Gabarito Autoatividades Cálculo Diferencial e Integral

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Gabarito das Autoatividades
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
(MATEMÁTICA) 
2009/2 
Módulo V
3UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
C
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L
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
 
UNIDADE 1
TÓPICO 1
Questão única – Caro(a) acadêmico(a), sugerimos que você determine valores 
para delta δ, como mostramos acima, tendo como valores para épsilon ε = 
1, ε = 0,5 , ε = 0,001.
1)
1º passo: encontrar um entrno para a =7
Assim, a desiguladade vale para todo x no intervalo aberto (2,14), 
para todo x ≠ 7 nesse intervalo. 
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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2)
2º passo
A distância de 7 até o ponto final mais próximo de (2,14) é 5.
Se = 5 ou qualquer outro número positivo menor, então a desigualdade 
de 0 < | x - 7 | < , colocará x automaticamente entre 2 e 14 fazendo 
1º passo: encontrar um entorno para a = 7 
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3)
A distância de 7 até o ponto final mais próximo de (4,25; 10,25) é 2,75.
Se = 5 ou qualquer outro número positivo menor, então a desigualdade 
de 0 < | x - 7 | < , colocará x automaticamente entre 4, 25 e 12,25 fazendo 
 
Assim, a desiguladade vale para todo x no intervalo aberto (4, 25; 
10,25), para todo x ≠ 7 nesse intervalo 
2º passo
Assim, a desiguladade vale para todo x no intervalo aberto (6,994001; 
7,006001), para todo x ≠ 7 nesse intervalo. 
1º passo: encontrar um entorno para a = 7 
2º passo
6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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TÓPICO 1
Nos exercícios de 1 a 3, calcule intuitivamente o limite Lxfax
=
→
)(lim 
fazendo um quadro de valores.
1) ( )
7
492
+
−
=
x
xxf 49 em 7−=a .
R.: -14
2) xxf −= 5)( em 4=a .
R.: 1
3) 24
2)(
x
xxf
−
−
= em 2=a .
R.: 
4
1
4) Seja 22)( −= xxf e os números 6−=L , 2−=a e 02,0=ε = 00,2 Encontre 
um intervalo aberto em torno de a no qual a desigualdade ε<− Lxf )( valha. 
Dê então um valor para 0>δ tal que, para todo x satisfazendo δ<−< ax0 , 
a desigualdade ε<− Lxf )( seja verdadeira.
R.: (-2,01; - 1,9) com = (0,01)
5) Seja xxf =)( e os números 2=L , 4=a e 25,0=δ = 0,25. Encontre um 
intervalo aberto em torno de a no qual a desigualdade ε<− Lxf )( valha. Dê 
então um valor para 0>δ tal que, para todo x satisfazendo δ<−< ax0 , 
a desigualdade ε<− Lxf )( seja verdadeira.
R.: (3,75; 4,25) com 25,0=δ = 0,25 
A distância de 7 até o ponto final mais próximo de (6,994001; 7,006001) 
é 0,005999.
Se = 5 ou qualquer outro número positivo menor, então a desigualdade 
de 0 < | x - 7 | < , colocará x automaticamente entre 6,994001e 7,006001 
fazendo 
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Nos exercícios de 6 a 12, calcule os limites usando as propriedades 
de limites.
6) 
R.: -16
7) 
R.: 0
8) 
R.: 2
9) 
53
27 lim
2
1 −
−+
→ x
xx
x
R.: -3
10) 235 lim 2
2 
++
−→
xx
x
R.: 4
11) x
x
e sen
 
 lim
π−→
R.: 1
12) ( )xx
xx
x πcos3
24 lim
2
2 −
−+
→
R.: 
5
4
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TÓPICO 2
Nos exercícios de 1 a 8 calcule os limites.
1) 
1
1 lim
2
3
1 −
+
−→ x
x
x
.
R.: 
2
3
−
2) .
R.: 
8
1
3) 
67
22lim
2
23
1 ++
−−+
−→ xx
xxx
x
.
R.: 
5
2
−
4) 
32
2 lim
2
2
1 −+
−+
→ xx
xx
x
.
R.: 
4
3
5) 
1
1 lim
1 −
−
→ x
x
x
.
R.: 2
6) 
x
x
x −−
+−
→ 51
53 lim
4 
 .
R.: 
3
1
−
7) 
x
x
x
33 lim
0 
−+
→
.
R.: 
6
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8)
1
1 lim
4
3
1 −
−
→ x
x
x
 .
R.: 
3
4
9) Seja . Calcular 
R.: 12; 1; ∃/
10) Seja . Calcular .
R.: 1; 5 ; ∃/
11) Seja . Calcular 
R.: 3; 3; 3
12) Na Figura 2.7 está esboçado o gráfico de uma função y = f(x). Observando 
o gráfico, é possível estimar os seguintes limites:
R.: -1; -1; - 8; 
2
1
− ; + 8; 0
FIGURA – 2.7
10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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a) ( )xf
x −→ 0 
lim
b) ( )xf
x +→ 0 
lim
c) ( )xfx −→1 lim
d) ( )xfx +→1 lim
e) ( )xf
x −→ 2 
lim
f) ( )xf
x +→ 2 
lim
13) Seja f(x) uma função definida para todo número real por
Determinar o valor da constante k para que exista ( )xf
x 2
lim
−→
.
R.: k = - 8
14) Seja Calcular:
R.: 0; 0; 0
( ) ( ) ( )xfxfxf
xxx 444
lim e lim ,lim
→→→ −+
TÓPICO 3
Nos exercícios 1 a 20, calcule os limites.
1) 
12
73lim 2
2
+
−+
+∞→ x
xx
x
R.: 
2
1
2) 
452
135lim 2
24
 ++
+−
∞−→ xx
xx
x
R.: + 8 
3) 12
73lim
2
 +
−+
∞+→ x
xx
x
R.: + 8 
24
23
 7
54lim
xx
xxx
x +
+−
∞+→
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4) 
x
x x





