Calculo Integral (Primitiva e Integral indefinido)

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1 
 
Cálculo Integral 
 
Algumas considerações teóricas 
 
1. Primitiva e Integral indefinido 
Definição 1: Se D é um conjunto de números reais e f é uma função de D em R, diz-se que uma função F de 
D em R é uma primitiva de f se a derivada de F for igual a f, isto é F’(x) = f(x). Se f tiver uma primitiva, diz-
se que f é primitivável. 
Exemplo: Determinar a primitiva da função ( ) 23xxf = . 
Segundo a definição, verifica-se imediatamente que a primitiva de é . Visto que 
. 
Observa-se facilmente que se a função f(x) admite uma primitiva, esta não é única. 
Assim no exemplo precedente, poderíamos tomar como primitivas as funções seguintes: , 
, 
ou em geral (onde C é uma constante arbitrária). 
Teorema 1: Se F1 e F2 são quaisquer duas primitivas de f, no intervalo D, a sua diferença é uma constante. 
Definição 2: Chama-se integral indefinida da função f(x) e denota-se por a toda expressão da 
forma , em que é uma primitiva de f(x). Assim por definição, , se 
. 
A integral também é conhecida como anti derivada. 
A partir da definição da integral podemos constatar o seguinte: 
1. A derivada dum integral indefinido é igual a função a integrar, isto é, se então
. 
2. O diferencial dum integral indefinido é igual à expressão sob o sinal de integral (soma) 
. 
3. O integral indefinido do diferencial duma certa função é igual à soma desta função e duma constante 
arbitrária 
 
( ) 23xxf = ( ) 3xxF =
( ) 23 3xx =′
( ) 3xxF =
( ) 13 += xxF ( ) 53 −= xxF
( ) CxxF += 3
∫ dxxf )(
( ) CxF + ( )xF ∫ += CxFdxxf )()(
)()( xfxF =′
)()( xfxF =′
( ) ( ) )()()( xfCxFdxxf =′+=′∫
( ) dxxfdxxfd )()( =∫
∫ += CxFxdF )()(
2 
 
• Propriedades do integral indefinido 
Teorema 2. O integral indefinido da Soma algébrica de duas ou várias funções é igual à soma algébrica dos 
seus integrais. . 
Teorema 3. O integral indefinido do produto de uma constante por função é igual ao produto da constante 
pela integral da função. . 
• Primitivas de algumas funções elementares 
Nas fórmulas que se segue C designa uma constante arbitrária: 
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 
7. 8. 
9. 
10. 
11. 12. 
13. 
14.
 
Exemplos: 
Calcule os seguintes integrais: a) b) c) 
Resolução: 
a) 
b) = = 
 
c) = = 
[ ] ( )dxxgdxxfdxxgxf ∫ ∫∫ +=+ )()()(
∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(
( )∫ −≠++=
+
1
1
1
α
α
α
α C
x
dxx ∫ += Cxx
dx
ln
∫ +−= Cxsenxdx cos ∫ += Csenxxdxcos
∫ += Ctgxx
dx
2cos ∫
+−= Cgx
xsen
dx
cot
2
∫ +−= Cxtgxdx cosln ∫ += Csenxgxdx lncot
∫ += Cedxe
xx
∫ += Ca
a
dxa
x
x
ln
∫ +=+
C
a
x
arctg
axa
dx 1
22 ∫ +−
+=
−
C
xa
xa
axa
dx
ln
2
1
22
∫ +=−
C
a
x
arcsen
xa
dx
22
∫ +±+=±
Caxx
ax
dx 22
22
ln
∫ dxx
3 ( )∫ +− dxxsenxx 52 ∫ + 24 x
dx
Cxdxx +=∫
43
4
1
( )∫ +− dxxsenxx 52 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+−=+− dxxsenxdxxdxdxxsenxdxxdx 2
1
5252
CxxxC
x
x
x +++=++−−⋅= 32
2
3
2
3
2
cos5
2
3
)cos(5
2
2
∫ + 24 x
dx
∫ + 222 x
dx
C
x
arctg +
22
1
3 
 
EXERCÍCIOS: 
Calcular 
 
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
9) 10) 
 
 
Método de Substituição 
 
Considerações Teóricas: - Integração por mudança de variável (ou método de substituição) 
 
Há casos em que a função integranda se “assemelha” a uma função que se sabe integrar. É o que 
acontece, por exemplo com o integral em relação a . 
 
