Aula 17 - Incerteza e Aversao a Risco

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Microeconomia para Anpec 
Theo Cotrim Martins 
E-mail: theocm@gmail.com 
mailto:theocm@gmail.com
Aula 17 
INCERTEZA E 
AVERSÃO À RISCO 
N-Cap. 7; V-Cap. 12 
Agenda 
• Probabilidade, Valor Esperado e Jogos Justos 
• Teorema de von Neumann-Morgenstern 
• Aversão à Risco 
• Aversão à Risco e Seguro 
• Medindo Aversão à Risco 
• Questões Anpec 
 
Probabilidade e Valor Esperado 
• Probabilidade: frequência com que algum evento vai 
acontecer. 
• Valor Esperado: para uma loteria X com prêmios X1, X2, 
…,Xn, e probabilidades de ganhar 1, 2, …, n, o valor 
esperado da loteria é: 
𝐸 𝑋 = Π1𝑋1 + Π2𝑋2 +⋯+ Π𝑛𝑋𝑛 
𝐸 𝑋 = Π𝑖𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 ...é a soma ponderada dos prêmios. 
 
 
Probabilidade e Valor Esperado 
• Exemplo 1: Jogar uma moeda, se der cara ganha R$ 
1 e se der coroa perde R$ 1. 
 𝑉𝐸 = 0,5 ∙ 1 + 0,5 ∙ (−1) = 0 
• Exemplo 2: Jogar uma moeda, se der cara ganha R$ 
10 e se der coroa perde R$ 1. 
 𝑉𝐸 = 0,5 ∙ 10 + 0,5 ∙ (−1) = 4,5  indivíduo estaria 
disposto a pagar até R$ 4,50 para participar deste jogo. 
• Jogo Justo: 𝑉𝐸 = 0, ou seja, é um jogo em que o 
preço para jogar é igual ao VE. 
Jogos Justos 
• As pessoas normalmente não participam de jogos 
justos. 
• Mas há algumas exceções: 
– Quando o dinheiro envolvido é pouco. 
– Quando há utilidade derivado do jogo e não somente 
do prêmio. 
Paradoxo de St. Petersburg 
• Jogo: uma moeda é lançada até uma cara aparecer. 
Se uma “cara” aparece no n-ésimo lançamento o 
jogador ganha 𝑅$ 2𝑛. 
 
• Quanto você pagaria por este jogo? 
Paradoxo de St. Petersburg 
• Valor esperado do jogo: 
𝐸 𝑋 = Π𝑖𝑋𝑖 = 2
𝑖
1
2
𝑖∞
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
 
𝐸 𝑋 = 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 = ∞ 
• Você pagaria o VE (∞)? 
• A resposta tipicamente é não! 
Paradoxo de St. Petersburg 
• Solução: indivíduos não se importam diretamente 
com o dinheiro de um prêmio, eles se importam 
com a utilidade que esse dinheiro traz. 
• A utilidade marginal do dinheiro é normalmente 
decrescente, o que faz com que o paradoxo de St. 
Petersburg convirja para um valor finito de utilidade 
esperada. 
• A utilidade esperada indicará o valor que o indivíduo 
está disposto a pagar pelo jogo. 
Teorema de von Neumann-
Morgenstern 
• VNM mostraram que, sob algumas hipóteses razoáveis 
sobre as preferências dos consumidores entre loterias, as 
preferências dos mesmos poderiam ser representadas 
por uma função de utilidade com a seguinte 
propriedade: 
𝑈 𝑐1, 𝑐2, Π1, Π2 = Π1 ∙ 𝑈 𝑐1 + Π2 ∙ 𝑈(𝑐2) 
...a utilidade de uma loteria é igual à esperança das 
utilidades de seus prêmios. Qualquer função de utilidade 
com esta propriedade é chamada de função de utilidade 
de VNM ou função de utilidade com propriedade 
utilidade esperada. 
 
Transformação Afim Positiva 
• Para mantermos as propriedade de utilidade esperada 
- especialmente a aditividade - precisamos restringir 
os tipos de transformações. 
• Dizemos que 𝒗(𝒖) é uma transformação afim positiva 
(ou transformação monotônica afim) caso ela possa 
ser escrita na forma: 
𝑣 𝑢 = 𝑎 ∙ 𝑢 + 𝑏, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑎 > 0 
• Uma transformação deste tipo mantém as 
propriedades desejadas da função utilidade esperada. 
Maximização de Utilidade 
Esperada 
• Se indivíduos obedecem aos axiomas de Von-
Neumann Morgenstern sobre comportamento em 
situações de risco, eles se comportarão escolhendo 
a opção que maximiza o valor da utilidade 
esperada. 
• Aversão a Risco: porque pessoas aceitam apostar 
pequenas quantias mas relutam em apostar grandes 
quantias? 
 Pois a utilidade marginal do dinheiro é decrescente. 
 