 +
∞+→
41 lim
 
R.: 4e
5) 24
23
 7
54lim
xx
xxx
x +
+−
∞+→
R.: 0
6) 
x
x x
3
 
11 lim 




 −
∞−→
R.: 
6
1
e
7) 
x
x
x 3
16 lim
3
0 
−
→
R.: ln 6
8) x
x
x
5 sen lim
0 →
R.: 5
9) 
459
134lim
2
2
 ++
++
∞+→ xx
xx
x
R.: 
3
2
10) 
3 33
3
 15
134lim
+−
−+
∞−→ xx
xx
x
R.: 1
11) 
20 
 cos1 lim
x
x
x
−
→
R.: 
2
1
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12) 
x
x
x
1255 lim
3
0 
−+
→
R.: 125 ln5
13) 
226
7273lim
345
245
 +−+
++−
∞−→ xxx
xxx
x
R.: 
2
1
14) 
x
x
x
7
17
 lim
1
0 
−−
→
R.: 
7
7ln
15) 4
 
31 lim
x
x x





 +
∞−→
R.: 4
3
e
16) 
x
x x






+
+
∞+→ 1
21 lim
 
R.: 2e
17) 
1
12lim
2
 +
+−
∞+→ x
xx
x
R.: 1
18) 
1
12lim
2
 +
+−
∞−→ x
xx
x
R.: 3
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19) 
8
 lim
8
8 −
−
→ x
ee x
x
R.: 8e
20) ( )xxxx sec.seccos. lim0 →
R.: 1
TÓPICO 4
Nos exercícios de 1 a 6, verifique se cada função a seguir é contínua 
nos pontos indicados, e esboce os gráficos:
1) 



>
≤+
=
1 , 4 
1 ,3
)(
x
xx
xf em 1x =
R.: descontínua em x = 1
2) 




>+
≤+=
3 , 42
3 , 1)(
2
xx
xxxf em 3=x
R.: contínua em x = 3
3) ( )



≥−
<
=
0 se ,1
0 se , 1 
xx
x
xf em 0=x
R.: descontínua em x = 0
 
4) 





−≥−
−<
+
−
=
1 , 3
1 ,
1
1
)(
2
2
xx
x
x
x
xg em 1−=x
R.: descontínua em x = -1
5) em 1x =
R.: descontínua em x = 1
se
se
( )





>−
<
<−
=
1 se ,1
1 se , 1 
1 se , 1 
xx
x
xx
xf
se
se
se
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6)




=
≠
−
−+
=
2 se , 5 
2 se ,
2
6
)(
2
x
x
x
xx
xg em 2x =
R.: contínua em x = 2
Nos exercícios de 7 a 9 determine, se existirem, os pontos onde as 
seguintes funções não são contínuas.
7) ( )
1
432
−
+−
=
x
xxxf
R.: descontínua em x = 1
8) ( )
2142 −+
=
xx
xxf
R.: descontínua em x = -7 e x = 3
9) ( ) 653 34 +−+= xxxxf
R.: contínua em IR
10) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função 
( ) xxxxxf 842 234 +−−= possui pelo menos uma raiz no intervalo ( )3 ,1 .
11) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função 
( ) 237 23 ++−= xxxxf possui três raízes reais distintas no intervalo ( )5 ,1− .
se
21
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
Nas questões de 1 a 5, calcule a derivada da função f(x), no ponto 0x .
1) ( ) 12 += xxf , no ponto x0 = 5
R.: 10
2) ( ) 32xxf = , no ponto x0 = 2.
R.: 24
 