Então, a substituição da variável x por uma nova variável de integração u, criteriosamente relacionada 
com x, permite simplificar o cálculo do integral. Assim, no exemplo considerado, convém fazer 
, donde, se ou seja, donde, então segue que e, assim tem-se: 
 
 
Deste modo, podemos dizer que o método de integração com recurso à mudança de variável consiste 
em: 
 
• Definir uma nova variável , onde é escolhida de tal modo que, quando 
escrita em termos de u, o integrando é mais simples do que quando escrita em termos 
de x. 
 
• Transformar o integral com relação a x num integral com relação a u, através da 
substituição de onde quer que seja por u e por . 
 
• Integrar a função resultante de u. 
 
• Reescrever a resposta em termos de x, através da substituição de u por 
 
 
 
 
 
∫ dxx
5 ( )∫ + dxxx
∫ − dx
xx
x
)
4
3
( ∫ x
dxx2
dx
xxx∫
++ )241(
2 ∫ 4 x
dx
∫ − 29 x
dx
∫ − 21 x
dx
( )∫ + dxex2 ( )∫ + dxxx cos5
dxx∫ 3cos ∫ duucos
xu 3=
3=
dx
du
dudx=3 dudx
3
1=
CxsenCusenududuudxx +=+=== ∫∫∫ 33
1
3
1
cos
3
1
3
1
cos3cos
)(xgu = )(xg
)(xg dxxg )(' du
).(xg
4 
 
Outros exemplos/exercícios: 
- Calcular . 
Resolução: 
- Aqui, a substituição pode ser: ; ou seja, , e portanto o 
integral calcula-se fazendo: 
 Que passando à variável x fica, . 
 
EXERCÍCIOS: 
Calcular : 
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
9) 10) 
11) 12) 
13) 14) 
15) 16) 
17) 18) 
19) 20) 
21) 22) 
23) 24) 
25) 26) 
27) 28) 
29) 30) 
 
 
dxxxI ∫ += 13
32
13 += xu dxxdu 23=
23x
du
dx =
∫
∫
+==
=⋅⋅=
Cuduu
x
du
uxI
2/32/1
2
2
3
2
3
3
CxI ++= 2/33 )1(
3
2
dxxx 2)1(
32 ⋅+∫ ∫ dxxsen )2(
∫ dxxe
x22 dxxx 13 32 +∫
dx
x
x
∫
2)(ln dxex x
32
∫
dxxsenx∫ − )5(1)5cos( dxe
x
∫
−355
dxxx 132 −∫ dx
xx
xx
∫ +−
−
13
2
23
2
( )∫ + 3232
2cos
xsen
xdx
∫ +12x
xdx
∫ ++
+
dx
xx
x
32
1
2 ∫ + 32
cos
senx
xdx
∫ + x
x
e
dxe
2
2
2
∫ − 231 x
dx
∫ − 2916 x
dx
∫ − 29 x
dx
∫ + 49 2x
dx
∫ − 294 x
dx
∫
− 6
2
5 x
dxx ∫ − 253 x
dx
∫ + xsena
xdx
22
cos
∫ ++ 522 xx
dx
∫ +− 423 2 xx
dx
∫ ++ 132 xx
dx
∫ +− 562 xx
dx
∫ +− 122 2 zz
dz
∫ +− 223 2 xx
dx ( )
∫ +−
−
1173
76
2 xx
dxx
5 
 
