Projeto de Reatores CSTR

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Projeto de Reatores Contínuos -
CSTR
Reatores Químicos 
Prof. Dr. João Guilherme Pereira Vicente
1
O que iremos aprender como essa aula? 
Revisão:
✓ Equação Projeto Reatores
Novo conteúdo:
✓Dimensionamento Reatores CSTR
✓Reator de Mistura com Produto na Alimentação
Objetivos da aula
✓Projetar Reatores Contínuos (CSTR)
2
Relembrando → Equação Projeto Reator
O balanço de massa para o reagente A, no
elemento de volume d∀ vale:
VARIAÇÃO EXTERNA VARIAÇÃO INTERNA
Entra A - Sai A Acúmulo de A + Transforma de A
Em termos de velocidade
Portanto:
Taxa de Entrada 
de A no volume 
de controle
Taxa de Saída de 
A no volume de 
controle
Taxa de 
Transformação de A 
no volume de controle
Taxa de Acúmulo de 
A no volume de 
controle
aA → pP + rR
𝑭𝑨𝟎 − 𝑭𝑨 = න
0
∀
−𝒓𝑨. 𝑑∀ +
𝑑𝑁𝐴
𝑑𝑡
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜,𝑟𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟
ou
3
Relação entre velocidade molar (F) e vazão (v0)
𝑭 =
𝑚𝑜𝑙
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝒗 =
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
→
𝑭
𝒗
=
𝑚𝑜𝑙
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝑚𝑜𝑙
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= 𝑪
𝐹𝑖
𝑣
= 𝐶𝑖
Conversão para Operações Contínuas
𝑋𝐴 =
𝐹𝐴0 − 𝐹𝐴
𝐹𝐴0
𝑋𝐴 =
𝑁𝐴0 − 𝑁𝐴
𝑁𝐴0
=
𝑁𝐴0
𝑡 −
𝑁𝐴
𝑡
𝑁𝐴0
𝑡
Relações IMPORTANTES – REATORES CONTÍNUOS
𝐹𝑖 = 𝐶𝑖 . 𝑣
4
Relações IMPORTANTES – REATORES CONTÍNUOS
Tabela estequiométrica - Operação Contínua aA + bB → rR + sS
5
Operação Contínua - Para as reações químicas a volume cte. aA + bB → rR + sS
Relações IMPORTANTES – REATORES CONTÍNUOS
𝜀𝐴 =
𝜗
𝑎
𝑦𝑎0 = 0
6
Operação Descontínua - Para as reações químicas a volume variável aA + bB → rR + sS
𝜀𝐴 =
𝜗
𝑎
𝑦𝑎0 ≠ 0 ∀= ∀0 1 + 𝜀𝐴𝑋𝐴
Relações IMPORTANTES – REATORES CONTÍNUOS
7
REATOR DE MISTURA IDEAL
DEFINIÇÕES PARA REATORES CONTÍNUOS
1)trabalha a temperatura e pressão→ constantes.
2)tem agitação perfeita: a concentração dos componentes é constante em qualquer ponto.
O reator de mistura ideal, ou reator de tanque agitado com alimentação contínua (CSRT):
CSTR
(Continuous Stirred Tank Reactor)
Reator de mistura perfeita
(mixed reactor ou backmix reator) 
MFR 
(Mixed Flow Reactor)
8
Reator de mistura em fermentações (CSTR)
Suponhamos que nesse reator seja realizada a 
seguinte reação: A + B → P
e o reator seja alimentado da seguinte forma:
9
Esquema de um reator de mistura regime
transiente (durante o enchimento)
Durante o enchimento do reator, ou seja, no período transiente, ele se comporta como um
reator semicontínuo, com as concentrações variando nesse período.
