Dosagem_de_concreto

Prévia do material em texto

Dosagem de concreto
Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira
Regressão linear simples
Método dos mínimos quadrados
Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira
Fonte: Dario Dafico
3/23
� Dada um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y) que 
descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:
Regressão linear simples
Método dos mínimos quadrados
Y
ε1
ε2
ε3
x3x2x1
y3
y2
y1
X
y = a + b.x
ε1, ε2, ε3, ..., εi são os erros de 
previsão ou desvios 
4/23
� Para obter os coeficientes a e b da equação da reta de regressão 
representativa de um fenômeno linear, calcula-se:
= média dos valores de x
= média dos valores de y
Regressão linear simples
Método dos mínimos quadrados
2
1 )( xxS i
n
ixx −Σ= =
)).(( yyxxS n −−Σ=
x
y
� Os coeficientes a e b são obtidos pelas expressões:
� Calculados os coeficientes, obtém-se a equação:
xbay .+=
)).((1 yyxxS ii
n
ixy −−Σ= =
xx
xy
S
S
b = xbya .−=
5/23
Regressão linear simples
MMQ no Excel
6/23
Regressão linear simples
MMQ no Excel
y = -8274,3 + 4,16.x
7/23
� Para auxiliar o processo de cálculo da regressão linear, pode-se 
empregar a tabela modelo abaixo:
Regressão linear simples
Método dos mínimos quadrados
Ponto xi yi
1
2
3
)).(( yyxx ii −−)( yyi −)( xxi −
2)( xxi −
4
5
6
7
8
⁞
n
Resultados
ӯ 21 )( xxS i
n
ixx −Σ= = )).((1 yyxxS ii
n
ixy −−Σ= =x
8/23
� Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada 
na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o 
interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a 
função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do 
mercado consumidor da cidade de São Paulo. 
Exercício de fixação
Yi
Preço 
(R$/bloco)
36 48 50 70 42 58 91 69
� Estimar a reta de regressão para representar essa relação.
(R: P = 30,19 + 0,12.d)
� Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao 
consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo. 
(R: R$ 80,58)
� Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.
Yi (R$/bloco)
36 48 50 70 42 58 91 69
Xi
Distância 
(km)
50 240 150 350 100 175 485 335
Regressão linear simples
Leis de Abrams, Lyse e Molinari
Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira
Fonte: Dario Dafico
10/23
� A resistência à compressão de um concreto correlaciona-se com a 
relação água/cimento a/c através de uma curva do tipo:
Lei de Abrams
cac k
k
f
/
2
1=
11/23
� Linearizando-se a equação de Abrams, através de logaritmos, 
temos:
Lei de Abrams
cac k
k
f /
2
1loglog =
ca
c kkf
/
21 logloglog −=
cac k
k
f
/
2
1=
� Reorganizando-se na forma de equação de reta, temos:
c kkf 21 logloglog −=
21 log.loglog kkf cac −=
c
a
c kkf .logloglog 21 −=
y a b x
12/23
� Para obter-se a equação de Abrams particular faz-se uma 
regressão linear entre log fc e a/c obtendo-se a e b como 
coeficientes da reta. Se:
Lei de Abrams
ak
ak
ka
10
log
log
1
1
1
=
=
=
bk
bk
kb
−=
−=
−=
10
log
log
2
2
2
� Então:
� Com os valores dos coeficientes k1 e k2 tem-se a equação de 
Abrams. Para se encontrar o valor da relação a/c necessária para 
uma resistência especificada faz-se:
k 101 =
bk −= 102
k = 102
ak 101 =
2
1
log
loglog
k
fk c
c
a
−=
13/23
Lei de Inge Lyse
� Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a 
consistência do concreto medida pelo ensaio do abatimento do 
tronco de cone, o traço m é diretamente proporcional à relação a/c
segundo a equação:
c
akkm .43 += c43
14/23
Lei de Inge Lyse
� Denomina-se teor de água do concreto, representado pela letra H, 
o valor da relação massa de água/massa de materiais secos
presentes na mistura. Assim sendo:
� Como:
)( bac
água
MMM
M
H
++
=
águaa
M
= a
M
a = b
M
b =
,
,
� Logo:
� Como o traço m é a soma das proporções de areia a e brita b em 
relação ao cimento, ou seja:
c
água
c
a
M
=
c
a
M
a =
c
b
M
b =
)..(
).(
ccc
cc
a
MbMaM
M
H
++
=
)1.(
).(
baM
M
H
c
c
a
c
++
=
bam +=
)1(
)(
m
H c
a
+
=
15/23
Lei de Inge Lyse
� Considerando H constante como afirma a lei de Lyse e fazendo m
como função de a/c temos:
� Chamando:
,
,
H
m c
a )(
1 =+ 1)( −=
H
m c
a
).(
1
1 ca
H
m +−=
� Chamando:
� Obtemos a equação de uma reta:
H
kek
1
1 43 =−=
).(43 cakkm +=
y a b x
16/23
Lei de Molinari
� O consumo de cimento de um concreto correlaciona-se com o 
valor do traço seco m através de uma curva do tipo:
mkk
C
.
