Aula 03 - Ef Renda e Ef Substituicao

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Microeconomia para a Anpec 
Theo Cotrim Martins 
E-mail: theocm@gmail.com 
mailto:theocm@gmail.com
Aula 03 
EFEITOS RENDA E SUBSTITUIÇÃO 
N-Cap. 5; V-Caps. 6 e 8 
Agenda 
• Funções demanda 
• Homogeneidade, mudanças de preços, mudanças na 
renda, tipos de bens 
• Função demanda Marshaliana vs Hicksiana 
• Equação de Slutsky 
• Elasticidades 
• Relações entre as elasticidades 
• Exercícios Anpec 
 
 
 
Funções Demanda 
• As quantidades ótimas de 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 podem ser 
expressadas como funções dos preços e da renda. 
• Essas funções podem ser expressas por n funções da 
seguinte forma: 
𝑥1
∗ = 𝑥1(𝑝1, 𝑝2, … 𝑝𝑛, 𝐼) 
𝑥2
∗ = 𝑥2(𝑝1, 𝑝2, … 𝑝𝑛, 𝐼) 
… 
𝑥𝑛
∗ = 𝑥𝑛(𝑝1, 𝑝2, … 𝑝𝑛, 𝐼) 
 
 
 
Funções Demanda 
• Se existem somente dois bens (𝑥 e 𝑦), podemos 
simplificar a notação para: 
𝑥∗ = 𝑥 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝐼 
𝑦∗ = 𝑦(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝐼) 
• Preços e renda são exógenos. 
– o indivíduo não tem controle sobre esses parâmetros. 
Homogeneidade 
• Se todos os preços e renda dobrarem, as quantidades 
ótimas não se alterarão. 
– A restrição orçamentária não se altera: 
𝑥𝑖
∗(𝑡𝑝1, 𝑡𝑝2, … , 𝑡𝑝𝑛, 𝑡𝐼) = 𝑡
0 𝑥𝑖(𝑡𝑝1, 𝑡𝑝2, … , 𝑡𝑝𝑛, 𝑡𝐼) = 
= 𝑥𝑖
∗ = 𝑥𝑖(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝐼) 
• Ou seja, as funções demanda são homogêneas de grau 
zero (h.g.0) em todos os preços e renda. 
Homogeneidade 
• Suponha uma função utilidade Cobb-Douglas do 
tipo: 
utilidade = U(x,y) = x0.3y0.7 
• As funções demanda são: 
• Note que dobrando a renda e os preços, as 
quantidades de x* e y* não se alteram. 
xp
x
I3.0
* 
yp
y
I7.0
* 
Mudanças na Renda 
• Um aumento de renda fará com que a restrição 
orçamentária se desloque paralelamente para fora. 
 
• Como 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
 não muda, a TMS se manterá constante a 
medida que mudamos para níveis mais altos de 
satisfação. 
Aumento de Renda 
• Se a quantidade demandada de x e y aumentam 
quando a renda aumenta, x e y são bens normais. 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
C 
U3 
B 
U2 
A 
U1 
Quando a renda aumenta, o indivíduo decide 
consumir mais x e mais y. 
Aumento de Renda 
• Se a quantidade demandada de x se reduz quando a 
renda aumenta, x é um bem inferior. 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
C 
U3 B 
U2 
A 
U1 
Quando a renda aumenta, o indivíduo decide 
consumir menos 𝑥 e mais 𝑦. 
Bens Normais e Inferiores 
 
Matematicamente, as relações apresentadas são: 
 
• Bem normal: O bem 𝑥𝑖 é normal se 
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝐼
> 0. 
 