A + B → P
Esquema de um reator de mistura regime 
permanente
CA0,d vA
XA0 = 0, FA0
CB0,d vB
FB0 , XB0 =0
Ci = f(t)
CA0,d vA
XA0 = 0, FA0
CB0,d vB
FB0 , XB0 =0
CA0, CB0, v0
FA0, FB0
FA, FP, v 
XA, CA
10
Para realizarmos o balanço de massa em um reator de
mistura devemos definir os seguintes parâmetros:
✓ CAo,d, CBo,d = concentrações iniciais dos reagentes A e
B no depósito
✓ CAo, CBo= concentrações iniciais de alimentação no
reator
✓ Ci = concentração do componente i no interior do
reator
✓ Fi = vazão molar de entrada ou saída do componente i
(moles ou massa de i /unidade de tempo)
✓ vA, vB = vazão volumétrica dos reagentes A ou B
(volume/tempo)
✓ vo, v = vazão volumétrica total de alimentação ou saída
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Se o volume do sistema químico for ∀, o tempo espacial (τ), é definido como:
ou ainda
O tempo espacial τ representa o tempo necessário para processar um reator de volume
"∀" e também é chamado de tempo médio de residência..
𝝉 =
volume do sistema reacional
vazão volumétrica total de alimentação na entrada doreator
𝝉 =
∀
𝑣0
(𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜) 𝝉 =
∀
𝑣𝐴 + 𝑣𝐵
Avelocidade espacial do sistema, S, é o inverso da tempo espacial.
Lembrando:
𝝉 =
1
𝑆
=
∀
𝑣0
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜−1
τ =
∀. 𝑪𝑨𝟎
𝑭𝑨𝟎
𝐹𝐴0
𝑣0
= 𝐶𝐴0 → 𝑣0 =
𝐹𝐴0
𝐶𝐴0
Obtemos:
A velocidade espacial S representa o número de volumes que foram alimentados na
unidade de tempo sob condições específicas.
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Quando o reator de mistura está em regime permanente não há
acúmulo dos componentes no seu interior, o que pode ser verificado pela
constância de todas as propriedades do sistema.
BALANÇO DE MASSA COM REAGENTES PUROS
O balanço de massa de um dos reagentes na reação A + B → P realizada no reator de
tanque de mistura, pode ser feita a partir da equação geral:
𝑭𝑨𝟎 − 𝑭𝑨 = න
0
∀
−𝒓𝑨. 𝑑∀ +
𝑑𝑁𝐴
𝑑𝑡
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜,𝑟𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟
Para o reagente A, como -rA não depende do ponto, temos na equação
geral, logo :
onde FAo é a alimentação de A puro (xAo= 0).
0
𝑭𝑨𝟎 − 𝑭𝑨 = −𝒓𝑨. ∀
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que substituindo na equação de projeto:
A expressão relaciona as duas variáveis externas (vazão de alimentação e volume do reator)
com as variáveis internas de um reator de mistura (conversão e velocidade da reação).
No balanço de massa do reator de mistura não é necessário realizar nenhuma integração,
visto que a velocidade é constante em todo o reator, pois ela está determinada pela concentração do
reagenteA, que também é constante (CA).
temos que:Lembrando : 𝑋𝐴 =
𝐹𝐴0 − 𝐹𝐴
𝐹𝐴0
𝐹𝐴0𝑋𝐴 = 𝐹𝐴0 − 𝐹𝐴
𝑭𝑨𝟎 − 𝑭𝑨 = −𝒓𝑨. ∀ 𝑭𝑨𝟎𝑿𝑨 = −𝒓𝑨. ∀
∀
𝑭𝑨𝟎
=
𝑿𝑨
−𝒓𝑨
14
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Exemplo 01 - A reação A → B + C + 2D, em fase líquida é realizada em um CSTR. A lei da
velocidade é descrita abaixo. A alimentação consiste apenas de A. A concentração de A na
entrada do reator é 0,75 mol/L. A vazão volumétrica é de 1000 L/h. A produção de D deve ser
de 1200 mol/h. Calcule o volume do reator.
