APOSTILA CÁLCULO ESTRUTURAL DE UMA LAJE UMA VIGA E UM PILAR

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CÁLCULO ESTRUTURAL DE UMA 
LAJE, UMA VIGA E UM PILAR. 
CÁLCULO ESTRUTURAL DE UMA LAJE, UMA VIGA E UM PILAR. 
 
RESUMO 
Este trabalho apresenta o pré-dimensionamento estrutural de uma residência de dois 
pavimentos, isso é um fator primordial para que possa ser calculado todas as etapas 
do projeto, através deste é possível saber o peso próprio da estrutura. Este cálculo é 
dividido em três etapas: lajes, vigas e pilares, o conhecimento das dimensões permite 
determinar os vãos equivalentes e as rigidezes, necessários no cálculo das ligações 
entre os elementos. Será utilizada a norma NBR 6118/3 (NORMA BRASILEIRA 6118 
PROJETOS DE ESTRUTURAS DE CONCRETO) que regulamenta todo tipo de 
construção feitas com concreto. 
Palavras-chave: Pré-dimensionamento, estrutura, construção. 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO................................................................................................ 
2 OBJETIVOS.................................................................................................... 
2.1 Objetivos Gerais.......................................................................................... 
2.1 Objetivos Específicos................................................................................. 
3 JUSTIFICATIVA.............................................................................................. 
4 METODOLOGIA.............................................................................................. 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.......................................................................... 
CONSIDERAÇÕESFINAIS................................................................................ 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................... 
APÊNDICES........................................................................................................ 
APÊNDICE A – APÊNDICE B – APÊNDICE C – 
ANEXOS............................................................................................................. 
 
INTRODUÇÃO 
Nas construções de Concreto Armado, sejam elas de pequeno ou de grande porte, 
três elementos estruturais são os mais comuns: as lajes, as vigas e os pilares. Há 
diversos outros elementos, que podem não ocorrer em todas as construções, são: 
blocos e sapatas de fundação, estacas, tubulões, consolos, vigas-parede, tirantes, etc. 
Este trabalho visa pré-dimensionar as estruturas de uma residência com dois 
pavimentos, através de fórmulas analíticas e/ou empíricas. No cálculo, devem-se 
considerar alguns aspectos, como material, vão, dimensionamento, carregamento, 
entre outros fatores. 
Serão estudadas as principais estruturas da construção: lajes, vigas e pilares, todos os 
cálculos realizados antes da construção das mesmas, quais os procedimentos 
necessários, normas, testes e por fim como a construção é realizada. 
Será utilizado o projeto da arquiteta Aline Padovin, que se trata de um sobrado 
residencial, localizado em Paulínia - SP, e a partir deste projeto será mostrado como 
todos os projetos, cálculos, comparações a normas e testes são realizadosantes da 
construção da residência. 
A norma utilizada é a NBR 6118/3 (NORMA BRASILEIRA 6118 PROJETO DE 
ESTRUTURAS DE CONCRETO) que regulamenta todo tipo de construção feitas com 
concreto. 
 
2 OBJETIVOS 
2.1 Objetivos Gerais 
Saber analisar uma planta de estruturas, considerando todas as partes da construção, 
analisando parte por parte e por fim todas em conjunto, como de fato serão 
construídas. 
Compreender como o memorial de cálculo é realizado, quais as normas necessárias 
para a execução correta de uma construção dentro dos parâmetros legais do país 
onde a mesma se localiza e qual sua importância para a formação de Engenheiros 
Civis. 
 
2.2 Objetivos Específicos 
Compreender como se elabora o cálculo estrutural de um projeto; 
Interpretar a planta em todos seus aspectos; 
Conhecer sobre a norma de concreto; 
Entender se os cálculos atendem a norma de concreto utilizada; 
Saber quais as etapas da obra e qual a importância de cada uma; 
Fazer os cálculos necessários ao memorial de cálculo; 
3 JUSTIFICATIVA 
Atualmente o ramo de construção civil está sofrendo constantes modificações devido 
às novas tecnologias que são desenvolvidas para a área. Diversos softwares foram 
desenvolvidos com o passar dos anos, com o intuito de agilizar os cálculos 
necessários para o projeto e a construção. 
Com isso é fundamental dominar todas as etapas de cálculos manualmente, 
compreender o que significa cada sigla, cada informação que devemos inserir no 
software e principalmente entender o que deve ser feito com as informaçõesque o 
mesmo nos proporciona no fim do calculo. 
Ao começar uma construção é de grande importância compreender todas as etapas 
do projeto, se organizar da melhor maneira e fazer uso de todos os recursos possíveis 
para que a construção seja correta, segura e entregue dentro do prazo estipulado. 
Constata-se então que o memorial de calculo é a parte mais importante entre todos os 
documentos necessários, pois erro neste acarretam o erro no orçamento todo e na 
execução da obra toda, podendo até fazer com que a mesma não atenda as 
exigências do projeto e venha ao chão. 
4 METODOLOGIA 
Realizou-se pesquisa em livros, apostilas e sites da internet. O cálculo utilizado no 
trabalho foi desenvolvido através de um projeto já existente cedido pela arquiteta. 
5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DO PAVIMENTO TIPO 
5.1 Introdução 
É de grande importância realizar o pré-dimensionamento da estrutura já na fase de 
elaboração do projeto, isso auxilia para que não ocorram futuros problemas, e que 
consequentemente interfira no projeto arquitetônico, através de algumas fórmulas 
simplificadas. 
O pré-dimensionamento é realizado de forma dividida, analisando separadamente os 
elementos, sendo lajes, vigas e pilares. Que é normalmente a ordem como é calculada 
a estrutura de um edifício. Assim, podendo determinar os esforços solicitantes. 
Atualmente, há softwares que facilitam esse processo, utilizando vários elementos 
para cada vez serem mais precisos. 
Um bom pré-dimensionamento resulta em dimensões, taxas de armaduras e seções 
finais. 
5.1.1Lançamento da estrutura 
O lançamento da estrutura é realizado sobre o projeto arquitetônico, devendo atender 
alguns aspectos básicos relacionados à estética, economia, funcionalidade e 
resistência às ações horizontais. 
No quesito estético, deve-se atender as condições estéticas definidas no projeto 
arquitetônico. Como normalmente a estrutura é revestida, procurando-se embutir as 
vigas e os pilares nas alvenarias quando possível. 
Ao lançar a estrutura visando minimizar o custo da mesma, segue alguns itens 
importantes: 
Uniformização da estrutura, gerando maior redução de custos e de velocidade de 
execução; 
Compatibilidade entre vãos, materiais e métodos utilizados; 
Uniformizar caminhamento das cargas para as fundações o máximo possível, evitando 
consumo desnecessário de material. 
Lançar a estrutura de uma edificação em concreto é basicamente escolher o 
posicionamento adequado para pilares, vigas e lajes, bem como realizar os pré-
dimensionamentos dos elementos estruturais. O bom lançamento estrutural é 
diretamente proporcional à vivência prática do projetista. 
A escolha da estrutura de um edifício de andares múltiplos começa pelo pavimento 
tipo, fixando-se a posição de vigas e pilares. 
Normalmente, lançam-se os pilares do andar-tipo, dando atenção a possíveis 
interferências no térreo, com as vagas de garagem, entre demais fatores, verificando 
se a posição dos pilares pode ser mantida nos outros pavimentos. Caso não seja 
possível mantê-las, reformula-se a estrutura do pavimento tipo até que a posição 
dospilares com os outros pavimentos esteja compatível. 
A seguir constam algumas recomendações aplicáveis a edificações em concreto 
armado com sistema estrutural comlaje, viga e pilar, com pequenas sobrecargas de 
utilização: 
Escolher regiões no pavimento tipo onde os pilares não fiquem aparentes em salas e 
dormitórios; 
Preferencialmente, o posicionamento das vigas devem formar pórticos com os pilares, 
para que a estrutura seja enrijecidadevidoàs ações horizontais, principalmente na 
direção da menor dimensão em planta da edificação; 
As vigas devem ser de preferência, lançadas onde existam paredes, evitando que as 
mesmas fiquem aparentes, lembrando que não é necessário que haja vigas sob todas 
as paredes, uma vez que, uma parede poderá apoiar-se diretamente na laje; 
Em relação aos limites dos vãos das lajes maciças, apresentam-se as seguintes 
recomendações: 
Adotar de 2 a 5 m para o menor vão de lajes armadas em uma direção e de 3 a 6 m 
para o maior vão de lajes armadas em duas direções; 
Lajes de vãos muito pequenos resultam em maior quantidade de vigas, resultando em 
um elevado o custo com fôrmas, enquanto que, lajes com vãos muito grandes 
requerem maiores espessuras e quantidade de armaduras, o que pode tornar a laje 
maciça economicamente inviável. 
5.2 Pré-dimensionamento da altura das lajes 
A ABNT NBT 6118/03 não especifica recomendações sobre a altura inicial a ser 
adotada para lajes. Para lajes retangulares com bordas apoiadas e engastadas pode 
se estimar a altura útil pela expressão dePré-dimensionamento a seguir: 
h=lx40Onde: 
H = altura útil d da laje; 
lx = menor vão da laje; 
40 = valor fixo da fórmula. 
Para estruturas convencionais, consideramos como vão teóricos a distância entre os 
eixos das vigas de apoio. Ou pode ser ainda usar a equação sugerida por Machado 
(1983 apud GIONGO, 2007), mostrada pela equação: 
d ≅2,5-0,1 . n . l* 
d = altura útil da laje (cm); 
n = número de bordas engastadas da laje; 
l* = menor dos dois valores; 
lx e ly = vãos efetivos da laje. 
Sendo que: 
lx0,7*ly , sendo lx<ly l*é em metros;Sendo assim a altura útil é encontrada pela 
seguinte equação: 
h=d+∅-cd = altura útil da laje (cm); 
h = espessura da laje ( altura da laje); 
Ø = diâmetro das barras; 
C = cobrimento nominal. 
Em caso de lajes em balanço pode-se utilizar estimar uma altura, pois não há uma 
equação própria. 
O pré-dimensionamento deve respeitar as espessuras mínimas definidas na NBR6118 
e expressas na Tabela 1. 
Tabela 1 - Espessuras mínimas de lajes 
FINALIDADE ESPESSURA MÍNINA 
Lajes de cobertura não em balanço 5,0 cm 
Lajes de piso e lajes em balanço 7,0 cm 
Lajes destinadas à passagem de veículos 12 cm 
Fonte: NBR6118/78 
h=2,6040 portanto h=0,065 m ou 6,50 cmDe acordo com a norma a laje 01 teria que 
ter uma espessura mínima de 7,0 cm, porem levando em consideração a acústica do 
ambiente decidimos adotar laje01 de 11 cm. 
 