• Bem inferior: O bem 𝑥𝑖 é inferior se 
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝐼
< 0. 
Mudanças na Renda 
• IMPORTANTE (não tem no Nicholson) 
• Se traçarmos uma linha nos gráficos anteriores, 
ligando todas as cestas que maximizam utilidade, 
teremos a curva de renda consumo, ou, caminho de 
expansão. 
• Ao traçarmos a relação entre renda e consumo de 
um dos bens, teremos a curva de Engel. 
Mudanças no Preço de um Bem 
• A análise é um pouco mais complicada pois a 
variação no preço de um bem muda a posição e a 
inclinação da restrição orçamentária. 
• Há dois efeitos: 
– Efeito substituição: é função dos preços relativos. 
– Efeito renda: é função da mudança de “renda real” em 
virtude da mudança de preço. 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
U1 
A 
Suponha que o consumidor está 
maximizando a utilidade no ponto A. 
U2 
B 
Se o preço do bem 𝑥 cai, o consumidor 
irá maximizar a utilidade no ponto B. 
Aumento total em x 
Mudanças no Preço de um Bem 
U1 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
A 
Para isolar o efeito substituição, mantemos a 
“renda real” constante, mas deixamos os 
preços relativos mudarem. 
Efeito Substituição 
C 
O efeito substituição é o movimento 
do ponto A para o ponto C. 
O indivíduo substitui o 
bem 𝑦 pelo bem 𝑥 
pois o bem 𝑥 ficou 
relativamente mais barato. 
Mudanças no Preço de um Bem 
U1 
U2 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
A 
O efeito renda ocorre porque a “renda 
real” do indivíduo muda quando o 
preço do bem x muda. 
C 
Efeito Renda 
B 
O efeito renda é o movimento do 
ponto C para o ponto B. 
Se x é um bem normal, 
O indivíduo irá comprar 
mais porque a “renda 
real” aumentou. 
Mudanças no Preço de um Bem 
U2 
U1 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
B 
A 
Com um aumento de preço a análise é similar. 
C 
O efeito substituição é o movimento 
do ponto A para o ponto C. 
Efeito Substituição 
Efeito Renda 
O efeito renda é o 
movimento do ponto C 
para o ponto B. 
Mudanças no Preço de um Bem 
Mudanças de Preços para 
Bens Normais 
• Se um bem é normal, os efeitos substituição e renda 
atuam na mesma direção. 
– Quando o preço cai, os dois efeitos levam a um 
aumento na quantidade demandada. 
– Quando o preço aumenta, os dois efeitos levam a uma 
queda na quantidade demandada. 
Mudanças de Preços para 
Bens Inferiores 
• Se um bem é inferior, os efeitos substituição e renda 
atuam em direções opostas. 
• O efeito final é indeterminado. 
– Quando o preço sobe, o efeito substituição leva a uma 
queda na quantidade demandada mas o efeito renda 
leva a um aumento na quantidade demandada. 
– Quando o preço cai, os efeitos se invertem, mas 
continuam em direções opostas. 
Paradoxo de Giffen 
• Para um bem inferior, se o efeito renda é maior que o 
efeito substituição, haverá uma relação positiva entre 
o preço do bem e a quantidade consumida. 
• Assim, quando o preço sobe a quantidade consumida 
também. 
• Quando isto ocorre o bem é denominado bem de 
Giffen. 
Tipos de Compensação 
• O efeito-substituição do exemplo anterior – no qual 
se mantém a utilidade constante – se refere à 
“compensação Hicksiana” 
 
• Também é possível se falar em “compensação de 
Slutsky”, na qual a cesta original se torna disponível 
aos preços correntes (NÃO TEM NO NICHOLSON – 
VER VARIAN). 
C 
U2 
U1 
Quantidade de x 
Quantidade de y 
B 
A 
O efeito substituição referente à compensação de Slutsky é o movimento 
do ponto A para o ponto C. 
Efeito Substituição 
Efeito Renda 
O efeito renda é o 
movimento do ponto C 
para o ponto B. 
Mudanças no Preço de um Bem 
U1’ 
Novamente analisando um aumento de preços... 
Curva de Demanda Individual 
(Marshalliana) 
• A curva de demanda individual mostra a relação entre o 
preço de um bem e a quantidade demandada desse bem. 
Os fatores a seguir são mantidos constantes quando a 
curva de demanda é derivada: 
– Renda 
– Preços dos outros bens 
– As preferências do indivíduo 
• Se algum destes fatores se modificar, a curva de 
demanda irá se deslocar. 
 
