Resumo - Variável Aleatória

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Variável Aleatória 
 
Sumário 
Variável Aleatória Unidimensional Discreta:............................................................................... 3 
Função Discreta de Probabilidade: ........................................................................................... 4 
Esperança Matemática – Média (Caso Discreto): ..................................................................... 4 
Variância (Caso Discreto): ......................................................................................................... 4 
Desvio Padrão: .......................................................................................................................... 5 
Coeficiente de Variação: ........................................................................................................... 5 
Propriedades da Derivada: ........................................................................................................ 5 
Propriedades da Integral: .......................................................................................................... 6 
Variável Aleatória Unidimensional Contínua: ............................................................................. 6 
Função Densidade de Probabilidade (Unidimensional): ........................................................... 6 
Função de Distribuição de Probabilidade (Unidimensional): .................................................... 6 
Cálculo de Probabilidade:.......................................................................................................... 7 
Probabilidade Condicional: ................................................................................................... 7 
Mediana: ................................................................................................................................... 8 
Moda: ........................................................................................................................................ 8 
Esperança Matemática – Média (Caso Contínuo): .................................................................... 8 
Demonstração de Propriedades da Esperança: .................................................................... 9 
Variância (Caso Contínuo): ........................................................................................................ 9 
Demonstração de Propriedades da Variância: ...................................................................... 9 
Outras Propriedades: .............................................................................................................. 10 
Distribuição Uniforme de Probabilidade: ................................................................................ 11 
Distribuição Exponencial de Probabilidade:............................................................................ 11 
Função de Distribuição Exponencial: .................................................................................. 12 
Propriedade da Perda de Memória: ........................................................................................ 12 
Variável Aleatória Bidimensional Discreta: ............................................................................... 13 
Tabelas / Função: .................................................................................................................... 13 
Esperança Matemática – Média (Caso Discreto): ................................................................... 14 
Variância (Caso Discreto): ....................................................................................................... 15 
Independência (Caso Discreto): .............................................................................................. 16 
Covariância: ............................................................................................................................. 16 
Coeficiente de Pearson (Correlação): ..................................................................................... 16 
Variável Aleatória Bidimensional Contínua: .............................................................................. 17 
Função Densidade de Probabilidade (Bidimensional): ......................................................... 17 
Independência (Caso Contínuo): ............................................................................................. 18 
2 
 
Função Marginal: ..................................................................................................................... 18 
Funções Condicionais: ............................................................................................................. 19 
Função de Distribuição de Probabilidade (Bidimensional): .................................................. 20 
Distribuição Conjunta: ............................................................................................................. 20 
Distribuição Marginal: ............................................................................................................. 20 
Distribuição Condicional: ........................................................................................................ 21 
Esperança/Variância/ Desvio Padrão Marginal: ...................................................................... 22 
Esperança/Variância/ Desvio Padrão Condicional: ................................................................. 23 
Esperança/Variância/ Desvio Padrão Conjunta: ..................................................................... 24 
Demonstração das propriedades: .............................................................................................. 25 
Propriedades de variáveis dependentes: ................................................................................ 25 
Propriedades de variáveis Independentes: ............................................................................. 26 
 
 
3 
 
Variável Aleatória Unidimensional Discreta: 
Uma quantidade 𝑋, associada a cada possível resultado do espaço amostral, é 
denominada de variável aleatória discreta se assume valores num conjunto enumerável, com 
certa probabilidade. 
Propriedades: 
i. 0 ≤ 𝑃(𝑋𝑖) ≤ 1 
ii. ∑𝑃(𝑋𝑖) = 1 
Exemplo: Lançamento de duas moedas em sequência de forma independente. Qual a 
probabilidade de sair pelo menos uma vez “cara”? 
𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠⏟ 
𝑋
 ≥ 1 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = ? 
Passo 1: 
Quais os valores que 𝑋 pode assumir? 
Resultados possíveis nos dois lançamentos: 
𝐶𝑎𝑟𝑎; 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎 → 1 
 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎; 𝐶𝑎𝑟𝑎 → 1 𝑋: {0, 1, 2} 
𝐶𝑎𝑟𝑎; 𝐶𝑎𝑟𝑎 → 2 
𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎; 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎 → 0 
Passo 2: 
Qual a probabilidade de 𝑋 assumir cada um desses valores? 
𝑃(𝑋 = 0) = 
1
4
 ; 𝑃(𝑋 = 1) = 
2
4
 ; 𝑃(𝑋 = 2) = 
1
4
 
𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 1 
Passo 3: 
Calcular a probabilidade para 𝑋 ≥ 1: 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 
2
4
 + 
1
4
 = 
3
4
 
ou pensando em complementar... 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 < 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 
3
4
 
 
Por quê Discreta? 
Porque só assume valores finitos ou infinitos numeráveis: 
𝑋: {0, 1, 2} 
4 
 
Função Discreta de Probabilidade: 
Seja 𝑋 uma variável aleatória discreta unidimensional. A função de probabilidade 𝑓(𝑋) = 
𝑃(𝑋) = 𝑃(𝑥𝑖 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) é a função que atribui probabilidade a cada possível resultado (𝑥𝑖 ) do 
espaço amostral. Esta função deve satisfazer as seguintes condições: 
a. 𝑃(𝑥𝑖) ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 (𝑥𝑖); 
b. ∑𝑃(𝑥𝑖) = 1. 
𝑋 P(𝑥𝑖) 
0 0,25 
1 0,5 
2 0,25 
Soma: 1 
 
Esperança Matemática – Média (Caso Discreto): 
O valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma 
variável aleatória é a soma do produto de cada probabilidade de saída da experiência pelo seu 
respectivo valor. 
𝐸(𝑋) =∑𝑥𝑖 ∙ 𝑃(𝑥𝑖) 
𝐸(𝑔(𝑋)) = ∑𝑔(𝑋) ∙ 𝑃(𝑥𝑖) 
Ex: 𝐸(𝑋) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,5 + 2 ∙ 0,25 = 1 
 
Propriedades da Esperança: 
i. 𝐸(𝑎) = 𝑎 ; 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
ii. 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) 
iii. 𝐸(𝑋 + 𝑏) = 𝐸(𝑋) + 𝑏 
iv. 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) + 𝑏 
 
Variância (Caso Discreto): 
A Variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse 
conjunto está do valor central (médio). 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 =∑[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 ∙ 𝑃(𝑥𝑖) 
𝑉𝑎𝑟(𝑔(𝑋)) = 𝐸[𝑔(𝑋) − 𝐸[𝑔(𝑋)]]
2
=∑[𝑔(𝑋) − 𝐸[𝑔(𝑋)]]
2
∙ 𝑃(𝑋𝑖) 
Exemplo: 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = (0 − 1)2 ∙ 0,25 + (1 − 1)2 ∙ 0,5 + (2 − 1)2 ∙ 0,25 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 0,25 + 0 + 0,25 = 0,5 
5 
 
Propriedades da Variância: 
i. 𝑉𝑎𝑟(𝑋) ≥ 0 
ii. 𝑉𝑎𝑟(𝑎) = 0 ; 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
iii. 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋) = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
iv. 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑏) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
v. 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
vi. 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 
 
Desvio Padrão: 
O Desvio Padrão é uma medida de dispersão, ou seja, é uma medida que indica o quanto 
o conjunto de dados é uniforme. 
𝐷𝑃 = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
Propriedades do Desvio Padrão: 
i. 𝐷𝑃(𝑋) ≥ 0 
ii. 𝐷𝑃(𝑎𝑋) = |𝑎| ∙ 𝐷𝑃(𝑋) 
iii. 𝐷𝑃(𝑋 + 𝑏) = 𝐷𝑃(𝑋) 
iv. 𝐷𝑃(𝑎𝑋 + 𝑏) = |𝑎| ∙ 𝐷𝑃(𝑋) 
 
Coeficiente de Variação: 
O coeficiente de variação é usado para expressar a variabilidade dos dados estatísticos 
excluindo a influência da ordem de grandeza da variável. 
𝐶𝑉 =
𝐷𝑃(𝑋)
𝐸(𝑋)
 