Exercícios Suplementares 
 
 Calcular cada um dos seguintes integrais indefinidos. 
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
9) 10) 
11) 12) 
13) 14) 
15) 16) 
 
 
2. Método de Integração por partes 
 
Considerações Teóricas 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto, 
 
Integrando ambos os lados, obtemos 
 
ou 
 
ou 
 
Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de 
manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos 
 (1) 
A qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos 
tornar um problema de integração mais simples. 
( )∫ + dxxx 52 42 ( )∫ + dxxx 232 13
( ) ( )∫ −− dxxxx 525 32 ∫ + dxxx 32 2
dxe x 355 −∫ dxxe x∫
− 22
( )
dx
x
x
∫
2ln ( ) dxx
x∫
3ln
1
∫ 





dxxsen
2
7 ( )dxxx∫ 2cos2
∫ xdxsenxcos ( ) dxex senx∫ cos
∫ +
dx
x 12
1 ( )( )dxxxx 434 23 −−∫
dxxx∫ −1
32 ( )dxx∫ + 12cos2
∫ ∫ ′−=′ dxxfxgxgxfdxxgxf )()()()()()(
6 
 
Na prática, é usual reescrever (1) fazendo 
 
 
Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1): 
 (2) 
 Exemplo 
 Calcule: 
Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma 
Uma maneira de fazer isso é colocar 
 
para que, e 
Deste modo, a partir de (2) 
 
Observação: 
1. A parte escolhida como dv tem de ser facilmente integrável. 
2. não pode ser mais complicada que . 
EXERCÍCIOS: 
 
Integração por partes – Achar: 
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 
7. 8. 
9. 10. 
 
 
 
 
 
 
dxxfduxfu )()( ′=⇒=
dxxgdvxgv )()( ′=⇒=
∫ ∫−= vduuvudv
∫ dxxe
x
∫udv
dxdu= ∫ ==
xx edxev
∫ vdu ∫udv
dxxx ln2∫ dxxx∫ +1
dxsenxx∫
2 dxex x23∫
∫ dxxx ln ∫ dxxsenx
∫ dxxe
x dxxx∫ +
8)5(
∫ dxxx ln
2 dxex x∫
2
7 
 
3. Integrais contendo o trinómio quadrático 
 
Considerações Teóricas 
I - Consideremos o integral 
Transformando o denominador numa soma ou diferença de quadrados podemos encontrar integrais de 
tabela. 
 
Se considerarmos podemos ter 
= 
Fazendo a substituição , logo 
= que é um integral de tabela. 
 
Exemplo: Calcule 
Resolução: = 
Fazendo a substituição , logo 
= 
 
II - Consideremos o integral 
O método de substituição sugere que no numerador da fracção tenhamos a derivada do denominador, 
isto é, . 
Assim: Este integral pode serescrito da forma duma 
soma de dois integrais e retirando os factores constantes do integral, temos: 
 
O segundo integral é I que já sabemos calcular. Fazendo a substituição 
, logo 
, então 
 
∫ ++ cbxax
dx
2
=


 ++=++
a
c
x
a
b
xacbxax 22 =








+




−




++
a
c
a
b
a
b
x
a
b
xa
22
2
22 













−+




 +=
2
22
42 a
b
a
c
a
b
xa
k
a
b
a
c ±=−
2
2
4
∫ ++ cbxax
dx
2 ∫
±




 + 2
2
2
1
k
a
b
x
dx
a
dtdxt
a
b
x =⇒=+
2
∫ ++ cbxax
dx
2 ∫ ± 22
1
kt
dt
a
∫ ++ 30123 2 xx
dx
∫ ++ 30123 2 xx
dx =
++∫ 1043
1
2 xx
dx =
+−++∫ 104443
1
2 xx
dx
( )∫ ++ 623
1
2x
dx
dtdxtx =⇒=+ 2
( )∫ ++ 623
1
2x
dx
( ) C
t
arctg
t
dt +⋅=
+
∫ 66
1
3
1
63
1
22
C
x
arctg ++=
6
2
63
1
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
( ) baxcbxax
dx
d +=++ 22
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
( )
dx
cbxax
a
Ab
Bbax
a
A
∫ ++