 
Aversão à Risco 
Utilidade (U) 
Riqueza (W) 
U(W) 
U(W) é um indexador de utilidade de 
von Neumann-Morgenstern, que reflete como 
o indivíduo se sente em cada posição de 
riqueza. 
A curva côncava reflete a 
hipótese de que a utilidade marginal 
diminui a medida que a renda cresce. 
Utilidade (U) 
Riqueza (W) 
U(W) 
Suponha que W* é o nível corrente de riqueza 
deste indivíduo. 
W* 
U(W*) é a utilidade corrente 
deste indivíduo. 
U(W*) 
Aversão à Risco 
Aversão à Risco 
• Suponha que sejam oferecidos dois jogos justos: 
– Uma chance de 50% de ganhar $ℎ ou perder $ℎ: 
Uh(W*) = ½ U(W* + h) + ½ U(W* - h) 
– Uma chance de 50% de ganhar $2ℎ ou perder $2ℎ: 
U2h(W*) = ½ U(W* + 2h) + ½ U(W* - 2h) 
 
Utilidade (U) 
Riqueza (W) 
U(W) 
W* 
U(W*) 
A utilidade esperada do jogo 1 é Uh(W*) 
Uh(W*) 
W* + h W* - h 
Aversão à Risco 
Utilidade (U) 
Riqueza (W) 
U(W) 
W* 
U(W*) 
W* + 2h W* - 2h 
A utilidade esperada do jogo 2 é U2h(W*) 
U2h(W*) 
Aversão à Risco 
Utilidade (U) 
Riqueza (W) 
U(W) 
W* 
U(W*) 
W* + 2h W* - 2h 
U(W*) > Uh(W*) > U2h(W*) 
U2h(W*) 
Uh(W*) 
W* - h W* + h 
Aversão à Risco 
Aversão à Risco 
• Um indivíduo que nunca participa de jogos justos é 
avesso a risco. 
• Isto acontece quando indivíduos possuem utilidade 
marginal da renda decrescente. 
• Como consequência eles estão dispostos a pagar 
para não participar de “loterias”. 
 
Equivalente Certeza 
Aversão à Risco e Seguro 
Utilidade (U) 
Riqueza (W) 
U(W) 
W* 
U(W*) 
Uh(W*) 
W* - h W* + h 
O indivíduo estaria 
disposto a pagar até 
W* - W ” para não 
participar deste jogo. 
W ” com certeza gera a mesma utilidade 
do jogo 1. 
W ” 
Prêmio de Risco 
• O prêmio de risco corresponde à diferença entre o 
valor esperado de uma loteria e o valor (com 
certeza) que gera a mesma utilidade. 
• É o montante de dinheiro que um indivíduo avesso 
à risco está disposto a pagar para ficar indiferente 
entre a loteria e um resultado certo. 
Seguro Justo 
• O valor de um seguro justo é calculado pela 
probabilidade de uma perda acontecer multiplicado 
pelo valor desta perda. 
Exemplo 
• Suponha que determinado indivíduo tem uma riqueza de 
R$ 100.000 dentre os quais um carro de R$ 20.000. Sua 
função utilidade é dada por 𝑈 = ln (𝑊), onde W é sua 
riqueza. Este carro possui uma probabilidade de 25% de 
ser roubado. Calcule: 
– Utilidade esperada sem seguro. 
– Seguro justo. 
– Utilidade esperada com seguro justo. 
– Preço máximo que este indivíduo está disposto a pagar 
pelo seguro. 
 
 
Exemplo 
• Respostas: 
– Utilidade esperada sem seguro: 
 0.75ln (100,000) + 0.25ln (80,000) = 11.4571 
– Seguro justo: 
0.25 ∙ 20,000 = $5,000 
– Utilidade esperada com seguro justo: 
 𝑈 = ln (100,000 − 5,000) = 11.4616 
– Preço máximo que este indivíduo está disposto a pagar pelo 
seguro: 
 11.4571 = ln (100,000 − 𝑥)  𝑥 = 5,426 
 
 
Utilidade (U) 
Riqueza (W) 
U(W) 11.4616 
11.4571 
80,000 
100,000 
O indivíduo estaria 
disposto a pagar até 
X (5,426) para não 
participar deste jogo. 
95,000 
X 
Exemplo 
Medindo Aversão à Risco 
• A medida mais utilizada de aversão foi desenvolvida 
por Pratt. 
𝑟 𝑊 = −
𝑈′′ 𝑊
𝑈′ 𝑊
 
• Para indivíduos avessos à risco, U”(W) < 0 
• Ou seja, r(W) será positiva para indivíduos avessos à 
risco. 
 