h=2,50 40 portanto h=0,0625 m ou 6,25 cm 
De acordo com a norma a laje 02 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração aacústica do ambiente decidimos adotar laje 02 de 
11 cm. 
 
 
h=2,8040 portanto h=0,07 m ou 7,00 cm 
De acordo com a norma a laje 03 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 03 de 
11 cm. 
 
h=1,35 40 portanto h=0,03375 m ou 3,375 cm 
De acordo com a norma a laje 04 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 04 de 
11 cm. 
 
h=1,45 40 portanto h=0,03625 m ou 3,625 cm 
De acordo com a norma a laje 05 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 05 de 
11 cm. 
 
h=2,50 40 portanto h=0,0625 m ou 6,25 cm 
De acordo com a norma a laje 06 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 06 de 
11 cm. 
 
h=1,9040 portanto h=0,0475 m ou 4,75 cm 
De acordo com a norma a laje 07teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 07 de 
11 cm. 
 
h=1,70 40 portanto h=0,0425 m ou 4,25 cm 
De acordo com a norma a laje 08 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 08 de 
11 cm. 
 
h=2,15 40 portanto h=0,5375 m ou 5,375 cm 
De acordo com a norma a laje 09 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
poremlevando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 09 de 
11 cm. 
 
h=3,5040 portanto h=0,0875 m ou 8,75 cmDe acordo com a norma a laje 10 teria que 
ter uma espessura mínima de 7,0 cm, porem levando em consideração a acústica do 
ambiente decidimos adotar laje 10 de 11 cm. 
 
h=1,60 40 portanto h=0,04 m ou 4,00 cm De acordo com a norma a laje 11 teria que 
ter uma espessura mínima de 7,0 cm, porem levando em consideração a acústica do 
ambiente decidimos adotar laje 11 de 11 cm. 
 
h=1,90 40 portanto h=0,0475 m ou 4,75 cm 
De acordo com a norma a laje 12 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 12 de 
11 cm. 
10668005715000 
h=1,7040 portanto h=0,0425 m ou 4,25 cm 
De acordo com a norma a laje 13 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 13 de 
11 cm. 
 
h=1,5540 portanto h=0,03875m ou 3,875 cm 
De acordo com a norma a laje 14 teria que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, 
porem levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 14 de 
11 cm. 
 
h=4,35 40 portanto h=0,10875m ou 10,875cm De acordo com a norma a laje 15 teria 
que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, portanto a laje 15 esta atendendo a norma. 
Levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 15 de 11 cm. 
 
h=4,3540 portanto h=0,10875m ou 10,875cmDe acordo com a norma a laje 16 teria 
que ter umaespessura mínima de 7,0 cm, portanto a laje 16 esta atendendo a norma. 
 
h=2,6040 portanto h=0,065 m ou 6,50 cmDe acordo com a norma a laje 17 teria que 
ter uma espessura mínima de 7,0 cm, porem levando em consideração a acústica do 
ambiente decidimos adotar laje 17 de 11 cm. 
 
h=4,3540 portanto h=0,10875m ou 10,875cmDe acordo com a norma a laje 18 teria 
que ter uma espessura mínima de 7,0 cm, portanto a laje 15 esta atendendo a norma. 
Levando em consideração a acústica do ambiente decidimos adotar laje 18 de 11 cm. 
5.3 Pré-dimensionamento da seção transversal das vigas 
Para pré dimensionar as vigas existe a necessidade de estimar as dimensões 
transversais, em nosso projeto serão utilizadas apenas as seções retangulares. 
A altura das vigas será calculada pela expressão: 
h=l10Onde: 
h = altura da viga; 
l = vão da viga de eixo a eixo dos pilares de apoio; 
10= valor fixo da fórmula 
A viga contínua verifica-se a altura utilizando o maior vão que consta na mesma. 
O pré-dimensionamento das vigas devem respeitar as espessuras mínimas definidas 
na NBR6118 e expressas na Tabela 2: 
Tabela 2 - Espessuras mínimas de vigas 
FINALIDADE ESPESSURA MÍNINA 
Vigas 12 cm 
Vigas – Parede 15 cm 
Fonte: NBR6118/78 Viga 201 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 4,60 m; 
h=4,6010 =0,46m ou 46 cm Viga 202 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 1,55 m; 
h=1,5510 =0,155m ou 15,5 cmViga 203 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 1,55 m; 
h=1,5510 =0,155m ou 15,5 cm Viga 204 
Umaviga contínua, portanto será adotado o l com 1,55 m; 
h=1,5510 =0,155m ou 15,5 cmViga 205 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 4,60 m; 
h=4,6010 =0,46m ou 46 cm Viga 206 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 4,95 m; 
h=4,9510 =0,495m ou 49,5 cmViga 207 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 4,95 m; 
h=4,9510 =0,495m ou 49,5 cmViga 208 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 2,80 m; 
h=2,8010 =0,28m ou 28 cmViga 209Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 2,85 m; 
h=2,8510 =0,285m ou 28,5 cmViga 210 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 2,85 m; 
h=2,8510 =0,285m ou 28,5 cmViga 211 
h=4,1010 =0,41m ou 41,0 cmViga 212 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 4,55 m; 
h=4,5510 =0,455m ou 45,5 cmViga 213 
h=2,3510 =0,235m ou 23,5 cmViga 214 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 5,85 m; 
h=5,8510 =0,585m ou 58,5 cm Viga 215 
h=6,9010 =0,690m ou 69,0 cmViga 216 
h=2,2510 =0,225m ou 22,5 cm Viga 217 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 3,20 m; 
h=3,2010 =0,32m ou 32,0 cmViga 218 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 3,20 m; 
h=3,2010 =0,32m ou 32,0 cmViga 219 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 3,20 m; 
h=3,2010 =0,32m ou 32,0 cmViga 220 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 3,20 m; 
h=3,2010 =0,32m ou 32,0 cm Viga 221 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 3,20 m; 
h=3,2010 =0,32m ou 32,0 cmViga 222 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 2,60m; 
h=2,6010 =0,26m ou 26,0 cm Viga 223 
h=1,6510 =0,165m ou 16,5 cm Viga 224 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 3,30 m; 
h=3,3010 =0,33m ou 33,0 cmViga 225 
h=1,6510 =0,165m ou 16,5 cm Viga 226 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 2,60 m; 
h=2,6010 =0,26m ou 26,0 cmViga 227 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 1,90 m; 
h=1,9010 =0,19m ou 19,0 cmViga 228 
h=4,3510 =0,435m ou 43,5 cmViga 229 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 1,60 m; 
h=1,6010 =0,16m ou 16,0 cm Viga 230 
h=1,0010 =0,10m ou 10,0 cmViga 231 
h=4,3510 =0,435m ou 43,5 cm Viga 232 
Uma viga contínua, portanto será adotado o l com 2,60 m; 
h=2,6010 =0,26m ou 26,0 cm Viga 233 
h=4,3510 =0,435m ou 43,5 cm Viga 234 
h=1,9010 =0,19m ou 19,0 cm 
 
5.4 Pré-dimensionamento da seção transversal dos pilares 
Os pilares são os elementos estruturais de maior importância nas estruturas, tanto do 
ponto de vista da capacidade resistente dos edifícios quanto no aspecto de segurança. 
Além da transmissão das cargas verticais para os elementos de fundação, os pilares 
podem fazer parte do sistema de contraventamento responsável por garantir a 
estabilidade global dos edifícios às ações verticais e horizontais. 
 