 −++
=
2
2
2
2
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
( )
dx
cbxax
bax
a
A
∫ ++
+=
2
2
2 ∫ ++



 −+
cbxax
dx
a
Ab
B
22
( ) dtdxbaxtcbxax =+⇒=++ 22
( )
CcbxaxCt
t
dt
cbxax
dxbax +++=+==
++
+
∫∫
2
2
lnln
2
8 
 
= 
 
Exemplo: Calcule 
Resolução: 
 
Fazendo a substituição, no 1º integral temos , 
No segundo integral transformemos o denominador numa soma de quadrados 
 
 
 
III - Consideremos o integral 
Fazendo transformações algébricas e mudança de variável análoga ao caso I reduzimos este integral a: 
• para a > 0 
• para a < 0 
 
Exemplo: Calcule 
 
Resolução: 
 
Fazendo a substituição , logo 
 
 
IV - Consideremos o integral 
Fazendo transformações algébricas e mudança de variável análoga ao caso II e III reduzimos este 
integral a: 
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
+++= cbxax
a
A 2ln
2
C
kt
dt
a
Ab
B
a
+
±





 − ∫ 222
1
( )
∫ +−
+
84
1
2 xx
dxx
( )
∫∫ =+−
+=
+−
+
dx
xx
x
xx
dxx
84
22
2
1
84
1
22 ∫ =+−
++−
dx
xx
x
84
2442
2
1
2
( )
∫ =+−
+−
dx
xx
x
84
642
2
1
2
( )
∫ ++−
−=
84
42
2
1
2 xx
dxx
∫ +− 84
6
2
1
2 xx
dx
( ) dtdxxtxx =−⇒=+− 42842
( ) 42844484 222 +−=+−+−=+− xxxxx
+∫ t
dt
2
1
( )
=
+−∫ 42
6
2
1
2x
dx
( )
=+−+=
+−
+ ∫∫ C
x
arctgt
x
dx
t
dt
2
2
2
3
ln
2
1
22
3
2
1
22
C
x
arctgxx +−++−=
2
2
2
3
84ln
2
1 2
∫ ++ cbxax
dx
2
∫ ± 22 kt
dx
∫ − 22 tk
dx
∫ −− 21228 xx
dx
=
−−∫ 21228 xx
dx
∫ +− )2(28 2 xx
dx
∫ −++−
=
)6612(28 222 xx
dx
∫ +−+
=
2)6(3628 x
dx
∫ +−
=
22 )6(8 x
dx
dtdxtx =⇒=+ 6
∫ +− 22 )6(8 x
dx =+=
−
= ∫ C
t
arcsen
t
dt
8)8 22
C
x
arcsen ++
8
6
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
9 
 
 Ou seja 
• para a > 0 
• para a < 0 
Que são integrais de tabela. 
 
Exemplo: Calcule 
Resolução: 
 
Fazendo a substituição, no 1º integral temos . 
No segundo integral transformemos o denominador numa soma de quadrados 
, então: 
=
 
 
EXERCÍCIOS: 
 Calcular os integrais contendo o trinómio quadrático 
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 
7. 8. 
9. 10. 
11. 12. 
13. 14. 
 