 
Propriedades da Derivada: 
i. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑘 = 0 
ii. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑘 ∙ 𝑓(𝑋)] = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑋) 
iii. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑋) ± 𝑔(𝑋)] = 𝑓′(𝑋) ± 𝑔′(𝑋) 
iv. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑋) ∙ 𝑔(𝑋)] = 𝑓′(𝑋) ∙ 𝑔(𝑋) +
𝑔′(𝑋) ∙ 𝑓(𝑋) 
v. 
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑓(𝑋)
𝑔(𝑋)
] =
𝑓′(𝑋)∙𝑔(𝑋)−𝑔′(𝑋)∙𝑓(𝑋)
𝑔(𝑋)2
 
vi. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑎𝑥] = 𝑎𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑎 
vii. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒𝑥] = 𝑒𝑥 
viii. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥𝑎] = 𝑎 ∙ 𝑥𝑎−1 
ix. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑙𝑛 𝑥] =
1
𝑥
 
x. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥] =
1
𝑥∙𝑙𝑛 𝑎
 
xi. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
xii. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐𝑜𝑠(𝑥)] = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
xiii. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑠𝑒𝑐(𝑥)] = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 
xiv. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐𝑠𝑐(𝑥)] = −𝑐𝑠𝑐 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
xv. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑡𝑎𝑛(𝑥)] = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 
xvi. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)] = −𝑐𝑠𝑐2(𝑥) 
xvii. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥)] =
1
1+𝑥2
 
xviii. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] =
1
√1+𝑥2
 
xix. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑔(𝑋))] = 𝑓′(𝑔(𝑋)) ∙ 𝑔′(𝑋)
6 
 
 
Propriedades da Integral: 
 
i. ∫𝑓(𝑋) ± 𝑔(𝑋) ∙ 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥 ±
∫𝑔(𝑋) ∙ 𝑑𝑥 
ii. ∫𝑘 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥 
iii. ∫
1
𝑥
∙ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐 
iv. ∫𝑥𝑎 ∙ 𝑑𝑥 =
𝑥𝑎+1
𝑎+1
+ 𝑐 
v. ∫𝑎𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
𝑙𝑛 𝑎
+ 𝑐 
vi. ∫𝑘 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑥 + 𝑐 
vii. ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑐 
viii. ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 
ix. ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝑐 
x. ∫ 𝑐𝑠𝑐2(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐 
xi. ∫ 𝑠𝑒𝑐(𝑥) ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑐 
xii. ∫ 𝑐𝑠𝑐(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐(𝑥) +
𝑐 
xiii. ∫
1
1+𝑥2
∙ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐 
xiv. ∫
1
√1+𝑥2
∙ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 
xv. ∫ 𝑒𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 
xvi. ∫ 𝑒𝐴𝑥+𝐵 ∙ 𝑑𝑥 =
𝑒𝐴𝑥+𝐵
𝐴
+ 𝑐
 
 
Variável Aleatória Unidimensional Contínua: 
É uma variável para a qual o conjunto A é um conjunto infinito não enumerável. É uma 
variável que assume valores dentro de intervalos de números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
Função Densidade de Probabilidade (Unidimensional): 
Seja 𝑋 uma variável aleatória contínua unidimensional tomando todos os valores em ℝ. 
A função de densidade de probabilidade 𝑓(𝑋) é uma função que satisfaz as seguintes condições: 
a. 𝑓(𝑋) ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 (𝑋) ∈ ℝ; 
b. ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥 = 1.
 
ℝ
 
 
Função de Distribuição de Probabilidade (Unidimensional): 
A função densidade de probabilidade (FDP), ou densidade de uma variável aleatória 
contínua, é uma função acumulada que descreve a verossimilhança de uma variável aleatória 
tomar um valor dado. Ela é definida para uma variável aleatória 𝑋, para qualquer número real, 
como F(𝑋) = P(𝑋  x). 
𝐹(𝑋) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
𝑥
𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓.
 
7 
 
Exemplo: Calcule o k da função para que ela seja densidade de probabilidade. 
𝑓(𝑋) = {
𝑘 (
𝑥
20
+ 1) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 20
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝑓(𝑋) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
20
0
= 1 ⇒ 𝑓(𝑋) = ∫ 𝑘 (
𝑥
20
+ 1) ∙ 𝑑𝑥
20
0
⇒ 𝑘 ∙ ∫ (
𝑥
20
+ 1) ∙ 𝑑𝑥
20
0
⇒ 
⇒ 𝑘 ∙ [(
𝑥2
20
+ 𝑥)]|
0
20
= 𝑘 ∙ [(
202
20
+ 20) − (
02
20
+ 0)] ⇒ 𝑘 ∙ 40 = 1 ⇒ 𝑘 =
1
40
 
 
Cálculo de Probabilidade: 
 
𝑃[𝑋 < 𝐵] = 𝐹(𝐵) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
𝐵
lim inf.
 
 
 
𝑃[𝑋 > 𝐴] = 1 − 𝐹(𝐴) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
lim sup.
𝐴
 
 
 
𝑃[𝐴 < 𝑋 < 𝐵] = 𝐹(𝐵) − 𝐹(𝐴) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
𝐵
𝐴
 
 
 
Probabilidade Condicional: 
Probabilidade condicional ou probabilidade condicionada é um conceito da matemática 
que envolve dois eventos (A e B) num espaço amostral finito e não vazio. Assim, podemos 
calcular a probabilidade de um evento A acontecer, dado que um outro evento B já ocorreu da 
seguinte forma: 
𝑃[𝐴 | 𝐵] =
𝑃[𝐴 ∩ 𝐵]
𝑃[𝐵]
 
𝑃[𝐵 | 𝐴] =
𝑃[𝐴 ∩ 𝐵]
𝑃[𝐴]
 
𝑃[𝑋 > 𝐵 | 𝑋 > 𝐴] =
𝑃[𝑋 > 𝐵 𝑒 𝑋 > 𝐴]
𝑃[𝑋 > 𝐴]
=
𝑃[𝐴 ∩ 𝐵]
𝑃[𝑋 > 𝐴]
 
 
8 
 
Mediana: 
A mediana (Md) é uma medida de tendência central da estatística que corresponde ao 
valor central de um conjunto de valores ordenados. 
𝑃[𝑋 < 𝑀𝑑] = 50% = 𝐹(𝑀𝑑) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
𝑀𝑑
lim inf.
 
𝑃[𝑋 > 𝑀𝑑] = 50% = 1 − 𝐹(𝑀𝑑) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
lim sup.
𝑀𝑑
 
 
Exemplo: 
𝑓(𝑋) = {
1
40
(
𝑥
20
+ 1) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 20
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 𝐹(𝑋) =
{
 
 
0 , 𝑥 < 0
1
40
(
𝑥2
20
+ 𝑥) , 0 < 𝑥 < 20
 1 , 𝑥 > 20
 
𝑃[𝑋 < 𝑀𝑑] = 50% 
𝐹(𝑀𝑑) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
𝑀𝑑
0
=
1
40
(
𝑀𝑑
2
20
+𝑀𝑑) = 0,5 
𝑀𝑑
2
800
+
𝑀𝑑
40
=
1
2
⇒ 𝑀𝑑
2 + 20𝑀𝑑 = 400 ⇒ 𝑀𝑑
2 + 20𝑀𝑑 − 400 = 0 
∆= 202 − 4 ∙ 1 ∙ (−400) = 2000 𝑀𝑑 =
−20 ± √2000
2 ∙ 1
⟺ {
𝑀𝑑
′ = −32,36
𝑀𝑑
′′ = 12,36 
 
 
 
Moda: 
A Moda (Mo) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados. No caso 
contínuo, a Moda será o valor que corresponde ao ponto máximo da função. 
𝑃[𝑋 = 𝐴] = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
𝐴
𝐴
= 0 
 
 
Esperança Matemática – Média (Caso Contínuo): 
 O valor esperado no caso contínuo é o valor da multiplicação de 𝑋 pela função de 
densidade de probabilidade. 
𝐸(𝑋) = ∫𝑥 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
 
𝐸(𝑔(𝑋)) = ∫𝑔(𝑋) ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
 
 
9 
 
Demonstração de Propriedades da Esperança: 
i. 𝐸(𝑎) = 𝑎; 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: 
𝐸(𝑎) = ∫𝑎 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 𝑎 ∙ ∫𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 𝑎 ∙ 1 = 𝑎 
ii. 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) 
𝐸(𝑎𝑋) = ∫𝑎 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 𝑎 ∙ ∫𝑥 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) 
iii. 𝐸(𝑋 + 𝑏) = 𝐸(𝑋) + 𝑏 
𝐸(𝑋 + 𝑏) = ∫ (𝑥 + 𝑏) ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ ∫𝑥 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 
⇒ ∫𝑥 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
+∫𝑏 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 𝐸(𝑋) + 𝑏 ∙ 1 
iv. 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) + 𝑏 
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = ∫ (𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏) ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ ∫𝑎 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 
⇒ 𝑎 ∙ ∫𝑥 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
+∫𝑏 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) + 𝑏 ∙ 1 
 
Variância (Caso Contínuo): 
A Variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse 
conjunto está do valor central (médio). 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 = ∫ [𝑋 − 𝐸(𝑋)]2 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
 
𝑉𝑎𝑟(𝑔(𝑋)) = 𝐸[𝑔(𝑋) − 𝐸[𝑔(𝑋)]]
2
= ∫ [𝑔(𝑋) − 𝐸[𝑔(𝑋)]]
2
∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
 