Para realizar o pré-dimensionamento dos pilares é necessário estimar sua carga, 
utilizando o processo das áreas de influência. Este processo consiste em dividir a área 
de todas as lajes do pavimento em áreas de influência. 
Primeiramente determinamos o peso próprio de cada pilar, utilizando aseguinte 
equação: 
pp = γCA . emédiaOnde: 
pp = peso próprio do pilar (KN/m²) 
γ = 25 KN/m³; 
emédia=espessura média, levando em consideração as espessuras da laje, viga e 
pilar (para edifícios residenciais = 0,17 m e para as escadas 0,20 m). 
Aplicando a equação: 
pp=25*017=4,25kN/m² Portanto o peso próprio do nosso P.20 é de 4,25kN/m². 
Para o cálculo do peso do pilar a ser utilizado nas equações adiante devemos incluir 
os valores de revestimento, sobrecarga e alvenaria, utilizamos a equação a seguir: 
Pmédio = pp + revestimento + alvenaria + sobrecarga 
Aplicando a equação: 
Pmedio=4,25+1+2+4,75=12kN/m²Portanto o peso próprio do pilar a ser utilizado nas 
equações será o peso médio que equivale a 12Kn/m² , devido termos incluído as 
cargas adjacentes. 
De acordo com a NBR 6120/80, o valor estimado do revestimento para o pré-
dimensionamento é entre 0,5 e 1,0 KN/m². 
No caso da alvenaria, o carregamento distribuído devido às paredes pode ser obtido 
da somatória de todas as paredes do pavimento pela área do pavimento Para 
edificações residenciais com alvenaria de blocos cerâmicos e espessura de 15 cm, 
estima-se o valor do carregamento entre 3,0 e 5,0 KN/m². 
A sobrecarga é definida pela norma como “toda aquela que pode atuar sobre a 
estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, 
veículos, etc.)”, onde seus valores são tabelados de acordo a função do espaço em 
questão, podendo variar de 1,5 a 3,0 KN/m². 
Após determinar o peso médio é necessário calcula-se a área de influência a sua 
determinação mais utilizada é por o processo geométrico. Esse processo consiste em 
relacionar as lajes que descarregam as cargas diretamente no pilar e dividi-las em 
quatro partes , como ilustrado na Figura 1. 
 
Figura1: Área de influência de um pilar 
 
Após a divisão, calculam-se as áreas quadradas de cada laje, demarcadas com 
hachuras o que equivalem a ¼ da laje, em seguida soma-se as áreas quadradas 
encontrada em casa laje obtendo-se a área de influencia do pilar a ser calculado. 
Aplicando este processo para obtermos a área de influencia do pilar P.5: 
 
Onde: 
Laje 2= 1,25*1,40=1,75m²Laje 3= 1,575*1,40=2,205m²Laje 6= 
1,25*1,525=1,90625m²Laje 7= 
1,575*1,075=1,693125m²Ai=1,75+2,205+1,90625+1,693125=7,554375 m²Portanto 
nossa área de influencia ao pilar P.20 é 7,554375 m². 
PESO FINAL DO PILAR: 
O pilar final do pilar é incluído a área de influencia referente as lajes que descarregam 
ao pilar. A partir de a equação a seguir vamos obtemos o Ppilar: 
Ppilar = Pmédio . Ai 
Onde: 
Ppilar= peso do pilar (KN);Pmédio = peso médio (KN/m²);Ai= área de influencia (m²). 
Aplicando a equação: 
Ppilar=12*7,554375=90,6525 KNPortando nosso peso final do pilar é 90,6525 kN. 
É estabelecido pela norma que a seção transversal dos pilares que os mesmos não 
devem apresentar dimensão menor que 19 cm. Em alguns casos, permitem-se 
dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no dimensionamento se multipliquem as 
ações por um coeficiente adicionalγf, indicado na Tabela 6.O γf é utilizado para 
definição da dimensão mínima doslados dos pilares, de acordo com a norma NBR 
6118/03 (item 13.2.3): 
Tabela 6: Valores do coeficiente adicional γf em função de b 
B ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 
γf 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
Fonte: Adaptado da ANBT NBR 6118/03 
Onde: 
γf = 1,95 – 0,05b 
Sendo: 
b = menor distância da seção transversal do pilar (cm). 
O coeficiente γfdeve majorar os esforços solicitantes finais de cálculos nos pilares 
quanto ao seu dimensionamento. 
Com o valor de γf e do peso do pilar é possível encontrar a carga final do pilar 
(PdTotal), utilizando a fórmula abaixo: 
PdTotal = γf . (n .Ppilar) 
Onde: 
PdTotal= carga final do pilar (KN/m²); 
γf=coeficiente adicional (gama de ponderação); 
n = número de pavimentos. 
Aplicando a equação: 
Pd=1,4*2*90,6525=253,827 KNA tensão admissível é calculada de acordo com o fck 
utilizado, sendo necessário transformar a unidade de MPa para KN/m², ou seja, divide-
se o valor obtido por 10.No presente pré-dimensionamento, utiliza-se o fck comercial 
de 25 MPa. 
σadm = 0,5 . fckAplicando a equação: 
σadm=0,5*25=1,25 KN/cm²Após todos os cálculos realizados anteriormente, 
determina-se qual é a área do pilar (Ap), dada em cm². 
Ap = Pd totalσadmAp = área do Pilar (cm²); 
σ = tensão admissível. 
Aplicando a equação: 
Apilar=253,8271,25=203,0616 cm²Em qualquer caso, não se permite que essa área, 
ou seja, que a seção transversal do pilar seja inferior a 360 cm². 
203,0616 < 360 cm²Portanto adotaremos a base do pilar de 15 cm, sendo assim: 
360=15*hh=36015=24 cmDe acordo com opré-dimensionamento o P.20 seria de 
12x24, em projeto, a arquiteta projetou um pilar de (12x22), sendo necessário realizar 
um o dimensionamento do P.20 para comprovar nossos resultados. 
 
6. LAJE 
6.1 Introdução 
Segundo a NBR 6118/03 as lajes são as estruturas planas e horizontais de concreto 
armado, apoiada em vigas e pilares, que divide os pavimentos da construção, também 
chamadas de elementos de superfície ou placas. Destinam-se a receber a maior parte 
das ações aplicadas numa construção, normalmente de pessoas, móveis, pisos, 
paredes, e os mais variados tipos de carga que podem existir em função das 
finalidades arquitetônica do espaço que a laje faz parte. 
Aslajes maciças são superfícies de estrutura plana, em geral composta de concreto e 
armaduras, que normalmente se apoiam ou engastam em vigas. Quando elas apoiam-
se diretamente sobre pilares, denominam-se lajes maciças cogumelo, porém, não é 
uma solução muito comum. 
 
Normalmente as lajes maciças são moldadas “in loco”, ou seja, são construídas no 
local, a partir de fôrmas de madeira ou metálicas, onde são colocadas as armaduras, 
os espaçadores, as tubulações necessárias, se houver, e depois é colocado o 
concreto. Elas são dispostas para resistir aos esforços de tração que as solicitam por 
ação dos momentos fletores. 
Os cálculos do presente trabalho serão realizados de acordo com as normas ABNT 
NBR 6118/03, que fixa as condições básicas exigíveis para projeto de estruturas de 
concreto simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam 
concretoleve, pesado ou outros especiais, a ABNT NBR 6120/80, que fixa as 
condições exigíveis para determinação dos valores das cargas que devem ser 
consideradas no projeto de estrutura de edificações, qualquer que seja sua classe e 
destino, salvo os casos previstos em normas especiais e a ABNT NBR 8681/03, que 
fixa os requisitos exigíveis na verificação da segurança das estruturas usuais da 
construção civil e estabelece as definições e os critérios de quantificação das ações e 
das resistências a serem consideradas no projeto das estruturas de edificações, 
quaisquer que sejam sua classe e destino, salvo os casos previstos em Normas 
Brasileiras específicas. 
6.1.1 Vãos efetivos de lajes 
Os vãos efetivos, vãos teóricos ou vãos de cálculo de lajes, são os valores da 
distância entre os apoios que serão utilizados na análise da estrutura, obtidos através 
dos vãos livres. 
 
