Reactores Químicos II, aspectos económicos no dimensionamento de reactores, exercícios resolvidos

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28/2/2020 
 
 
Resolução dos exercícios 
propostos para o 
capítulo 1 - Reactores 
Químicos II 
Grupo da disciplina 
FACULDADE DE ENGENHARIA - UEM 
1 
 
1.1. Cálculo do volume óptimo de um reactor. 
Pretende-se produzir 100 gmol/h de R em cada hora partindo de uma 
alimentação saturada de A (CA0 =0.1mol/l) num reactor de mistura. A reacção a 
ser processada é: A R ; 𝑟𝑅 = (0.2ℎ
−1)𝐶𝐴 
O custo do reagente a CA0 = 0.1mol/l é Ct,A=$0.5/molA.. O custo do reactor 
incluindo a instalação, equipamento auxiliar, instrumentação, contingências, 
mão-de-obra, depreciação, etc., é $0.01/l.h 
a) Qual é o volume do reactor, caudal molar, e conversão que deverão ser 
usados para uma operação óptima? 
b) Qual é o custo unitário de R nestas condições se o reagente A não reagido 
for descartado? 
 Resolução 
a) 
 
A operação óptima é aquela que minimiza os custos totais, 𝐶𝑡,𝑡. Este é dado 
como a soma dos custos do reagente, fixos e operacionais como mostrado 
abaixo: 
𝐶𝑡,𝑡 = 𝐶𝑡,𝐴 + 𝐶𝑡,𝑓𝑥 + 𝐶𝑡,𝑜𝑝 = 𝐶𝑡,𝐴 + 𝐶𝑡,𝑜𝑝 
Substituindo e fazendo a análise dimensional por forma a exprimir cada uma das 
parcelas em $/h, tem-se: 
óptimos 
2 
 
𝐶𝑡,𝑡 =
$0.5
𝑚𝑜𝑙𝐴
× 𝐹𝐴0 (
𝑚𝑜𝑙𝐴
ℎ
) +
$0.01
ℎ ∙ 𝑙
× 𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅(𝑙) 
Pela equação de dimensionamento de um CSTR, pode-se expressar 𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅 em 
termos de conversão: 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅
𝐹𝐴0
=
𝑋
−𝑟𝐴
; −𝑟𝐴 = 𝑟𝑅 = (0.2ℎ
−1)𝐶𝐴 
Da tabela estequiometrica: 𝐶𝐴 =
𝐹𝐴
𝜐
=
𝐹𝐴0(1 − 𝑋)
𝜐0(1 + 𝜀𝑋)
= 𝐶𝐴0(1 − 𝑋); 𝜀 = 0 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅 =
𝐹𝐴0𝑋
0.2𝐶𝐴0(1 − 𝑋)
 ; 𝐹𝑅 = 𝐹𝐴0(𝜃𝑅 + 𝜈𝑋) = 𝐹𝐴0𝑋 ; 𝜃𝑅 =
𝐹𝑅0
𝐹𝐴0
= 0 𝑒 𝜈 = 1 
𝐹𝑅 = 100
gmol
h
 ⇒ 𝐹𝐴0 =
𝐹𝑅
𝑋
=
100
𝑋
 
Substituindo: 
𝐶𝑡,𝑡 = 0.5 ∙
100
𝑋
+ 0.01 ∙
100
𝑋 𝑋
0.2 ∙ 0.1 ∙ (1 − 𝑋)
=
50
𝑋
+
50
(1 − 𝑋)
 