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
( )
dx
cbxax
bax
a
A
∫ ++
+=
2
2
2 ∫ ++





 −+
cbxax
dx
a
Ab
B
22
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
+= ∫ t
dt
a
A
2 ∫ ±





 −
222 kt
dx
a
Ab
B
( )
∫ ++
+
cbxax
dxBAx
2
+= ∫ t
dt
a
A
2 ∫ −





 −
222 tk
dx
a
Ab
B
( )
∫ ++
+
104
35
2 xx
dxx
( ) =
++
+
∫
104
35
2 xx
dxx
dx
xx
x
∫ ++
+⋅
104
32
2
5
2
( )
=
++
+−+⋅
= ∫ dx
xx
x
104
3442
2
5
2
( )
=
++
+−+⋅
= ∫ dx
xx
x
104
31042
2
5
2
( ) −
++
+
∫
104
42
2
5
2 xx
dxx =
++∫ 104
7
2 xx
dx
( ) dtdxxtxx =+⇒=++ 421042
( ) 6210444104 222 ++=+−++=++ xxxxx
−∫ t
dt
2
5
( ) ( )
=
++
∫ 22 62
7
x
dx ( ) ( ) =+++++− Cxxt 22 622ln75
Cxxxxx +++++−++= 1042ln71045 22
∫ ++ 2082 2 xx
dx
∫ −−
+
dx
xx
x
52
3
2
( )
∫ +−
−
235
23
2 xx
dxx ( )
∫ +−
−
1
13
2 xx
dxx
dx
xx
xxx
∫ +−
+−
12
456
2
234
∫ −− 2432 xx
dx
∫ ++ 21 xx
dx
∫
+ 22 SaS
dS
∫
−− 2375 xx
dx
( )∫ + 53xx
dx
∫ −− 232 xx
dx
∫ ++
+
dx
cbxax
bax
2
2
( )
∫ −+
−
211663
3.
xx
dxx ( )
∫ −+
+
2443
3.
xx
dxx
10 
 
 
4. Integração de Fracções Racionais 
 
Considerações Teóricas 
Uma função onde f(x) e g(x) são polinómios, é chamada uma fracção racional. Se o 
grau de f(x) é menor que o grau de g(x), F(x) é chamada própria; caso contrario F(x) é dita imprópria. 
 
Uma fracção racional imprópria pode ser expressa como soma de um polinómio e uma fracção racional 
própria. 
Por Exemplo: 
Toda fracção racional própria pode ser expressa como uma soma de fracções mais simples (fracções 
parciais) cujos denominadores são da forma e sendo n um número inteiro 
positivo. Vamos apenas estudar os seguintes casos, dependendo da natureza dos factores do 
denominador: 
 
I – Factores lineares distintos. 
A cada factor linear ax + b ocorrendo uma vez no denominador de uma fracção racional própria, 
corresponde uma única fracção parcial da forma onde A é uma constante a ser determinada. 
 
Exemplo: Calcule 
Consideremos a fracção própria então: 
 
 
 
Método geral: Consiste na resolução do sistemas de equações: 
Método prático: Substituindo na equação os valores x = 
0 ⇒ 
 x = 2 ⇒ 
 x = -3 ⇒ 
,
)(
)(
)(
xg
xf
xF =
1
1
1
1
22
3
+
−−=
+
+
x
x
x
x
x
( )nbax + ( )ncbxax ++2
,
bax
A
+
( )
∫ −+
+
xxx
dxx
6
1
23
32)3)(2(
1
6
1
23 +
+
−
+=
+−
+=
−+
+
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
)2()3()3)(2(1 −++++−=+ xCxxBxxxAx
( ) AxCBAxCBAx 6)23(1 2 −−++++=+









−=
=
−=
⇔





=−
=−+
=++
15
2
10
3
6
1
16
123
0
C
B
A
A
CBA
CBA
)2()3()3)(2(1 −++++−=+ xCxxBxxxAx
6
1
)20(0)30(0)30)(20(10 −=⇒−++++−=+ ACBA
10
3
)22(2)32(2)32)(22(12 =⇒−++++−=+ BCBA
( ) ( )
15
2
)23(3)33(3)33)(23(13 −=⇒−−−++−−++−−−=+− CCBA
11 
 
 
 
