05 - Logaritmos (92 questAes)

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“É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo, mesmo expondo-se ao insucesso, do que ficar na fila dos pobres de espírito, que nem gozam muito nem
sofrem muito, por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota.”
Franklin D. Roosevelt
Logaritmos
Questões EEAR
LOGARITMOS
(EEAR-2000) Questão 1.
Resolvendo o sistema
{
log2 x + log4y = 4
xy = 8
, obtemos:
(a) S =
{(
32,
1
4
)}
(b) S = {(8, 1)}
(c) S = {(2, 4)}
(d) S =
{(
16,
1
2
)}
(EEAR-2001) Questão 2.
Sabendo que log4(a − b) = x e a + b =
1
16
, então log4(a2 − b2) é igual a:
(a) 2x
(b) 2 − x
(c) x − 2
(d) 2 + x
(EEAR-2001) Questão 3.
O valor inteiro de x, tal que o dobro do seu logaritmo decimal tenha uma
unidade a mais do que o logaritmo decimal de
(
x +
11
10
)
, é
(a) −1
(b) 1, 7
(c) 10
(d) 11
(EEAR-2001) Questão 4.
Sendo 8x−3 = 4x, tem-se log3(x−1) é igual a:
(a) 3
(b) 2
(c) −2
(d) −1
(EEAR-2001) Questão 5.
Seja k a raiz da equação 2log8 log2 x =
1
2
. O valor de k8 é:
(a)
1
8
(b)
1
4
(c) 1
(d) 2
(EEAR-2001) Questão 6.
Seja log 2 = 0, 301. Efetuando-se 5050, obtemos um valor cuja quantidade
de algarismos é
(a) 85
(b) 84
(c) 83
(d) 82
(EEAR-2002) Questão 7.
Se o logaritmo de um número na base n é 4 e na base
n
2
é 8, então esse
número está no intervalo
(a) [1, 50]
(b) [51, 100]
(c) [101, 200]
(d) [201, 500]
(EEAR-2002) Questão 8.
Determinando log25 0, 008, obtemos
(a)
3
2
(b) −
3
2
(c)
2
3
(d) −
2
3
(EEAR-2002) Questão 9.
O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções definidas por
f(x) = 3 log x e g(x) = log 9 + log x, sendo x > 0, é
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(EEAR-2004) Questão 10.
Se x e y são números reais positivos e log3 log4 x = log4 log3 y = 0, então x
e y
(a) são iguais.
(b) são inversos.
(c) são consecutivos.
(d) diferem de 2 unidades.
(EEAR-2004) Questão 11.
A equação log2
(
9x−1 + 7
)
= 2 + log2
(
3x−1 + 1
)
possui
(a) duas raízes positivas.
(b) duas raízes negativas.
(c) duas raízes simétricas.
(d) uma única raiz.
(EEAR-2005) Questão 12.
Se log 2, 36 = 0, 3729, então antilog 3, 3729 é
(a) 236.
(b) 23, 6.
(c) 2360.
(d) 23600.
(EEAR-2005) Questão 13.
Se log3 2 = a e log7 3 = b, então log3 14 =
(a)
b + 1
a
(b)
a + 1
b
(c)
ab + 1
b
(d)
ab + 1
a
(EEAR-2006) Questão 14.
O logaritmo de 8 é
3
4
, se a base do logaritmo for igual a
(a) 4.
(b) 8.
(c) 16.
(d) 64.
(EEAR-2006) Questão 15.
O menor número inteiro que satisfaz a inequação log2(3x − 5) > 3 é um
número
(a) par negativo.
(b) par positivo.
(c) ímpar negativo.
(d) ímpar positivo.
(EEAR-2007) Questão 16.
Se log 8 = a, então log 3
√
2 vale
(a)
a
2
(b)
a
4
(c)
a
9
(d)
a
6
(EEAR-2007) Questão 17.
Sendo a > 0 e a 6= 1, o conjunto solução da equação 10loga x2−3x+2 =
6loga 10 está contido no conjunto:
(a) {1, 2, 3, 4}.
(b) {−4,−3,−2,−1, 0, 1}.
(c) {−1, 0, 1, 2, 3, 4}.
(d) {0, 1, 2, 3, 4}.
(EEAR-2008) Questão 18.
Estudando um grupo de crianças de uma determinada cidade, um pediatra
concluiu que suas estaturas variavam segundo a fórmula h = log
(
100,7 ·
√
i
)
,
onde h é a estatura (em metros), e i é a idade (em anos). Assim, segundo a
fórmula, a estatura de uma criança de 10 anos dessa cidade é, em m,
(a) 1, 20.
(b) 1, 18.
(c) 1, 17.
(d) 1, 15.
(EEAR-2009) Questão 19.
Se x e y são números reais positivos, colog2
1
32
= x e logy 256 = 4, então
x + y é igual a:
(a) 2
(b) 4
(c) 7
(d) 9
(EEAR-2009) Questão 20.