𝑑𝐶𝑡,𝑡
𝑑𝑋
=
−50
𝑋2
+
50
(1 − 𝑋)2
= 0 ⇒ 1 − 2𝑋 + 𝑋2 − 𝑋2 = 1 − 2𝑋 = 0 
𝑋 = 0.5 
𝐹𝐴0 =
100
0.5
= 200
𝑚𝑜𝑙
ℎ
; 𝐶𝑡,𝑡 =
50
0.5
+
50
(1 − 0.5)
= $200/ℎ 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅 =
200 ∙ 0.5
0.2 ∙ 0.1 ∙ (1 − 0.5)
= 10 000𝑙 
b) 
𝐶𝑡,𝑈 =
𝐶𝑡,𝑈
𝐹𝑅
=
$200/ℎ
100𝑚𝑜𝑙𝑅/ℎ
= $2/𝑚𝑜𝑙𝑅 
3 
 
1.2. Cálculo do volume óptimo de um reactor com sistema de 
reciclo 
Suponha que todo A não reagido do exercício 1.1. na corrente do produto possa 
ser recuperado e levado a uma concentração inicial CA0 = 0.01mol/l a um custo 
total de$0.125/mol de A processado. 
Com este arranjo que A é produzido e recuperado, calcule as novas condições 
operatórias óptimas e o custo unitário de R. 
Resolução 
 
𝐶𝑡,𝑡 = 𝐶𝑡,𝐴 + 𝐶𝑡,𝑓𝑥 + 𝐶𝑡,𝑜𝑝 = 𝐶𝑡,𝐴 + 𝐶𝑡,𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝐶𝑡,𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 
𝐶𝑡,𝑡 =
$0.5
𝑚𝑜𝑙𝐴
× 𝐹𝐴0 (
𝑚𝑜𝑙𝐴
ℎ
) +
$0.01
ℎ ∙ 𝑙
× 𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅(𝑙) +
$0.125
𝑚𝑜𝑙𝐴,𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜
𝐹𝐴2 (
𝑚𝑜𝑙𝐴2
ℎ
) 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅 =
𝐹𝐴1𝑋
0.2𝐶𝐴1(1 − 𝑋)
 ; 𝐹𝐴2 = 𝐹𝐴1(1 − 𝑋) 𝑒 𝐹𝐴2 = 𝐹𝐴3 
Um balanço molar no nó resulta em: 
𝐹𝐴0 + 𝐹𝐴3 = 𝐹𝐴1 ; 𝐹𝐴0 + 𝐹𝐴1 − 𝐹𝐴1𝑋 = 𝐹𝐴1 ; 𝑭𝑨𝟎 = 𝑭𝑨𝟏𝑿 ⇒ 𝐹𝐴1 =
𝐹𝐴0
𝑋
 
Da estequiometria: 𝐹𝑅2 = 𝐹𝑅4 = 𝐹𝑅 = 𝐹𝐴1(𝜃𝑅 + 𝜈𝑋) = 𝑭𝑨𝟏𝑿 
Sep
. 
4 
 
Demostra-se assim que 𝑭𝑨𝟎 = 𝑭𝑹 = 𝟏𝟎𝟎𝒈𝒎𝒐𝒍/𝒉 ! 
Já que o separador eleva a concentração 𝐶𝐴3 à concentração inicial, pode-se 
afirmar que 𝐶𝐴3 = 𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴1 
Substituindo na expressão do custo total, tem-se: 
𝐶𝑡,𝑡 = 0.5 × 100 + 0.01 ×
𝐹𝐴0
𝑋 𝑋
0.2𝐶𝐴0(1 − 𝑋)
+ 0.125
𝐹𝐴0
𝑋
(1 − 𝑋) 
𝐶𝑡,𝑡 = 50 +
50
(1 − 𝑋)
+ 12.5
1 − 𝑋
𝑋
 
