matemática1-Equação exponencial-

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Matemática 
 
 
Equação exponencial 
Objetivo 
Entender o que é uma equação exponencial, aprender os possíveis casos e saber como encontrar a solução 
desse tipo de equação. 
Se liga 
Para entender melhor esse conteúdo e mandar bem nas questões, é muito importante saber tudinho sobre 
potenciação, caso queira rever esse conteúdo ele foi dado ao vivo na semana 2 e também temos aulas 
gravadas na biblioteca. 
Curiosidade 
Os métodos usados para resolvermos equações exponenciais são os mesmos que usamos para funções 
exponenciais e essas, por sua vez, são de extrema importância já que representam crescimentos e 
decrescimentos que acontecem de forma muito rápida. Isso acontece, pois, o fator de crescimento ou 
decrescimento está no expoente. 
Teoria 
 
Equação exponencial 
Uma equação exponencial é aquela em que a variável a ser encontrada aparece como expoente de uma 
base constante ou variável. 
𝑎𝑥 = 𝑏 
 
Um método usado para resolução de equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da 
equação a potência de mesma base 𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 1). Feito isso, igualamos os expoentes. Ou seja: 
 
𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 𝑥 = 𝑦 
 
Propriedades 
As propriedades que usaremos para resolver equações exponenciais, são as mesmas propriedades da 
potenciação: 
 
a) .
m n m na a a += 
Exemplo: 
3 2 52 .2 2= 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
 
b) :
m n m na a a −= 
Exemplo: 
4 2 23 :3 3= 
 
c) 
( ) .
n
m m na a=
 
Exemplo: 
( )
2
3 62 2=
 
 
d) ( ). .
m m ma b a b=
 
Exemplo: ( )
2 2 22.4 2 .4=
 
 
e) (
𝑎
𝑏
)
𝑚
=
𝑎𝑚
𝑏𝑚
 
Exemplo: (
3
7
)
2
=
32
72
 
 
i) 
1
m
ma
a
−  =  
  
Exemplo 
2
2 12
2
−  =  
  
 
j) 
m
n mna a= 
Exemplo 
1
223 3= 
 
 
Separamos as equações exponenciais em 3 casos: 
 
1º caso: 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑦) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), para a 𝑅+
∗ − {1} 
 
22𝑥 −1 = 83−𝑥 
22𝑥 −1 = (23)3 – 𝑥 
2𝑥 – 1 = 9 – 3𝑥 
𝑥 = 2 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
 
 
 
 
2º caso: 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑓(𝑥) ⬄ {𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 0 , para a 𝑅+∗ − {1} 
 
𝑥𝑥
2+1 = 3𝑥
2+1 
𝑥 = 3 
ou 
 𝑥2 + 1 = 0, o que não convém. 
 
 
3º caso: 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)ℎ(𝑥) ⬄ {𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 0 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 1 
𝑥𝑥
2−6𝑥+11 = 𝑥3 
𝑥 = 0 
ou 
𝑥 = 1 
ou 
𝑥2 − 6𝑥 + 11 = 3 
x = 0 
x = 1 
x = 2 
x = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1. Qual é o valor de 𝑥 na equação 5𝑥 = 125 ? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
 
2. Na equação 2𝑥+4 = 64, o valor de 𝑥 é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
 
3. Calcule o valor de 𝑥 na equação 16𝑥 = 1
4𝑥
 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
 
4. Qual é o valor de 𝑥 na equação (2
5
)
3𝑥
=
25
4
 ? 
a) 
2
3
 
b) −
2
3
 
c) 
3
2
 
 
5. Determine o valor de 𝑥 na equação 2𝑥 = √1285 : 
a) 
2
5
 
b) 
3
5
 
c) 
7
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
 
1. A volemia V de um indivíduo é a quantidade total de sangue em seu sistema circulatório (coração, 
artérias,veias e capilares). Ela é útil quando se pretende estimar o número total N de hemácias de uma 
pessoa, a qual é obtida multiplicando-se a volemia V pela concentração C de hemácias no sangue, isto 
é, N = V x C. Num adulto normal essa concentração é de 5 200 000 hemácias por mL de sangue, 
conduzindo a grandes valores de N. Uma maneira adequada de informar essas grandes quantidades é 
utilizar a notação científica, que consiste em expressar N na forma N = Qx10n, sendo 1≤ Q < 10 e 
n um número inteiro. 
Considere um adulto normal, com volemia de 5 000 mL. 
Disponível em: http://perfline.com.Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado). 
Qual a quantidade total de hemácias desse adulto, em notação científica? 
a) 2,6 x 10-10 
b) 2,6 x 10-9 
c) 2,6 x 109 
d) 2,6 x 1010 
e) 2,6 x 1011 
 
 
2. Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo? 
(5𝑥)2 – 26 ∙ 5𝑥 + 25 = 0 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
3. Se (4𝑥)2 = 16 ∙ 2𝑥
2
, o valor de 𝑥𝑥 é: 
a) 27 
b) 4 
c) 
1
4
 
d) 1 
e) 
−1
27
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
 
 
4. A soma das raízes da equação (4𝑥)2𝑥 - 1 = 64 igual a: 
a) - 
1
2
 
b) – 1 
c) 
1
2
 
d) 1 
e) 
5
2
 
 
 
 
5. Admita que o número de visitas diárias a um site seja expresso pela potência 4n, com n sendo o índice 
de visitas ao site. Se o site S possui o dobro do número de visitas diárias do que um site que tem índice 
de visitas igual a 6, o índice de visitas ao site S é igual a 
a) 12. 
b) 9. 
c) 8,5. 
d) 8. 
e) 6,5 
 