A NBR 6118/03 (item 14.6.2.4) afirma que, quando os apoios forem suficientemente 
rígidos na direção vertical, o vão deve ser calculado pela seguinte equação: 
lef = lo+a1 +a2Onde: 
lef= vão efetivo da laje; 
lo=vão livre da laje; 
a1≤t123h e a2≤t223h77216020637500 
No caso de edifícios residenciais onde bw<30cm, é usual adotar o vão efetivo como 
sendo a distancia entre os centros dos apoios respectivos, mostrado pela equação 
prática: 
lef=lo+t12+t226.1.2 Classificação quanto às direções de armação 
As armaduras principais das lajes podem ocorrer em apenas uma direção ou nas duas 
direções. Em todo caso deve se formar uma malha com as armaduraspara melhor 
distribuição das tensões. Considera-se o menor vão efetivo como sendo lx e o maior 
vão como ly. 
 
6.1.2.2 Laje armada em uma direção 
Para que uma laje seja considerada armada em uma direção, a relação entre o maior 
vão efetivo e o menor vão efetivo deve satisfazer a equação: 
λ = lylx > 2 
Nessas lajes admite-se que a carga seja transmitida somente na direção do menor 
vão. Desse modo, a armadura principal dimensionada é colocada paralela ao menor 
vão. Paralelo ao maior vão é colocado uma armadura secundária, chamada de 
armadura de distribuição para a formação da malha. 
Para a realização dos cálculos dos esforços solicitantes, a laje é considerada como 
sendo uma viga com um metro de largura. 
6.1.2.3 Laje armada em duas direções (em cruz) 
Para que uma laje seja considerada armada em duas direções, a relação entre o maior 
vão efetivo e o menor vão efetivo deve satisfazer a equação: 
λ=lylx ≤ 2São lajes em que se admite que a carga seja transmitida nas duas direções. 
Assim, as armaduras principais dimensionadas são colocadas nas duas direções para 
que a malha seja formada. 
 
6.1.3 Classificação quanto às vinculações de suas bordas (para lajes que serão 
envolvidas no cálculo) 
Há três condições de apoio simplificadas para os cálculos manuais, representados 
pela convenção a seguir: 
 
A borda engastada não deve permitir deslocamentos verticais e as rotações, isto pode 
acontecer quando se tem uma laje adjacente. 
A borda apoiada não deve permitir deslocamentos verticais. Esse tipo de borda 
podeocorrer quando não existe uma continuidade da laje com a laje adjacente, neste 
caso o apoio ocorrerá sobre a viga de concreto ou parede de concreto. 
Na borda livre os deslocamentos verticais e as rotações de apoio são permitidos pela 
falta de apoio. 
6.2 Carregamentos 
A determinação do carregamento pode ser obtida pelas normas ABNT NBR 6120:1980 
e 6118:2003, cargas para cálculos de estruturas e edificações ABNT NBR 6120:1980 
e Ações e segurança nas estruturas. 
O carregamento total da laje pode ser dado pela equação: 
p=g+q+PalvOnde: 
p – Carregamento total da laje (Kn/m²); 
g – Ações permanentes; 
q – Carga acidental (Sobrecarga); 
Palv – Carga da alvenaria se houver. 
 
6.2.1 Peso próprio da laje 
É o peso do concreto armado que forma a laje maciça. Ele pode ser calculado pela 
equação: 
pp=Yca*hOnde : 
Pp – Peso próprio da laje (Kn/m²); 
Yca - Peso específico do concreto armado (25Kn/m³ segundo a ABNT NBR 
6120:1980); 
H - Espessura da laje ou altura da laje (m). 
6.2.2 Revestimento 
O cálculo do peso próprio do revestimento da laje pode ser obtido pela equação: 
pprev = Уpiso . episo + Уcontrapiso . econtrapiso + Уforro . eforroOnde: 
pprev= peso próprio do revestimento da laje; 
Уpiso = peso específico do piso; 
episo = espessura do piso; 
Уcontrapiso = peso específico do contra piso; 
econtrapiso= espessura do contra piso; 
Уforro= peso específico do forro; 
eforro = espessura do forro. 
De acordo com a ABNT NBR 6120/80, adota-se piso de lajota cerâmica de espessura 
estimada de 0,5 cm com pesoespecífico de 18 KN/m³, contra piso de espessura 
estimada de 3 cm com peso específico de 21 KN/m³ argamassa mais rica em cimento 
e revestimento de teto ou forro de espessura estimada em 2 cm com peso específico 
de 19 KN/m³. 
Substituindo os valores da norma na equação, tem-se que: 
pprev = 18.0,005+ 21.0,03 + 19.0,02 = 1,1 KN/m² 
Desse modo, adota-se 1 KN/m² para o revestimento 
6.2.3 Peso de alvenaria 
O peso próprio de parede de alvenaria sobre a viga pode ser obtida pela equação: 
ppAlv=γalv*ealv*HalvOnde: 
γalv – peso específico do material que compõe a alvenaria; 
ealv – espessura total acabada da alvenaria; 
halv – altura da alvenaria; 
6.2.4 Sobrecarga 
É especificado na NBR 6120/80 que: 
Para edifícios residenciais (dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro) adotar 
sobrecarga de 1,5 KN/m²; 
Para edifícios residenciais (despensa, área de serviço e lavanderia) adotar sobrecarga 
de 2,0 KN/m²; 
Para terraços (com acesso ao público) adotar sobrecarga de 3,0 KN/m²; 
Ao longo dos parapeitos e balcões, devem ser consideradas aplicadas uma carga 
horizontal de 0,8 KN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 KN/m 
além do peso próprio do parapeito, porém, para cálculo manual da laje, carga 
acidental horizontal de 0,8 KN/m atuando no topo do parapeito pode ser desprezada. 
6.2.5 Carregamento total 
O carregamento total é apresentado através da seguinte fórmula: 
Cg=P+Pp+Pprev=SobrecargaOnde: 
Cg – Carregamento total (Kn/m²); 
P – Carregamento da laje (Kn/m²); 
Pp – Peso próprio da laje (Kn/m²); 
Pprev –Peso próprio do revestimento da laje (Kn/m²); 
Sobrecarga – Especificada na NBR 6120/80 (Kn/m²). 
6.3 Dimensionamento 
6.3.1 Altura útil 
Segundo a norma ABNT NBR 6118:2003 Afirma que “d é a altura útil da seção, igual à 
distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armada de tração [..]”. 
Como as armaduras em lajes são dispostas em malha, a altura útil varia conforme a 
direção considerada. Segundo Araújo( 2010) simplificadamente, pode-se adotar a 
mesma altura útil para as duas direções, como mostrado na figura a seguir. 
 
d=h-∅-cOnde: 
d – Altura útil; 
h – Espessura da laje (altura da laje); 
∅ - Diâmetro das barras; 
c – cobrimento nominal. 
O cobrimento nominal é obtido de acordo com a tabela abaixo: 
Classe de Agressividade Ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de 
ambiente Risco de deteorizaçãoda estrutura 
I Fraca Rural Insignificante 
Submersa II Moderada Urbana1), 2) Pequeno 
III Forte Marinha1) Grande 
Industrial1), 2) IV Muito Forte Industrial1), 3) Elevado 
Respingos de Maré NOTAS: 1) Pode-se admitir um microclima com classe de 
agressividade um nível mais brando para ambientes internos secos (salas, dormitórios, 
banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos 
comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 
2) Pode-se admitir uma classe de agressividade um nível mais branda em: obras em 
regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da 
estrutura protegidas de chuva em ambientespredominantemente secos, ou regiões 
onde chove raramente. 
3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, 
branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias 
químicas. 
Segundo a NBR 6118/03 (item 7.4.1), a “durabilidade das estruturas é altamente 
dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto 
do cobrimento da armadura.” Para as lajes, a norma determina os valores do 
cobrimento em função da classe de agressividade ambiental, de acordo com a Tabela 
2: 
Tabela 2 - Cobrimento 
Classe de Agrassividade I II III IV 
Cobrimento Nominal 2,0 2,5 3,5 4,5 
Fonte: Adaptado da ABNT NBR 6118/03, p. 19 
Adotaremos como cobrimento o valor da Classe I, pois a Classe em que estamos é a 
II, mas como a obra está em uma região de clima seco é permitido usar um nível mais 
brando. 
6.3.2 Esforços solicitantes para lajes armadas em duas direções 
Os esforços solicitantes podem ser obtidos pela Teoria clássica de placas delgadas 
considerando o material isótropo, homogêneo, elástico e linear. 
Os esforços apresentam-se na forma de equações diferenciais que, na maioria das 
vezes, não é possível uma solução de forma exata. Recorre-se então a processos 
numéricos para a resolução dessas equações como: Método dos elementos finito, 
Métodos dos elementos de contorno, Método das diferenças finitas ou Analogia de 
grelhas (PINHEIRO et al., 2010). 
Existem tabelas confeccionadas a partir dos processos numéricos como a de 
Kalmanok, Czerny, Marcus e Bares. Demodo geral abrangem os casos de lajes 
retangulares, triangulares, circulares, apoiadas em pilares, com bordas livres, sob 
carregamento uniforme e triangular. 
Neste trabalho serão utilizadas as tabelas desenvolvidas por Kalmanok e adaptadas 
por MUÑOZ (1961). A figura a seguir mostra alguns casos de condições de apoio para 
carga uniformemente distribuída. 
 
