Módulo 14 - Matemática Financeira para Operações de Crédito

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MATEMÁTICA PARA 
OPERAÇÕES DE CRÉDITO
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MATEMÁTICA PARA 
OPERAÇÕES DE CRÉDITO
Desconto Comercial
O desconto comercial pode ser simples ou composto e é o desconto aplicado sobre o valor 
nominal, ou futuro, do recebível. 
Imagine que você é dono de uma loja de roupas e vendeu todas as suas roupas no cartão de 
crédito. Você tem R$ 10.000,00 para receber, porém isso vai acontecer daqui a 30 dias e você 
não pode ficar com a loja fechada esperando até o dinheiro entrar na conta. 
Você resolve ir até a sua agência e o gerente oferece o desconto comercial, onde você recebe 
o dinheiro na conta no mesmo dia, porém o banco vai ficar com 5% dos R$ 10.000,00 por 
antecipar o recurso para você no mesmo dia. 
Cartão de crédito foi um dos exemplos possíveis. Você pode antecipar títulos, duplicatas, 
cheques pré-datados e demais recebíveis. 
Em alguns casos o vendedor adquire uma máquina de cartão que já vem com esse serviço 
embutido. A venda pela instituição financeira é feita de que o dinheiro do cartão de crédito vai 
entrar na conta no dia seguinte, porém o cliente tem um custo a mais por isso. 
É também necessário entender a diferença entre desconto simples e composto. No desconto 
simples eu trago um recebível que vai vencer lá na frente e eu trago ele para o dia de hoje, 
descontando linearmente pelo número de dias que tenho pela frente, a gente está falando de 
desconto simples.
Já quando eu estou descapitalizando a nota pela taxa de desconto pactuada, da data futura 
para a presente, estou utilizando o desconto composto. Algumas instituições descontam de 
forma simples e outras utilizam o desconto composto. 
Séries de Pagamento – SAC
O sistema SAC ou Sistema de Amortização Constante é muito utilizado nos financiamentos 
habitacionais. O objetivo desse sistema é substituir o sistema SAF (Sistema de Amortização 
Francês), também conhecido como tabela Price, pelo fato da tabela Price cometer o anatocismo 
(cobrança de juros sobre juros).
Características da tabela SAC:
 • Amortização é constante
 • As parcelas são decrescentes 
 • Juros decrescentes
 • Saldo devedor decrescente
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Para facilitar o entendimento, veja como a série de pagamento SAC fica em formato de 
gráfico:
Fórmulas:
Onde: 
P = Valor da prestação
P1 = Primeira prestação
Pn = Última prestação
N = Total de prestações
C = Valor do capital (Entrada, aplicação inicial)
J = Juros
t = Prazo
i = Taxa de Juros
SD0 = Saldo Devedor do período ANTERIOR
Vamos usar um exemplo em que o Sistema de Amortização Francês é trocado pelo SAC.
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Exemplo: Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 
prestações mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 
dias após a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% 
ao mês, calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês considerando 
que o banco utiliza o Sistema de Amortização Constante. 
Passo 1: Como o valor emprestado é de R$ 10.000,00 para ser liquidado em 5 prestações, 
podemos calcular o valor da cota de amortização mensal. 
Assim vamos construir a tabela de amortização.
Como sabemos que o Saldo Devedor é descontado apenas da amorização, podemos calcular o 
saldo devedor após o pagamento de cada parcela:
 • 1 ª parcela: 10.000,00 – 2.000,00 = 8.000,00
 • 2ª parcela: 8.000,00 – 2.000,00 = 6.000,00
 • 3ª parcela: 6.000,00 – 2.000,00 = 4.000,00 
 • 4ª parcela: 4.000,00 – 2.000,00 = 2.000,00 
 • 5ª parcela: 2.000,00 – 2.000,00 = 0,00
Podemos também calcular o valor dos juros cobrados na primeira parcela:
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Agora vamos calcular o valor da primeira parcela.
Substituindo na tabela teremos: 
Continuando o mesmo raciocinio acima, vamos calcular os juros e a parcela de cada mês:
Calculando o valor da parcela de cada período teremos: 
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Substituindo os valores em nossa tabela, teremos:
Observando a tabela acima, notamos que: 
 • Amortizações são constantes
 • As prestações são decrescentes
 • Juros decrescentes
 • Saldo devedor decrescente 
Séries de Pagamento – PRICE
O Sistema de Amortização Francês, também conhecido como tabela PRICE tem as seguintes 
características:
 • As parcelas são constantes
 • Juros decrescentes
 • Amortizações crescentes
 • Saldo devedor decrescente
Para facilitar o entendimento, veja como a série de pagamento PRICE fica em formato de 
gráfico:
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A seguir algumas fórmulas a serem utilizadas.