Demonstração de Propriedades da Variância: 
i. 𝑉𝑎𝑟(𝑋) ≥ 0 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋)]2 = ∫
[𝑥 − 𝐸(𝑋)]2⏟ 
≥ 0
∙
 
ℝ
𝑓(𝑋)𝑑𝑥⏟ 
≥ 0
≥ 0 
ii. 𝑉𝑎𝑟(𝑎) = 0; 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
𝑉𝑎𝑟(𝑎) = 𝐸[𝑎 − 𝐸(𝑎)]2 = 𝐸[𝑎 − 𝑎]2 = 𝐸[0]2 = 0 
iii. 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋) = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋) = 𝐸[(𝑎 ∙ 𝑥) − 𝐸(𝑎𝑋)]2 = 𝐸[𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋)]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑎 ∙ (𝑥 − 𝐸(𝑋))]2 = 𝐸[𝑎2 ∙ (𝑥 − 𝐸(𝑋))2] = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
iv. 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑏)= 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑏) = 𝐸[(𝑥 + 𝑏) − 𝐸(𝑋 + 𝑏)]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑥 + 𝑏 − [𝐸(𝑋) + 𝑏]]2 = 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋)]2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
10 
 
v. 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝐸[(𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏) − 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏)]2 = 𝐸[(𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏) − (𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) + 𝑏)]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑎 ∙ (𝑥 − 𝐸(𝑋))]2 = 𝐸[𝑎2 ∙ (𝑥 − 𝐸(𝑋))2] = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
vi. 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋)]2 = 𝐸[𝑥2 − (2 ∙ 𝑥 ∙ 𝐸(𝑋)) + 𝐸(𝑋)2] ⇒ 
⇒ ∫[𝑥2 − (2 ∙ 𝑥 ∙ 𝐸(𝑋)) + 𝐸(𝑋)2] ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 
⇒ ∫𝑥2 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥 − (2 ∙ 𝑥 ∙ 𝐸(𝑋)) ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥 + 𝐸(𝑋)2 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
⇒ 
⇒ ∫𝑥2 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
−∫(2 ∙ 𝑥 ∙ 𝐸(𝑋)) ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
+∫𝐸(𝑋)2 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥 ⇒
 
ℝ
 
⇒ ∫𝑥2 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
− 2 ∙ 𝐸(𝑋) ∙ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
 
ℝ
+ 𝐸(𝑋)2 ∙ ∫𝑓(𝑋)𝑑𝑥 ⇒
 
ℝ
 
⇒ 𝐸(𝑥2) − 2 ∙ 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋)2 ∙ 1 = 𝐸(𝑥2) − 2 ∙ 𝐸(𝑋)2 + 𝐸(𝑋)2 = 𝐸(𝑥2) − 𝐸(𝑋)2 
 
Outras Propriedades: 
𝜇 = 𝐸(𝑋) 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
i. 𝐸 (
𝑥−𝜇
𝜎
) = 0 
𝐸 (
𝑥 − 𝜇
𝜎
) = 𝐸 (
𝑥
𝜎
−
𝜇
𝜎
) = 𝐸 (
1
𝜎
∙ 𝑥 −
𝜇
𝜎
) =
1
𝜎
∙ 𝐸(𝑋) −
𝜇
𝜎
⇒ 
⇒
𝐸(𝑋)
𝜎
−
𝜇
𝜎
=
𝐸(𝑋)
𝜎
−
𝐸(𝑋)
𝜎
= 0 
ii. 𝑉𝑎𝑟 (
𝑥−𝜇
𝜎
) = 1 
𝑉𝑎𝑟 (
𝑥 − 𝜇
𝜎
) = 𝑉𝑎𝑟 (
𝑥
𝜎
−
𝜇
𝜎
) = 𝑉𝑎𝑟 (
1
𝜎
∙ 𝑥 −
𝜇
𝜎
) = (
1
𝜎
)
2
∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) ⇒ 
⇒
1
𝜎2
∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1
(√𝑉𝑎𝑟(𝑋))
2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 1 
iii. 𝐸(𝑥 − 𝜇) = 0 
𝐸(𝑥 − 𝜇) = 𝐸(𝑋) − 𝜇 = 𝜇 − 𝜇 = 0 
11 
 
Distribuição Uniforme de Probabilidade: 
 A distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades continua em que a 
probabilidade de gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é 
proporcional ao tamanho do intervalo. A função uniforme sempre será uma função de 
densidade de probabilidade. 
(𝑁𝑜𝑡𝑎çã𝑜: 𝑋~𝑈(𝑎, 𝑏)) 
𝑓(𝑋) = {
1
𝑏 − 𝑎
, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
≁ 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒(𝑎, 𝑏) 
 
Exemplo: Uniforme (2, 7). 
𝑓(𝑋) = {
1
7 − 2
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 7
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
Distribuição Exponencial de Probabilidade: 
 A distribuição exponencial é um tipo de distribuição contínua de probabilidade, 
representada por um parâmetro λ. 
(𝑁𝑜𝑡𝑎çã𝑜: 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝛽)) 
𝑓(𝑋) = {
1
𝛽
𝑒
−𝑥
𝛽 , 𝑥 > 0
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
≁ 𝑒𝑥𝑝(𝛽) 
 
∫
1
𝛽
𝑒
−𝑥
𝛽
∞
0
∙ 𝑑𝑥 =
1
𝛽
∫ 𝑒
−1
𝛽
∙𝑥+0
∞
0
∙ 𝑑𝑥 =
1
𝛽
∙
𝑒
−1
𝛽
∙𝑥
−1
𝛽
|
0
∞
= −(𝑒
−1
𝛽
∙𝑥
)|
0
∞
⇒ 
⇒ −(𝑒
−∞
𝛽 − 𝑒
−0
𝛽 ) = −(𝑒−∞ − 𝑒−0) = −(
1
𝑒∞
− 1) = −(
1
∞
− 1) = −(0 − 1) = 1 
 
Exemplo: 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(5). 
𝑓(𝑋) = {
1
5
𝑒
−𝑥
5 , 𝑥 > 0
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
 
12 
 
Função de Distribuição Exponencial: 
𝐹(𝑋) = ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
𝑥
𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓.
= ∫
1
𝛽
𝑒
−𝑥
𝛽
𝑥
0
∙ 𝑑𝑥 =
1
𝛽
∫ 𝑒
−𝑥
𝛽 ∙ 𝑑𝑥
𝑥
0
=
1
𝛽
∙ (
𝑒
−1
𝛽
∙𝑥
−1
𝛽
)|
0
𝑥
⇒ 
⇒ −(𝑒
−1
𝛽
∙𝑥
)|
0
𝑥
= −(𝑒
−𝑥
𝛽 − 𝑒
−0
𝛽 ) = −𝑒
−𝑥
𝛽 + 1 = 1 − 𝑒
−𝑥
𝛽 
𝑃[𝑋 < 𝑎] = 1 − 𝑒
−𝑎
𝛽 𝑃[𝑋 > 𝑎] = 𝑒
−𝑎
𝛽 
 
Propriedade da Perda de Memória: 
Um processo estocástico tem a propriedade de Markov (perda de memória) se 
a distribuição de probabilidade condicional de estados futuros do processo depende apenas do 
estado presente, não da sequência de eventos que o precedeu. 
𝑃[𝑋 > 𝑠 + 𝑡 | 𝑋 > 𝑠] = 𝑃[𝑋 > 𝑡] 
𝑃[𝑋 > 𝑠 + 𝑡 | 𝑋 > 𝑠] =
𝑃[𝑋 > 𝑠 + 𝑡 ∩ 𝑋 > 𝑠]
𝑃[ 𝑋 > 𝑠]
=
𝑃[𝑋 > 𝑠 + 𝑡]
𝑃[ 𝑋 > 𝑠]
=
𝑒
−(𝑠+𝑡)
𝛽
𝑒
−𝑠
𝛽
=
𝑒
−𝑠−𝑡
𝛽
𝑒
−𝑠
𝛽
⇒ 
⇒
𝑒
−𝑠
𝛽 ∙ 𝑒
−𝑡
𝛽
𝑒
−𝑠
𝛽
= 𝑒
−𝑡
𝛽 = 𝑃[ 𝑋 > 𝑡] 
 
Exemplo: 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(4). 
𝑓(𝑋) = {
1
4
𝑒
−𝑥
4 , 𝑥 > 0
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝐹(𝑋) = 𝑃[𝑋 < 𝑎] = 1 − 𝑒
−𝑎
4
𝑃[𝑋 > 𝑎] = 𝑒
−𝑎
4
 