3) ( ) xxxf 34 += , no ponto x0 = 2.
R.: 35
4) ( ) xxf = , no ponto x0 = 1.
R.: 
2
1
5) ( ) xexf 4= , no ponto x0 = 2.
R.: 24e
Nas questões de 6 a 13, encontre as derivadas das funções dadas:16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Nas questões de 14 a 16, calcule as derivadas laterais ( )0xf−′ , ( )0xf+′ , 
se existirem, e determine se f é derivável em 0x .
14) ( )



≥−
<−
=
0 ,1
0 ,1
xx
x
xf no ponto 00 =x .
R.: 0 e 1
15) ( )




>−
≤−=
2 ,118
2 ,32 2
xx
xxxf no ponto 20 =x .
R.: 8 e 8
16) ( )




<−−
≤−
=
xx
xx
xf
3 ,4
3 ,65
2 no ponto 30 =x .
R.: – 6 e – 6 
11
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TÓPICO 2
Nos exercícios 1 a 8, encontre a função derivada das seguintes funções:
18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Nos exercícios 9 e 10, determine a derivada da função inversa:
TÓPICO 3
Nos exercícios 1 a 3, encontre a derivada da função definida implicita-
mente por: 
1) 322 1 yyx −=−
R.: 232
2
yy
x
dy
dx
−
=
2) 01222 =−+− xyxxe y
R.: 
yxxe
exyy
y
y
22
22
22
12
−
−−
=′
3) 14 434 =++ yyxx
R.: 33
23 3
yx
yxx
dx
dy
+
+
−=
dx
dy
xe
xy
xe
dy
dx
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Nos exercícios 4 a 6, encontre as derivadas sucessivas das funções a 
seguir:
4) ( ) 52 23 +−= xxxf obtenha a derivada de 2ª ordem.
R.: 212 −x
5) ( ) 82523 245 −++−= xxxxxf obtenha as derivadas de 3ª e 7ª ordem.
R.: xx 48180 2 − e 0
6) ( ) ( )323 −= txf obtenha a derivada de 2ª ordem.
R.: ( )2354 −t
12
48
54
7) Seja s (t) 2t + 3t2 , para 0>t , a equação do movimento de uma partícula 
P, com s em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a acele-
ração da partícula quando 5=t segundos.
R.: 32 m/s e 6 m/s2
8) O IPC da economia é descrito pela função ( ) 10032,0 23 ++−= tttg 
( )90 ≤≤ t onde 0=t corresponde ao início em 1998. Calcule as derivadas 
de primeira e segunda ordem da função IPC no tempo 6.
R.: 14,4 e -1,2
9) Uma certa espécie de tartaruga está ameaçada de extinção em virtude de 
comerciantes estarem vendendo supercarregamentos de ovos como afro-
disíaco. Depois que várias medidas de preservação forem implementadas 
espera-se que a população de tartarugas cresça de acordo com a regra
( ) 1000432 23 +−+= ttttN ( )100 ≤≤ t
onde N(t) denota o tamanho da população ao fim do ano t. Calcule ( )2N ′′ 
e ( )8N ′′′ , interpretando os resultados.
R.: 30 e 102
10) Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque 
se espalhe em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 
pés/s. Com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando 
seu raio for de 60 pés ?
R.: 754 pés2/s
10
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TÓPICO 4
Nos exercícios de 1 a 3, identifique o comportamento das funções em 
crescente e decrescente nos intervalos indicados.
1) ( ) 218122 23 −+−= xxxxf 12 18 em ( ]1 ,−∞– 8 e [ ]3 ,2
R.: f é crescente em ( ]1 ,−∞– 8 
f é decrescente em [ ]3 ,2
2) ( ) 83 −= xxf em [ ]5 ,3−
R.: f é crescente em [ ]5 ,3−
3) ( ) 52 +−= xxxf em [ ]0 ,3− e [ ]6 ,2
R.: f é decrescente em [ ]0 ,3−
f é crescente em [ ]6 ,2
Nos exercícios de 4 a 6, identifique o comportamento das funções quanto 
à concavidade nos intervalos indicados.
4) ( ) 196 23 ++−= xxxxf em ( )1 ,5− e ( )∞+ ,2
R.: f é côncava para baixo em ( )1 ,5−
f é côncava para cima em ( )∞+ ,2
5) ( ) 15181223 234 ++−−= xxxxxf 12 18 15 em ( )2 , −−∞– 8 , 




− 1 ,
2
1 e ( )∞+ ,4
R.: f é côncava para cima em ( )2 , −−∞– 8 
f é côncava para baixo em 