Figura - Lajes armadas em duas direções. 
Para cada Tabela, obtêm-se coeficientes para o cálculo dos valores das flechas (ωcp), 
dos momentos fletores positivos (Macp ou Mbcp), dos momentos fletores negativos 
(Ma0 ou Mb0), momentos torçores (M0) e reações de apoio (Ra3, Rac, Rb3 ou Rbc). 
Para o índice subscrito “3” se refere ao lado engastado. 
A figura mostra um exemplo, no caso da Tabela x, do posicionamento dos esforços: 
momentos fletores e reações de apoio para faixa central. Deve-se respeitar a 
indicação mostrada na tabela quanto aos valores de “a” e “b”, ou seja, vãos efetivos lx 
e/ou ly. 
 
6.3.3 Dimensionamento da laje armada em duas direções 
 
 
6.3.3.1 Esforços solicitantes (momentos fletores e reações de apoio) 
Os valores dos esforços solicitantes são obtidos através dos coeficientes obtidos nas 
tabelas para duas situações mostradas nas seguintes equações: 
Para:ab< 1 
Os momentos fletores positivos são obtidos pelas equações: 
Macp = coeficiente .p .a² 
Mbcp = coeficiente .p .a² 
Os momentos fletores negativos são obtidos pelas equações: 
Ma0 = coeficiente .p .a² 
Mb0 = coeficiente .p .a² 
As reações de apoio são obtidas pelas equações: 
Rac ou Ra3 = coeficiente . p . a²a 
Rbc ou Rb3 = coeficiente . p . a²b 
Para:ba< 1 
Os momentos fletores positivos são obtidos pelas equações: 
Macp = coeficiente .p .b² 
Mbcp = coeficiente .p .b² 
Os momentos fletores negativos são obtidos pelas equações: 
Ma0 = coeficiente .p .b² 
Mb0 = coeficiente .p .b² 
As reações de apoio são obtidas pelas equações: 
Rac ou Ra3 = coeficiente . p . b²a 
Rbc ou Rb3 = coeficiente . p . b²b 
Onde: 
Macp ou Mbcp = momentos fletores positivos (KN.m); 
Ma0 ou Mb0=momentos fletores negativos (KN.m); 
Rac, Ra3, Rbc ou Rb3 = reações de apoio (KN/m); 
p = carregamento total da laje (KN/m ²); 
coeficiente = valor retirado da tabela correspondente a cada esforço procurado; 
a = vão efetivo da laje (m); 
b = vão efetivo da laje (m). 
6.3.3.2 Armadura positiva mínima para lajes 
Para seções retangulares as taxas mínimas de armadura de flexão, ρmin, deve ser 
obtida pela equação a seguir, segundo a ABNT NBR 6118/03: 
ρmin =As minAc 
Onde: 
ρmin = taxas mínimas de armadura de flexão;As min = armadura mínima; 
Ac = área de concreto (bw.h); 
bw = largura da laje (adotar 100cm); 
h = altura da laje. 
A seguir, a tabela X mostra os valores de ρmin. 
Tabela – Valores de ρmin (%) 
Forma da seção fck(MPa) 20 25 30 35 40 45 50 
Retangular ρmin (%) 0,150 0,150 0,173 0,201 0,203 0,259 0,288 
Fonte: Adaptado da ABNT NBR 6118/03, p. 117Os valores de ρmin estabelecidos na 
tabela pressupõem o uso de aço CA50, Уc = 1,4 e Уs = 1,15. Caso esses fatores 
sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmin de 0,035. 
Portanto, pode-se obter a armadura mínima pela equação: 
As min = ρmin .Ac = ρmin. bw . h = ρmin (%)100 . 100.h 
As armaduras mínimas positivas para lajes segundo a ABNT NBR 6118/03 podem ser 
obtidas a partir das equações dispostas na tabela: 
ARMADURAS PASSIVAS ARMADURA MÍNIMA 
Armadura positiva As min ≥ 0,67 .ρmin (%)100 . 100.h 
Armadura negativa As min ≥ ρmin (%)100 .100.h 
Em uma direção (de distribuição) 
(armadura secundária) 
Espaçamento máximo 33 cm 4667252476500 20% da armadura principal 
As dist ≥ 0,9cmm 0,5.ρmin.bw.h=ρmin (%)100. 100.h 
Fonte: Adaptado da ABNT NBR 6118/03, p. 1436.3.4 Compatibilização dos momentos 
negativos entre as lajes adjacentes 
Ao calcular a laje individualmente os momentos fletores negativos entre duas bordas 
adjacentes são geralmente diferentes conforme a figura a seguir: 
 
A compatibilização dos momentos negativos deve ser realizada nas duas direções da 
laje. O método mais utilizado é a equação aseguir: 
X≥0,8*XmaiorXmaior + Xmenor2Onde: 
Xmaior - Maior momento fletor; 
Xmenor – Menor momento fletor. 
Utiliza-se o maior valor encontrado a partir da fórmula. 
6.3.5 Dimensionamento das lajes - Cálculos 
As lajes envolvidas nos cálculos são as lajes L16 e L18 de acordo com a figura abaixo: 
 
Começaremos os cálculos pela laje L18. 
Para começar o cálculo, a primeira coisa a ser encontrada são os vãos efetivos (que 
serão utilizados em todos os cálculos), através da equação (?): 
Vão efetivo em direção x: 
lefx=413+222+222=435 cm Vão efetivo em direção y: 
lefy=433+222+222=455 cmA seguir classificaremos a laje L18 quanto à direção de 
suas armaduras, através da equação (?): 
λ=455435=1,04597701149 < 2 Concluímos que nossa laje L18 é armada em duas 
direções. 
 
De posse das informações anteriores, começaremos o pré-dimensionamento da laje 
L18. 
Para obter a altura da laje utilizaremos a equação (?) e equação (?), adotando o maior 
valor que for encontrado: 
lx=4350,7*455=318,5 cm e 3,185 m Será adotado então o valor de 3,185 m. 
d ≅2,5-0,1 . 1 . 3,185=7,644 .H=7,644+0,5+2=10,144 cmPara encontrar a altura total 
da laje se utiliza a fórmula (?) :h=4,35 40 portanto h=0,10875m ou 10,875cmO valor 
adotado será arredondado para 11 cm. 
Utilizaremos a equação (?) para obter o peso próprio da laje L18: 
pp=25*0,11=2,75 kN/m2O carregamento será a somatória das ações variáveis mais o 
peso próprio da laje. 
p=2,75+1+1,5=5,25 KN/M2Consideramos que a laje L18 e a laje L19 estejam 
engastadas, pois suasdimensões são parecidas. 
Para obtermos os valoresnecessários para dar continuidade é necessário desenhar o 
croqui com os esforços solicitantes na direção x e y. Utilizaremos a tabela de 
Kalmanok (1961 apud MUNOZ 2005) “processo números” 
 