 
𝑃[𝑋 > 8 | 𝑋 > 5] = 𝑃[𝑋 > 3] = 0,4723 
𝑃[𝑋 > 8 | 𝑋 > 5] =
∫
𝑒
−𝑥
4
4
∞
8
∙ 𝑑𝑥
∫
𝑒
−𝑥
4
4
∞
5
∙ 𝑑𝑥
=
−𝑒
−𝑥
4 |
8
∞
−𝑒
−𝑥
4 |
5
∞ =
0 − 𝑒
−8
4
0 − 𝑒
−5
𝛽
= 𝑒
−3
4 = 𝑃[𝑋 > 3] 
 
 
𝑃[𝑋 < 5 | 𝑋 > 3] = 𝑃[𝑋 < 2] = 0,3935 
𝑃[𝑋 < 5 | 𝑋 > 3] =
∫
𝑒
−𝑥
4
4
5
3
∙ 𝑑𝑥
∫
𝑒
−𝑥
4
4
∞
3
∙ 𝑑𝑥
=
−𝑒
−𝑥
4 |
3
5
−𝑒
−𝑥
4 |
3
∞ =
𝑒
−5
4 − 𝑒
−3
4
0 − 𝑒
−3
𝛽
= −𝑒
−2
4 + 1 = 1 − 𝑒
−2
4 = 𝑃[𝑋 < 2] 
13 
 
Variável Aleatória Bidimensional Discreta: 
Sejam (ℇ) um experimento e (𝑆) um espaço amostral associado a ℇ. Sejam 𝑋 = 𝑋(𝑠) 
e 𝑌 = 𝑌(𝑠) duas funções, cada uma associando um número real a cada resultado 𝑠 ∈ 𝑆. Denota-
se (𝑋, 𝑌) uma variável aleatória bidimensional (vetor aleatório). 
 
Propriedades: 
i. 0 ≤ 𝑃[𝑋, 𝑌] ≤ 1 
ii. ∑ ∑ 𝑃[𝑋𝑖𝑗𝑌𝑗𝑖 ] = 1𝑗 
 
Tabelas / Função: 
Exemplo: 
X: Número de pessoas que trabalham. S ou N Variável Qualitativa 
Y: Quantidade de vestibulares prestados. 1, 2, 3... Variável Quantitativa 
Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
X S S N N S N S N N N S N S S N N S S S N 
Y 1 1 2 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 3 
 
Conjunta 
(X, Y) Freq. P(X, Y) 
(S, 1) 5 0,25 
(S, 2) 3 0,15 
(S, 3) 2 0,10 
(N, 1) 4 0,20 
(N, 2) 5 0,25 
(N, 3) 1 0,05 
∑ 20 1 
 
Dupla Entrada 
 Y 
 X 
1 2 3 P(X) 
S 0,25 0,15 0,10 0,5 
N 0,20 0,25 0,05 0,5 
P(Y) 0,45 0,40 0,15 1 
Marginal (X) Marginal (Y) Condicional (Y|X = S) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y P(Y|X = S) 
1 
P(1∩S/X=S) = 
0,25/0,5 = 0,5 
2 P(2∩S/X=S) = 0,3 
3 P(3∩S/X=S) = 0,2 
Y P(Y) 
1 0,45 
2 0,40 
3 0,15 
∑ 1 
X P(X) 
S 0,5 
N 0,5 
∑ 1 
14 
 
Esperança Matemática – Média (Caso Discreto): 
 
𝐸(𝑋) = ∑𝑥𝑖 ∙ 𝑃(𝑥𝑖) (Tabela Marginal de 𝑋) 
𝐸(𝑌) = ∑𝑦𝑖 ∙ 𝑃(𝑦𝑖) (Tabela Marginal de Y) 
𝐸(𝑔(𝑋, 𝑌)) = ∑∑𝑔(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑃(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) (Tabela Conjunta ou Dupla Entrada) 
Propriedade: 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) 
𝐸[𝑋 | 𝑌 = 𝑘] = ∑𝑥 ∙ 𝑃(𝑥𝑖) (Tabela Condicional) 
𝐸[𝑌 | 𝑋 = 𝑘] = ∑𝑦 ∙ 𝑃(𝑦𝑖) (Tabela Condicional) 
 
Exemplo: 
X: Tempo de casado em anos. 1, 2, 3... Variável Quantitativa 
Y: Quantidade de filhos. 1, 2, 3... Variável Quantitativa 
X 5 4 5 5 4 3 4 5 4 4 
Y 1 2 1 3 1 1 2 2 1 3 
 
𝐸(𝑋) = 4,3 
𝐸(𝑌) = 1,7 
𝐸(𝑋 + 𝑌) = (4 ∙ 0,1) + (5 ∙ 0) + (6 ∙ 0) + (5 ∙ 0,2) + (6 ∙ 0,2) + (7 ∙ 0,1) + (6 ∙ 0,2) 
+(7 ∙ 0,1) + (8 ∙ 0,1) = 𝟔 = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) 
 Y 
 X 
1 2 3 
3 0,1 0 0 
4 0,2 0,2 0,1 
5 0,2 0,1 0,1 
 
 Y 
 X 
1 2 3 
3 3 + 1 = 4 3 + 2 = 5 3 + 3 = 6 
4 4 + 1 = 5 4 + 2 = 6 4 + 3 = 7 
5 5 + 1 = 6 5 + 2 = 7 5 + 3 = 8 
𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) = (3 ∙ 0,1) + (6 ∙ 0) + (9 ∙ 0) + (4 ∙ 0,2) + (8 ∙ 0,2) + (12 ∙ 0,1) + (5 ∙ 0,2) 
+(10 ∙ 0,1) + (15 ∙ 0,1) = 𝟕, 𝟒 ≠ 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
 Y 
 X 
1 2 3 
3 0,1 0 0 
4 0,2 0,2 0,1 
5 0,2 0,1 0,1 
 
 Y 
 X 
1 2 3 
3 3 ∙ 1 = 3 3 ∙ 2 = 6 3 ∙ 3 = 9 
4 4 ∙ 1 = 4 4 ∙ 2 = 8 4 ∙ 3 = 12 
5 5 ∙ 1 = 5 5 ∙ 2 = 10 5 ∙ 3 = 15 
 
 
𝐸(𝑋 | 𝑌 = 2) = (3 ∙ 0) + (4 ∙ 2/3) + (5 ∙ 1/3) = 𝟒, 𝟑𝟑 
X P(X|Y = 1) P(X|Y = 2) P(X|Y = 3) X2 2x + 5 
3 0,1/0,5 = 0,2 0/0,3 = 0 0/0,2 = 0 9 11 
4 0,2/0,5 = 0,4 0,2/0,3 = 2/3 0,1/0,2 = 0,5 16 13 
5 0,2/0,5 = 0,4 0,1/0,3 = 1/3 0,1/0,2 = 0,5 25 15 
 
𝐸(𝑋2 | 𝑌 = 2) = (9 ∙ 0) + (16 ∙ 2/3) + (25 ∙ 1/3) = 𝟏𝟗 
𝐸(2𝑥 + 5 | 𝑌 = 3) = (11 ∙ 0) + (13 ∙ 0,5) + (15 ∙ 0,5) = 𝟏𝟒 
 
Variância (Caso Discreto): 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑔(𝑋, 𝑌)) = 𝐸[𝑔(𝑋, 𝑌) − 𝐸(𝑔(𝑋, 𝑌))]2 
Propriedade: 𝑉𝑎𝑟(𝑔(𝑋, 𝑌)) = 𝐸(𝑔(𝑋, 𝑌)2) − 𝐸(𝑔(𝑋, 𝑌))2 
Propriedade: 𝑉𝑎𝑟(𝑔(𝑋) | 𝑌 = 𝑘) = 𝐸 (
𝑔(𝑋)2
𝑌=𝑘
) − 𝐸 (
𝑔(𝑋)
𝑌=𝑘
)
2
 
 
Exemplo: 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 | 𝑌 = 2) = 𝐸 (
𝑋2
𝑌 = 2
) − 𝐸 (
𝑋
𝑌 = 2
)
2
= 19 − 4,332 = 0,2511 
𝐸(𝑋 + 𝑌)2 = (16 ∙ 0,1) + (25 ∙ 0) + (36 ∙ 0) + (25 ∙ 0,2) + (36 ∙ 0,2) + (49 ∙ 0,1) + 
(36 ∙ 0,2) + (49 ∙ 0,1) + (64 ∙ 0,1) = 𝟑𝟕, 𝟓 
 
 Y 
 X 
1 2 3 
3 0,1 0 0 
4 0,2 0,2 0,1 
5 0,2 0,1 0,1 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 37,5 − 62 = 𝟏, 𝟓 
 
 
 Y 
 X 
1 2 3 
3 3+1= 4²= 16 3+2= 5²= 25 3+3= 6²= 36 
4 4+1= 5²= 25 4+2= 6²= 36 4+3= 7²= 49 
5 5+1= 6²= 36 5+2= 7²= 49 5+3= 8²= 64 
16 
 
Independência (Caso Discreto): 
Em estatística, independência entrevariáveis aleatórias se dá quando a probabilidade 
de todo espaço amostral de duas variáveis conjuntas, são iguais ao produto de suas 
probabilidades marginais. 
𝑃(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) = 𝑃(𝑥𝑖) ∙ 𝑃(𝑦𝑖) ∀ (𝑥, 𝑦) 
se qualquer 𝑃(𝑋, 𝑌) ≠ 𝑃(𝑋) ∙ 𝑃(𝑌) as variáveis são dependentes. 
 