Sejam x, y e b números reais maiores que 1. Se logb x = 2 e logb y = 3,
então o valor de logb(x2y3) é:
(a) 13
(b) 11
(c) 10
(d) 8
(EEAR-2010) Questão 21.
Considerando n > 1, se loga n = n, então o valor de a é
(a) n
(b) nn
(c)
1
n
(d) n
1
n
(EEAR-2011) Questão 22.
Sejam as funções logarítmicas f(x) = loga x e g(x) = logb x. Se f(x) é
crescente e g(x) é decrescente, então
(a) a > 1 e b < 1.
(b) a > 1 e 0 < b < 1.
(c) 0 < a < 1 e b > 1.
(d) 0 < a < 1 e 0 < b < 1.
(EEAR-2011) Questão 23.
A razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, numa mesma base b, sendo
0 < b 6= 1, é
(a)
1
4
.
(b)
1
2
.
(c) 4.
(d) 2.
(EEAR-2012) Questão 24.
Dada a função f : R∗+ → R definida por f(x) = 5 · log2 x, o valor de f(1)+ f(2)
é
(a) 3.
(b) 5.
(c) 6.
(d) 10.
(EEAR-2013) Questão 25.
Para que exista a função f(x) = log(x −m), é necessário que x seja
(a) maior que m.
(b) menor que m.
(c) maior ou igual a m.
(d) menor ou igual a m.
(EEAR-2013) Questão 26.
Se log x + log y = k, então log x5 + log y5 é
(a) 10k
(b) k10
(c) 5k
(d) k5
(EEAR-2014) Questão 27.
Se f(x) = log x e a · b = 1, então f(a) + f(b) é igual a
(a) 0.
(b) 1.
(c) 10.
(d) 100.
(EEAR-2015) Questão 28.
Seja x um número real positivo e diferente de 1. Assim, logx 1 + logx x é
igual a
(a) −1.
(b) 0.
(c) 1.
(d) x.
(EEAR-2015) Questão 29.
Se a > 0, b > 0, c > 0 e c 6= 1, então é correto afirmar que:
(a) logc(a + b) = (logc a) + (logc b)
(b) logc(a + b) = (logc a) · (logc b)
(c) logc(ab) = (logc a) + (logc b)
(d) logc(ab) = (logc a) · (logc b)
(EEAR-2016) Questão 30.
o valor de x na equação log 1
3
(log27 3x) = 1 é
(a) 1
(b) 3
(c) 9
(d) 27
(EEAR-2017) Questão 31.
As funções logarítmicas f(x) = log0,4 x e g(x) = log4 x são, respectivamente,
(a) crescente e crescente
(b) crescente e decrescente
(c) decrescente e crescente
(d) decrescente e decrescente
(EEAR-2017) Questão 32.
Se log 2 = 0, 3 e log 36 = 1, 6, então log 3 = .
(a) 0, 4
(b) 0, 5
(c) 0, 6
(d) 0, 7
Questões AFA
LOGARITMOS
(AFA-1998) Questão 33.
Se log10 x ≤ (log2 4 · log4 6 · log6 8) − 1, então
(a) 0 < x ≤ 102
(b) 102 < x ≤ 104
(c) 104 < x ≤ 106
(d) 106 < x ≤ 108
(AFA-1999) Questão 34.
A soma das raízes da equação log2(x2 − 6x) = 4 é
(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 7
(AFA-1999) Questão 35.
O valor de − log2
[
log2
√√√
2
]
é:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(AFA-2000) Questão 36.
O domínio da função real f(x) = log(−x2 + 6x + 16) + log(x2 − 6x + 8) é
(a) {x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x ≤ 8}
(b) {x ∈ R | −2 < x < 2 ou 4 < x < 8}
(c) 4{x ∈ R | x < −2 ou 2 < x < 4 ou x > 8}
(d) {x ∈ R | x < −2 ou 2 < x < 4 ou x > 4}
(AFA-2000) Questão 37.
Se os números reais x e y satisfazem log
−2
x + y
= 0 e
∣∣∣∣∣ 3y2 −81−3−8y 32xy
∣∣∣∣∣, então,
dado i =
√
−1, xy
−1
é
(a) 0
(b) i
(c) 2i
(d) 3i
(AFA-2000) Questão 38.
O produto das raízes da equação
∣∣∣∣∣∣
2x 8x 0
log2 x log2 x
2 0
1 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 0, com x ∈ R∗+, é
(a)
1
2
(b)
3
4
(c)
4
3
(d)
3
2
(AFA-2000) Questão 39.
A expressão
[
(log a) · log
( a
b2
)]
+
[
(log b) · log
(
b2
c
)]
= 0, com a, b, c ∈
R∗+, é verdadeira quando
(a) b2 = ac ou a = c
(b) c2 = ab ou a = b
(c) a = bc2 ou b = c
(d) ac−1 = b2 ou a = b
(AFA-2000) Questão 40.