−𝑟𝐴=
𝑘1𝐶𝐴
1 + 𝑘2𝐶𝐴
→ 𝑘1 = 8,6ℎ
−1 𝑒 𝑘2 = 0,50 𝐿/𝑚𝑜𝑙
Solução:
∀=
𝑭𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
A eq. da taxa em 
função de XA:
−𝑟𝐴=
𝑘1𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
1 + 𝑘2𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
Substituindo:
Para CSTR:
∀=
𝐹𝐴0. 𝑋𝐴 . 1 + 𝑘2𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
𝑘1𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
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Agora precisamos determinar 𝑿𝑨: 𝑋𝐴 =
𝐹𝐴0 − 𝐹𝐴
𝐹𝐴0
𝐹𝐷 = 𝐹𝐷 +
𝑑
𝑎
(𝐹𝐴0. 𝑋𝐴) 1200 = 0 +
2
1
(750. 𝑋𝐴) 𝑋𝐴 = 0,80
Agora podemos determinar o volume do reator:
∀=
750.0,80 1 + 0,5.0,75 1 − 0,8
8,6.0,75. 1 − 0,8
∀= 500 𝐿
Primeiro vamos determinar 𝑭𝑨𝟎:
𝐹𝐴0
𝑣0
= 𝐶𝐴0 → 𝐹𝐴0 = 𝐶𝐴0 . 𝑣0 𝐹𝐴0 = 0,75.1000
𝑚𝑜𝑙
𝐿
𝑥
𝐿
ℎ
𝐹𝐴0 = 750
𝑚𝑜𝑙
ℎ
que substituindo na equação do tempo espacial:
nos dá:
A partir da equação:
podemos expressar o tempo espacial em função
dos parâmetros cinéticos da reação, pois:
∀
𝑭𝑨𝟎
=
𝑿𝑨
−𝒓𝑨
𝑭𝑨𝟎 =
−𝒓𝑨. ∀
𝑿𝑨
τ =
∀. 𝑪𝑨𝟎
𝑭𝑨𝟎
τ =
𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
τ =
∀. 𝑪𝑨𝟎
−𝒓𝑨. ∀
𝑿𝑨
De uma forma geral: τ =
𝟏
𝑺
=
∀
𝒗𝟎
=
∀. 𝑪𝑨𝟎
𝑭𝑨𝟎
=
𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
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Para sistemas a volume constante (εA = 0), tem-se que:
𝐶𝐴0𝑋𝐴 = 𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴𝑋𝐴 =
𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴
𝐶𝐴0
τ =
𝟏
𝑺
=
∀
𝒗𝟎
=
∀. 𝑪𝑨𝟎
𝑭𝑨𝟎
=
𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨
−𝒓𝑨
τ =
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨
−𝒓𝑨
τ
𝑪𝑨𝟎
=
𝑿𝑨
−𝒓𝑨
18
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Exemplo 02 - Um litro por minuto contendo A e B (CA0 = 0,10 M, CB0 = 0,010 M) escoa
em um reator de mistura perfeita de volume de 1 L. Os materiais reagem de uma forma
complexa, com estequiometria desconhecida. A corrente de saída do reator contém A, B e C
(CA = 0,02 M, CB = 0,03 M e CC = 0,04 M). Encontre a taxa de reação para um dos
componentes no interior do reator:
Solução: reação líquida εA = 0
Para CSTR: τ =
𝟏
𝑺
=
∀
𝒗𝟎
=
∀. 𝑪𝑨𝟎
𝑭𝑨𝟎
=
𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨
−𝒓𝑨
∀
𝒗𝟎
=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨
−𝒓𝑨
−𝒓𝑨=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨
∀
𝒗𝟎
20
−𝒓𝑨=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨
∀
𝒗𝟎
Substituindo os valores:
−𝒓𝑨=
𝟎, 𝟏𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟐
𝟏/𝟏
−𝒓𝑨= 𝟎, 𝟎𝟖
𝒎𝒐𝒍
𝑳.𝒎𝒊𝒏
Analogamente para os demais componentes:
−𝒓𝑩=
𝑪𝑩𝟎 − 𝑪𝑩
∀
𝒗𝟎
−𝒓𝑩=
𝟎, 𝟎𝟏𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟑
𝟏/𝟏
−𝒓𝑩= −𝟎,𝟎𝟐
𝒎𝒐𝒍
𝑳.𝒎𝒊𝒏
−𝒓𝑪=
𝑪𝑪𝟎 − 𝑪𝑪
∀
𝒗𝟎
−𝒓𝑪=
𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟒
𝟏/𝟏
−𝒓𝑪= −𝟎, 𝟎𝟒
𝒎𝒐𝒍
𝑳.𝒎𝒊𝒏
Portanto, 
A está desaparecendo, enquanto B e C estão sendo formados.