Covariância: 
A covariância, ou variância conjunta, é uma medida do grau de interdependência (ou 
inter-relação) numérica entre duas variáveis aleatórias. 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑥 − 𝐸(𝑋)) − (𝑦 − 𝐸(𝑌))] 
 
Propriedade: 
i. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸( 𝑌) 
 
Coeficiente de Pearson (Correlação): 
Em estatística descritiva, o coeficiente de correlação de Pearson, também chamado de 
"coeficiente de correlação produto-momento" ou simplesmente de " ρ de Pearson" mede o grau 
da correlação (e a direção dessa correlação – positiva ou negativa) entre duas variáveis 
de escala métrica (intervalar ou de rácio/razão). 
 
𝜌𝑥,𝑦 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝐷𝑃(𝑋) ∙ 𝐷𝑃(𝑌)
 
−1 ≤ 𝜌𝑥,𝑦 ≤ 1 
 
quanto mais próximo de 0, menor a correlação, quanto mais próximo de -1 e 1, maior a 
correlação negativamente e positivamente. 
 
 
 
 
 
17 
 
Variável Aleatória Bidimensional Contínua: 
Caso a variável aleatória 𝑋 e a variável aleatória Y assumirem, cada uma, um número 
infinito não enumerável de valores, então a variável aleatória bidimensional (𝑋, 𝑌) é dita 
uma variável aleatória bidimensional contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
Função Densidade de Probabilidade (Bidimensional): 
Seja 𝑋 e Y variáveis aleatórias contínua tomando todos os valores em ℝ2. A função de 
densidade de probabilidade (FDP) 𝑓(𝑋, Y) é uma função que satisfaz as seguintes condições: 
a. 𝑓(𝑋, 𝑌) ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 (𝑋, 𝑅) ∈ ℝ2; 
b. ∫ ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑦
 
ℝ𝑥
= 1. 
 
Exemplo: Calcule o k da função para que ela seja densidade de probabilidade. 
𝑓(𝑋, 𝑌) = {
𝑘 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦(2𝑥 + 𝑦2),
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ≤ 𝑦 ≤ 2
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝑓(𝑋) = ∫ ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥
2
0.
1
0
= 1 ⇒ 𝑓(𝑋) = ∫ ∫ 𝑘 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦(2𝑥 + 𝑦2) ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥
2
0.
1
0
⇒ 
⇒ 𝑘 ∙ ∫ ∫ 2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥
2
0.
1
0
= 𝑘 ∙ ∫ [
2𝑥2𝑦2
2
+
𝑥𝑦4
4
]|
0
2
∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒ 𝑘 ∙ ∫ [
2𝑥222
2
+
𝑥 ∙ 24
4
] − [
2𝑥202
2
+
𝑥 ∙ 04
4
] ∙ 𝑑𝑥
1
0
= 𝑘 ∙ ∫ [
2𝑥2 ∙ 4
2
+
𝑥 ∙ 4 ∙ 4
4
] ∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒ 𝑘 ∙ ∫ 𝑥2 ∙ 4 + 4𝑥 ∙ 𝑑𝑥
1
0
= 𝑘 ∙ ∫ 4𝑥2 + 4𝑥 ∙ 𝑑𝑥
1
0
= 𝑘 ∙ [
4𝑥3
3
+
4𝑥2
2
]|
0
1
⇒ 
⇒ 𝑘 ∙ {[
4 ∙ 13
3
+
4 ∙ 12
2
] − [
4 ∙ 03
3
+
4 ∙ 02
2
]} = 𝑘 ∙ (
4
3
+
4
2
) ⇒ 𝑘 ∙
10
3
= 1 ⇒ 𝑘 =
3
10
= 0,3 
 
 
 
18 
 
Independência (Caso Contínuo): 
Em estatística, independência entre variáveis aleatórias se dá quando a probabilidade 
de todo espaço amostral de duas variáveis conjuntas, são iguais ao produto de suas 
probabilidades marginais. 
𝑓(𝑋, 𝑌) = 𝑓(𝑋) ∙ 𝑓(𝑌) ∀ (𝑥, 𝑦) 
se qualquer 𝑓(𝑋, 𝑌) ≠ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑓(𝑌) as variáveis são dependentes. 
 
Exemplo: Calcule se a função (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]) é dependente ou independente. 
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3] =
3
10
[4𝑥2 + 4𝑥] ∙
1
20
[4𝑦 + 3𝑦3] ⇒ 
⇒
3
200
[16𝑥2𝑦 + 12𝑥2𝑦3 + 16𝑥𝑦 + 12𝑥𝑦3] ≠
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3] 
R: As variáveis são dependentes, pois, o produto das marginais não é igual a função conjunta. 
 
 
Função Marginal: 
 A função marginal de uma função 𝑓(𝑋) é encontrada através da integral da função 
conjunta em relação a Y e vice-versa. 
 
𝑓(𝑋) = ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
 𝑓(𝑌) = ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
 
 
Exemplo: Calcule a marginal de 𝑋 da função: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
𝑓(𝑋) = ∫
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3] ∙ 𝑑𝑦
2
0
=
3
10
[
2𝑥2𝑦2
2
+
𝑥𝑦4
4
]|
0
2
⇒ 
⇒
3
10
[(
2𝑥222
2
+
𝑥24
4
) − (
2𝑥2 ∙ 02
2
+
𝑥 ∙ 04
4
)] =
3
10
[4𝑥2 + 4𝑥] 
𝑓(𝑋) = {
3
10
[4𝑥2 + 4𝑥], 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
 
 
 
19 
 
Exemplo: Calcule a marginal de Y da função: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]) 
𝑓(𝑌) = ∫
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3] ∙ 𝑑𝑥
1
0
=
3
10
[
2𝑥3𝑦
3
+
𝑥2𝑦3
2
]|
0
2
⇒ 
⇒
3
10
[(
2 ∙ 13 ∙ 𝑦
3
+
12 ∙ 𝑦3
2
) − (
2 ∙ 03 ∙ 𝑦
3
+
02𝑦3
2
)] =
3
10
[
2𝑦
3
+
𝑦3
2
] ⇒ 
⇒
3
10
[
4𝑦 + 3𝑦3
6
] =
1
10
[
4𝑦 + 3𝑦3
2
] =
1
20
[4𝑦 + 3𝑦3] 
𝑓(𝑌) = {
1
20
[4𝑦 + 3𝑦3], 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
Funções Condicionais: 
 
𝑓(𝑋|𝑌) =
𝑓(𝑋, 𝑌)
𝑓(𝑌)
⟹ 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 é 𝑜 𝑋
𝑓(𝑌|𝑋) =
𝑓(𝑋, 𝑌)
𝑓(𝑋)
⟹ 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 é 𝑜 𝑌
 
 
Exemplo: Calcule a probabilidade condicional 𝑃[𝑋|𝑌] da função: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
𝑃[𝑋|𝑌] =
3
10
(2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3)
1
20
(4𝑦 + 3𝑦3)
=
3
10 ÷
1
20 ∙ 𝑦
(2𝑥2 + 𝑥𝑦2)
𝑦(4 + 3𝑦2)
= 6 ∙ (
2𝑥2 + 𝑥𝑦2
4 + 3𝑦2
) 
𝑓(𝑋|𝑌) = {
6 ∙ (
2𝑥2 + 𝑥𝑦2
4 + 3𝑦2
) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Exemplo: Calcule a probabilidade condicional 𝑃[𝑌|𝑋] da função: (𝑓(𝑌, 𝑋) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
𝑃[𝑌|𝑋] =
3
10
(2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3)
3
10
(4𝑥2 + 4𝑥)
=
𝑥(2𝑥𝑦 + 𝑦3)
𝑥(4𝑥 + 4)
=
2𝑥𝑦 + 𝑦3
4𝑥 + 4
 
𝑓(𝑌|𝑋) = {
2𝑥𝑦 + 𝑦3
4𝑥 + 4
, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
 0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
20 
 
Função de Distribuição de Probabilidade (Bidimensional): 
A função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua, é 
uma função acumulada que descreve a verossimilhança de uma variável aleatória tomar um 
valor dado. Ela é definida para variáveis aleatórias 𝑋 e Y, para qualquer número real, como 
𝐹(𝑋, 𝑌) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 ; 𝑌 ≤ 𝑦). 
Distribuição Conjunta: 
 
𝐹(𝑋, 𝑌) = ∫ ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦
𝑥
lim inf.
𝑦
lim inf.
 