𝑑𝐶𝑡,𝑡
𝑑𝑋
=
50
(1 − 𝑋)2
+ 12.5
−𝑋 − 1 + 𝑋
𝑋2
= 0 ⇒ 50𝑋2 − 12.5(1 − 2𝑋 + 𝑋2) = 0 
37.5𝑋2 + 25𝑋 − 12.5 = 0 ⇒ 𝑋 = 0.333 
𝐶𝑡,𝑡 = 50 +
50
(1 − 0.33)
+ 12.5
1 − 0.33
0.33
= $150/ℎ 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅 =
𝐹𝐴0
𝑋 𝑋
0.2𝐶𝐴0(1 − 𝑋)
=
100
0.2 ∙ 0.1 ∙ (1 − 0.33)
= 7462.7𝑙 
𝐶𝑡,𝑈 =
𝐶𝑡,𝑈
𝐹𝑅
=
$150/ℎ
100𝑚𝑜𝑙𝑅/ℎ
= $1.5/𝑚𝑜𝑙𝑅 
 
5 
 
1.3. Seja dada a reacção: A R ; -rA = (0.01l/mol.h)CACR 
A partir de uma alimentação pura de A (100mol/l; $0.1/mol), pretende-se produzir 
1000 molR /h usando apenas um reactor de mistura, ou um reactor de mistura 
seguido de um separador na qual o A não reagido pode ser reciclado e 
reutilizado. 
O separador opera através de um processo de extracção que por causa de um 
equilíbrio de fase favorável, produz correntes essencialmente puras de A e de R. 
O custo de separador é $8/h+$0.01/fluido tratado. O custo horário do reactor é 
$8/h+$0.01/lreactor. 
Considere que a densidade de todas as misturas de A e de R são constantes. 
Qual dos sistemas (reactor apenas ou reactor seguido de separador) é mais 
económico? Qual o custo unitário de R produzido nesse sistema mais 
económico? 
Resolução 
Sistema I: reactor apenas 
 
O custo total é dado por: 
𝐶𝑡,𝑡 = 𝐶𝑡,𝐴 + 𝐶𝑡,𝑓𝑥 + 𝐶𝑡,𝑜𝑝 = 𝐶𝑡,𝐴 + 𝐶𝑡,𝑜𝑝 
Substituindo e fazendo a análise dimensional: 
6 
 
𝐶𝑡,𝑡 =
$0.1
𝑚𝑜𝑙𝐴
× 𝐹𝐴0 (
𝑚𝑜𝑙𝐴
ℎ
) +
$8
ℎ
+
$0.01
ℎ ∙ 𝑙𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
× 𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅(𝑙) 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅
𝐹𝐴0
=
𝑋
−𝑟𝐴
; −𝑟𝐴 = 𝑟𝑅 = (0.01
1
𝑚𝑜𝑙 ∙ ℎ
) 𝐶𝐴𝐶𝑅 
𝐶𝐴 =
𝐹𝐴
𝜐
= 𝐶𝐴0(1 − 𝑋); 𝐹𝑅 = 𝐹𝐴0𝑋 ⇒ 𝐶𝑅 = 𝐶𝐴0𝑋 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅 =
𝐹𝐴0𝑋
0.01𝐶𝐴0
2𝑋(1 − 𝑋)
; 𝐹𝑅 = 1000
gmol
h
 ⇒ 𝐹𝐴0 =
𝐹𝑅
𝑋
=
1000
𝑋
 
Substituindo em Ct,t: 
𝐶𝑡,𝑡 = 0.1 ∙
1000
𝑋
+ 8 + 0.01 ∙
1000
0.01 ∙ 10000 ∙ 𝑋(1 − 𝑋)
 
𝐶𝑡,𝑡 =
100
𝑋
+ 8 +
1
10 ∙ 𝑋(1 − 𝑋)
 
𝑑𝐶𝑡,𝑡
𝑑𝑋
=
−100
𝑋2
+
(−1) ∙ (1 − 𝑋 − 𝑋)
10((1 − 𝑋)𝑋)
2 = 0 
−100(1 − 2𝑋 + 𝑋2) − 0.1(1 − 2𝑋) = 0 ⇒ 100𝑋2 − 200.2𝑋 + 100.1 = 0 
𝑋 = 0.969 ⇒ 𝐹𝐴0 =
1000
0.969
= 1032
𝑚𝑜𝑙
ℎ
 