x 
…a quantidade 
demandada de 𝑥 
aumenta. 
Quantidade de y 
Quantidade de x Quantidade de x 
px 
x’’ 
px’’ 
U2 
x2 
𝑰 = 𝒑𝒙′′ + 𝒑𝒚 
x’ 
px’ 
U1 
x1 
𝑰 = 𝒑𝒙′ + 𝒑𝒚 
x’’’ 
px’’’ 
x3 
U3 
𝑰 = 𝒑𝒙′′′ + 𝒑𝒚 
Quando o preço 
de 𝑥 cai... 
Curva de Demanda Individual 
Curva de Demanda Individual 
• IMPORTANTE (não tem no Nicholson) 
• Se traçarmos uma linha no 1o. gráfico do slide 
anterior (eixo 𝑋, 𝑌), ligando todas as cestas que 
maximizam utilidade, teremos a curva de preço 
consumo. 
 
Curva de Demanda Compensada 
(Hicksiana) 
• O nível de utilidade varia ao longo de uma curva de 
demanda individual. 
• Quando o preço de 𝑥 cai, o indivíduo se desloca para 
curvas de indiferença superiores. 
• A curva de demanda compensada mostra a relação 
entre o preço de um bem e a quantidade consumida 
desse bem, mantendo todos os outros preços e a 
utilidade constantes. 
Curva de Demanda Compensada 
• Curva de demanda compensada: 
𝑥∗ = 𝑥𝑐(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑈) 
• Ao manter a utilidade constante, a curva de 
demanda compensada mostra somente o efeito 
substituição. 
• Já a curva de demanda individual mostra os efeitos 
substituição e renda. 
 
xc 
…a quantidade 
demandada aumenta. 
Curva de Demanda Compensada 
Quantidade de y 
Quantidade de x Quantidade de x 
px 
U2 
x’’ 
px’’ 
x’’ 
y
x
p
p
inclinação
''

x’ 
px’ 
y
x
p
p
inclinação
'

x’ x’’’px’’’ 
y
x
p
p
inclinação
'''

x’’’ 
Mantendo a utilidade constante, enquanto o preço cai... 
Comparação das Curvas de Demanda 
Quantidade de x 
px 
x 
xc 
x’’ 
px’’ 
Em px’’, as curvas se cruzam pois a 
renda do indivíduo é somente 
suficiente para atingir a utilidade U2. 
Quantity of x 
px 
x 
xc 
px’’ 
x* x’ 
px’ 
Para preços acima de px’’ a compensação 
de renda é positiva pois o indivíduo 
precisa de mais renda para se manter em 
U2. 
Comparação das Curvas de Demanda 
Isto só ocorre para bens normais. 
Curva de Demanda Compensada 
•Suponha que a utilidade é dada por: 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥0.5𝑦0.5 
•As funções demanda Marshalliana são: 
𝑥∗ =
𝐼
2𝑝𝑥
; 𝑦∗ =
𝐼
2𝑝𝑦
 
•A função utilidade indireta é: 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑉 𝐼, 𝑝𝑥, 𝑝𝑦 =
𝐼
2𝑝𝑥
0.5𝑝𝑦
0.5
 