6. O conjunto solução da equação 64𝑥
2
 = 16𝑥
2 + 2𝑥 −2 é o conjunto 
a) 𝑆 = {2} 
b) 𝑆 = {4} 
c) 𝑆 = {−2,2} 
d) 𝑆 = {2,4} 
e) 𝑆 = {−2,4} 
 
 
7. Considere a equação exponencial 2 ∙ 3𝑥−4 = 150. Sobre o valor de 𝑥, é verdade afirmar que 
a) 𝑥 ∈ [4, 6[ 
b) 𝑥 ∈ [6, 8[ 
c) 𝑥 ∈ [8, 10[ 
d) 𝑥 ∈ [10, 13[ 
e) 𝑥 ∈ [13, 15[ 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
 
 
 
8. A solução real da equação 3𝑥 – 3𝑥−1 + 3𝑥−3 – 3𝑥−4 = 56 é : 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 4 
e) 6 
 
 
9. Se o número real k é a solução da equação 9√𝑥 − 8 ⋅ 3√𝑥 − 9 = 0, então o número k cumpre a seguinte 
condição: 
a) 1,5 < 𝑘 < 3,5 
b) 7,5 < 𝑘 < 9,5 
c) 5,5 < 𝑘 < 7,5 
d) 3,5 < 𝑘 < 5,5 
 
 
10. Considere o seguinte sistema: 
{3𝑦 − 2𝑥 = 1 3 ∙ 2𝑥−1 + 6 = 2 ∙ 3𝑦 
Na solução desse sistema, tem-se x=a e y=b. Assim, o valor expressão 
(𝑎−3𝑏)(𝑏−𝑎)
3(𝑏+𝑎)
 é 
a) −1 
b) −
1
2
 
c) 
1
5
 
d) 
1
3
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
Gabaritos 
 
Exercícios de fixação 
1. C 
5𝑥 = 1255𝑥 = 53𝑥 = 3 
 
2. D 
2𝑥+4 = 642𝑥+4 = 26𝑥 + 4 = 6𝑥 = 2 
 
3. A 
16𝑥 =
1
4𝑥
16𝑥 = 4−𝑥42𝑥 = 4−𝑥2𝑥 = −𝑥2𝑥 + 𝑥 = 03𝑥 = 0𝑥 = 0 
 
4. B 
(
2
5
)
3𝑥
=
25
4
(
5
2
)
−3𝑥
=
25
4
(
5
2
)
−3𝑥
= (
5
2
)
2
− 3𝑥 = 2𝑥 = −
2
3
 
 
5. C 
2𝑥 = √128
5
2𝑥 = 125
1
52𝑥 = (27)
1
5𝑥 = 7 ⋅
1
5
𝑥 =
7
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. D 
N = V . C 
V = 5.000 ml 
C = 5.200.000 hemácias/ml 
N = 5.000 . 5.200.000 = 26.000.000.000 = 2,6 . 1010 hemácias 
 
2. C 
Completando o quadrado, vem 
(5𝑥)2 − 26 − 5𝑥 + 25 = 0 ⇔ (5𝑥 − 13)2 = 1445𝑥 − 13 = ±12 
5𝑥 = 52 
𝑜𝑢 
5𝑥 = 50 
𝑥 = 2 ou 𝑥 = 0 
Portanto, a resposta é 0 + 2 = 2. 
 
3. B 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
Como 
(4𝑥)2 = 16 ⋅ 2𝑥
2
⇔ 24𝑥 = 2𝑥
2+4 
𝑥2 + 4 = 4𝑥 
(𝑥 − 2)2 = 0 
𝑥 = 2 
segue-se que 𝑥𝑥 = 22 = 4 
 
4. C 
Tem-se que 
(4𝑥)2𝑥−1 = 64 ⇔ 22𝑥
2−𝑥 = 43 
2𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0 
Portanto, pelas relações entre coeficientes e raízes, segue que a resposta é −
(−1)
2
=
1
2
 
 
5. E 
Seja k o índice de visitas ao site S. Desse modo, temos 
4k = 2 . 46 ⬄ 4k = 40,5 . 46 ⬄ 4k = 46,5 
A resposta é k = 6,5. 
 
6. A 
Tem-se que 
64𝑥
2
= 16𝑥
2+2𝑥−2 ⇔ 43𝑥
2
= 42𝑥
2+4𝑥−4 
3𝑥2 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 4 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 
(𝑥 − 2)2 = 0 
𝑥 = 2 
 
Portanto, 𝑆 = {2}. 
 
7. B 
2 ⋅ 3𝑥−4 = 150 3𝑥−4 = 75 
 
Como 27 < 75 < 81, podemos escrever: 
27 < 3𝑥−4 < 81 33 < 3𝑥−4 < 34 3 < 𝑥 − 4 < 4 7 < 𝑥 < 8 
 
A alternativa correta é a [B], pois [6, 8[ contém o intervalo ]7, 8[ 
 
8. D 
Pode-se reescrever a equação acima utilizando as propriedades da potenciação: 
3𝑥 −
3𝑥
3
+
3𝑥
33
−
3𝑥
34
= 56 
81.3𝑥 − 27.3𝑥 + 3 ⋅ 3𝑥 − 3𝑥
81
=
4536
81
 
81.3𝑥 − 27 ⋅ 3𝑥 + 3 ⋅ 3𝑥 − 3𝑥 = 4536 
 
Fazendo 3x = y, pode-se escrever: 
81𝑦 − 27𝑦+3𝑦 − 𝑦 = 4536 
 
 
 
 
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Matemática 
 
56𝑦 = 4536 
𝑦 = 81 
 
Como 3x = y tem-se: 
𝑦 = 3𝑥 = 81 𝑦 = 4 
 
9. D 
 
 
10. C