Função Polinomial do 2° grau - Definição, exemplos e análise dos coeficientes

Prévia do material em texto

Função Polinomial do 2° Grau (Função Quadrática) 
Definição: Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2° grau, qualquer 
função 𝑓 de ℝ em ℝ dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 
são números reais e 𝑎 ≠ 0. 
Observação: A restrição 𝑎 ≠ 0, é porque se 𝑎 = 0, teremos 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 + 𝑐, que é uma 
função polinomial do 1° grau e não do 2° grau. 
Exemplos de função polinomial do 2° grau e seus coeficientes: 
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 3𝑥 + 8; 𝑎 = 5, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = 8; 
b) 𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 − 1; 𝑎 = −3, 𝑏 = 4 𝑒 𝑐 = −1; 
c) ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 1; 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = −1; 
d) 𝑧(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥; 𝑎 = −1, 𝑏 = 2 𝑒 𝑐 = 0; 
e) 𝑟(𝑥) = 4𝑥2; 𝑎 = 4, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 0. 
Alguns exemplos de situações que usamos a função polinomial do 2° grau: 
• Geometria: A função que relaciona a área 𝐴 de um quadrado com a medida 𝑥 do 
seu lado é: 𝐴(𝑥) = 𝑥2; 
• Esporte: O número de partidas (𝑝) de um campeonato de futebol, com 𝑛 times, 
onde cada time joga duas vezes com outro, é dado pela função 𝑝(𝑛) =
𝑛. (𝑛 − 1) = 𝑛2 − 𝑛. 
Um exemplo disso é o Campeonato Brasileiro de Futebol, que é disputado por 20 
times, sendo que cada time joga duas vezes com outro. Nesse caso, o número de 
partidas é: 𝑝(20) = 202 − 20 = 400 − 20 = 380. Portanto, no Campeonato 
Brasileiro de Futebol são jogadas 380 partidas. 
• Geometria: O número de diagonais (𝑑) em um polígono convexo de 𝑛 lados é 
dada pela função 𝑑(𝑛) =
𝑛(𝑛−3)
2
=
𝑛2−3𝑛
2
. 
O número de diagonais de um quadrado é: 𝑑(4) =
42−3.4
2
=
16−12
2
=
4
2
= 2. 
Portanto, o número de diagonais do quadrado é 2. 
• Física: Em relação a um sistema de abscissas, a posição de um móvel em 
movimento uniformemente variado é expressa pela função polinomial do 2° grau: 
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
, em que 𝑠0 é a abscissa em que está o móvel no instante inicial 
(𝑡 = 0), 𝑣0 é sua velocidade no instante inicial, 𝑎 é a aceleração escalar constante 
do móvel e 𝑡 é tempo transcorrido desde o instante inicial. 
• Biologia: Um biólogo ao acompanhar o crescimento de uma planta, mediu sua 
altura dia a dia e conclui que a altura dessa planta pode ser modelada a partir da 
função 𝑦 =
20𝑥−𝑥2
6
, em que 𝑦 é a altura medida em centímetros e 𝑥 o tempo 
medido em dias. 
Gráfico de uma Função Polinomial do 2° Grau 
O gráfico de qualquer função quadrática dada por 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0 é uma 
curva, chamada parábola. Veja alguns exemplos: 
Sugestão: Observe as formas dos gráficos e os coeficientes das funções e analise se existe 
alguma relação entre as formas desses gráficos e os coeficientes das funções quadráticas. 
Análise dos coeficientes 
Coeficiente a: 
O coeficiente 𝑎, sendo 𝑎 ≠ 0, é responsável pela concavidade e abertura da parábola. 
• Se 𝑎 > 0, a concavidade é voltada para cima; 
• Se 𝑎 < 0, a concavidade é voltada para baixo; 
Quanto maior for o valor absoluto de 𝑎, menor será a abertura da parábola (parábola “mais 
fechada”), independentemente da concavidade ser para cima ou para baixo: 
Coeficiente b: 
O coeficiente 𝑏 indica se a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente ou decrescente 
da parábola. 
• Se 𝑏 > 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente; 
• Se 𝑏 < 0, a parábola intersecta o eixo y no ramo decrescente; 
• Se 𝑏 = 0, a parábola intersecta o eixo y no vértice. 
Coeficiente c: 
O coeficiente 𝑐 indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo y. 
A parábola intersecta o eixo y no ponto (0, 𝑐), ou seja, 𝑓(0) = 𝑐.