𝐶𝑡,𝑡 =
100
0.969
+ 8 +
1
10 ∙ 0.969(1 − 0.969)
= $114.5/ℎ 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅 =
1000
𝑋 𝑋
0.01 ∙ 10000 ∙ 0.969 ∙ (1 − 0.969)
= 332.9𝑙 
𝐶𝑡,𝑈 = $0.115/𝑚𝑜𝑙𝑅 
 
7 
 
Sistema I: reactor seguido de separador 
 
𝐶𝑡,𝑡 = 𝐶𝑡,𝐴 + 𝐶𝑡,𝑓𝑥 + 𝐶𝑡,𝑜𝑝 = 𝐶𝑡,𝐴 + 𝐶𝑡,𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝐶𝑡,𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 
𝐶𝑡,𝑡 =
$0.1
𝑚𝑜𝑙𝐴
× 𝐹𝐴0 (
𝑚𝑜𝑙𝐴
ℎ
) +
$8
ℎ
+
$0.01
ℎ ∙ 𝑙𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
× 𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅(𝑙) +
$8
ℎ
+
$0.01
𝑙𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜
𝜐2 (
𝑙𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜
ℎ
) 
Similarmente ao exercício 1.2, demonstra-se que 
𝐹𝐴0 = 𝐹𝑅 = 1000
𝑔𝑚𝑜𝑙
ℎ
 𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐹𝐴1 =
𝐹𝐴0
𝑋
 
𝑉𝐶𝑆𝑇𝑅 =
𝐹𝐴1𝑋
0.01𝐶𝐴1
2𝑋(1 − 𝑋)
=
𝐹𝐴0
0.01 ∙ 10000 ∙ 𝑋(1 − 𝑋)
=
10
𝑋(1 − 𝑋)
 
Pode-se exprimir o caudal volumétrico, 𝜐2 , em função de conversão de duas 
formas: 
𝟏𝒂 ) 𝜐2 = 𝜐1 = 𝜐0 + 𝜐3; 𝜐𝑖 =
𝐹𝐴𝑖
𝐶𝐴𝑖
 ⇒ 𝜐2 =
𝐹𝐴0
𝐶𝐴0
+
𝐹𝐴3
𝐶𝐴3
 
𝐶𝐴3 = 𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴1 = 100
𝑚𝑜𝑙
𝑙
 𝑒 𝐹𝐴3 = 𝐹𝐴2 = 𝐹𝐴1(1 − 𝑋) =
𝐹𝐴0(1 − 𝑋)
𝑋
 
8 
 
𝜐2 =
1000
100
+
1000
100
∙
(1 − 𝑋)
𝑋
=
10
𝑋
 
𝟐𝒂) 𝜐2 =
𝐹𝐴2
𝐶𝐴2
=
𝐹𝐴1(1 − 𝑋)
𝐶𝐴1(1 − 𝑋)
=
𝐹𝐴0
𝑋
𝐶𝐴0
=
1000
100𝑋
=
10
𝑋
 
Substituindo na expressão dos custos totais: 
𝐶𝑡,𝑡 = 0.1 ∙ 1000 + 16 + 0.01 ∙
10
𝑋(1 − 𝑋)
+ 0.01 ∙
10
𝑋
 
𝐶𝑡,𝑡 = 116 +
0.10
𝑋(1 − 𝑋)
+
0.1
𝑋
 
𝑑𝐶𝑡,𝑡
𝑑𝑋
= 0.1
−(1 − 𝑋 − 𝑋)
[𝑋(1 − 𝑋)]2
− 0.1
1
𝑋2
= 0 
1 − 2𝑋 + 1 − 2𝑋 + 𝑋2 = 0 ⇔ 𝑋2 − 4𝑋 + 2 = 0 
𝑋 = 0.586 ; 𝑉 = 41.2𝑙 ; 𝐶𝑡,𝑈 = $0.117/𝑚𝑜𝑙𝑅 
O custo unitário de produção de R do primeiro sistema é menor que o do 
segundo. O primeiro sistema também supera o segundo na conversão dos 
reagentes tornando-o melhor que segundo. 
 