Séries Postecipadas:
Obs.: é o Fator quando o expoente for negativo.
Séries Antecipada (com entrada): Basta multiplicar o valor da prestação por ou seja, 
dividir por um mais a taxa de juros.
Onde:
P = Valor da prestação 
C = Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial)
M = Valor do montante 
i = Taxa de juros
t = Prazo
A prestação de uma série de pagamento é composta de duas partes, Juros e Amortização, ou 
seja, Prestação = Juros + Amortização.
Tabela de amortização de um sistema francês
Vamos ver um exemplo de como construir uma tabela de amortização de um sistema francês 
(tabela price).
Exemplo: Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 
prestações mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 
dias após a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% 
ao mês, calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês.
Como a primeira prestação vence 1 mês após a data da contratação do empréstimo, estamos 
diante de uma série postecipada.
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Dados:
C = 10.000,00
t = 5 meses 
i = 10% ao mês
P = ???
Aplicando a fórmula temos:
Obs.: O cálculo de exige tabela ou terá seu valor dado no exercício.
Agora vamos preencher a tabela de amortização com os dados que já conhecemos.
Toda informação que temos até agora é que o empréstimo será liquidado em 5 parcelas 
consecutivas de R$ 2.640,18 (valor encontrado acima).
Para completar a tabela temos que ter os seguintes conceitos definidos:
 • Os juros da parcela n é cobrado sobre o saldo devedor após o pagamento da parcela (n – 
1), ou seja, o juros da 2ª parcela é cobrado sobre o saldo devedor após o pagamento da 
primeira parcela e assim sucessivamente.
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 • O valor da prestação é os juros somado com a amortização, podemos também concluir 
que a amortização é igual a prestação menos os juros.
 • Somente a amortização reduz o saldo devedor, os juros não impactam no saldo devedor 
do empréstimo.
Agora vamos calcular os juros da 1ª parcela: (considerando uma taxa de juros de 10% = 0,10)
Podemos calcular a amortização da primeira parcela como a diferença entre a prestaçãoe os 
juros
 O novo saldo devedor será dado por:
Completando a tabela teremos:
Vamos repetir todos os processos anteriores para completar a linha 2.
Agora vamos calcular os juros da 2ª parcela:
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Podemos calcular a amortização da segunda parcela como a diferença entre a prestação e os 
juros.
O novo saldo devedor será dado por: 
Completando a tabela teremos:
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Agora é só repetir o processo para as próximas 3 linhas e encontrar os seguintes valores.
Observação: O saldo devedor após o pagamento da última parcela deve ser sempre igual a 
zero. Neste exemplo encontramos R$ 15,21 pelo fato de termos feito alguns arrendamentos 
quando calculamos o valor das parcelas. 
Séries de Pagamento – SAA
O Sistema de Amortização Americana, também conhecido como SAA, tem características 
diferentes em relação às séries de pagamentojá faladas, SAC e PRICE. São elas: 
 • Pagamento único ao final do período
 • Pagamento dos juros nos meses intermediários 
A peculiaridade desta modalidade de empréstimo é que o cliente paga apenas o juro que 
ocorreu no mês, como se estivesse pagando um aluguel desse dinheiro até devolver ele 
efetivamente lá na frente. 
Para facilitar o entendimento, veja como a série de pagamento SAA fica em formato de 
gráfico:
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Na prática é como se o cliente fizesse um empréstimo de R$ 10.000,00, com taxa de juros de 
10% ao mês e todo mês ele vem na agência e paga R$ 100,00 de juros. Chegando o vencimento 
o cliente devolve os R$ 10.000,00 na agência em um único pagamento. 
Perpetuidade
Perpetuidade pode ser entendida como um valor que se repete indefinidamente em 
intervalos regulares. Pode ser um valor fixo (perpetuidade sem crescimento) ou um valor com 
crescimento constante (perpetuidade com crescimento).
A perpetuidade é mais voltada à avaliação do valor de empresas, montando um estudo sobre 
a geração de receitas futuras e buscando trazer isso para o valor presente, também conhecido 
como valuation. 