 
Exemplo: Calcule função de distribuição conjunta da função (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
∫ ∫
3
10
(2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦
𝑥
0
𝑦
0
=
3
10
∫ (
2𝑥3𝑦
3
+
𝑥2𝑦3
2
)|
0
𝑥
∙ 𝑑𝑦
𝑦
0
⇒ 
⇒
3
10
∫ (
2𝑥3𝑦
3
+
𝑥2𝑦3
2
) ∙ 𝑑𝑦
𝑦
0
=
3
10
(
2𝑥3𝑦2
6
+
𝑥2𝑦4
8
)|
0
𝑦
=
3
10
(
8𝑥3𝑦2 + 3𝑥2𝑦4
24
)|
0
𝑦
⇒ 
⇒
3
10
∙
1
24
[8𝑥3𝑦2 + 3𝑥2𝑦4] =
1
10
∙
1
8
[8𝑥3𝑦2 + 3𝑥2𝑦4] =
1
80
[8𝑥3𝑦2 + 3𝑥2𝑦4] 
𝐹(𝑋, 𝑌) = {
0 , 𝑥 < 0; 𝑦 < 0
1
80
[8𝑥3𝑦2 + 3𝑥2𝑦4] ,
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ≤ 𝑦 ≤ 2
1 , 𝑥 > 1; 𝑦 > 2
 
 
Distribuição Marginal: 
 
𝐹(𝑋) = ∫ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
𝑥
lim.inf.
 𝐹(𝑌) = ∫ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
𝑦
lim.inf.
 
 
Exemplo: Calcule função de distribuição marginal de 𝑋 de: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
∫
3
10
[4𝑥2 + 4𝑥]
𝑥
0
∙ 𝑑𝑥 =
3
10
(
4𝑥3
3
+
4𝑥2
2
)|
0
𝑥
=
3
10
(
8𝑥3 + 12𝑥2
6
)|
0
𝑥
⇒ 
⇒
1
10
(
8𝑥3 + 12𝑥2
2
)|
0
𝑥
=
1
20
[8𝑥3 + 12𝑥2] 
𝐹(𝑋) = {
0 , 𝑥 < 0
1
20
[8𝑥3 + 12𝑥2] , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 , 𝑥 > 1
 
 
21 
 
Exemplo: Calcule função de distribuição marginal de Y de: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
∫
1
20
[4𝑦 + 3𝑦3] ∙ 𝑑𝑦
𝑦
0
=
1
20
(
4𝑦2
2
+
3𝑦4
4
)|
0
𝑦
=
1
20
(
16𝑦2 + 3𝑦4
4
)|
0
𝑦
=
1
80
[16𝑦2 + 3𝑦4] 
𝐹(𝑌) = {
0 , 𝑦 < 0
1
80
[16𝑦2 + 3𝑦4] , 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
1 , 𝑦 > 2
 
 
Distribuição Condicional: 
 
𝐹(𝑋|𝑌) = ∫ 𝑓(𝑋|𝑌) ∙ 𝑑𝑥
𝑥
lim.inf.
 𝐹(𝑌|𝑋) = ∫ 𝑓(𝑌|𝑋) ∙ 𝑑𝑦
𝑦
lim.inf.
 
 
Exemplo: Calcule função de distribuição condicional (𝑋|𝑌) de: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
∫ 6 ∙ (
2𝑥2 + 𝑥𝑦2
4 + 3𝑦2
) ∙ 𝑑𝑥
𝑥
0
=
6
4 + 3𝑦2
∫ 2𝑥2 + 𝑥𝑦2 ∙ 𝑑𝑥
𝑥
0
=
6
4 + 3𝑦2
(
2𝑥3
3
+
𝑥2𝑦2
2
)|
0
𝑥
⇒ 
⇒
6
4 + 3𝑦2
(
4𝑥3 + 3𝑥2𝑦2
6
)|
0
𝑥
=
1
4 + 3𝑦2
[4𝑥3 + 3𝑥2𝑦2] =
4𝑥3 + 3𝑥2𝑦2
4 + 3𝑦2
 
𝐹(𝑋|𝑌) =
{
 
 
0 , 𝑥 < 0
4𝑥3 + 3𝑥2𝑦2
4 + 3𝑦2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 , 𝑥 > 1
 
 
Exemplo: Calcule função de distribuição condicional (𝑌|𝑋) de: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
∫
2𝑥𝑦 + 𝑦3
4𝑥 + 4
𝑦
0
∙ 𝑑𝑦 =
1
4𝑥 + 4
∫ 2𝑥𝑦 + 𝑦3 ∙ 𝑑𝑦
𝑦
0
=
1
4𝑥 + 4
(
2𝑥𝑦2
2
+
𝑦4
4
)|
0
𝑦
⇒ 
⇒
1
4𝑥 + 4
(
4𝑥𝑦2 + 𝑦4
4
)|
0
𝑦
=
4𝑥𝑦2 + 𝑦4
16𝑥 + 16
 
𝐹(𝑌|𝑋) = {
0 , 𝑦 < 0
4𝑥𝑦2 + 𝑦4
16𝑥 + 16
, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
1 , 𝑦 > 222 
 
Esperança/Variância/ Desvio Padrão Marginal: 
 
𝐸(𝑔(𝑋)) = ∫ 𝑔(𝑋) ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
 𝐸(𝑔(𝑌)) = ∫ 𝑔(𝑌) ∙ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
 
 
Exemplos: Calcule o 𝐸(𝑋), 𝑉𝑎𝑟(𝑋) e o Desvio Padrão da função: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 ∙
3
10
[4𝑥2 + 4𝑥] ∙ 𝑑𝑥
1
0
=
3
10
∫ 4𝑥3 + 4𝑥2 ∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒
3
10
(
4𝑥4
4
+
4𝑥3
3
)|
0
1
=
3
10
(1 +
4
3
) =
7
10
= 0,7 
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2 ∙
3
10
[4𝑥2 + 4𝑥] ∙ 𝑑𝑥
1
0
=
3
10
∫ 4𝑥4 + 4𝑥3 ∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒
3
10
(
4𝑥5
5
+
4𝑥4
4
)|
0
1
=
3
10
(
4
5
+ 1) =
3
10
∙
9
5
=
27
50
= 0,54 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)2 = 0,54 − (0,7)2 = 0,05 
𝐷𝑃 = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) = √0,05 = 0,2236 
Exemplos: Calcule o 𝐸(𝑌), 𝑉𝑎𝑟(𝑌) e o Desvio Padrão da função: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
𝐸(𝑌) = ∫ 𝑦 ∙
1
20
[4𝑦 + 3𝑦3] ∙ 𝑑𝑦
2
0
=
1
20
∫ 4𝑦2 + 3𝑦4 ∙ 𝑑𝑦
2
0
⇒ 
⇒
1
20
(
4𝑦3
3
+
3𝑦5
5
)|
0
2
=
1
20
(
20𝑦3 + 9𝑦5
15
)|
0
2
=
1
300
[20 ∙ 23 + 9 ∙ 25] ⇒ 
⇒
1
300
[160 + 288] =
1
300
∙ 448 = 1,4993 
𝐸(𝑌2) = ∫ 𝑦2 ∙
1
20
[4𝑦 + 3𝑦3] ∙ 𝑑𝑦
2
0
=
1
20
∫ 4𝑦3 + 3𝑦5 ∙ 𝑑𝑦
2
0
⇒ 
⇒
1
20
(
4𝑦4
4
+
3𝑦6
6
)|
0
2
=
1
20
(
12𝑦4 + 6𝑦6
12
)|
0
2
=
1
240
[12 ∙ 24 + 6 ∙ 26] ⇒ 
⇒
1
240
[192 + 384] =
1
240
∙ 576 = 2,4 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − 𝐸(𝑌)2 = 2,4 − (1,4993)2 = 0,17 
𝐷𝑃 = √𝑉𝑎𝑟(𝑌) = √0,17 = 0,4123 
 
 
23 
 
Esperança/Variância/ Desvio Padrão Condicional: 
 
𝐸[𝑔(𝑋)|𝑌] = ∫ 𝑔(𝑋) ∙ 𝑓(𝑋|𝑌) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
 𝐸[𝑔(𝑌)|𝑋] = ∫ 𝑔(𝑌) ∙ 𝑓(𝑌|𝑋) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
 
