Aula1_Apresentação

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PITÁGORAS

Luana Magnago
08/07/2021
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Especialização
em Ma-
temática
Márcio
Lima
Livro
Referências
Explanação
Divisibilidade
Teoria dos Números
Márcio Lima
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás
02 de setembro de 2020
Márcio Lima Especialização em Matemática
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Referências
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Divisibilidade
Apresentação
1 Livro
2 Referências
3 Explanação
4 Divisibilidade
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Tópicos
Conteúdos que serão abordados:
Conjuntos Numéricos;
Prinćıpio da boa ordenação;
Indução finita;
Algoritmo de Euclides;
Números primos;
MDC; MMC e Critérios de divisibilidade;
Teorema Fundamental da Aritmética;
Congruência;
Teoremas de Euler, Fermat e Wilson;
Teoria combinatória dos números;
Funções aritméticas e reśıduos quadráticos.
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Outras referências que serão usadas:
1) Gonçalves, A. Introdução à Álgebra. Impa, 1979.
2) Hefez, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: So-
ciedade Brasileira de Matemática, 2005.
3) Milies, F., Coelho, S. Números: uma introdução à ma-
temática. São Paulo: EDUSP, 2003
4) Oliveira, J. Introdução à teoria dos números. Instituto
de Matemática Pura e Aplicada, 2000.
5) Shokranian, S. Soares, M.; Godinho, H.; Teoria dos
números. Braśılia: Editora Universidade de Braśılia,
1999
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Alguns nomes de matemáticos famosos
Pitagoras (569-500 a. C.)
Euclides (≈ 350 a. C.)
Eratóstenes (276-196 a. C.)
Diofantos (≈ 250 d. C.)
Plutarco (≈ 100 d. C.)
Marin Mersenne (1588-1648)
Pierre de Fermat (1601-1665)
Blaise Pascal (1623-1662)
Christian Goldbach (1690-1764)
Leonhard Euler (1707-1783)
Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
John Wilson (1741-1793)
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Alguns nomes de matemáticos famosos
Adrien Marie Legendre (1752-1833)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Peter Gustav Dirichlet (1805-1859)
P. L. Tchebychef (1821-1894)
Giuseppe Peano (1858-1932)
Frederick Nelson Cole (1861-1927)
Axel Thue (1863-1922)
Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)
Charles de la Vallée Poussin (1866-1962)
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Conjunto de Números
A definição concisa e precisa do conjunto N dos números
naturais foi dada pelo matemático italiano Giuseppe Peano
(1858-1932) no ano de 1889 na Arithmetices Principia Nova
Methodo Exposita.
N é um conjunto, cujos elementos são chamados números
naturais e a essência de sua caracterização está na palavra
sucessor [STEFFENON and GUARNIERI, 2016].
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Conjunto de Números
Trabalharemos então com o conjunto
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
dos números inteiros e seus subconjuntos, particularmente
com os subconjuntos N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} e N = {1, 2, 3, . . .}
dos números inteiros não-negativos e dos números naturais.
Temos duas operações internas em N0 e também em Z a
adição (+) e a multiplicação (×).
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A ideia inicial
Os axiomas de Peano são:
1) Todo número natural tem um único sucessor, que é ainda
um número natural;
2) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
3) Existe um único número natural, chamada um e repre-
sentado pelo śımbolo 1, que não é sucessor de nenhum
outro;
4) Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e
contém também o sucessor de cada um de seus elementos,
então esse conjunto contém todos os números naturais.
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Essas informações podem ser escritas de uma outra maneira,
vejamos:
1) Todo número natural tem um único sucessor, que é ainda
um número natural;
Pode ser reescrita do seguinte modo:
1) Existe uma função f : N → N. A imagem f(n) de cada
número natural n→ N chama-se sucessor de n;
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Essas informações podem ser escritas de uma outra maneira,
vejamos:
2) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
Pode ser reescrita do seguinte modo:
2) A função f é injetiva;
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Essas informações podem ser escritas de uma outra maneira,
vejamos:
3) Existe um único número natural, chamado um e repre-
sentado pelo śımbolo 1, que não é sucessor de nenhum
outro;
Pode ser reescrita do seguinte modo:
3) Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 6= f(n)
para todo n ∈ N;
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Essas informações podem ser escritas de uma outra maneira,
vejamos:
4) Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e
contém também o sucessor de cada um de seus elementos,
então esse conjunto contém todos os números naturais.