A perpetuidade pode ser utilizada em diversas situações, sendo utilizada para medir o valor de 
uma empresa a partir do fluxo de caixa futuro, também tendo a finalidade de fazer a análise de 
investimentos. 
Estrutura a Termo da Taxa de Juros 
em Moeda Local e Moeda Estrangeira
A estrutura a termo da taxa de juros é a relação, no tempo, entre as taxas de retorno para 
distintas datas de vencimento. A estrutura a termo faz a ligação entre as taxas de juros de 
curto e de longo prazos. 
Em linhas gerais, a função chave da curva de juros de títulos do tesouro é a de servir como 
benchmark para a precificação dos títulos de renda fixa e determinar os retornos em todos os 
demais setores do mercado de dívida.
As taxas de juros são fundamentais para a avaliação de ativos de renda fixa, pois com base 
nela e nos títulos públicos é possível saber se um título está interessante para compra naquele 
momento. 
Os títulos públicos são conhecidos como ativos livres de risco de inadimplência e não 
apresentam diferenças na qualidade do crédito entre os diferentes tipos disponíveis. Como 
os títulos públicos oferecem alta liquidez devido às negociações diárias e seu volume robusto, 
seus preços trazem consigo informações mais recentes. 
Ao escolher um título de renda fixa para compor uma carteira de investimentos é interessante 
que você compare o ativo com um título do tesouro de mesmo vencimento. A partir disso avalie 
se o ativo de renda fixa remunera pelo menos a mesma taxa que o título público acrescido de 
um prêmio de risco. 
Ao simular taxas spot em vencimentos sucessivos comparados ao vencimento, teríamos a 
representação gráfica semelhante a das figuras a seguir, passando os possíveis formatos para a 
curva de juros.
Curva Normal: Nesse formato de curva de juros os retornos são apresentados através de 
uma inclinação ascendente, ou seja, o retorno cresce de forma constante à medida que o 
vencimento vai ficando mais longo. Outra nomenclatura para esse formato de curva é: 
positiva. 
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Curva Plana: Nesse formato de curva de retorno a curva se mantém inalterada no decorrer do 
tempo. Outra nomenclatura utilizada para esse formato de curva é o termo flat. 
w
Curva Arqueada: A curva de retornos tem um formato arqueado. 
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Curva Invertida: Nesse formato de curva os retornos declinam no decorrer do tempo. 
Payback e Payback Modificado
O payback, ou período de payback, refere-se ao tempo que um investimento leva para pagar 
o seu investimento inicial. Imagine que você está analisando em alguns negócios no mesmo 
segmento ou segmentos distintos e você quer saber quando vai receber o valor investido de 
volta. Da mesma forma quando você quer investir em alguma ação, possivelmente pagadora 
de dividendos, e quer saber em quanto tempo vai receber o valor investido de volta.
Quando o payback é calculado sem descontar os fluxos de caixa futuros, então é chamado de 
payback simples. Quando o cálculo utiliza uma taxa de desconto (TMA, por exemplo) então é 
chamado de período de payback descontado (ou modificado).
Fórmula do Payback Simples:
Payback = Investimento inicial / Ganho no período 
Exemplo: 
Maria comprou um smartphone para produção de conteúdo para mídias sociais no valor 
de R$ 2000. O acordo para produção de conteúdo com sua primeira cliente foi que ela seria 
remunerada em R$ 500 por mês para criação de posts para as redes sociais de sua cliente. 
Nesse caso: 
2000 / 500 = 4 meses
A ideia é entender quando o investimento se paga efetivamente. Agora, se eu for utilizar o 
payback descontado para calcular quando vou receber o dinheiro investido de volta, preciso 
ter uma Taxa Mínima de Atratividade na relação. O dinheiro tem valor no tempo, então os R$ 
100 de hoje não são os mesmos R$ 100 daqui 5 anos, pois eu poderia investir em renda fixa 
atrelado ao CDI, ou investir em ações na bolsa, além do que a inflação corrói esse recurso e se 
eu receber os mesmos R$ 100 ao final do investimento, após alguns anos de inflação, o meu 
dinheiro já não tem o mesmo valor real. 
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Custo Médio Ponderado de Capital – CMPC
Também conhecido como WACC (Weighted Average Cost of Capital), nada mais é do que a 
média do custo dos recursos que estão alocados na empresa, ponderado por sua participação. 
Para uma empresa operar, é necessário que se tenham recursos financeiros dentro da mesma. 