Se b = 2−x
2+x+12, então o número de soluções inteiras que satisfaz a ine-
quação logb
(
5
7
)
< logb
(
3
4
)
é
(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 7
(AFA-2001) Questão 41.
A soma de todos os valores reais que satisfazem a equação xlog4 x = 16x,
x > 0, é:
(a)
17
4
(b)
33
4
(c)
65
4
(d)
129
4
(AFA-2001) Questão 42.
Considere um triângulo retângulo de catetos b e c, hipotenusa a e altura
relativa à hipotenusa h, h 6= 1. A alternativa correta é
(a) log a + log b + log c = log h
(b) log a − log b − log c = log h
(c) logh(b2 − h2) + logh(c2 − h2) = 4
(d) logh(b2 − h2) − logh(c2 − h2) = 4
(AFA-2002) Questão 43.
A curva abaixo representa o gráfico da função f definida por f(x) = loga x.
Se B e C têm coordenadas respectivamente iguais a (2, 0) e (8, 0), e se a área
do trapézio BCDE é igual a 6, então, pode-se dizer que a área do triângulo
ABE é:
(a) um número irracional.
(b) um número primo.
(c) um número quadrado perfeito.
(d) uma dízima periódica
(AFA-2002) Questão 44.
Sejam f e g funções definidas por f(x) = x2 − 4x + 3 e g(x) = logx+1 x. O
domínio de (g ◦ f)(x) é o conjunto dos números reais x, tais que
(a) 0 < x < 1 ou x > 3
(b) x < 1 ou x > 3
(c) 1 < x < 3 e x ≈ 0
(d) x > 3
(AFA-2003) Questão 45.
Analise os itens abaixo classificando-os em V (verdadeiro) ou F (falso).
( ) Em R, o conjunto solução da inequação 8 · (0, 5)x −1 ≤ 0 é dado por
[4,+∞[.
( ) A função real y = e1−x é crescente ∀x ∈ R (considere e a base dos
logaritmos neperianos).
( ) Se f(x) = 2x, então f(a) · f(b) é sempre igual a f(a + b), onde a e b são
reais quaisquer.
A seqüência correta é:
(a) F - F - V
(b) V - V - F
(c) F - V - V
(d) V - F - F
(AFA-2003) Questão 46.
O conjunto-solução da equação logx−2(x + 2)2 = 2 é:
(a) ∅
(b) {x ∈ R | x > 3}
(c) {x ∈ R | 2 < x < 3}
(d) {x ∈ R | x > 2 e x 6= 3}
(AFA-2003) Questão 47.
“Na semana passada, a Secretaria Municipal de Saúde do Rio de Janeiro
anunciou que 5000 bombeiros participarão da campanha de combate à epide-
mia de dengue na cidade. É mais uma tentativa de deter o ritmo alucinante
de crescimento da doença.”
Veja. 13 de março de 2002
Suponha uma cidade com 128000 habitantes e que, em determinada ocasião,
fosse constatado que 8000 habitantes estavam com dengue. Num estudo rea-
lizado, constatou-se que a taxa de aumento de pessoas contaminadas era de
50% ao mês. Com base nisso, pode-se afirmar que, caso não tomasse nenhuma
providência (dados: log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48)
(a) toda população seria contaminada em dois meses.
(b) em três meses, apenas 18000 pessoas seriam contaminadas.
(c) 40500 pessoas seriam contaminadas em quatro meses.
(d) dez mil pessoas seriam contaminadas exatamente na metade de um mês.
(AFA-2004) Questão 48.
O gráfico abaixo expressa a variação de log y em função de log x onde log é
o logaritmo na base decimal.
A relação correta entre x e y é igual a:
(a) y = 2 + 2x
(b) y =
3
2
+ x
(c) y = 100x2
(d) y =
5
2
+ x
(AFA-2005) Questão 49.
O domínio da função real definida por f(x) =
√
x1+loga x − a2x é
(a) a
√
2 ≤ x ≤ a−
√
2 se 0 < a < 1.
(b) 0 < x ≤ a−
√
2 ou x ≥ a
√
2 se 0 < a < 1
(c) a
√
2 ≤ x ≤ a−
√
2 se a > 1
(d) x < a−
√
2 ou x > a
√
2 se a > 1
(AFA-2006) Questão 50.
Assinale a alternativa correta.
(a) log2 3 > log 1
4
1
9
.
(b) Se x = log3 14 · log 2
5
3 · log4
2
5
, então 1 < x < 2.
(c) Se m =
1
log3 x
, então, um possível valor real de x tal que xm · log3 x < 1
é x =
7
3
.
(d) Se x
1
log3 x <
1
log3 x
(0 < x < 1), então, um possível valor de x é
√
2.
(AFA-2006) Questão 51.
Considere as funções reais f e g definidas por f(x) = log3 x e g(x) = f(x+ 1).