Medindo Aversão à Risco 
• A medida de Pratt para aversão à risco é 
proporcional ao montante que um indivíduo estaria 
disposto a pagar para não jogar um jogo justo. 
Medida de Aversão a Risco 
Relativa 
• Se a vontade de uma pessoa em evitar a loteria é 
inversamente proporcional à renda, então... 
 
𝑟𝑟 𝑊 = 𝑊 ∙ 𝑟 𝑊 = −𝑊 ∙
𝑈′′ 𝑊
𝑈′ 𝑊
 
 
...será aproximadamente uma constante. Esta é a 
medida relativa de aversão a risco. 
 
Duas Funções de Utilidade 
• CARA = Constant Absolut Risk Aversion 
𝑈 𝑊 = −exp −𝐴𝑤 
→ 𝑟 𝑊 = 𝐴 
• CRRA = Constant Relative Risk Aversion 
𝑈 𝑊 =
𝑊𝑅
𝑅
 (𝑠𝑒 𝑅 < 1; 𝑅 ≠ 0) 
𝑈 𝑊 = ln 𝑊 (𝑠𝑒 𝑅 = 0) 
→ 𝑟 𝑊 =
1 − 𝑅
𝑊
; 𝑟𝑟 𝑊 = 1 − 𝑅 
Anpec 2007 – Q15 
Um indivíduo tem uma riqueza não nula e sua função de 
utilidade von Neumann-Morgenstern tem a forma funcional 
u(x) = K – a/x, em que a e K são constantes positivas e x > a/K. 
Este indivíduo é convidado a participar de uma loteria que 
triplica sua riqueza com probabilidade p e a reduz à terçaparte com probabilidade 1 – p. Qual deve ser o valor mínimo 
de p para que o indivíduo aceite participar da loteria? 
Multiplique a probabilidade encontrada por 100. 
 
Respostas 
• Q15 – 2007: 75 
Anexo 
Teorema de VNM 
Utilidade VNM 
• Modelos matemáticos para examinar o 
comportamento econômico sob situações de 
incerteza. 
• Considere uma loteria com 𝑛 prêmios (x1, x2, 
…,xn) ordenados por preferência. 
 Construa um indexador, onde: 
U(x1) = 0  menos desejável 
U(xn) = 1  mais desejável 
 
Utilidade VNM 
• Existe uma maneira de se designar utilidades 
para os outros prêmios. 
• xi  qual é i que o indivíduo é indiferente entre 
xi e o jogo: xn com probabilidade i e x1 com 
probabilidade (1 - i). 
• i  representa quão desejável é o prêmio xi 
Utilidade VNM 
• Esta técnica define U(xi) como utilidade esperada do 
jogo que o indivíduo considera igualmente desejável 
a xi. 
𝑈 𝑥𝑖 = Π𝑖 ∙ 𝑈(𝑥𝑛) + (1 − Π𝑖) ∙ 𝑈(𝑥1) 
𝑈 𝑥𝑖 = Π𝑖 
• O valor desta utilidade (Π𝑖 no caso acima) é 
arbitrário e foi resultado da normalização inicial 
(𝑈 ∙ entre 0 e 1) 
Teorema VNM 
• Axiomas para a validade do Teorema de VNM: 
1. Completude; 
2. Transitividade; 
3. Continuidade; 
4. Independência: se 𝐿 ≺ 𝑀, então ∀𝑁 𝑒 𝑝 ∈ (0; 1]: 
𝑝 ∙ 𝐿 + 1 − 𝑝 ∙ 𝑁 ≺ 𝑝 ∙ 𝑀 + (1 − 𝑝) ∙ 𝑁 
Teorema VNM 
• Teorema VNM: se o indivíduo atender aos 4 
axiomas, então sua preferência pode ser escrita em 
uma escala e o indivíduo sempre optará por 
maximizar a utilidade esperada. 
 
𝐿 ≺ 𝑀 se, e somente se, 𝐸 𝑢 𝐿 < 𝐸(𝑢 𝑀 )