1.4. De uma alimentação CA0 =1mol/l, pretende-se produzir o produto R em um 
tanque. A reacção é processada na fase líquida que a temperatura ambiente 
decorre segundo a equação: 
A R , -rA = (1hr-1)CA 
a) Se processarmos batch pós batch dia e noite, que conversão e tempo de 
reacção dará a máxima taxa de produção de R. Qual é o lucro por batch 
(em termos de receita/dia) nessas condições? 
9 
 
b) Quais são as condições operatórias para o máximo lucro por batch, e 
quais são esses ganhos pordia? 
c) Como devemos operar o batch para a máxima taxa de lucro e quais são 
esses ganhos por dia? 
d) Podemos usar esse vaso como um reactor de mistura. Será esse arranjo 
mais lucrativo que o de batch (dê as condições operatórias e o lucro 
diário)? 
Dados: na operação batch, o tempo morto para o esvaziamento, limpeza e 
enchimento é de 1h. Não existe tempo morto em operação desta unidade 
como um reactor de mistura. O custo do fluido reagente é de $100/batch. O 
valor do produto depende da conversão segundo a expressão $200/batch. 
Os custos operatórios para batch é de $5/hr e para o reactor de mistura é de 
$5/dia. 
Resolução 
a) A taxa de produção de R é dada por: 
�̅�𝑅 = �̅�𝐴𝑜𝑋 𝑚𝑎𝑠 �̅�𝐴𝑜 =
𝑁𝐴0
𝑡𝑡
=
𝐶𝐴0𝑉
𝑡𝑡
 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
�̅�𝑅 =
𝐶𝐴0𝑉𝑋
𝑡𝑡
 𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑡𝑡 = 𝑡𝑟𝑒𝑎𝑐çã𝑜 + 𝑡𝑚𝑜𝑟𝑡𝑜 
A expressão de �̅�𝑅 é uma função simultânea de X e t. Portanto, para a 
maximização, deve-se, primeiro, exprimi-la como função, ou de X ou de t. 
Da equação de balanço de um reactor batch: 
−𝑟𝐴𝑉 = 𝑁𝐴0
𝑑𝑋
𝑑𝑡
; −𝑟𝐴 = 𝐶𝐴0(1 − 𝑋) ; (𝑟𝑒𝑎𝑐çã𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎) 
𝐶𝐴0(1 − 𝑋)𝑉 = 𝑁𝐴0
𝑑𝑋
𝑑𝑡
 → 
𝑑𝑋
1 − 𝑋
=
𝐶𝐴0
𝑁𝐴0
𝑉
𝑑𝑡 
10 
 
∫
𝑑𝑋
1 − 𝑋
𝑋
0
= ∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
 ⇒ 𝑡 = 𝑡𝑟𝑒𝑎𝑐çã𝑜 = − ln(1 − 𝑋) ; 𝑡𝑚𝑜𝑟𝑡𝑜 = 1ℎ 
�̅�𝑅 =
𝐶𝐴0𝑉𝑋
𝑡𝑟𝑒𝑎𝑐çã𝑜 + 𝑡𝑚𝑜𝑟𝑡𝑜
=
𝑉𝑋
1 − ln(1 − 𝑋)
 
𝑑�̅�𝑅
𝑑𝑋
= 𝑉
1 − ln(1 − 𝑋) −
𝑋
1 − 𝑋
[1 − ln(1 − 𝑋)]2
= 0 ⇒ ln(1 − 𝑋) =
1 − 2𝑋
1 − 𝑋
 
A resolução desta equação pode ser feita por: tentativas, pelo método gráfico ou 
com recurso a métodos iterativos (bissecção, secantes, tangentes, etc). 
Designando: 
f(X) = ln(1 − 𝑋) 𝑒 𝑔(𝑋) =
1 − 2𝑋
1 − 𝑋
 