Sabendo-se que existem f−1 e g−1, é correto afirmar que o conjunto solução
da equação g−1(x) + f−1(x) = 2 é
(a) {1}
(b) ∅
(c) {log32 − 1}
(d) {1 − log3 2}
(AFA-2006) Questão 52.
Num certo dia, a temperatura ambiente era de 40 ◦C. A água que fervia
em uma panela, cinco minutos depois de apagado o fogo tinha a temperatura
de 70 ◦C. Pela lei de resfriamento de Newton, a diferença de temperatura D
entre um objeto e o meio que o contém é dada por D(t) = D0 · e−αt, em que
D0 é a diferença num instante t qualquer. Sabendo-se que a temperatura de
ebulição da água é de 100 ◦C, `n 2 = 0, 7 e `n 5 = 1, 6, pode-se dizer que a água
e temperatura de 46 ◦C
(a) 10 minutos após o fogo ter sido apagado.
(b) entre 18 e 20 minutos após o fogo ter sido apagado.
(c) exatamente 30 minutos após o fogo ter sido apagado.
(d) aproximadamente 16 minutos após apagado o fogo.
(AFA-2007) Questão 53.
De acordo com Richter (1935), a energia E (medida em joules) liberada por
um terremoto de magnitude M, obedece à equação M = 0, 67 · log E − 3, 25.
Baseando-se nisso, é FALSO afirmar que (adotar log 2 = 0, 3)
(a) se a energia de 2, 0 ·1012 joules equivale à de uma bomba atômica como a
lançada sobre Hiroshima, então, o valor da magnitude de um terremoto
cuja energia liberada equivale a 2000 bombas atômicas como a lançada
sobre Hiroshima, é um número do intervalo ]7; 7, 3]
(b) o acréscimo de 0, 67 unidades na magnitude de um terremoto na escala
Richter corresponde a um terremoto cerca de 10 vezes mais intenso em
termos de energia liberada.
(c) o crescimento na magnitude de terremotos na escala Richter, acarreta
um aumento exponencial da energia liberada.
(d) a energia de 2, 0 · 1012 joules (equivalente à de uma bomba atômica como
a lançada sobre Hiroshima) corresponde à ocorrência de um terremoto
de magnitude superior a 5 pontos na escala Richter.
(AFA-2007) Questão 54.
Dada a função real f tal que f(x) =
√
− log x+
√
−
(ex + 1)
x2 − 4
, onde e = 2, 71 . . .
é a base de logaritmos neperianos, é correto afirmar que o conjunto D, domínio
de f é igual a
(a) {x ∈ R | x ≥ 1 e x 6= 2}
(b) {x ∈ R∗ | −2 < x < 2}
(c) {x ∈ R | x < −2 ou x > 2}
(d) {x ∈ R∗+ | x ≤ 1}
(AFA-2007) Questão 55.
As funções que melhor descrevem as curvas abaixo são
(a) y = − loga x e sua inversa, sendo 0 < a < 1
(b) y = loga(2x) e sua inversa, sendo a > 1
(c) y = ax e sua inversa, sendo a>0
(d) y = loga(x + 1) e sua inversa, sendo a > 1
(AFA-2008) Questão 56.
Considere todo x ∈ R que torne possível e verdadeira a igualdade
log
[
f(x2 − 1)
]
= log
√
x4 − 2x2 + 1, onde f é uma função real de A em B e
marque a alternativa correta.
(a) O conjunto imagem de f é Im = R+ − {1}.
(b) f é uma função injetora.
(c) Se B = R+ − 1, então existe a inversa de f.
(d) f tem domínio A = {x ∈ R | |x| > 1}.
(AFA-2008) Questão 57.
Considere as funções reais:
f : R∗+ → R tal que f(x) = x − 2.
g : R→ R∗+ tal que g(x) = ( 1
2
)x
.
h : R∗+ → R tal que h(x) = − log2 x.
e marque a alternativa correta.
(a) O domínio da função k definida por k(x) =
g(x)
h(x)
é o conjunto dos números
reais positivos.
(b) A função j definida por j(x) =
f(x) · h−1(x)
(g ◦ f)(x)
se anula em dois pontos
distintos.
(c) A função m definida por m(x) = −1 + (g ◦ f)(x) não possui raiz.
(d) Se g(h(a)) = 8 e h(g(2b)) = log3 9, então a − b é um número primo.
(AFA-2009) Questão 58.
Considere as funções reais f : R → R∗+ tal que f(x) = ax, g : R → R∗+ tal
que g(x) = bx, h : R→ R∗+ tal que h(x) = cx.
Sabendo-se que 0 < a < 1 < b < c, marque a alternativa INCORRETA.
(a) A função real s :M→ D definida por s(x) = −g(x)+ 1 é positiva ∀x ∈M.
(b) h(x) < g(x) < f(x), ∀x ∈] − 1, 0[
(c) Se x ∈] −∞, loga 2[, então f(x) − 2
h(x) − 1
< 0.
(d) A função real t : A→ B dada por t(x) = (f ◦ f−1)(x) é crescente.