Pode ser reescrita do seguinte modo:
4) Se um conjunto A ⊂ N é tal que 1 ∈ A e f(n) ⊂ A (Isto
é, k ∈ A⇒ f(k) ∈ A), então A = N.
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Principio de Indução Matemática
O axioma 4) é conhecido como Prinćıpio de Indução
Matemática. Intuitivamente, ele significa que todo número
natural n pode ser obtido a partir de 1, tomando-se seu
sucessor f(1), o sucessor deste, f(f(1)), e assim por diante,
com um número finito de etapas.
Exemplo 1[????]
Todo número natural é menor do que 100.
Sabemos que não
É fácil notar que isso vale para 1, 2, 3, . . ., mas falhará em
algum momento, por exemplo quando n = 100 ou qualquer
outro valor maior do que 100.
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Principio de Indução Matemática
Exemplo 2
Se n ∈ N, então n2 + n + 41 é primo.
Até o 39, funciona muito bem...
12 + 1 + 41 = 43
22 + 2 + 41 = 47
32 + 3 + 41 = 53
· · ·
392 + 39 + 41 = 1601
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Principio de Indução Matemática
Exemplo 2
Se n ∈ N, então n2 + n + 41 é primo.
Para n = 40, vejamos o que acontece:
402 + 40 + 41 = 40× (40 + 1) + 41
= 40× 41 + 1× 41
= (40 + 1)× 41
= 412
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Principio de Indução Matemática
Exemplo 3
Se n é um inteiro positivo, então 991n2 + 1 não é um
quadrado perfeito.
Qualquer dúvida é só verificar.
Vale para todos os inteiros positivos menores que
12055735790331359447442538676.
Porémpara esse valor acima falha. Esse exemplo mostra que
um resultado vale até um ”zilhão”, mas pode falhar depois
disso.
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Definição
Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b, denotado por
a | b, se existir um inteiro c tal que b = a · c [Santos, 2018].
Observação
Se a não divide b, denotaremos por a - b.
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Proposição
Se a, b e c são inteiros, a | b e b | c, então a | c.
Demonstração.
i) Como a | b, então existe q1 ∈ Z, tal que b = q1 · a.
ii) Como b | c, então existe q2 ∈ Z, tal que c = q2 · b.
Utilizando i) e ii) podemos escrever c do seguinte modo:
c = q2 · b = q2 · q1 · a,
ou seja a | c.
Exemplo
Como 5 | 15 e 15 | 45, então 5 | 45.
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Proposição
Se a, b, c,m e n são inteiros, c | a e c | b, então c | (ma+nb).
Demonstração.
i) Se c | a, então existe q1 ∈ Z, tal que a = q1 · c.
ii) Se c | b, então existe q2 ∈ Z, tal que b = q2 · c.
Multiplicando i) por m e ii) por n, temos:{
ma = mq1c. (1)
nb = nq2c. (2)
somando 1 e 2, obtemos:
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Proposição
Se a, b, c,m e n são inteiros, c | a e c | b, então c | (ma+nb).
Demonstração.
somando 1 e 2, obtemos:
ma + nb = mq1c + nq2c
= (mq1 + nq2)c,
ou seja, c | (ma + nb).
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Exemplo
Como 3 | 15 e 3 | 48, então 3 | (8 · 15− 7 · 48).
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Teorema
A divisão tem as seguintes propriedades:
i) n | n;
ii) d | n⇒ ad | an;
iii) ad | an e a 6= 0⇒ d | n;
iv) 1 | n;
v) n | 0;
vi) d | n e n 6= 0⇒ |d| | |n|;
vii) d | n e n 6= d⇒ |d| = |n|;
viii) d | n e d 6= 0⇒
(
n
d
)
| n.
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Demonstração.
i) Como n = 1 · n, segue da definição que n | n.
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Demonstração.
ii) Se d | n, então existe c ∈ Z, tal que n = cd, logo se
operarmos por a em ambos os lados temos:
an = acd = c(ad),
ou seja,
ad | an.
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Demonstração.
iii) ad | an, então existe c ∈ Z, tal que:
an = c(ad) = a(cd),
operando por a−1, obtemos:
n = ad
ou seja, d | n.
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Teorema (de Eudoxius)
Dados a e b inteiros com b 6= 0, então a é um múltiplo de b
ou se encontra entre dois múltiplos consecutivos de b, isto é,
correspondendo a cada par de inteiros a e b 6= 0, existe um
inteiro q tal que, para b > 0,
qb ≤ a < (q + 1)b.
E para b < 0,
qb ≤ a < (q − 1)b.
Demonstração.
Fica com exerćıcio.
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Teorema (da Divisão)
Dados dois inteiros a e b inteiros com b 6= 0,, existe um
único para de inteiros q e r, tais que:
a = qb + r, 0 ≤ r < b (se) (r = 0⇔ b | a) (1)
e para b < 0,
qb ≤ a < (q − 1)b.
Observação:
q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b.
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Prova algoritmo da divisão
Existência.
Pelo Teorema 4.7 (de Eudoxius), com b > 0, existe q
satisfazendo:
qb ≤ a < (q − 1)b.
ou seja:
{
0 ≤ a− qb, e
a− qb < b.
Desse modo, podemos definir
r = a− qb
e assim temos a garantia da existência de q e r.
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Prova algoritmo da divisão
Unicidade.
Para mostrar que é único, supomos que exista outro par q1 e
r1 atendendo a seguinte verificação:
a = q1b + r1, com 0 ≤ r1 < b, (2)
Subtraindo (1) e (2), obtemos a situação a seguir:
(qb + r)− (qb + r1) = 0
b(q − q1) + (r − r1) = 0
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Prova algoritmo da divisão
Unicidade.
(qb + r) = (qb + r1) (2)
Por definição, temos pela equação acima que:
b|(r1 − r), (3)
mas por hipótese, o valor absoluto do resto não pode ser
negativo, ou seja:
r1 < b, r < b e |r1 − r| < b
e como b|(r1 − r), devemos ter r1 − r = 0, concluindo que
r1 = r.
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Prova algoritmo da divisão
Unicidade.
Voltando temos:
b(q − q1) = 0
bq = bq1 (b 6= 0)
q = q1
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Consequências do algoritmo da divisão
Considerando b = 2, temos que para a, b ∈ Z,
a = 2q ou a = 2q + 1
e consequentemente:
Z = {2q|q ∈ Z}∪̇{2q + 1|q ∈ Z}
e
Z = {2q|q ∈ Z} ∩ {2q + 1|q ∈ Z} = ∅
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Consequências do algoritmo da divisão
Considerando b = 3, temos que para a, b ∈ Z,
a = 3q , a = 3q + 1 ou a = 3q + 2
e consequentemente:
Z = {3q|q ∈ Z}∪̇{3q + 1|q ∈ Z}∪̇{3q + 2|q ∈ Z}
e
Z = {3q|q ∈ Z} ∩ {3q + 1|q ∈ Z} ∩ {3q + 2|q ∈ Z} = ∅
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Consequências do algoritmo da divisão
Em geral, se b = n ∈ Z, obtemos:
Z = {nq|q ∈ Z}∪̇{nq + 1|q ∈ Z}∪̇ . . . ∪̇{nq + (n− 1)|q ∈ Z}
Observação
Z = {nq|q ∈ Z}, {nq+ 1|q ∈ Z}, . . . , {nq+ (n− 1)|q ∈ Z}
é denominado classe de restos módulo n.
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Obrigado!!
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Santos, J. P. d. O. (2018).
Introdução à teoria dos números.
Rio de Janeiro: IMPA, 3.
STEFFENON, R. and GUARNIERI, F. (2016).
Belos problemas de matemática indução e contagem.
IV Colóquio de Matemática da Região Sul. UFRG.
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	Livro
	Referências
	Explanação
	Divisibilidade