Curva de Demanda Compensada 
• Para obter a demanda hicksiana, podemos isolar a 
renda na função utilidade indireta e então substituir 
na demanda Marshalliana. 
𝑥𝑐
∗ =
𝑉𝑝𝑦
0.5
𝑝𝑥
0.5 
𝑦𝑐
∗ =
𝑉𝑝𝑥
0.5
𝑝𝑦
0.5 
Análise Matemática 
• Por definição temos que: 
𝑥𝑐 𝑝
𝑥
, 𝑝
𝑦
, 𝑈 = 𝑥 𝑝
𝑥
, 𝑝
𝑦
, 𝐸 𝑝
𝑥
, 𝑝
𝑦
, 𝑈 
...a quantidade demandada é a mesma para as duas funções demanda quando a 
renda é exatamente a necessária para atingir um determinado nível de utilidade. 
• Diferenciando em relação a 𝑝𝑥: 
𝜕𝑥𝑐
𝜕𝑝𝑥
=
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
+
𝜕𝑥
𝜕𝐸
∙
𝜕𝐸
𝜕𝑝𝑥
 
Análise Matemática 
• Rearranjando: 
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
=
𝜕𝑥𝑐
𝜕𝑝𝑥
−
𝜕𝑥
𝜕𝐸
∙
𝜕𝐸
𝜕𝑝𝑥
 
 O primeiro termo do lado direito é a inclinação da 
curva de demanda compensada (efeito substituição). 
 O segundo termo mede é maneira que mudanças em 
𝑝𝑥 afetam a demanda por 𝑥 através de mudanças no 
poder de compra (efeito renda). 
 
Análise Matemática 
• Vamos mostrar que 
𝜕𝐸
𝜕𝑝𝑥
= 𝑥𝑐(𝑝, 𝑈) – Lema de Shepard. 
• O Lagrangeando do problema de minimização é dado por: 
𝐿 = 𝑝1𝑥1 + ⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 + 𝜆[𝑈 − 𝑈 𝑥 ] 
• Teorema do Envelope: se 𝑥∗(𝑝) é solução do problema como 
função de (𝑝1, … , 𝑝𝑛) então o Teorema do Envelope garante 
que para qualquer 𝑝 = (𝑝1, … 𝑝𝑛) que tivermos: 
𝜕𝐿
𝜕𝑝𝑖
=
𝜕 𝑝1𝑥1 + ⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛
𝜕𝑝𝑖
− 𝜆 ∙
𝜕 𝑈 − 𝑈 𝑥
𝜕𝑝𝑖
= 
𝑇.𝐸. 𝜕𝐸 𝑝, 𝑈
𝜕𝑝𝑖
 
 ...para qualquer 𝑖 = 1, . . 𝑛. 
 
Análise Matemática 
• Como os preços são parâmetros que entram apenas na 
função objetivo dada por 𝑝1𝑥1 + ⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛, temos que: 
𝜕𝐿
𝜕𝑝𝑖
=
𝜕 𝑝1𝑥1 + ⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛
𝜕𝑝𝑖
= 𝑥𝑖
𝑐 𝑝, 𝑈 = 
𝑇.𝐸. 𝜕𝐸 𝑝,𝑈
𝜕𝑝𝑖
 
• A dualidade dos problemas de maximização de utilidade e 
minimização de dispêndio garante que 𝐼 = 𝐸(𝑝, 𝑈) e que 
𝑥𝑖
𝑐 𝑝, 𝑈 = 𝑥𝑖 𝑝, 𝐸 𝑝, 𝑈 = 𝑥𝑖 𝑝, 𝐼 . 
Equação de Slutsky 
• Voltando à equação de Slutsky, agora sabemos que 
𝐸 𝑝, 𝑈 = 𝐼 e, que 
𝜕𝐸
𝜕𝑝𝑥
= 𝑥(𝑝, 𝐼). Portanto: 
𝐸𝑓. 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 = −
𝜕𝑥
𝜕𝐸
∙
𝜕𝐸
𝜕𝑝𝑥
= −𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝐼
 
• Já o efeito substituição é dado por: 
𝐸𝑓. 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 =
𝜕𝑥𝑐
𝜕𝑝𝑥
=
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
 
𝑈 
 
Equação de Slutsky 
• Desta forma: 
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
=
𝜕𝑥𝑐
𝜕𝑝𝑥
− 𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝐼
 