Utilizando os descritivos abaixo da tabela descobriremos de que forma utilizamos há 
para encontrar os valores necessários: 
ab=455435=1,04597701149 > 1ba=435455=0,956043956044 < 1Encontraremos 
nossos valores no valor de 0,95 na tabela 13 de Kalmanock na relação de b/a: 
ba Maº MacpMbcpRa RbcRb3 
-0,0881 0,0327 0,0282 0,186 0,24 0,44 
Trecho da Tabela 13 de Kamanock, 1961. 
Os valores dos esforços solicitantes são obtidos através dos coeficientes obtidos nas 
tabelas utilizando as equações (?): 
Maº=-0,0881*5,25*4,352=-8,7521293125KNm = 
875,21293125KNCMMacp=0,0327*5,25*4,352=3,2485201875KNM = 
324,85201875KNCMMbcp=0,0282*5,25*4,352=2,801476125KNM = 
280,1476125KNCMRa=0,186*5,25*4,35²4,55=4,06105961538KNMRbc=0,240*5,25*4,
35²4,35=5,481KNMRb3=0,440*5,25*4,35²4,35=10,0485KNMCom todos os dados 
necessários calculados, calcularemos agora a armadura mínima necessária para a 
armadura positiva no eixo x. Para isso será utilizada a equação (?), que nos mostra a 
armadura mínima necessária por m de laje: 
ASmin x=0,67*0,150100*100*11=1,1055=1,11cm2m de laje 
De acordo com o desenho do croqui para o calculo da armadura positiva em x, 
utilizaremos o momento em Mbcp. 
Mbcp = 280,1476125 Kn/cm. 
Agora é necessário encontrar o d (altura útil) que será utilizada para o cálculo da 
armadurapositiva. O valor será encontrado através da equação(?). Adotaremos ∅=0,5 
cm, pois é o mais utilizado comercialmente e c= 2 como já foi informado. 
d=11-0,5-2=8,5 cmO dimensionamento é feito como sendo uma viga de largura 
unitária, calculada através da equação (?): 
kc=bw*d²1,4*Md kc=100*8,5²1,4*280,1476125 =18,4214109114Através da tabela para 
dimensionamento – Flexão simples e Composta (SILVA,et al., 2006) encontraremos o 
valor de Ks para assim dar continuidade aos cálculos. Considerando Fck=25 Kn e 
CA50: 
 
bx≅0,04ks=0,023 Domínio 2Com o valor de Ks, obtém-se a área de aço para faixa de 
um metro através da equação (?): 
AS=Ks*1,4*MddOnde: 
As – Área de aço que deve ser distribuída na faixa de largura igual a um metro 
(cm²/m); 
Ks – Parâmetro calculado referente ao aço; 
Md – Momento de cálculo (kN.cm); 
D – Altura útil (cm). 
AS x=0,0231,4* 280,14761258,5=1,06126507324CM2M de lajeAnteriormente foi 
calcula a armadura mínima em relação à armadura positiva, comparando ambas, 
percebe-se que a Asmín> As, neste caso, adota-se Asmín para os cálculos. 
ASmin=1,11>As=1,06126507324Para os cálculos é adotado o maior valor, portanto 
Asmin=1,11 cm²/ m de laje. 
Após obter o valor das armaduras necessárias, deve-se saber qual o diâmetro das 
barras de aço que serão utilizadas. Isso é possível através da equação abaixo: 
∅≤h8Onde: 
∅ - Diâmetro máximo; 
H – Altura da laje. 
∅≤118=1,375 cm=13,75 mmApós isso é importante saber qual o espaçamento 
permitido entre as barras para que a armadura seja perfeitamentedimensionada. “As 
barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo 
igual a 2h ou 20cm, prevalecendo o menor desses valores na região dos maiores 
momentos fletores” (ABNT NBR 6118:2003 item 20.1). Através da equação abaixo 
obtêm-se o espaçamento permitido: 
10cm≤e≤2*11=22 cm20 cmAdotamos 10cm como medida de segurança, então têm-se 
que o espaçamento permitido é : 
10 ≤e≤ 20 cmA armadura secundária deve apresentar espaçamento de no máximo 33 
cm, o que corresponde a aproximadamente 3 barras por cada metro da laje na direção 
secundária. 
Para se calcular o espaçamento das barras para uma área de aço adotada no cálculo, 
As, em um metro de laje, pode se fazer: 
As=100 cmAs1∅=eDesta forma a equação (?) mostra o máximo valor permitido para o 
espaçamento entre barras “e”: 
e=100*As1∅AsOnde: 
e – Espaçamento das barras (cm); 
As1∅ - Área de uma barra da armadura (cm²); 
As – Área da armadura calculada (cm²/m). 
Será utilizado: 
∅5,00mm – área1∅ = 0,2cm² , ao substituir na fórmula acima têm-se que: 
e=100*0,21,11=18,018Para saber a quantidade de barras de aço é necessário saber o 
vão livre “lo” e o espaçamento “e”. A quantidade de barras no vão “lo” pode ser obtida 
pela equação (?): 
loe=n+aOnde: 
lo = Vão livre (vão de uma extremidade a outra, descontando os cobrimentos); 
e = Espaçamento das barras; 
n = Número inteiro 
a = Fração. 
Para 0 ≤ a ≤0,5 ⟶ 0,5 ≤ a ≤ 1,0 ⟶nº de barras= n 
Para 0,5 < a < 1,0 ⟶ 0 < a < 0,5 ⟶nº de barras= n+1 
Ao substituir os valores na equação (?),têm-se que: 
43318=24+0,05Após aplicar a fórmula, é possível chegar ao número de barras: 24. 
É necessário saber também qual o comprimento das barras de aço, que deve 
respeitar: 
O comprimento de ancoragem das barras (lb); 
O comprimento de ancoragem mínimo lbmin=10*∅(diâmetro da barra); 
O comprimento das barras é descoberto através da equação (?): 
C=lo+t1+t2-c-cOnde: 
C – Comprimento das barras (cm); 
lo – Vão livre (vão de uma extremidade a outra, descontando os cobrimentos e vigas); 
t1 e t2 – Vigas; 
c – Cobrimentos. 
Substituindo os valores, têm-se que: 
C=413+22+22-2-2=453 cmCada barra terá comprimento de 453 cm. 
 
Agora é necessário fazer os mesmos cálculos para a direção y. 
Calcularemos agora a armadura mínima necessária para a armadura positiva no eixo 
y. Para isso será utilizada a equação (?), que nos mostra a armadura mínima 
necessária por m de laje: 
ASmin y=0,67*0,150100*100*11=1,1055=1,11cm2m de lajeDe acordo com o desenho 
do croqui para o calculo da armadura positiva em y, utilizaremos o momento em Mbcp. 
Mbcp = 324,852018751 kN/cm. 
Agora é necessário encontrar o d (altura útil) que será utilizada para o cálculo da 
armadura positiva. O valor será encontrado através da equação(?). Adotaremos ∅=0,5 
cm, pois é o mais utilizado comercialmente e c= 2 como já foi informado. 
d=11-0,5-2=8,5 cmO dimensionamento é feito como sendo uma viga de largura 
unitária, calculada através da equação (?): 
kc=100*8,5²1,4*324,852018751 =15,88635464Através da tabela para 
dimensionamento – Flexão simples eComposta (SILVA,et al., 2006) encontraremos o 
valor de Ks para assim dar continuidade aos cálculos. Considerando Fck=25 Kn e 
CA50: 
bx≅0,06ks=0,024 Domínio 2Com o valor de Ks, obtém-se a área de aço para faixa de 
um metro através da equação (?): 
ASy=0,0241,4* 324,852018751 8,5=1,284120921188CM2M de lajeAnteriormente foi 
calcula a armadura mínima em relação à armadura positiva, comparando ambas, 
percebe-se que a Asmín< As, neste caso, adota-se Asypara os cálculos. 
ASmin=1,11<Asy=1,284120921188Para os cálculos é adotado o maior valor, portanto 
Asy=1,28 cm²/ m de laje. 
Após obter o valor das armaduras necessárias, deve-se saber qual o diâmetro das 
barras de aço que serão utilizadas. Isso é possível através da equação abaixo: 
∅≤h8Onde: 
∅ - Diâmetro máximo; 
H – Altura da laje. 
∅≤118=1,375 cm=13,75 mmApós isso é importante saber qual o espaçamento 
permitido entre as barras para que a armadura seja perfeitamente dimensionada. “As 
barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo 
igual a 2h ou 20cm, prevalecendo o menor desses valores na região dos maiores 
momentos fletores” (ABNT NBR 6118:2003 item 20.1). Através da equação abaixo 
obtêm-se o espaçamento permitido: 
10cm≤e≤2*11=22 cm20 cmAdotamos 10cm como medida de segurança, então têm-se 
que o espaçamento permitido é : 
10 ≤e≤ 20 cmA armadura secundária deve apresentar espaçamento de no máximo 33 
cm, o que corresponde a aproximadamente 3 barras por cada metro da laje na direção 
secundária. 
Para se calcular o espaçamento dasbarras para uma área de aço adotada no cálculo, 
As, em um metro de laje, pode se fazer: 
As=100 cmAs1∅=eDesta forma a equação (?) mostra o máximo valor permitido para o 
espaçamento entre barras “e”: 
Será utilizado: 
∅5,00mm – área1∅ = 0,2cm² , ao substituirna fórmula acima têm-se que: 
e=100*0,21,28=15,625Para saber a quantidade de barras de aço é necessário saber o 
vão livre “lo” e o espaçamento “e”. A quantidade de barras no vão “lo” pode ser obtida 
pela equação (?),e ao substituir os valores na equação têm-se que: 
43515,625=27+84Após aplicar a fórmula, é possível chegar ao número de barras: 28. 
É necessário saber também qual o comprimento das barras de aço, que 
é descoberto através da equação (?), e ao substituir os valores, têm-se que: 
C=433+22+22-2-2=451 cmCada barra terá comprimento de 451 cm. 
 