 
Exemplos: Calcule o 𝐸[𝑔(𝑋)|𝑌 = 1], 𝑉𝑎𝑟[𝑔(𝑋)|𝑌 = 1] e o 𝐷𝑃 da função: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
𝐸[𝑋|𝑌 = 1] = ∫ 𝑥 ∙ 6 ∙ (
2𝑥2 + 𝑥𝑦2
4 + 3𝑦2
) ∙ 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 𝑥 ∙ 6 ∙ (
2𝑥2 + 𝑥
4 + 3
) ∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒ ∫ 𝑥 ∙
6
7
[2𝑥2 + 𝑥] ∙ 𝑑𝑥
1
0
=
6
7
∫ 2𝑥3 + 𝑥2 ∙ 𝑑𝑥
1
0
=
6
7
(
2𝑥4
4
+
𝑥3
3
)|
0
1
⇒ 
⇒
6
7
(
6𝑥4 + 4𝑥3
12
)|
0
1
=
1
7
(
6𝑥4 + 4𝑥3
2
)|
0
1
=
1
14
[6 + 4] = 0,7143 
𝐸[𝑋2|𝑌 = 1] = ∫ 𝑥2 ∙
6
7
[2𝑥2 + 𝑥] ∙ 𝑑𝑥
1
0
=
6
7
∫ 2𝑥4 + 𝑥3 ∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒
6
7
(
2𝑥5
5
+
𝑥4
4
)|
0
1
=
6
7
(
8𝑥5 + 5𝑥4
20
)|
0
1
=
6
140
[8 + 5] = 0,5571 
𝑉𝑎𝑟[𝑋|𝑌 = 1] = 𝐸[𝑋2|𝑌 = 1] − 𝐸[𝑋|𝑌 = 1]2 = 0,5571 − (0,7143)2 = 0,047 
𝐷𝑃 = √𝑉𝑎𝑟[𝑋|𝑌 = 1] = √0,047 = 0,2168 
Exemplos: Calcule o 𝐸[𝑔(𝑌)|𝑋 = 0,5], 𝑉𝑎𝑟[𝑔(𝑌)|𝑋 = 0,5] e o 𝐷𝑃 da função: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
𝐸[𝑌|𝑋 = 0,5] = ∫ 𝑦 ∙
2𝑥𝑦 + 𝑦3
4𝑥 + 4
∙ 𝑑𝑦
2
0
=
1
6
∫ 𝑦 ∙ (𝑦 + 𝑦3) ∙ 𝑑𝑦
2
0
=
1
6
∫ 𝑦2 + 𝑦4 ∙ 𝑑𝑦
2
0
⇒ 
⇒
1
6
(
𝑦3
3
+
𝑥5
5
)|
0
2
=
1
6
(
5𝑦3 + 3𝑥5
15
)|
0
2
=
1
90
[5 ∙ 23 + 3 ∙ 25] =
1
90
[40 + 96] = 1,5111 
𝐸[𝑌2|𝑋 = 0,5] =
1
6
∫ 𝑦2 ∙ (𝑦 + 𝑦3) ∙ 𝑑𝑦
2
0
=
1
6
∫ 𝑦3 + 𝑦5 ∙ 𝑑𝑦
2
0
=
1
6
(
𝑦4
4
+
𝑥6
6
)|
0
2
⇒ 
⇒
1
6
(
3𝑦4 + 2𝑥6
12
)|
0
2
=
1
72
[3 ∙ 24 + 2 ∙ 26] =
1
72
[48 + 128] = 2,4444 
𝑉𝑎𝑟[𝑌|𝑋 = 0,5] = 𝐸[𝑌2|𝑋 = 0,5] − 𝐸[𝑌|𝑋 = 0,5]2 = 2,4444 − (1,5111)2 = 0,16 
𝐷𝑃 = √𝑉𝑎𝑟[𝑌|𝑋 = 0,5] = √0,16 = 0,4 
 
24 
 
Esperança/Variância/ Desvio Padrão Conjunta: 
 
𝐸[𝑔(𝑋, 𝑌)] = ∫ ∫ 𝑔(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑦
 
ℝ𝑥
 
Exemplos: Calcule 𝐸(𝑋 + 𝑌), 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌), 𝐸(𝑋2 ∙ 𝑌2), 𝑉𝑎𝑟(𝑋 ∙ 𝑌), 𝐷𝑃, 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) e o Coeficiente 
de Pearson da função: (𝑓(𝑋, 𝑌) =
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3]). 
𝐸(𝑋 + 𝑌) = ∫ ∫ (𝑋 + 𝑌) ∙
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3] ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥
2
0
1
0
⇒ 
⇒ 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) = 0,7 + 1,4333 = 1,7333 
𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) = ∫ ∫ 𝑥𝑦 ∙
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3] ∙ 𝑑𝑦
2
0
∙ 𝑑𝑥
1
0
=
3
10
∫ ∫ [2𝑥3𝑦2 + 𝑥2𝑦4] ∙ 𝑑𝑦
2
0
∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒
3
10
∫ (
2𝑥3𝑦3
3
+
𝑥2𝑦5
5
)|
0
21
0
∙ 𝑑𝑥 =
3
10
∫ (
2𝑥3 ∙ 8
3
+
𝑥2 ∙ 32
5
)
1
0
∙ 𝑑𝑥 ⇒ 
⇒
3
10
(
2𝑥4 ∙ 8
12
+
𝑥3 ∙ 32
15
)|
0
1
=
3
10
(
16
12
+
32
15
) = 1,04 
𝐸(𝑋2 ∙ 𝑌2) = ∫ ∫ 𝑥2𝑦2 ∙
3
10
[2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦3] ∙ 𝑑𝑦
2
0
∙ 𝑑𝑥
1
0
=
3
10
∫ ∫ 2𝑥4𝑦3 + 𝑥3𝑦5 ∙ 𝑑𝑦
2
0
∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒
3
10
∫ (
2𝑥4𝑦4
4
+
𝑥3𝑦6
6
)|
0
2
∙ 𝑑𝑥
1
0
=
3
10
∫ (
2𝑥4 ∙ 16
4
+
𝑥3 ∙ 64
6
) ∙ 𝑑𝑥
1
0
⇒ 
⇒
3
10
(
2𝑥5 ∙ 16
20
+
𝑥4 ∙ 64
24
)|
0
1
=
3
10
(
32
20
+
64
24
) = 1,28 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 ∙ 𝑌) = 𝐸(𝑋2 ∙ 𝑌2) − 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌)2 = 1,28 − (1,04)2 = 0,2599 
𝐷𝑃 = √𝑉𝑎𝑟(𝑋 ∙ 𝑌) = √0,2599 = 0,5098 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸( 𝑌) = 1,04 − 0,7 ∙ 1,4993 = −0,0053 
𝜌𝑥,𝑦 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝐷𝑃(𝑋) ∙ 𝐷𝑃(𝑌)
=
−0,0053
0,2236 ∙ 0,4123
= −0,00576 
Correlação Baixa. 
 
𝜌𝑥,𝑦
{
 
 
 
 
 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) ⟵ {
𝐸(𝑋) ⟵ {𝑓(𝑋) ⟵ {𝑓(𝑋, 𝑌)
𝐸(𝑌) ⟵ {𝑓(𝑌) ⟵ {𝑓(𝑋, 𝑌)
𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) ⟵ {𝑓(𝑋, 𝑌)
𝐷𝑃(𝑋) ⟵ {𝑉𝑎𝑟(𝑋) ⟵ {
𝐸(𝑋)
𝐸(𝑋2)
⟵ {𝑓(𝑋) ⟵ {𝑓(𝑋, 𝑌)
𝐷𝑃(𝑌) ⟵ {𝑉𝑎𝑟(𝑌) ⟵ {
𝐸(𝑌)
𝐸(𝑌2)
⟵ {𝑓(𝑌) ⟵ {𝑓(𝑋, 𝑌)
 