• Lado esquerdo: temos o efeito-preço total; 
• 1º termo à direita: Ef. Substituição (negativo desde 
que a TMS seja decrescente); 
• 2º termo à direita: Ef. Renda (negativo para bem 
normal, positivo para bem inferior). 
Decomposição de Slutsky 
• Decomponha o efeito preço utilizando a seguinte 
função utilidade: 
 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥0.5𝑦0.5 
 
Elasticidades 
• Definição geral: 
𝑒𝐵,𝐴 =
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 % 𝑒𝑚 𝐵
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 % 𝑒𝑚 𝐴
=
Δ𝐵
𝐵
Δ𝐴
𝐴
=
𝜕𝐵
𝜕𝐴
∙
𝐴
𝐵
 
• Exemplo: “elasticidade-preço da demanda”: 
𝑒𝑥,𝑝𝑥 =
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
∙
𝑝𝑥
𝑥
 
 
Elasticidade Preço da Demanda 
𝑒𝑥,𝑝𝑥 =
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
∙
𝑝𝑥
𝑥
 
• É normalmente negativa. 
– única exceção: bens de Giffen. 
• Definições: 
– Se ex,px < -1, a demanda é elástica; 
– Se ex,px > -1, a demanda é inelástica; 
– Se ex,px = -1, a demanda tem elasticidade unitária. 
Elasticidades 
 Elasticidade renda da demanda (𝑒𝑥,𝐼): 
 
𝑒𝑥,𝐼 =
Δx/x 
Δ𝐼/𝐼
=
𝜕𝑥
𝜕𝐼
∙
𝐼
𝑥
 
 Implicações: 
– Se ex,I > 0, o bem é normal; 
– Se ex,I < 0, o bem é inferior; 
– Se ex,I > 1, o bem é normal e de luxo. 
Elasticidades 
• Elasticidade preço-cruzada da demanda (ex,py): 
 
𝑒𝑥,𝑝𝑦 =
Δx/x 
Δ𝑝𝑦/𝑝𝑦
=
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑦
∙
𝑝𝑦
𝑥
 
• Implicações: 
– Se ex,py > 0, os bens são substitutos. 
– Se ex,py < 0, os bens são complementares. 
 
Elasticidade Preço e 
Gasto Total 
• Gasto total no bem 𝑥 é dado por: 
𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑝𝑥𝑥 
• Usando elasticidade, podemos determinar como o 
gasto total varia quando 𝑝𝑥 muda: 
𝜕 𝑝𝑥𝑥
𝜕𝑝𝑥
=
𝜕 𝑝𝑥𝑓(𝑝𝑥)
𝜕𝑝𝑥
= 𝑝𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
+ 𝑥 = 𝑥 ∙ [𝑒𝑥,𝑝𝑥 + 1] 
Elasticidade Preço e 
Gasto Total 
𝜕 𝑝𝑥𝑥
𝜕𝑝𝑥
=
𝜕 𝑝𝑥𝑓(𝑝𝑥)
𝜕𝑝𝑥
= 𝑝𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
+ 𝑥 = 𝑥 ∙ [𝑒𝑥,𝑝𝑥 + 1] 
 
• Se ex,px > -1, a demanda é inelástica e o preço e o 
gasto total se movem na mesma direção. 
• Se ex,px < -1, a demanda é elástica e o preço e o gasto 
total se movem em direções opostas. 
• Se ex,px = -1, a derivada é igual a zero e o gasto total 
não muda dada uma mudança no preço. 
 
Elasticidades na Demanda 
Hicksiana 
• Considere a demanda hicksiana abaixo: 
xc = xc(px,py,U) 
• Podemos calcular: 
– Elasticidade preço da demanda compensada (ex
c
,px). 
– Elasticidade preço cruzada da demanda compensada 
(ex
c
,py). 
Elasticidades na Demanda 
Hicksiana 
• Elasticidade preço da demanda compensada (ex
c
,px): 
 
 
 
• Elasticidade preço cruzada da demanda compensada 
(𝑒𝑥𝑐 , 𝑝𝑦): 
c
x
x
c
xx
cc
c
px
x
p
p
x
pp
xx
e
x