Agora faremos os cálculos pra a laje L16. 
Para começar o cálculo, a primeira coisa a ser encontrada são os vãos efetivos (que 
serão utilizados em todos os cálculos), através da equação (?): 
Vão efetivo em direção x: 
lefx=413+222+222=435 cmVão efetivo em direção y: 
lefy=438+222+222=460 cmA seguir classificaremos a laje L18 quanto à direção de 
suas armaduras, através da equação (?): 
λ=435460=0,9456521739130435<2 Concluímos que nossa laje L16 é armada em 
duas direções.De posse das informações anteriores, começaremos o pré-
dimensionamento da laje L16. 
Para obter a altura da laje utilizaremos a equação (?) e equação (?), adotando o maior 
valor que for encontrado: 
lx=4350,7*460=322 cm 3,22 mSeráadotado então o valor de 3,22 m. 
d ≅2,5-0,1 *2 *3,22=7,406 H=7,406+0,5+2=9,906 cmPara encontrar a altura total da 
laje se utiliza a fórmula (?) :h=4,35 40 portanto h=0,10875m ou 10,875cmO valor 
adotado será arredondado para 11 cm. 
Utilizaremos a equação (?) para obter o peso próprio da laje L18: 
pp=25*0,11=2,75 kN/m2O carregamento será a somatória das ações variáveis mais o 
peso próprio da laje. 
p=2,75+1+1,5=5,25 KN/M2Consideramos que a laje L18 e a laje L19 estejam 
engastadas, pois suas dimensões são parecidas. 
Para obtermos os valores necessários para dar continuidade é necessário desenhar o 
croqui com os esforços solicitantes na direção x e y. Utilizaremos a tabela de 
Kalmanok (1961 apud MUNOZ 2005) “processo números” 
 
Utilizando os descritivos abaixo da tabela descobriremos de que forma utilizamos há 
para encontrar os valores necessários: 
ab=460435=1,05747126437 >1ba=435460=0,94<1Encontraremos nossos valores no 
valor de 0,95 na tabela 13 de Kalmanock na relação de b/a: 
 b/a Maº MacpMbcpRa RbcRb3 
-0,0745 0,0297 0,0189 0,115 0,44 0,412 
Trecho da Tabela 13 de Kamanock, 1961. 
Os valores dos esforços solicitantes são obtidos através dos coeficientes obtidos nas 
tabelas utilizando as equações (?):Maº=-0,0745*5,25*4,352=-7,4010628125KNm=-
740,10628125KNCMMacp=Macp*p*b2Macp=0,0297*5,25*4,352=+2,9504908125KNM
=+295,0490812KNCMMbcp=Mbcp*p*b2Mbcp=0,0189*5,25*4,352=1,8775850625KNM
=1,8775850625KNMRa=0,115*5,25*4,3524,60=2,483578125KNMRbc=0,44*5,25*4,35
²4,35=10,0485KNMRb3=0,412*5,25*4,35²4,35=9,40905KNMCom todos os dados 
necessários calculados, calcularemos agora a armadura mínima necessária para a 
armadura positiva no eixo x. Para isso será utilizada a equação (?), que nos mostra a 
armadura mínima necessária por m de laje: 
ASmin x=0,67*0,150100*100*11=1,1055=1,11cm2m de laje 
De acordo com o desenho do croqui para o calculo da armadura positiva em x, 
utilizaremos o momento em Mbcp. 
Mbcp = 187,75850625 Kn/cm. 
Agora é necessário encontrar o d (altura útil) que será utilizada para o cálculo da 
armadura positiva. O valor será encontrado através da equação(?). Adotaremos ∅=0,5 
cm, pois é o mais utilizado comercialmente e c= 2 como já foi informado. 
d=11-0,5-2=8,5 cmO dimensionamento é feito como sendo uma viga de largura 
unitária, calculada através da equação (?): 
kc=100*8,5²1,4*187,75850625 =27,4859146932Através da tabela para 
dimensionamento – Flexão simples e Composta (SILVA,et al., 2006) encontraremos o 
valor de Ks para assim dar continuidade aos cálculos. Considerando Fck=25 Kn e 
CA50: 
bx≅0,03ks=0,023 Domínio 2Com o valor de Ks, obtém-se a área de aço para faixa de 
um metro através da equação (?) e substituindo os valores têm-se que: 
AS x=0,0231,4* 187,75850625 8,5=0,742198330589CM2M de lajeAnteriormente foi 
calcula a armadura mínima em relação à armadura positiva, comparando ambas, 
percebe-se que a Asmín> As. Para os cálculos é adotado o maior valor, portanto 
Asmin=1,11 cm²/ m de laje. 
Após obter o valor das armaduras necessárias, deve-se saber qual o diâmetro das 
barras de aço que serão utilizadas. Isso é possível através da equação (?) e ao 
substituir os valores têm-se que: 
∅≤118=1,375 cm=13,75 mmApós isso é importante saber qual o espaçamento 
permitido entre as barras para que a armadura seja perfeitamente dimensionada. “As 
barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo 
igual a 2h ou 20cm, prevalecendo o menor desses valores na região dos maiores 
momentos fletores” (ABNT NBR 6118:2003 item 20.1). Através da equação abaixo 
obtêm-se o espaçamento permitido: 
10cm≤e≤2*11=22 cm20 cmAdotamos 10cm como medida de segurança, então têm-se 
que o espaçamento permitido é : 
10 ≤e≤ 20 cmA armadura secundária deve apresentar espaçamento de no máximo 33 
cm, o que corresponde a aproximadamente 3 barras por cada metro da laje na direção 
secundária. 
Para se calcular o espaçamento das barras para uma área de aço adotada no cálculo, 
As, em um metro de laje, pode se fazer através da equação (?). 
Será utilizado: 
∅5,00mm – área1∅ = 0,2cm², ao substituir na fórmula acima têm-se que: 
e=100*0,21,11=18,018Para saber a quantidade de barras de aço é necessário saber o 
vão livre “lo” e o espaçamento “e”. A quantidade de barras no vão “lo” pode ser obtida 
pela equação (?) e ao substituir os valores, têm-se que: 
43818=24+31Após aplicar a fórmula, é possível chegar ao número de barras: 24. 
É necessário saber também qual o comprimento das barras de aço, que é descoberto 
através da equação (?) e aosubstituir os valores têm-se que: 
C=413+22+22-2-2=453 cmCada barra terá comprimento de 453 cm. 
 
Agora é necessário fazer os mesmos cálculos para a direção y. 
Calcularemos agora a armadura mínima necessária para a armadura positiva no eixo 
y. Para isso será utilizada a equação (?), que nos mostra a armadura mínima 
necessária por m de laje: 
ASmin y=0,67*0,150100*100*11=1,1055=1,11cm2m de lajeDe acordo com o desenho 
do croqui para o calculo da armadura positiva em y, utilizaremos o momento em Mbcp. 
Mbcp = 295,0408125 KN/CM 
Agora é necessário encontrar o d (altura útil) que será utilizada para o cálculo da 
armadura positiva. O valor será encontrado através da equação(?). Adotaremos ∅=0,5 
cm, pois é o mais utilizado comercialmente e c= 2 como já foi informado. 
d=11-0,5-2=8,5 cmO dimensionamento é feito como sendo uma viga de largura 
unitária, calculada através da equação (?): 
kc=100*8,5²1,4*295,0408125 =17,491036623Através da tabela para dimensionamento 
– Flexão simples e Composta (SILVA,et al., 2006) encontraremos o valor de Ks para 
assim dar continuidade aos cálculos. Considerando Fck=25 Kn e CA50: 
bx≅0,04ks=0,023 Domínio 2Com o valor de Ks, obtém-se a área de aço para faixa de 
um metro através da equação (?): 
AS y=0,0231,4* 295,0408125 8,5=1,1171534309CM2M de lajeAnteriormente foi 
calcula a armadura mínima em relação à armadura positiva, comparando ambas, 
percebe-se que a Asmín<As, neste caso, adota-se Asy para os cálculos. 
ASmin=1,11>As=1,1171534309Para os cálculos é adotado o maior valor,portanto 
Asy=1,12 cm²/ m de laje. 
Após obter o valor das armaduras necessárias, deve-se saber qual o diâmetro das 
barras de aço que serão utilizadas. Isso é possível através da equação (?) e ao 
substituir os valores têm-se que: 
∅≤118=1,375 cm=13,75 mmApós isso é importante saber qual o espaçamento 
permitido entre as barras para que a armadura seja perfeitamente dimensionada. “As 
barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo 
igual a 2h ou 20cm, prevalecendo o menor desses valores na região dos maiores 
momentos fletores”(ABNT NBR 6118:2003 item 20.1). Através da equação (?) e 
adotando 10cm como medida de segurança, então têm-se que o espaçamento 
permitido é : 
10 ≤e≤ 20 cmA armadura secundária deve apresentar espaçamento de no máximo 33 
cm, o que corresponde a aproximadamente 3 barras por cada metro da laje na direção 
secundária. 
Para se calcular o espaçamento das barras para uma área de aço adotada no cálculo, 
As, em um metro de laje, utilizar a equação (?) que mostra o máximo valor permitido 
para o espaçamento entre barras “e”: 
Será utilizado: 
∅5,00mm – área1∅ = 0,2cm² , ao substituir na fórmula acima têm-se que: 
e=100*0,21,12=17,857Para saber a quantidade de barras de aço é necessário saber o 
vão livre “lo” e o espaçamento “e”. A quantidade de barras no vão “lo” pode ser obtida 
pela equação (?), e ao substituir os valores na equação têm-se que: 
41317,857=23+12Após aplicar a fórmula, é possível chegar ao número de barras: 23. 
É necessário saber também qual ocomprimento das barras de aço, que 
é descoberto através da equação (?), e ao substituir os valores, têm-se que: 
C=438+22+22-2-2=478 cmCada barra terá comprimento de 478 cm. 
 
 
7. VIGA 
7.1 Introdução 
Pela definição da NBR 6118/03 (item 14.4.1.1), vigas “são elementos lineares em que 
a flexão é preponderante”. As vigas são classificadas como barras e são normalmente 
retas e horizontais, destinadas a receber ações das lajes, de outras vigas, de paredes 
de alvenaria, e eventualmente de pilares, etc. 
 
 A função das vigas é basicamente vencer vãos e transmitir as ações nelas atuantes 
para os apoios, geralmente os pilares. (BASTOS, 2011, p.23) 
As ações geralmente são perpendiculares ao seu eixo, podendo ser distribuídas ou 
concentradas, podendo ainda receber forças normais de compressão ou tração, 
também na direção do eixo. Assim como as lajes e os pilares, as vigas também fazem 
parte da estrutura de contraventamento que é responsável pela estabilidade dos 
edifícios às ações verticais ou horizontais. 
As armaduras das vigas são geralmente compostas por estribos, chamados “armadura 
transversal”, e por barras longitudinais, chamadas “armadura longitudinal”. 
7.1.1 Vão efetivo da viga 
De acordo com a NBR 6118/03 (item 14.6.2.4), o vão efetivo pode ser calculado pela 
seguinte expressão: 
lef = lo + a1 + a2 
Onde: 
lef= vão efetivo da viga; 
lo= distância entre faces de dois apoios consecutivos; 
a1≤t123h e a2≤t223hOnde: 
t = comprimento do apoio paralelo ao vão da vigaanalisada; 
h = altura da viga. 
735330-1905 
 
Figura – Dimensões usadas no calculo do vão efetivo 
7.1.2 Vinculações 
Vínculo é qualquer condição que restringe a possibilidade de deslocamento de um 
ponto do elemento ligado a ele. O deslocamento é determinado através das 
componentes segundo os eixos cartesianos. As translações podem ser horizontais ou 
verticais, e a rotação ocorre em torno do eixo perpendicular ao plano considerado. As 
vinculações podem ser internas, ou externas. 
7.2 Carregamentos 
7.2.1 Peso próprio da viga 
O peso próprio de vigas com seção transversal constante é uma carga considerada 
uniformemente distribuída ao longo do comprimento da viga, e deve, obrigatoriamente, 
sempre ser considerado. 
 
ppv = bw . h .γconc 
Onde: 
ppv = peso próprio da viga (kN/m); 
bw= largura da seção (m); 
h = altura da seção (m). 
γconc = 25 kN/m³; 
7.2.2 Peso de alvenaria sobre a viga 
Normalmente as paredes têm espessuras e alturas constantes, podendo então, 
considerar a carga da alvenaria uniforme ao longo do seu comprimento. 
ppalv = e . h .γalv 
Onde: 
ppalv = peso próprio da alvenaria (KN/m) 
γalv = peso especifico da parede (KN/m³); 
e = espessura final da parede (m); 
h = altura da parede (m). 
De acordo com a NBR 6120/80, o peso específico é de 18 KN/m³ para o tijolo maciço 
e 13 kN/m³ para o bloco cerâmico furado. 
No caso de aberturas de portas, janelas e outras esquadrias serão consideradas 
normalmente como trecho de carga, pois durante a construção sua localização pode 
ser alterada. 
7.2.3 Reação da laje sobre a viga 
No cálculo das reações das lajes e de outras vigas, recomenda-se discriminar as 
ações permanentes e as ações variáveis, para que se possam estabelecer as 
combinações das ações. Desse modo, as reações da laje sobre as vigas de apoio 
devem ser conhecidas. É importante verificar se uma ou duas lajes descarregam sua 
carga sobre a viga. 
7.2.4 Carregamento total da viga 
Normalmente, as cargas atuantes nas vigas são provenientes de paredes, de lajes, de 
seu peso próprio, e eventualmente, de outras vigas e de pilares. As cargas nas vigas 
devem ser analisadas e calculadas em todos os vão da viga, trecho por trecho do vão, 
se este conter trechos de cargas diferentes. 
7.3 Dimensionamento 
7.3.1 Altura útil 
A altura útil é encontrada pela seguinte equação: 
d'=C+∅t+∅t2Onde: 
d’ = altura útil da laje (cm); 
∅t = diâmetro das barras; 
C = cobrimento nominal. 
d=h-4Obs: falar sobre as classes de agressividade para escolha do cobrimento 
7.3.2 Dimensionamento da viga 
CALCULO DA ALVENARIA SOBRE A VIGA 
PESO DA PAREDE SOBRE A VIGA 
 
ppALV=yALV*eALV*HALVHALV= 3,0-0,4= 2,60 mppALV= 13*0,22*2,60=7,436 
kN/mPESO PROPRIO 
pproprio=yca*bw*hpproprio= 25*0,22*0,40=2,20 kN/mSomatoria do carregamento 1 
q=pALV + pproprio+Reação da laje(Rbc)Somatoria do carregamento 2 
q=pALV + pproprioq=7,436+2,20=9,64kN/mAqui posta nossas fotos da viga em pdf: eu 
mandei junto. 
Para apoio B: 
(-) X= 25,820 kN/ m = 2582,0 kN/ cm 
VAMOS ACHAR O d PARA USAR NO KC: 
Vamos adotar 0,5 de diâmetro pois é o mais utilizado eo primero. 
Vamos adotar 2,5 de cobrimento USADO PARA VIGA. 
d'=C+∅t+∅t2d'=2,5+0,5+22=4,0 cmd=h-4d=30-4= 26 cmKC 
kc=bw*d²1,4*Mdkc=22*26²1,4*2582,0 =4,114197189 kN/cmVamos para tabela 01 
Nosso FCK=25 
CA= 50 
bx≅0,22ks=0,025 AS 
AS=Ks1,4*Md dAS=0,0251,4*2582,026=3,475769231CM2M de lajeAsmin PARA VIGA 
VAMOS ACHAR O ASMINI 
ASmin=ρmin100*bw*hASmin=0,150100*22*40=1,32cm2m de 
lajeASmin=1,32<As=3,475769231Adotamos o maior valor 
ADOTAMOS As: 3,47cm²/m de laje 
Para apoio C: 
(+) M= 24,019 kN/ m = 2401,9 kN/ cm 
VAMOS ACHAR O d PARA USAR NO KC: 
KC 
kc=bw*d²1,4*Mdkc=22*26²1,4*2401,9 =4,422689181 kN/cmVamos para tabela 01 
Nosso FCK=25 
CA= 50 
bx≅0,20ks=0,025 AS 
AS=Ks1,4*Md dAS=0,0251,4*2401,926=3,233326923CM2M de lajeAsmin PARA VIGA 
VAMOS ACHAR O ASMINI 
ASmin=ρmin100*bw*hASmin=0,150100*22*40=1,32cm2m de 
lajeASmin=1,32<As=3,233326923Adotamos o maior valor 
ADOTAMOS As: 3,23cm²/m de laje 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
De acordo com os cálculos realizados e a utilização do software Ftool 2002 para 
modelagem da viga. Um Correto pré-dimensionamento dos elementos estruturais é 
imprescindível para facilitar o posterior cálculo do dimensionamento. 
Conclui-se este projeto de forma satisfatória e com um grande aprendizado no que diz 
respeito a dimensionamento estrutural, este projeto foi muito importante também ao 
aperfeiçoamento das técnicas de cálculo de dimensionamento de lajes e vigas, devido 
as revisões dos conceitos relevantes e úteis na vida profissional de um engenheiro 
civil.