Equacao exponencial; inequacao exponencial, equacao logaritmica; inequacao logaritmica; exercicioes relovidos

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Equação exponencial; equação logarítmica; inequação exponencial e inequação logarítmica
Super Resumo-Matemática
03/07/2021
Passei Directo
Octávio João Lemos
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente.
Exemplos: , , .
Propriedades de potências
 
 Existem dois métodos fundamentais para resolução das equações exponenciais.
A seguir apresentar-se-á o primeiro método, sendo que o segundo será apresentado quando do estudo de logaritmos.
Método da redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome já nos diz, será aplicado quando, ambos os membros da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potências, forem redutíveis a potências da mesma base . Pelo facto de a função exponencial ser injectiva (cada objecto só tem uma imagem), podemos concluir que potências iguais e de mesma base têm os expoentes iguais, isto é: 
Exemplos:
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Inequações exponenciais são as inequações com incógnita no expoente.
Exemplos: 
Assim como equações exponenciais, existem dois métodos fundamentais para resolução das inequações exponenciais.
Do mesmo modo, usado no estudo de equações exponenciais, far-se-á a apresentação agora do primeiro método e o segundo será visto no estudo de logaritmos.
Método da redução a uma base comum
Este método será aplicado quando ambos os membros da inequação puderem ser representados como potências de mesma base 
Lembremos que a função exponencial é crescente, se , ou decrescente, se , portanto:
Exemplos: 
 
CONCEITO DE LOGARITMO 
Definição: Sendo a e b números reais e positivos, com , chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b. 
Em símbolos: , então 
Em , dizemos: 
a é a base do logaritmo, b é o logaritmando, x é o logaritmo
Propriedades dos logaritmos
· 
· 
· 
· 
· 
· 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Abordara-se agora o segundo método de resolução, as equações exponenciais que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potenciais de mesma base, através de simples aplicação das propriedades das potências. 
A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na definição de logaritmo, isto é, se tem-se:
Exemplos:
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
Podemos classificar as equações logarítmicas em três tipos:
 
É a equação que apresenta ou é redutível a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base .
A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na quarta consequência da definição.
Esquematicamente, temos:
Não nos devemos esquecer das condições de existência do logaritmo, isto é, a base do logaritmo deverá ser positiva e diferente de um e o logaritmando deverá ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na resolução da equação só serão considerados soluções da equação logarítmica proposta se for um valor que satisfaz as condições de existência do logaritmo. 
Exemplos:
X=1 não é solução da equação porque não faz parte do domínio da equação.
É a equação logarítmica que apresenta ou é redutível a uma igualdade entre um logaritmo e um número real.
A resolução de uma equação deste tipo é simples, basta aplicarmos a definição de logaritmo.
Esquematicamente, temos:
 
Não precisamos nos preocupar com a condição de existência do logaritmo, sendo , temos para todo real e consequentemente 
Exemplos:
São as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. 
Exemplos:
 
 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Enfocaremos agora as inequações exponencias que não podem ser reduzidas a uma desigualdade de potências de mesma base, através de simples aplicações das propriedades de potências.
A resolução de uma inequação deste tipo baseia-se no crescimento ou decrescimento da função logarítmica, isto é, se tem-se:
 
 
Exemplo:
Tomando os logaritmos de ambos os membros da desigualdade na base 3 e mantendo a desigualdade pois a base do logaritmo é maior que um, temos:
A escolha da base 3 para o logaritmo visou obter uma simplificação na resolução. Obteríamos o mesmo resultado se tomássemos os logaritmos em qualquer outra base.
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
Assim como classificamos as equações logarítmicas em três tipos básicos, vamos também classificar as inequações logarítmicas em três tipos.
É a inequação que é redutível a uma desigualdade entre dois logaritmos de mesma base .
Como a função logarítmica é crescente se devemos considerar dois casos:
1º caso
Quando a base é maior que 1, a relação de desigualdade existente entre os logaritmandos é de mesmo sentido que o dos logaritmos. Não nos devemos esquecer que, para existirem os logaritmos em R, os logaritmandos deverão ser positivos.
Esquematicamente, temos:
2º caso
Quando a base é positiva e menor que 1, a relação de desigualdade existente entre os logaritmandos é de sentido contrário a dos logaritmos. Também, não nos podemos esquecer que os logaritmandos deverão ser positivos para que os logaritmos sejam reais.
Esquematicamente, temos:
 
Agrupando os dois casos num só esquema temos:
Exemplo: 
· Resolver a inequação 
Solução: Observe que a base é maior que um, logo a desigualdade entre os logaritmandos tem mesmo sentido que a dos logaritmos. 
 
É a inequação logarítmica que é redutível a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real.
Para resolvermos uma inequação deste tipo, basta notarmos que o número real k pode ser assim expresso:
Portanto, são equivalentes as inequações:
e
Pelo estudo já feito no tipo anterior, temos, esquematicamente:
Exemplo: 
· Resolver a inequação 
Solução: 
São as inequações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita.
Exemplo: 
· Resolver a inequação 
Solução: Fazendo , temos:
 então