II – Factores lineares repetidos. 
A cada factor ax + b ocorrendo n vezes no denominador de uma fracção racional própria, corresponde 
uma soma de n fracções parciais da forma onde os A’s são 
constantes a serem determinadas. 
Exemplo: Calcule 
Consideremos a fracção própria então:
 
Para x = -1 ⇒ 
 x = 1 ⇒ 
Para determinar a outra constante usamos qualquer outro valor de x, por exemplo x = 0 
 x = 0 ⇒ 
Logo: 
 
 
 
III – Factores quadráticos distintos. 
A cada factor quadrático irredutível ax2 + bx + c ocorrendo uma vez no denominador de uma fracção 
racional própria, corresponde uma única fracção parcial da forma onde A e B são 
constantes a serem determinadas. 
Exemplo: Calcule 
 
Consideremos a fracção própria 
Portanto: 
ou seja: 
( ) =
−+
+
∫ xxx
dxx
6
1
23
=
+
−
−
+− ∫∫∫ 315
2
210
3
6
1
x
dx
x
dx
x
dx
=++−−+−= Cxxx 3ln
15
2
2ln
10
3
ln
6
1
C
xx
x
+
+⋅
−
15 26
10 3
3
2
ln
( ) ( )
,
2
21
n
n
bax
A
bax
A
bax
A
+
++
+
+
+
Λ
( )
∫ +−−
+
1
53
23 xxx
dxx
( )2223 111)1)(1(
1
1
53
−
+
−
+
+
=
−+
+=
+−−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
xxx
x
( ) ( )( ) ( )111153 2 ++−++−=+ xCxxBxAx
( )
2
1
)11()11(11)11(53 2 =⇒+−+−−+−+−−=+− ACBA
( ) 4)11()11(11)11(53 2 =⇒++−++−=+ CCBA
( ) 5)10()10(10)10(50 2 =+−⇒++−++−=+ CBACBA
2
1
54
2
1 −=⇔=+− BB
( ) =
+−−
+
∫ 1
53
23 xxx
dxx
( )∫∫∫ −
+
−
−
+ 21
4
12
1
12
1
x
dx
x
dx
x
dx
=+
−
−−−+= C
x
xx
1
4
1ln
2
1
1ln
2
1
C
xx
x +
−
−
−
+=
1
4
1
1
ln
2
1
,
2 cbxax
BAx
++
+
( )
( ) ( )∫ ++
+++
31
3
22
23
xx
dxxxx
31)3)(1(
3
2222
23
+
++
+
+=
++
+++
x
DCx
x
BAx
xx
xxx
( )( ) ( )( )133 2223 +++++=+++ xDCxxBAxxxx
( ) ( ) ( ) DBxCAxDBxCAxxx +++++++=+++ 333 2323
12 
 
então: e 
Logo A = 0, C =1, B = 1 e D = 0. 
 
 
 
 EXERCÍCIOS: 
Integração de Fracções Racionais – Achar: 
 
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 
7. 8. 
9. 10. 
 
 



=+
=+
13
1
CA
CA



=+
=+
33
1
DB
DB
( )
( ) ( )∫ =++
+++
31
3
22
23
xx
dxxxx =
+
+
+
=





+
+
+ ∫ ∫∫ 3131
1
2222 x
xdx
x
dxdx
x
x
x
Cxarctgx +++= 3ln
2
1 2
Cxarctgx +++= 3ln 2
∫ − 42x
dx
dx
xx
x
∫ −−
−
)2)(1(
12
∫ +++ )5)(3)(1( xxx
xdx
dx
xx
xx
∫ −
−+
4
8
3
45
∫ + )1( 2xx
dx
∫ −+
+
xxx
dxx
6
)1(
23
dx
x
x
∫ −
+
1
2
3
2
dx
xx
xxx
∫ −
−−−
23
34 1
∫ +− 2)1)(1( xx
xdx
∫ +− xxx
dx
23 2