual a 
a) 1. 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
[26] (Ita 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360πcm3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54cm2, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm2, 
a) 18 b) 27 c) 36 d) 108 
e) 45 
 
6
8
AB, BC e CD
3
6
3
3
2
227,
´´
A,B,C
D
B
A,D
C
11
.
4
14
.
4
11
.
2
13
.
2
37
.
2
ABCDEFA'B'C'D'E'F',
ABCDEF
a,
EFF'E'
45
°
F'E'
BC.
3
33
a
2
3
9
a
4
3
53
a
3
3
9
a
2
3
5
a
2
2
48cm,
2
32cm
2
24cm.
4,8
28.
25.
24.
20.
18.
3
33m
5
t
t
[1,12].
[13,24].
[25,36].
[37,48].
[49,59].
A
E,
B,C
D.
15
13
16
14
17
BCHG
ABCDEFGH
GQ
HP,
J,
P
Q
BC
BPPQQC.
==
HE8cm
=
GJHEFI
3
81cm.
ABCDEFGH,
3
cm,
243.
216.
192.
96.
72.
32
P(x)4x28x61x42
=-+-
5.000
10.500
28m.
2
50m.
3
350cm
3
1400cm,
1400
24.
18
6
18
3
4
1
4
6kg.
18
3
19,3gcm
3
6,1gcm,
5cm
36cm
3,
π
=
30kg
35kg.
15kg
20kg.
40kg
45kg.
10kg
15kg.
20kg
25kg.
1.570L
3,14,
π
=
(
)
0,5
30
rtt
p
=
1cm
xcm,
S
2
cm,
x,
x0,
³
3
3
(
)
A2,0,
=
(
)
B2,5
=
(
)
C0,1
=
volume
,
áreatotaldasuperfície
100
.
105
10
.
11
100
.
115
5
.
6
3
427
3
3
2
5
2.
2
28cm.
17cm
19cm
21cm
27cm
3
3
3
4