(AFA-2009) Questão 59.
Se a função real f é definida por f(x) = log3(3x + 4) − log3(2x − 1), então o
conjunto de valores de x para os quais f(x) < 1 é
(a)
{
x ∈ R | x >
7
3
}
(b)
{
x ∈ R | x <
1
2
}
(c)
{
x ∈ R | x <
1
2
ou x >
7
3
}
(d)
{
x ∈ R |
1
2
< x <
7
3
}
(AFA-2010) Questão 60.
Sobre a função real f : D→ R dada por f(x) = 1+ log2(x2), é INCORRETO
afirmar que é
(a) par
(b) sobrejetora ∀x ∈ D
(c) crescente se x ∈ [1,+∞[
(d) injetora ∀x ∈ D
(AFA-2010) Questão 61.
Sejam as funções reais dadas por f(x) = 22x+1 e g(x) = 3x+1. Se b ∈ R tal
que f
(
1
2
)
= 2g(b) e p = log3 b, então sobre p é correto afirmar que
(a) não está definido.
(b) é positivo e menor que 1.
(c) é negativo e menor que 1.
(d) é positivo e maior que 1.
(AFA-2011) Questão 62.
Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento a um
de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, conforme a seguir.
Tomar x gotas do medicamento α de 8 em 8 horas.
A quantidade de gotas y diária deverá ser calculada
pela fórmula log8 y = log2 6
Considerando log 2 =
3
10
e log 3 = 0, 48, é correto afirmar que log2 x é um
número do intervalo
(a) [3, 4[
(b) [4, 5[
(c) [5, 6[
(d) [6, 7[
(AFA-2012) Questão 63.
Considere uma aplicação financeira denominada UNI que rende juros men-
sais de M = log27 196 e outra aplicação financeira denominada DUNI que
rende juros mensais de N = − log 1
9
14. A razão entre os juros mensais M e N,
nessa ordem, é:
(a) 70%
(b)
2
3
(c)
4
3
(d) 80%
(AFA-2013) Questão 64.
No plano cartesiano, seja P(a, b) o ponto de intersecção entre as curvas
dadas pelas funções reais f e g definidas por f(x) =
(
1
2
)x
e g(x) = log 1
2
x. É
correto afirmar que:
(a) a = log2 (log2 a)
(b) a = log2
 1
log2
(
1
a
)

(c) a = log 1
2
(
log 1
2
(
1
a
))
(d) a = log2
(
log 1
2
a
)
(AFA-2014) Questão 65.
Pesquisas realizadas verificaram que, no planeta Terra, no início do ano
de 2013, a população de pássaros da espécie A era12 vezes a população de
pássaros da espécie B. Sabe-se que a população de pássaros da espécie A cresce
a uma taxa de 5% ao ano, enquanto que a população de pássaros da espécie B
cresce a uma taxa de 20% ao ano. Com base nesses dados, é correto afirmar
que, essas duas populações de pássaros serão iguais (Considere: log 7 = 0, 85;
log 6 = 0, 78; log 2 = 0, 3)
(a) no 1o semestre do ano de 2034.
(b) no 2o semestre do ano de 2034.
(c) no 1o semestre do ano de 2035.
(d) no 2o semestre do ano de 2035.
(AFA-2016) Questão 66.
Considere a função real f definida por f(x) = ax com a ∈]0, 1[.
Sobre a função real g definida por g(x) = | − b − f(x)| com b ∈] −∞,−1[, é
correto afirmar que:
(a) possui raiz negativa e igual a loga(−b)
(b) é crescente em todo o seu domínio.
(c) possui valor máximo.
(d) é injetora.
Questões UERJ (EQ)
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
(UERJ-2011) Questão 67.
Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus
instrumentos de observação. Admita um filtro que deixe passar
4
5
da intensi-
dade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da
original, foi necessário utilizar n filtros. Considerando log 2 = 0, 301, o menor
valor de n é igual a:
(a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 12
(UERJ-2012) Questão 68.
Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repe-
tições. No entanto, como consequência das alterações da contração muscular
devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração de cada série, a partir
da segunda, foi sempre 28% maior do que o tempo gasto para fazer a série
imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 segundos e a
última em 1 minuto e 40 segundos. Considerando log 2 = 0, 3, a soma do
número de repetições realizadas nas n séries é igual a:
(a) 100
(b) 120
(c) 140
(d) 160
(UERJ-2012) Questão 69.
Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um aci-
dente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes
o nível inicial. Leia as informações a seguir.
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados
a cada dez dias.
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por
meio da seguinte equação:
T(x) = T0 · (0, 5)0,1x
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de
água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0, 3,
o valor de D é igual a:
(a) 30
(b) 32
(c) 34
(d) 36
(UERJ-2015) Questão 70.