/
/
,
c
y
y
c
yy
cc
c
px
x
p
p
x
pp
xx
e
y







/
/
,
Elasticidade na Equação de Slutsky 
• Partindo-se da equação de Slutsky: 
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
=
𝜕𝑥𝑐
𝜕𝑝𝑥
− 𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝐼
 
• Multiplicando os dois lados por 
𝑝𝑥
𝑥
, vem: 
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
∙
𝑝𝑥
𝑥
=
𝜕𝑥𝑐
𝜕𝑝𝑥
∙
𝑝𝑥
𝑥
− 𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝐼
∙
𝑝𝑥
𝑥
 
Elasticidade na Equação de Slutsky 
• Multiplicando o último termo por I/I, vem: 
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
∙
𝑝𝑥
𝑥
=
𝜕𝑥𝑐
𝜕𝑝𝑥
∙
𝑝𝑥
𝑥
− 𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝐼
∙
𝑝𝑥
𝑥
∙
𝐼
𝐼
 
 Então: 
𝑒𝑥,𝑝𝑥 = 𝑒𝑥𝑐,𝑝𝑥 − 𝑠𝑥 ∙ 𝑒𝑥,𝐼 
 onde 𝑠𝑥 =
𝑝𝑥𝑥
𝐼
 é a parcela da renda gasta no bem 𝑥. 
Elasticidades na Cobb-Douglas 
• Suponha a função utilidade: 
U(x,y) = xy 
 
• As funções demanda são: 
xp
x
I




yp
y
I




Elasticidades na Cobb-Douglas 
• Calculando as elasticidades: 
1 
2,




















x
x
x
x
x
px
p
p
px
p
p
x
e
x
I
I




• Cálculos similares geram: 
– ex,Py = 0 
– ex,I = 1 
 
Relações entre elasticidades 
1. Homogeneidade: 
 - Funções de demanda são homogêneas de grau zero nos preços 
e na renda. 
 - O Teorema de Euler (Ver Nicholson, Cap.2) para funções h.g.0. 
garante que: 
0 = 𝑝𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
+ 𝑝𝑦 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑦
+ 𝐼 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝐼
 
 
 
 
Relações entre elasticidades 
1. Homogeneidade: 
 - Dividindo por 𝑥, temos: 
0 = 𝑒𝑥,𝑝𝑥 + 𝑒𝑥,𝑝𝑦 + 𝑒𝑥,𝐼 
- Intuição: as elasticidades da demanda atendem a uma 
consistência interna dada pela fórmula acima. 
 
Relações entre elasticidades 
2. Agregação de Engel: 
 - A Lei de Engel sugere que a parcela da renda destinada a 
alimentos declina a medida que a renda aumenta. 
 - Em termos de elasticidade, isto significa que a elasticidade 
renda da demanda por alimentos é, em geral, menor do que 
1. 
 - Isto implica que a elasticidade renda da demanda pelos bens 
não alimentícios deve ser maior que 1. 
Relações entre elasticidades 
2. Agregação de Engel: 
- Diferenciando a restrição orçamentária (RO) em relação a 𝐼, 
tratando preços como constantes, temos: 
1 = 𝑝𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝐼
+ 𝑝𝑦 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝐼
 
1 = 𝑝𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝐼
∙
𝑥𝐼
𝑥𝐼
+ 𝑝𝑦 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝐼
∙
𝑦𝐼
𝑦𝐼
 
𝟏 = 𝒔𝒙𝒆𝒙,𝑰 + 𝒔𝒚𝒆𝒚,𝑰Relações entre elasticidades 
3. Agregação de Cournot: 
- O tamanho do efeito cruzado de um aumento no preço 𝑝𝑥 
sobre a quantidade demandada de 𝑦 é “restrito” pela 
restrição orçamentária. 
- Diferenciando a Restrição Orçamentária em relação a 𝑝𝑥, 
vem: 
𝜕𝐼
𝜕𝑝𝑥
= 0 = 𝑝𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
+ 𝑥 + 𝑝𝑦 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑝𝑥
 