Esses recursos podem ser dos próprios acionistas (Capital Próprio) ou recursos emprestados 
(Capital de Terceiros). O capital de terceiros possui custo de juros e o capital próprio possui, 
pelo menos, o custo de oportunidade.
A forma de obter o CMPC está na fórmula abaixo:
Onde: 
 • Ke = Custo do Patrimônio Líquido (Capital Próprio)
 • Kd = Custo da Dívida Após Impostos
 • Kps = Custo das Ações Preferenciais 
 • E / (E + D + PS) = Proporção, em valor, de mercado, do patrimônio líquido em relação ao 
valor do mix de financiamento 
 • D / (E + D + PS) = Proporção, em valor de mercado, da dívida em relação ao valor do mix de 
financiamento
 • PS / (E + D + PS) = Proporção, em valor de mercado, das ações preferenciais em relação ao 
valor do mix de financiamento
Exemplo: 
Uma empresa possui Patrimônio Líquido (PL) de R$ 30.000 e dívidas de R$ 70.000. Considerando 
que o custo da dívida é de 15% e o retorno requerido pelos acionistas é de 30%, calcule o 
CMPC da empresa:
Resolução: 
Primeiro passo é entender o percentual de dívida e de capital próprio. Nesse caso: 
Dívida = 70%
Capital Próprio = 30% 
Segundo passo é só aplicar a fórmula:
CMPC = (30% x 0,3) + (15% x 0,7) = 19,50% 
O Custo Médio de Capital da empresa é de 19,50%.
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O CMPC é muito importante, principalmente, para se analisar a viabilidade dos projetos da 
empresa, isso porque, se um determinado projeto/investimento não tiver um retorno superior 
ao CMPC, não é financeiramente viável. 
EBITDA, o que é? 
Vem da sigla em inglês para Earnings before interest, taxes, depreciation and amortization. 
Já em portugués a definição fica como “Lucros antes de juros, impostos, depreciação e 
amortização”, ou também conhecido pela sigla Lajida. 
Sua utilização é muito frequente quando se trata da avaliação de empresas de capital aberto, 
pois ela visa auxiliar no entendimento de balanços de empresas, descobrir o potencial de 
geração de caixa e também determinar a evolução da produtividade e da eficiência no decorrer 
dos anos. 
O EBITDA representa a geração de caixa operacional da empresa, sendo basicamente o quanto 
ela gera de recurso efetivamente em sua atividade, não levando em consideração os efeitos 
financeiros e de impostos.
Exemplode comparação com EBITDA:
Considerando duas empresas A e B, sabemos os seguintes dados:
Empresa A: 
 • R$ 10.000,00 em vendas
 • R$ 3 .000,00 custo de produção 
 • R$ 1 .000,00 despesas administrativas
O Resultado do EBITDA da empresa A é R$ 6.000,00.
Custos após saber EBITDA:
 • R$ 1.000,00 em impostos 
 • R$ 1.000,00 de dívida. 
O lucro líquido da empresa A é de R$ 4.000,00. 
Empresa B:
 • R$ 10.000,00 em vendas
 • R$ 2.000,00 custo de produção
 • R$ 1.000,00 despesas administrativas 
O Resultado do EBITDA da empresa B é R$ 7.000,00.
Custos após saber EBITDA:
 • R$ 1.000,00 em impostos
 • R$ 2.500,00 em dívida
O lucro líquido da empresa B é de R$ 3.500,00.
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Se eu fosse utilizar apenas o lucro líquido como forma de comparação, seguiria pela empresa 
que é mais lucrativa. Porém, nesse caso, existem mais variáveis em jogo, como uma dívida 
mais cara pela empresa B ou que a empresa A tenha se capitalizado com recurso próprio, por 
exemplo. Assim, não representando efetivamente o resultado operacional da empresa. Se a 
empresa B conseguir quitar a dívida, reajustar a taxa ou algo nessa linha, ela se tornaria muito 
mais lucrativa do que a empresa A. 
Com o resultado do EBITDA consigo eliminar os custos com impostos e dívidas, focando 
especificamente na operação da empresa e quanto ela produz. Assim consigo verificar o 
quanto ela custa para produzir a mercadoria, custo que a empresa tem para existir, custo 
administrativo, e olho o quanto resulta em uma análise inicial. A partir disso, consigo avaliar 
se faz sentido ou não seguir em uma análise mais aprofundada de determinada empresa, pois 
esse indicador por si só não revela a situação completa das finanças da empresa e pode levar a 
muitos erros.