Pode-se resolver graficamente como mostrado abaixo: 
 
Do gráfico tem-se que: 
 𝑋 = 0.682 ⇒ 𝑡𝑟𝑒𝑎𝑐çã𝑜 = − ln(1 − 0.682) = 1.15ℎ 𝑒 𝑡𝑡 = 2.15 
𝐿𝑐𝑟 =
$200𝑋
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
𝑡𝑡
−
$100
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
𝑡𝑡
−
$5
ℎ
=
$11.93
ℎ
=
$286.3
𝑑𝑖𝑎
 
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
f(X)
g(X)
11 
 
 
𝒃) 𝐿𝑐𝑟 =
$200𝑋
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
1 − ln(1 − 𝑋)
−
$100
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
1 − ln(1 − 𝑋)
−
$5
ℎ
 
𝑑𝐿𝑐𝑟
𝑑𝑋
= 200
1 − ln(1 − 𝑋) −
𝑋
1 − 𝑋
[1 − ln(1 − 𝑋)]2
+ 100
1
1 − 𝑋
[1 − ln(1 − 𝑋)]2
= 0 
2 [1 − ln(1 − 𝑋) −
𝑋
1 − 𝑋
] +
1
1 − 𝑋
= 0 → 2ln(1 − 𝑋) =
3 − 4𝑋
1 − 𝑋
 
Designando: 
f(X) = 2ln(1 − 𝑋) 𝑒 𝑔(𝑋) =
3 − 4𝑋
1 − 𝑋
 
E resolvendo graficamente, tem-se: 
 
Do gráfico tem-se que: 
 𝑋 = 0.88 ⇒ 𝑡𝑟𝑒𝑎𝑐çã𝑜 = 2.12ℎ 𝑒 𝑡𝑡 = 3.12ℎ 
𝐿𝑐𝑟 =
$200𝑋
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
𝑡𝑡
−
$100
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
𝑡𝑡
−
$5
ℎ
=
$464.64
𝑑𝑖𝑎
 
 
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(X)
g(X)
12 
 
𝒅) 𝐿𝑐𝑟 =
$200𝑋
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
𝑡𝑡
−
$100
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
𝑡𝑡
−
$5
𝑑𝑖𝑎
×
1 𝑑𝑖𝑎
24ℎ
 
Em operação com o reactor contínuo 𝑡𝑡 = 𝑡𝑟𝑒𝑎𝑐çã𝑜 = 𝑡 = −ln (1 − 𝑋) 
𝐿𝑐𝑟 =
$200𝑋
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
−ln (1 − 𝑋)
−
$100
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
−ln (1 − 𝑋)
−
$5
𝑑𝑖𝑎
×
1 𝑑𝑖𝑎
24ℎ
 
𝑑𝐿𝑐𝑟
𝑑𝑋
= 200
− ln(1 − 𝑋) −
𝑋
1 − 𝑋
[−ln (1 − 𝑋)]2
+ 100
1
1 − 𝑋
[−ln (1 − 𝑋)]2
= 0 
Rearranjando, tem-se que 
2 ln(1 − 𝑋) =
1 − 2𝑋
1 − 𝑋
 ⇒ f(X) = 2ln(1 − 𝑋) 𝑒 g(X) =
1 − 2𝑋
1 − 𝑋
 
Graficamente: 
 
Do gráfico tem-se que: 
 𝑋 = 0 ⇒ 𝑡𝑟𝑒𝑎𝑐çã𝑜 = 2.12ℎ 𝑒 𝑡𝑡 = 3.12ℎ 
𝐿𝑐𝑟 =
$200𝑋
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
𝑡𝑡
−
$100
𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
×
1 𝑏𝑎𝑡𝑐ℎ
𝑡𝑡
−
$5
ℎ
=
$891.1
𝑑𝑖𝑎
 
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(X)
g(X)