 
Relações entre elasticidades 
3. Agregação de Cournot: 
- Multiplicando a equação anterior por 
𝑝𝑥
𝐼
, temos: 
0 = 𝑝𝑥 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
∙
𝑝𝑥
𝐼
∙
𝑥
𝑥
+ 𝑥 ∙
𝑝𝑥
𝐼
+ 𝑝𝑦 ∙
𝜕𝑦
𝜕𝑝𝑥
∙
𝑝𝑥
𝐼
∙
𝑦
𝑦
 
0 = 𝑠𝑥𝑒𝑥,𝑝𝑥 + 𝑠𝑥 + 𝑠𝑦𝑒𝑦,𝑝𝑦 
𝒔𝒙𝒆𝒙,𝒑𝒙 + 𝒔𝒚𝒆𝒚,𝒑𝒙 = −𝒔𝒙 
 
Identidade de Roy 
• A partir do problema de maximização de utilidade, 
tínhamos o Lagrangeano dado por: 
𝐿 = 𝑈 𝑥, 𝑦 + 𝜆 ∙ [𝐼 − 𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑦𝑦] 
• Pelo Teorema do Envelope, temos: 
𝜕𝐿
𝜕𝑝𝑥
=
𝜕𝑉
𝜕𝑝𝑥
= −𝜆𝑥∗(𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝐼) 
• Além disso: 
𝜕𝐿
𝜕𝐼
=
𝜕𝑉
𝜕𝐼
= 𝜆 
Identidade de Roy 
• Rearranjando, temos a Identidade de Roy: 
𝑥∗ 𝑝1, 𝑝2, 𝐼 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑝𝑥
𝜕𝑉
𝜕𝐼
 
• Podemos então obter a demanda marshaliana a partir da 
função de utilidade indireta. 
Anexo – Cap. 5 (Nicholson) 
Q2 - 2006 
Com relação à função demanda, avalie as afirmativas: 
(0) Se a função utilidade de um consumidor for 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3, sua curva de 
demanda pelo bem x terá elasticidade constante igual a −
2
5
 
(1) Se a função utilidade de um consumidor for 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑎𝑦𝑏 e se 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
= 𝑘 , 
a trajetória de renda-consumo desses bens será 𝑦 =
𝑏𝑘
𝑎
𝑥 . 
(2) A curva de Engel de um bem de Giffen é crescente. 
(3) Se a trajetória preço-consumo para cada um de dois bens é crescente, a 
elasticidade-preço cruzada desses bens será positiva. 
(4) Ao longo de uma curva de demanda individual, o nível de utilidade do 
consumidor permanece constante. 
 
Q1 - 2009 
Respostas 
• Q01 – 2009: F V F V F 
• Q02 – 2006: F V F F F 
 
ANEXO 
Teorema do Envelope 
Teorema do Envelope 
• Suponha o problema: 
𝑀𝑎𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥1, … . 𝑥𝑛; 𝑎 
𝑠. 𝑎. : 𝑔 𝑥1, … 𝑥𝑛; 𝑎 = 0 
• ℒ = 𝑓 𝒙; 𝑎 + 𝜆𝑔(𝒙; 𝑎) 
• O Teorema do Envelope diz que: 
𝜕𝑦∗
𝜕𝑎
=
𝜕ℒ 𝒙∗; 𝑎
𝜕𝑎
 
 
Teorema do Envelope 
𝜕𝑦∗
𝜕𝑎
=
𝜕ℒ 𝒙∗; 𝑎
𝜕𝑎
 
• Ou seja, para pequenas mudanças em “a”, 
𝑑𝑦∗
𝑑𝑎
 pode 
ser calculado ao fixar 𝑥 em seu valor ótimo e, 
simplesmente derivar o Lagrangeano em relação a 
“𝑎” 
𝜕ℒ 𝒙∗;𝑎
𝜕𝑎
.