25 
 
Demonstração das propriedades: 
Propriedades de variáveis dependentes: 
i. 𝑬(𝑿 + 𝒀) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) 
𝐸(𝑋 + 𝑌) = ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= ∫ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) + 𝑦 ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ ∫ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
+∫ ∫ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ ∫ 𝑥 ∙ ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
+∫ 𝑦 ∙ ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
⇒ 
⇒ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
+∫ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
= 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) 
ii. 𝑬(𝒂𝑿 + 𝒃𝒀) = 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) + 𝑏 ∙ 𝐸(𝑌) 
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = ∫ ∫ (𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦) ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ ∫ ∫ 𝑎 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) + 𝑏 ∙ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
∫ ∫ 𝑎 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
+∫ ∫ 𝑏 ∙ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ 𝑎 ∙ ∫ 𝑥 ∙ ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
+ 𝑏 ∙ ∫ 𝑦 ∙ ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
⇒ 
⇒ 𝑎 ∙ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
+ 𝑏 ∙ ∫ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
= 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) + 𝑏 ∙ 𝐸(𝑌) 
iii. 𝑬[𝑬(𝑿|𝒀)] = 𝐸(𝑋) 
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= ∫ 𝑥 ∙ ∫ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ ∫ 𝑥 ∙ ∫ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑓(𝑋|𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= ∫ 𝑓(𝑌) ∙ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋|𝑌) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑦 ⇒ 
⇒ ∫ 𝑓(𝑌) ∙ 𝐸(𝑋|𝑌)
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑦 = ∫ 𝐸(𝑋|𝑌) ∙ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
= 𝐸[𝐸(𝑋|𝑌)] 
iv. 𝑬[𝑬(𝒀|𝑿)] = 𝐸(𝑌) 
v. 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀) = 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸( 𝑌) 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇𝑥)(𝑦 − 𝜇𝑦)] = 𝐸[𝑥𝑦 − 𝑋𝜇𝑦 − 𝑌𝜇𝑥 + 𝜇𝑥𝜇𝑦] ⇒ 
⇒ 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) − 𝐸(𝑥𝜇𝑦) − 𝐸(𝑦𝜇𝑥) + 𝐸(𝜇𝑥𝜇𝑦) = 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) − 𝜇𝑦 ∙ 𝐸(𝑋) − 𝜇𝑥 ∙ 𝐸(𝑌) + 𝜇𝑥𝜇𝑦 ⇒ 
⇒ 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) − 𝐸(𝑌) ∙ 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) + 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) = 𝐸(𝑥𝑦) − 𝐸(𝑌) ∙ 𝐸(𝑋) 
 
vi. 𝑬(𝑿 ∙ 𝒀) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) + 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
26 
 
vii. 𝑪𝒐𝒗(𝒂𝑿, 𝒃 𝒀) = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑋, 𝑏 𝑌) = 𝐸[(𝑎𝑋 − 𝐸(𝑎𝑋))(𝑏 𝑌 − 𝐸(𝑏 𝑌))] ⇒ 
⇒ 𝐸[(𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋))(𝑏 ∙ 𝑦 − 𝑏 ∙ 𝐸( 𝑌))] = 𝐸[𝑎(𝑥 − 𝐸(𝑋)) ∙ 𝑏( 𝑦 − 𝐸( 𝑌))] ⇒ 
⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐸[(𝑥 − 𝐸(𝑋)) ∙ ( 𝑦 − 𝐸( 𝑌))] = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
viii. 𝑽𝒂𝒓(𝑿 + 𝒀) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 2 ∙ 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝐸[(𝑥 + 𝑦) − 𝐸(𝑋 + 𝑌)]2 = 𝐸[(𝑥 + 𝑦) − 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑌)]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋) + 𝑦 − 𝐸(𝑌)]2 = 𝐸[𝑤 + 𝑧]2 = 𝐸[𝑤2 + 2𝑤𝑧 + 𝑧2] ⇒ 
⇒ 𝐸(𝑤2) + 𝐸(2𝑤𝑧) + 𝐸(𝑧2) ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋)]2 + 2 ∙ 𝐸[(𝑥 − 𝐸(𝑋)) ∙ (𝑦 − 𝐸(𝑌))] + 𝐸[𝑦 − 𝐸(𝑌)]2 ⇒ 
⇒ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 2 ∙ 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) 
 
ix. 𝑽𝒂𝒓(𝒂𝑿 + 𝒃𝒀) = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑏2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝐸[(𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦) − 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌)]2 = 𝐸[(𝑥 + 𝑦) − 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) − 𝑏 ∙ 𝐸(𝑌)]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑎 ∙ (𝑥 − 𝐸(𝑋)) + 𝑏 ∙ (𝑦 − 𝐸(𝑌))]2 = 𝐸[𝑎 ∙ 𝑤 + 𝑏 ∙ 𝑧]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑎2 ∙ 𝑤2 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑤 ∙ 𝑏 ∙ 𝑧 + 𝑏2 ∙ 𝑧2] ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑎2 ∙ 𝑤2] + 𝐸[2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑤 ∙ 𝑏 ∙ 𝑧] + 𝐸[𝑏2 ∙ 𝑧2] ⇒ 
⇒ 𝑎2 ∙ 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋)]2 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐸[(𝑥 − 𝐸(𝑋)) ∙ (𝑦 − 𝐸(𝑌))] + 𝑏2 ∙ 𝐸[𝑦 − 𝐸(𝑌)]2 ⇒ 
⇒ 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) + 𝑏2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) 
 
Propriedades de variáveis Independentes:i. 𝑓(𝑋|𝑌) = 𝑓(𝑋) 𝑓(𝑌|𝑋) = 𝑓(𝑌) 
𝑓(𝑋|𝑌) =
𝑓(𝑋, 𝑌)
𝑓(𝑌)
=
𝑓(𝑋) ∙ 𝑓(𝑌)
𝑓(𝑌)
= 𝑓(𝑋) 
 
ii. 𝐸(𝑋|𝑌) = 𝐸(𝑋) 𝐸(𝑌|𝑋) = 𝐸(𝑌) 
𝐸(𝑋|𝑌) = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋|𝑌) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= 𝐸(𝑋) 
 
iii. 𝑉𝑎𝑟(𝑋|𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 𝑉𝑎𝑟(𝑌|𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌) 
𝑉𝑎𝑟(𝑋|𝑌) = 𝐸(𝑋2|𝑌) ∙ 𝐸(𝑋|𝑌)2 = 𝐸(𝑋2) ∙ 𝐸(𝑋)2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
 
27 
 
iv. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 
v. 𝜌𝑥,𝑦 = 0 
vi. 𝐸(𝑋 ∙ 𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
𝐸(𝑋 ∙ 𝑌)∫ ∫ (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= ∫ ∫ (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ ∫ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ 𝐸(𝑌) ∙ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
vii. 𝐸(𝑎𝑋 ∙ 𝑏𝑌) = 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) ∙ 𝑏 ∙ 𝐸(𝑌) 
𝐸(𝑎𝑋 ∙ 𝑏𝑌) = ∫ ∫ (𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦) ∙ 𝑓(𝑋, 𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ ∫ ∫ (𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦) ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ ∫ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑌) ∙ 𝑑𝑦
 
ℝ𝑦
∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
⇒ 
⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐸(𝑌) ∙ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥
 
ℝ𝑥
= 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) ∙ 𝑏 ∙ 𝐸(𝑌) 
viii. 𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝐸[(𝑥 + 𝑦) − 𝐸(𝑋 + 𝑌)]2 = 𝐸[(𝑥 + 𝑦) − 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑌)]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋) + 𝑦 − 𝐸(𝑌)]2 = 𝐸[𝑤 + 𝑧]2 = 𝐸[𝑤2 + 2𝑤𝑧 + 𝑧2] ⇒ 
⇒ 𝐸(𝑤2) + 2 ∙ 𝐸(𝑤𝑧) + 𝐸(𝑧2) = 𝐸(𝑤2) + 2 ∙ 𝐸(𝑤) ∙ 𝐸(𝑧) + 𝐸(𝑧2) ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋)]2 + 2 ∙ 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋)] ∙ 𝐸[𝑦 − 𝐸(𝑌)] + 𝐸[𝑦 − 𝐸(𝑌)]2 ⇒ 
⇒ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 2 ∙ (𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝑌)) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) ⇒ 
⇒ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 2 ∙ 0 + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) ⇒ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) 
 
ix. 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑏2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) 
𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝐸[(𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦) − 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌)]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[(𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦) − 𝑎 ∙ 𝐸(𝑋) − 𝑏 ∙ 𝐸(𝑌)]2 = 𝐸[𝑎(𝑥 − 𝐸(𝑋)) + 𝑏(𝑦 − 𝐸(𝑌))]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑎(𝑥 − 𝐸(𝑋)) + 𝑏(𝑦 − 𝐸(𝑌))]2 = 𝐸[𝑎 ∙ 𝑤 + 𝑏 ∙ 𝑧]2 ⇒ 
⇒ 𝐸[𝑎2 ∙ 𝑤2 + 2𝑎 ∙ 𝑤 ∙ 𝑏 ∙ 𝑧 + 𝑏2 ∙ 𝑧2]2 = 𝐸(𝑎2 ∙ 𝑤2) + 2 ∙ 𝐸(𝑎 ∙ 𝑤) ∙ 𝐸(𝑏 ∙ 𝑧) + 𝐸(𝑏2 ∙ 𝑧2) ⇒ 
⇒ 𝑎2 ∙ 𝐸(𝑥 − 𝐸(𝑋))2 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐸[𝑥 − 𝐸(𝑋)] ∙ 𝐸[𝑦 − 𝐸(𝑌)] + 𝑏2 ∙ 𝐸(𝑦 − 𝐸(𝑌))2 ⇒ 
⇒ 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ (𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝑌)) + 𝑏2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) ⇒ 
⇒ 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 0 ∙ 0 + 𝑏2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝑎2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑏2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌)