Aula de Radiciação e Propriedades

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AULA 04 - RADICIAÇÃO 
 
 
RADICIAÇÃO 
 
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado 
por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos. 
 
√𝒙
𝒏
 
 
n o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele 
mesmo; 
x o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo. 
 
Exemplo: √32
5
= 2 
5 índice 
32 radicando 
 radical 
2 raiz pois 25 = 32 
 
Outros exemplos: √8
3
 = 2, pois 2 3 = 8 
 
OBS.: Não se pode calcular a raiz quadrada de um número negativo. 
 
√-9 = NÃO EXISTE − √9 = - 3 (existe raiz) 
 
Note que no primeiro caso, é impossível de calcular. Já no segundo, repete-se o sinal que está fora do 
radical e o resultado é 3, pois 3 x 3 = 9. 
 
LEMBRETE: 
 
Quando não aparecer nenhum valor no índice do radical, o seu valor é igual a 2. Essa raiz é chamada 
de raiz quadrada. 
 
Exemplos: 
 
a) √27
3
 (Lê-se raiz cúbica de 27) 
b) √32
5
 (Lê-se raiz quinta de 32) 
c) √400 (Lê-se raiz quadrada de 400) 
d) √16
4
 (Lê-se raiz quarta de 16) 
 
 
 
 
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PROPRIEDADES DE RADICIAÇÃO (para a  0, b  0) 
 
a) Para um radicando que tenha, como resultado de uma fatoração, o expoente igual a seu índice, então 
este radicando é igual à raiz procurada. 
 
Ex.: √an 
n
 = a √85 
5
= 8 
 
b) Podemos dividir o radicando e o índice por um mesmo número real, desde que seja diferente de zero 
e maior que um. 
 
Ex.: √am 
n
 = √am:p 
n:p
 √310 
15
 = √310:2 
15:5
= √32
3
 
c) Para resolvermos a raiz enésima de uma raiz enésima, multiplicamos os índices entre si mantendo o 
radical interno. 
 
Ex.: √√a
n
 
m
 = √a
m.n
 √√3
26
= √3
6.2
 = √3
12
 
 
d) A raiz enésima de um produto é igual ao produto das raízes enésimas. 
 
Ex.: √a.b
n
 = √a
n
 . √b
n
 √6= √2 . √3 
 
e) A raiz enésima de uma divisão de 
a
b
 é igual ao quociente entre as razões enésimas. 
 
Ex.: √
a
b
n
 = 
√a
n
√b
n √
5
16
4
 = 
√5
4
√16
4 
 
f) A raiz enésima de um número elevado a uma potência dá-se pela raiz desse número sendo o 
radicando elevado a esta potência. 
 
Ex.: ( √a
m
)
n
= √an 
m
 (√x
3
)
5
= √x5 
3
 
 
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
SOMA E SUBTRAÇÃO 
Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam 
índice e radicando iguais. 
 
RADICAIS SEMELHANTES 
Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus 
coeficientes. 
 
 
 
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Exemplos 
a. 20 √ 3
6
 + 103 √3
6
 = 123 √ 3
6
 
b. 53√13
5
 – 43 √13
5
 = 13√ 13
5
 
c. 2 √5
3
 + 8 √ 5
3
 – 4 √5
3
 = 6 √5
3
 
 
RADICAIS NÃO SÃO SEMELHANTES 
Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração. 
 
Exemplos 
a. √81 + √25 = 9 + 5 = 14 
b. √5 − √2 = 2,24 − 1,41 = 0,82 (valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e 
de 2 são números irracionais) 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
RADICAIS COM MESMO ÍNDICE 
Repete a raiz e multiplica ou divide os radicandos. 
 
Exemplos 
a. √7
3
 𝑥 √4 
3
= √7𝑥4
3
= √28
3
 
b. √194
5
÷ √97
5
 = √194 ÷ 97
5
 = √2
5
 
 
 
Então, como achar as raízes? 
O método mais comum para calcular raízes de qualquer índice é aquele em que decompomos o 
radicando como um produto de fatores primos. Vamos por exemplo calcular a raiz quadrada de 16: 
Se decompormos o 16 em um produto de fatores primos obtemos: 
 
16 = 2𝑥2𝑥2𝑥2 = 24 
 
Logo podemos dizer que: 
 
√16 = √2𝑥2𝑥2𝑥2 = √22𝑥22 = √22𝑥√22 = 2𝑥2 = 4 
 
Mais um exemplo, mas agora para raiz quadrada de 12. Podemos dizer que: 
 
12 = 2𝑥2𝑥3 = 22 𝑥 3 
 
Reescrevendo, temos: 
 
√12 = √22 𝑥 3 = √22 𝑥 √3 = 2 𝑥 √3 = 2√3 
 
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RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
A racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração que apresenta um número 
irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional. 
 
Exemplos 
3
√5
=
3
√5
 𝑥
√5
√5
=
3√5
√25
=
3√5
5
 
2
√9
5 =
2
√32
5 𝑥 
√33
5
√33
5 =
2 √27
5
3