No caso mais simples, os reatores contínuos são alimentados com reagentes puros, ou
seja, a conversão na alimentação é xAo = 0. A reação pode ainda ser realizada em duas
situações:
a)reação sem variação da densidade do sistema (εA = 0), comoocorre nas reações com
líquidos ideais ou com gases sem variação do número total de moles. Neste caso, as
vazões de entrada e saída são iguais (v = vo).
REAÇÕES IRREVERSÍVEIS EM REATOR DE MISTURA
b) reação com variação da densidade do sistema, como ocorre na maioria das reações com
gases (0 ≠ εA). Assim neste caso: v = vo (1 + εAxA)→ v ≠ vo
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Se a reação for irreversível, de ordem n, a 
taxa de reação será dada pela equação:
que substituindo em:
−𝑟𝐴= 𝑘𝐶𝐴
𝑛 = 𝑘
𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
1 + ε𝐴𝑋𝐴
𝑛
τ =
𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
𝜏. 𝑘 =
𝐶𝐴0. 𝑋𝐴
𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
1 + 𝜀𝐴𝑋𝐴
𝑛
𝜏. 𝑘 =
𝐶𝐴0. 𝑋𝐴
𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
1 + 𝜀𝐴𝑋𝐴
𝑛 𝜏. 𝑘 =
𝐶𝐴0. 𝑋𝐴
𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
1 + 𝜀𝐴𝑋𝐴
1
𝜏. 𝑘 =
𝐶𝐴0. 𝑋𝐴(1 + 𝜀𝐴𝑋𝐴)
𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
𝜏. 𝑘 =
𝑋𝐴(1 + 𝜀𝐴𝑋𝐴)
1 − 𝑋𝐴
Por exemplo se a reação for irreversível, de ordem 1, a equação será
22
23
Por exemplo se a reação for irreversível, de ordem 2 e ρ cte, a equação será:
𝜏. 𝑘 =
𝑋𝐴
𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
𝟐
𝜏. 𝑘 =
𝐶𝐴0. 𝑋𝐴
𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴
1 + 𝜀𝐴𝑋𝐴
𝑛
𝜏 =
𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴
−𝑟𝐴
𝜏. 𝑘 =
𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴
𝐶𝐴
2
𝐶𝐴
2𝜏. 𝑘 + 𝐶𝐴 − 𝐶𝐴0 = 0 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 − 𝑐 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
2. 𝑎
𝐶𝐴 =
−1 + 12 − 4. 𝜏. 𝑘. 𝐶𝐴0
2. 𝜏. 𝑘
Lembrando que as equações também podem ser escritas em função de CA.
Vemos portanto que, em analogia ao reator descontínuo, τm, tem a mesma função
do tempo de reação. A tabela abaixo mostra a forma da equação anterior para vários valores
de n.
Expressões do reator de mistura em reações irreversíveis simples.