Observe no gráfico a função logaritmo decimal definida por y = log x.Admita que, no eixo x, 10 unidades correspondem a 1 cm e que, no eixo y, a
ordenada log 1000 corresponde a 15 cm. A escala x : y na qual os eixos foram
construídos equivale a:
(a) 5 : 1
(b) 15 : 1
(c) 50 : 1
(d) 100 : 1
(UERJ-2016) Questão 71.
Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base
10, com expoente n inteiro, para:
10n−
1
2 ≤ x < 10n+
1
2
Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo
valor numérico é tal que log10E = 15, 3.
A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a:
(a) 1014
(b) 1015
(c) 1016
(d) 1017
(UERJ-2017) Questão 72.
Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é
digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal
desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado
por 5.
Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no
visor o número 10. Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente
o seguinte número:
(a) 20
(b) 30
(c) 40
(d) 50
Questões UERJ (ED)
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
(UERJ-2002) Questão 73.
Leia atentamente a reportagem a seguir.
Admita que a população indígena hoje seja de exatamente 350000 habitan-
tes, e que sua taxa de crescimento anual seja mantida em 3, 5%. De acordo
com esses dados, estime a população das tribos indígenas do Brasil nos se-
guintes momentos:
a) daqui a um ano;
b) em 1500, utilizando a tabela de logaritmos abaixo.
x log x
10, 35 1, 0149
35, 00 1, 5441
27, 42 1, 4381
(UERJ-2003) Questão 74.
Jorge quer vender seu carro por R$40.000, 00. Pedro, para comprá-lo, dispõe
de R$5.000, 00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros compos-
tos a uma taxa de 28% a cada dois anos. Considere que a desvalorização do
carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro
no período de dois anos imediatamente anterior. Calcule o tempo mínimo em
que Pedro terá dinheiro suficiente para comprar o carro de Jorge. Utilize, em
seus cálculos, log 2 = 0, 30 e log 3 = 0, 48.
(UERJ-2004) Questão 75.
Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo
colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação:
T = T0 + ke
−ct
Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas,
a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são
constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inici-
almente a 100 ◦C, colocada numa sala de temperatura 20 ◦C . Vinte minutos
depois, a temperatura do café passa a ser de 40 ◦C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada
na sala.
b) Considerando `n 2 = 0, 7 e `n 3 = 1, 1, estabeleça o tempo aproximado em
que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café
se reduziu à metade.
(UERJ-2005) Questão 76.
Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive
nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce
15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes
nos próximos anos.
a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12, 1
milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui
a um ano.
b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido
em anos. Se t =
1
log x
, determine o valor de x.
(UERJ-2005) Questão 77.
Um grupo de 20 ovelhas é libertado para reprodução numa área de pre-
servação ambiental. Submetidas a um tratamento especial, o número N de
ovelhas existentes após t anos pode ser estimado pela seguinte fórmula:
N =
220
1 + 10 · 0, 81t
Admita que a população de ovelhas seja capaz de se manter estável, sem
esse tratamento especial, depois de atingido o número de 88 ovelhas.
a) Calcule o número de ovelhas existentes após seis meses.
b) Considerando `n 2 = 0, 7, `n 3 = 1, 1 e `n 5 = 1, 6, calcule a partir de
quantos anos não haverá mais a necessidade de tratamento especial do
rebanho.
(UERJ-2006) Questão 78.
Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de
um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:
• nas t primeiras horas, diminui sempre 20% em relação ao número de
frutas da hora anterior;
• nas 8 − t horas restantes, diminui 10% em relação ao número de frutas
da hora anterior.
Calcule
a) o percentual do número de frutas que resta ao final das suas primeiras
horas de venda, supondo t = 2;
b) o valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na
barraca, 32% das frutas que havia, inicialmente. Considere log 2 = 0, 30
e log 3 = 0, 48.
(UERJ-2007) Questão 79.
A International Electrotechnical Commission - IEC padronizou as unidades
e os símbolos a serem usados em Telecomunicações e Eletrônica. Os prefixos
kibi, mebi e gibi, entre outros, empregados para especificar múltiplos binários
são formados a partir de prefixos já existentes no Sistema Internacional de
Unidades - SI, acrescidos de bi, primeira sílaba da palavra binário. A tabela
abaixo indica a correspondência entre algumas unidades do SI e da IEC.
Um fabricante de equipamentos de informática, usuário do SI, anuncia um
disco rígido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computação, essa medida
corresponde a p× 230 bytes. Considere a tabela de logaritmos a seguir.
Calcule o valor de p.
(UERJ-2010) Questão 80.
Suponha que x e y são números reais positivos que apresentam logaritmos
com bases diferentes,conforme as igualdades a seguir:
log9 x = log6 y = log4(x + y)
Calcule a razão
y
x
.
(UERJ-2011) Questão 81.
Considere a equação:
(log2 x)
2 − log 3√
2
x = 0, x > 0
Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equa-
ção:
(log2 x)
2 = log 3√
2
x
(log2 x)
2 = 3 (log2 x)
(log2 x) = 3
x = 23
x = 8
S = {8}
O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto. Resolva a equa-
ção e determine corretamente o seu conjunto-solução.