1000
65 +
=
17/23
Lei de Molinari
� Para a obtenção dos valores de k5 e k6 é necessário linearizar a 
equação de Molinari, permitindo assim o uso do Método dos 
Mínimos Quadrados. Para isso faz-se:
C
mkk
3
65
10
. =+
mkk
C
.
1000
65 +
=
� Rearranjando-se, para o formato da equação de reta, tem-se:
mkk
C
.
10
65
3
+=
y a b x
18/23
Diagramas de dosagem
m
19/23
� 1) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de 
dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa 
seca encontrado foi de 51%, o abatimento do tronco de cone 
adotado foi de (140 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 2,5% e 
foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito 
com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias.
Exercício resolvido
� A) Calcular as equações da lei de Abrams , Lyse e Molinari para o 
estudo de dosagem desenvolvido.
� B) Calcular o traço unitário , o consumo de cimento e a eficiência
para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão 
(fc) na idade de controle de 35 MPa.
fc
(MPa) a/c m
C 
(kg/m³)
38,0 0,41 4,0 472
28,0 0,55 5,0 371
20,0 0,70 6,0 309
20/23
Exercício resolvido
Ponto x y
1 0,41 1,5798 - 0,1433 0,0205 0,1371 - 0,0196
2 0,55 1,4472 - 0,0033 0,0000 0,0045 - 0,0000
3 0,70 1,3010 0,1467 0,0215 0,1417 - 0,0208
Resultados
ӯ
0,5533 1,4427 0,0420 - 0,0404
2
1 )( xxS i
n
ixx −Σ= = )).((1 yyxxS ii
n
ixy −−Σ= =
)).(( yyxx ii −−)( yyi −)( xxi −
2)( xxi −
x
0,5533 1,4427 0,0420 - 0,0404
9619,0
0420,0
04040,0 −=−==
xx
xy
S
S
b
9749,1)5533,0.9619,0(4427,1. =−−=−= xbya
c
a
cf .9619,09619,1log −=
38,941010 9749,11 ===
ak
16,9
10
1
10
1
9619,02
=== −bk
cac
f
/16,9
38,94=
log k1 log k2
21/23
� A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei 
de Abrams , Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.
Exercício resolvido
cac
f
/15,9
32,94= ).(894,6185,1 cam += m
C
.559,0111,0
1000
+−
=
� B) Calcular o traço unitário , o consumo de cimento e a eficiência
para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão 
(fc) na idade de controle de 35 MPa.
m = 4,27
C = 439 kg/m³ Ef = 12,5 kg/MPa
1 : 1,69 : 2,58 : 0,45
22/23
� 2) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de 
dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa 
seca encontrado foi de 55%, o abatimento do tronco de cone 
adotado foi de (120 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 1,5% e 
foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito 
com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias.
Exercício resolvido
� A) Calcular as equações da lei de Abrams , Lyse e Molinari para o 
estudo de dosagem desenvolvido.
� B) Calcular o traço unitário , o consumo de cimento e a eficiência
para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão 
(fc) na idade de controle de 50 MPa.
fc
(MPa) a/c m
C 
(kg/m³)
57,5 0,36 3,0 479
43,7 0,42 4,0 371
31,4 0,49 5,0 295
23/23
� A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei 
de Abrams , Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.
Exercício resolvido
cac
f
/17,107
81,307= ).(35,1550,2 cam +−= m
C
.65,012,0
1000
+
=
� B) Calcular o traço unitário , o consumo de cimento e a eficiência
para um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão 
(fc) na idade de controle de 50 MPa.
m = 3,49
C = 418 kg/m³ Ef = 8,4 kg/MPa
1 : 1,47 : 2,02 : 0,39