24
25
Exemplo 03 - A reação elementar em fase líquida deve ocorrer em um reator de mistura
perfeita em estado estacionário de 6 litros. Duas correntes de alimentação com mesma vazão
volumétrica são combinadas e introduzidas no reator, uma contendo 2,8 mols de A/L e outra
contendo 1,6 mol de B/L. Deseja-se uma conversão de 75 % do componente em menor
proporção. Qual deve ser a vazão volumétrica de cada corrente? Considere o sistema com
densidade constante:
−𝑟𝐴=
1
2
−𝑟𝐵= 12,5
𝐿2
𝑚𝑜𝑙2. 𝑚𝑖𝑛
𝐶𝐴𝐶𝐵
2 − 1,5 𝑚𝑖𝑛−1 𝐶𝑅
𝑚𝑜𝑙
𝐿.𝑚𝑖𝑛
Solução: reação líquida εA = 0
Para CSTR: τ =
𝟏
𝑺
=
∀
𝒗𝟎
=
∀. 𝑪𝑨𝟎
𝑭𝑨𝟎
=
𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨
−𝒓𝑨
𝐴 + 2𝐵 ⇄ 𝑅
k1
k2
26
Para CSTR:
∀
𝒗𝟎
=
𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
Calculando a razão obtém-se que : A = 1,4 e B = 0,4
Portanto, B é o limitante e a equação de desempenho deve ser escrita para o mesmo.
Primeiramente necessitamos determinar o reagente limitante (em menor proporção)
nalimetação / nest.
𝒗𝟎 =
−𝒓𝑩. ∀
𝑪𝑩𝟎. 𝑿𝑩
Para determinar a vazão é necessário conhecer a concentração de todos os
componentes para XB = 0,75 para calcular −𝒓𝑩.
Quando as corrente entram no reator as concentrações iniciais se alteram para:
CA0 = 1,4 e CB0=0,8 devido o fator diluição.
27
𝐶𝑅 = 𝐶𝑅0 +
𝑟
𝑏
(𝐶𝐵0. 𝑋𝐵)
Da tabela estequiométria.
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0 −
𝑎
𝑏
(𝐶𝐵0. 𝑋𝐵)
𝐶𝐵 = 𝐶𝐵0 (1 − 𝑋𝐵) 𝐶𝐵 = 0,8 (1 − 0,75) 𝐶𝐵 = 0,2 𝑀
𝐶𝐴 = 1,4 −
1
2
(0,8.0,75) 𝐶𝐴 = 1,1 𝑀
𝐶𝑅 = 0 +
1
2
(0,8.0,75) 𝐶𝑅 = 0,3 𝑀
Resolvendo a equação da taxa:
−𝒓𝑩= 2. 12,5.1,1. 0,2
2 − 2.1,5.0,3 = 1,1 − 0,9 = 𝟎, 𝟐
𝑚𝑜𝑙
𝐿.𝑚𝑖𝑛
−𝑟𝐴=
1
2
−𝑟𝐵= 12,5
𝐿2
𝑚𝑜𝑙2. 𝑚𝑖𝑛
𝐶𝐴𝐶𝐵
2 − 1,5 𝑚𝑖𝑛−1 𝐶𝑅
𝑚𝑜𝑙
𝐿.𝑚𝑖𝑛
−𝑟𝐵= 2−𝑟𝐴= 2.12,5𝐶𝐴𝐶𝐵
2 − 2.1,5. 𝐶𝑅
𝑚𝑜𝑙
𝐿.𝑚𝑖𝑛
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Agora é possível calcular a vazão:
𝒗𝟎 =
−𝒓𝑩. ∀
𝑪𝑩𝟎. 𝑿𝑩
𝒗𝟎 =
𝟎, 𝟐. 𝟔
𝟎, 𝟖. 𝟎, 𝟕𝟓
= 𝟐 𝑳/𝒎𝒊𝒏
Ou seja,
1 L/min para cada uma das correntes de alimentação.
Quando a conversão do reagente não é completa, é comum reaproveitar-se o
reagente não convertido que sai do reator para realimentá-lo. Para isso, o
efluente do reator é tratado em um processo de separação (por exemplo,
destilação), reaproveitando-se parte do reagente não convertido.