Questões UFRJ
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
(UFRJ-1998) Questão 82.
Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo expressa a variação de log y
em função de log x, onde log é o logaritmo na base decimal.
Determine uma relação entre x e y que não envolva a função logaritmo.
(UFRJ-2000) Questão 83.
A figura a seguir mostra os gráficos das funções f e g, definidas no intervalo
]0, 4] por:
f(x) =
x
2
− `n x e g(x) =
x
2
− (`n x)2,
onde `n expressa o logaritmo na base neperiana e (e ≈ 2, 7).
SejamM, N os pontos de interseção dos dois gráficos e P, Q suas respectivas
projeções sobre o eixo x. Determine a área do trapézio MNQP.
(UFRJ-2001) Questão 84.
Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e
log c, nesta ordem, estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2,
determine o produto abc.
(UFRJ-2001) Questão 85.
Seja x0, x1, . . . , xn, . . . uma seqüência infinita de números reais. Sabendo
que x0 = 10 e que os logaritmos decimais
a0 = log x0, a1 = log x1, . . . , an = log xn, . . .
formam uma PG de razão
1
2
, calcule o valor limite do produto
Pn = x0x1x2 · · · xn
quando n tende ao infinito.
(UFRJ-2002) Questão 86.
Segundo algumas estimativas, o volume de água facilmente disponível para
o consumo, em todo o planeta, é de 14 mil km3 por ano. Consideremos
como razoável um consumo de 500m3 por ano por habitante. Sabendo que
a população da Terra é de cerca de 6 bilhões de pessoas e que cresce à taxa
de 1, 6% ao ano, gostaríamos de ter uma estimativa de em quanto tempo
chegaremos, mantidos estes dados, ao limite dos recursos disponíveis.
Expresse, utilizando os dados acima e as funções usuais em máquina de
calcular (ou seja: as quatro operações elementares,
√
x, log x, `n x, ex, 10x,
sen x, cos x e tg x), o número x de anos em que ainda teremos água facilmente
disponível.
(UFRJ-2002) Questão 87.
Sendo x e y números reais e y 6= 0, expresse o logaritmo de 3x na base 2y
em função de x, y e log2 3.
(UFRJ-2005) Questão 88.
Considere a = log
(
x −
1
x
)
e b = log
(
x +
1
x
− 1
)
, com x > 1. Determine
log
(
x2 − x +
1
x
−
1
x2
)
em função de a e b.
(UFRJ-2006) Questão 89.
Ana e Bia participam de um site de relacionamentos. No dia 1o de abril de
2005, elas notaram que Ana tinha exatamente 128 vezes o número de amigos
de Bia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no final de um dia,
três novos amigos entravam para sua lista de amigos no dia seguinte. Já Bia
disse que, para cada amigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigos
entravam para sua lista no dia seguinte. Suponha que nenhum amigo deixe as
listas e que o número de amigos aumente, por dia, conforme elas informaram.
a) No dia 2 de abril de 2005, vinte novos amigos entraram para a lista de
Bia. Quantos amigos havia na lista de Ana em 1o de abril?
b) Determine a partir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser
maior do que o número de amigos de Ana. Se precisar, use a desigualdade
1, 584 < log2 3 < 1, 585.
(UFRJ-2007) Questão 90.
Seja f : ]0,∞[→ R dada por f(x) = log3 x.
Sabendo que os pontos (a,−β), (b, 0), (c, 2) e (d, β) estão no gráfico de f,
calcule b + c + ad.
(UFRJ-2008) Questão 91.
Dados a e b números reais positivos, b 6= 1, define-se logaritmo de a na
base b como o número real x tal que bx = a, ou seja, x = logb a.
Para α 6= 1, um número real positivo, a tabela a seguir fornece valores
aproximados para αx e α−x.
x αx α−x
2, 0 6, 250 0, 160
2, 1 6, 850 0, 146
2, 2 7, 507 0, 133
2, 3 8, 227 0, 122
2, 4 9, 017 0, 111
2, 5 9, 882 0, 101
2, 6 10, 830 0, 092
2, 7 11, 870 0, 084
2, 8 13, 009 0, 077
2, 9 14, 257 0, 070
3, 0 15, 625 0, 064
Com base nesta tabela, determine uma boa aproximação para:
(a) o valor de α;
(b) o valor de logα
1
10
.
(UFRJ-2010) Questão 92.
Seja F uma figura plana. Para cada número real positivo a, define-se n(a)
como o menor número de quadrados de lado a necessários para cobrir F (isto
é, F estará contida na união de n(a) quadrados de lado a).
Exemplo 1 : Se F é um retângulo de lados 2 e 3, então n(1) = 6 e n
(
1
2
)
= 24.
Exemplo 2 : Se F é um segmento de comprimento 2, então n(1) = 2 e
n
(
1
2
)
= 3.