REATOR DE MISTURA COM PRODUTO NA ALIMENTAÇÃO
29
Se o reagente A estiver parcialmente contaminados com o produto P (se o processo de
separação de produtos e reagentes não for eficiente), a conversão inicia uma alimentação
com parte do reagente já convertido.
Por outro lado, parte do produto que sai do reator não foi convertido no seu interior,
mas já estava presente na alimentação. Portanto, não podemos usar a equação abaixo para
este tipo dereator.
REATOR DE MISTURA COM PRODUTO NA ALIMENTAÇÃO
∀
𝑭𝑨𝟎
=
𝑿𝑨
−𝒓𝑨
30
∀
𝑭𝑨𝟎
=
𝑿𝑨 − 𝑿
′
𝑨𝟎
−𝒓𝑨
REATOR DE MISTURA COM PRODUTO NA ALIMENTAÇÃO
Para o caso da mistura entrar parcialmente convertida, a eq. se torna:
Conversão na 
entrada do 
reator
De uma forma geral para
produto na alimentação:
τ =
∀. 𝑪𝑨𝟎
𝑭𝑨𝟎
=
𝑿𝑨 − 𝑿
′
𝑨𝟎
−𝒓𝑨
31
32
Exemplo 04 - Um reagente puro gasoso A (CA0 = 100 milimols/L) é alimentado, a uma taxa
estacionária, em um reator de mistura perfeita de volume constante (∀ = 0,1 L), onde se
dimeriza (2A → R). Para diferentes taxas de alimentação do gás, os dados abaixo foram
obtidos. Encontre a equação da taxa para esta reação.
Solução:
Para CSTR: τ =
𝟏
𝑺
=
∀
𝒗𝟎
=
∀. 𝑪𝑨𝟎
𝑭𝑨𝟎
=
𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
−𝒓𝑨
=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨
−𝒓𝑨
−𝒓𝑨=
𝒗𝟎𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
∀
=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨 . 𝒗𝟎
∀
Número da corrida 1 2 3 4
v 0 (L/h) 10 3 1.2 0.5
CA (milimol / L) 85.7 66.7 50 33.4
33
Pode-se resolver o problema utilizando CA ou XA.
𝑥𝐴 = 1− (𝐶A /𝐶A0) 𝑥𝐴 = 1− (𝐶A /100)
Resolução: reação gasosa εA = 0
Número da corrida 1 2 3 4
v 0 (L/h) 10 3 1.2 0.5
CA (milimol/L) 85.7 66.7 50 33.4
XA 0.143 0.333 0.5 0.666
rA 1430 999 600 333
−𝒓𝑨=
𝒗𝟎𝑪𝑨𝟎. 𝑿𝑨
∀
=
𝑪𝑨𝟎 − 𝑪𝑨 . 𝒗𝟎
∀
34
Conhecendo –rA é possível determinar a equação da taxa:
− 𝑟𝐴= k CA
n 𝑙𝑛 − 𝑟𝐴 = ln k + n lnCA
− 𝑟𝐴= 1,35 CA
1,56
Número da corrida 1 2 3 4
CA (milimol/L) 85.7 66.7 50 33.4
rA 1430 999 600 333
ln rA 7.26543 6.90675 6.39693 5.80814
ln CA 4.45085 4.2002 3.91202 3.50856
y = 1.5649x + 0.3069
R² = 0.9984
5
5.5
6
6.5
7
7.5
3 3.5 4 4.5 5
ln
 r
A
ln CA
• Zoom
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• João Guilherme
Provérbio chinês
“Aquele que faz perguntas é um bobo por cinco minutos. 
Mas aquele que jamais questiona é um bobo para 
sempre.” 35
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