Sabe-se que, quaisquer que sejam F e a, tem-se n
(a
k
)
≤ k2n(a) para todo
k = 1, 2, 3, . . .
a) Suponha que, para uma dada F, exista um número d(F) tal que, para
toda sequência {a1, a2, a3, a4, . . .} de números positivos com lim
k→∞ak = 0,
se tenha d(F) = lim
k→∞ logn(ak)− log ak . Mostre que d(F) ≤ 2.
b) Mostre que, de fato, quaisquer que sejam F e a, tem-se n
(a
k
)
≤ k2n(a)
para todo k = 1, 2, 3, . . ..
GABARITO
Questão 1 : A.
Questão 2 : C.
Questão 3 : D.
Questão 4 : C.
Questão 5 : D.
Questão 6 : A.
Questão 7 : D.
Questão 8 : B.
Questão 9 : B.
Questão 10 : C.
Questão 11 : A.
Questão 12 : C.
Questão 13 : C.
Questão 14 : C.
Questão 15 : D.
Questão 16 : C.
Questão 17 : C.
Questão 18 : A.
Questão 19 : D.
Questão 20 : A.
Questão 21 : D.
Questão 22 : B.
Questão 23 : D.
Questão 24 : B.
Questão 25 : A.
Questão 26 : C.
Questão 27 : A.
Questão 28 : C.
Questão 29 : C.
Questão 30 : A.
Questão 31 : C.
Questão 32 : B.
Questão 33 : A.
Questão 34 : C.
Questão 35 : C.
Questão 36 : B.
Questão 37 : C.
Questão 38 : A.
Questão 39 : A.
Questão 40 : C.
Questão 41 : C.
Questão 42 : C.
Questão 43 : C.
Questão 44 : A.
Questão 45 : A.
Questão 46 : A.
Questão 47 : C.
Questão 48 : C.
Questão 49 : A.
Questão 50 : B.
Questão 51 : D.
Questão 52 : D.
Questão 53 : D.
Questão 54 : D.
Questão 55 : A.
Questão 56 : A.
Questão 57 : D.
Questão 58 : ANULADA.
Questão 59 : A.
Questão 60 : ANULADA.
Questão 61 : A.
Questão 62 : D.
Questão 63 : C.
Questão 64 : B.
Questão 65 : B.
Questão 66 : A.
Questão 67 : C.
Questão 68 : C.
Questão 69 : C.
Questão 70 : C.
Questão 71 : B.
Questão 72 : A.
Questão 73 : a) 362.250 habitantes, b) 2.742.000 habitantes.
Questão 74 : 10 anos.
Questão 75 : a) 22, 5 ◦C, b) 15min.
Questão 76 : a) 1.265.000 habitantes, b) x = 1, 127.
Questão 77 : a) 22 ovelhas, b) A partir de nove anos e meio..
Questão 78 : a) 64%, b) t = 3 horas.
Questão 79 : p = 28.
Questão 80 :
y
x
=
1 +
√
5
2
.
Questão 81 : (log2 x)
2− log 3√
2
x = 0⇔ (log2 x)2 = log 3√2 x⇔ (log2 x)2 =
3 · (log2 x) . Se log2 x 6= 0, então log2 x = 3 ⇔ x = 23 ⇔ x = 8. Caso log2 x =
0, então log2 x = 0⇔ x = 20 ⇔ x = 1 ∴ S = {1, 8}..
Questão 82 : y = 100x2.
Questão 83 :
(e − 1)2
4
.
Questão 84 : 106.
Questão 85 : 100.
Questão 86 :
`n 14 − `n 3
`n 1, 016
.
Questão 87 :
x · log2 3
y
.
Questão 88 : a + b.
Questão 89 : a) 512, b) a partir do dia 13 de abril.
Questão 90 : 11.
Questão 91 : a) α = 2, 5, b) aproximadamente −2, 5.
Questão 92 : a) Se considerarmos a sequência (a1, a2, a3, . . .) com
ak =
1
2k
, obtemos: d(F) = lim
k→∞
logn
(
1
2k
)
− log
(
1
2k
) = lim
k→∞
logn
(
1
2k
)
k log 2
. Como
a função logarítmica de base 10 é crescente e n
(
1
2k
)
≤ 22kn(1), tem-
se que:
logn
(
1
2k
)
k log 2
≤
log 22kn(1)
k log 2
= 2 +
logn(1)
log 2
·
1
k
. Logo, d(F) =
lim
k→∞
logn
(
1
2k
)
k log 2
≤ lim
k→∞
(
2 +
logn(1)
log 2
·
1
k
)
= 2, b) seja a um número posi-
tivo qualquer. Como F está contida na união de n(a) quadrados de lado a,
podemos, decompondo cada um desses quadrados em k2 quadrados de lado
a
k
,
garantir que F está contida na união de k2n(a) quadrados de lado
a
k
. Logo,
n
(a
k
)
≤ k2n(a). Podemos ter a desigualdade estrita, como bem ilustra o
exemplo 2.