− 1 ,
2
1
f é côncava para cima em ( )∞+ ,4
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6) ( ) xxxf 53 3
5
−= em ( )1 , −−∞ e ( )7 ,0
R.: f é côncava para baixo em ( ]1 ,−∞– 8 
f é côncava para cima em ( )7 ,0
Nos exercícios de 7 e 8, encontre os extremos relativos e os pontos de 
inflexão das funções a seguir.
7) ( ) xxxxf 44 23 ++=
R.: máximo relativo em 2−=x ; mínimo relativo em 
3
2
−=x ; 
pontos de inflexão em 
3
4
−=x
8) ( ) 35 53 xxxf −=
R.: máximo relativo em 1−=x ; mínimo relativo em 1=x ; pontos de inflexão 
em
2
2 ,0 ±=x
TÓPICO 5
Nos exercícios 1 e 2, identifique os pontos extremos das funções.
( ) 133 +−= xxxf
R.: máximo relativo em 1−=x ; mínimo relativo em 1=x ;
( ) 234 8
3
82 xxxxf −+=
R.: máximo relativo em 0=x ; mínimo; relativo em 1=x e 2−=x ;
Nos exercícios 3 e 4, dê as equações das assíntotas verticais e 
horizontais das funções.
3) ( ) xxf
12 +=
R.: assíntota vertical em 0=x ; assíntota; horizontal em 2=y
22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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4) ( )
16
82
2
2
−
−
=
x
xxf
16
 
R.: assíntotas verticais em 4−=x e 4=x ; assíntota horizontal em 2=y
Nos exercícios de 5 a 7, esboce o gráfico das funções.
5 ) ( ) 52
2
3
4
24
++−= xxxxf
6) ( ) 233 +−= xxxf
R.:
R.:
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7) ( ) 104 34 +−= xxxf 10 
R.:
TÓPICO 6
1) Verifique se as condições do Teorema do Valor Médio são satisfeitas pela 
função ( ) 53 23 −+= xxxf em [ ]2 ,1− . Determine os pontos desse intervalo 
onde se verifica a afirmação do teorema.
R.: 21+−=c
2) Um motorista está dirigindo em uma estrada reta com o limite de velocidade 
de 80 km/h. Às 08 horas e 05 minutos da manhã, um controlador cronometra 
a velocidade do carro como sendo 75 km/h e, 5 minutos depois, um segundo 
controlador, 10 km adiante na estrada, cronometra a velocidade do carro 
como sendo de 80 km/h. Explique por que o motorista poderia receber uma 
multa por excesso de velocidade.
R.: Pelo menos uma vez o motorista dirigiu a 120 km/h.
3) Suponha que a função ( )
200002
350
3xxxf −+=50 forneça a quantidade apro 
ximada de sacas de milho produzidas por hectare, num determinado terreno, 
ao se aplicar x gramas de adubo por metro quadrado, onde 1500 ≤≤ x . 
Determinar a quantidade de adubo a ser aplicada por metro quadrado para 
obtermos a maior produção possível.
24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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R.: A maior produção é obtida aplicando 100 g/m2 de adubo.
4) Uma caixa d’água (sem tampa) deve ter o formato de um paralelepípedo 
reto retângulo, ter altura igual à largura e que a soma das áreas de suas 
paredes (incluindo o fundo) seja 6 m2. Determinar suas dimensões para que 
sua capacidade seja a maior possível.
R.: A caixa d’água deve ter comprimento e largura de 1 m e altura 
3
4 m para 
ter capacidade máxima.
5) Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode 
ser inscrito em um cone circular reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio.
R.: O cilindro inscrito com volume máximo tem raio 4 cm e altura 
3
1010 cm.
6) Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é 
vendida a granel a um preço de R$ 200,00 por unidade. Se o custo total de 
produção (em reais) para x unidades for ( ) 2003,080000.500 xxxc ++= 80 e 
se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30.000 unidades em 
um tempo especificado, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas 
e vendidas naquele tempo para maximizar o lucro?
R.: Devem ser produzidas 20.000 unidades de penicilina para ter lucro máximo.
Nos exercícios de 7 a 13, calcule os limites utilizando a regra de 
L’Hospital.
7) 
xx
xx
x 642x
57x lim
23
34
1 −+
++−
→ 2x
 
R.: - 2
8 ) 
xe
xe
x
x
x +
+
∞+→ 3
2
 
 lim
R.: 0
9) 41292x
32242x lim
23
3
2 −+−
+−
→ xx
x
x
2x 24
2x
32
12 
R.: 4
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10) 
xx
x
1
 lim
 ∞→
R.: 1
11) x
 lim
 
xn
x
l
∞+→
R.: 0
12) xxe x
x 4
1 lim
3 +
−
∞+→
R.: + 
13) 20 x
 cos1 lim x
x
−
→
R.: 
2
1 
8
26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
Questão única – Resolva as seguintes integrais e tente escrever uma gene-
ralização destas integrais, isto é, escreva uma “regra” para integrais desta 
forma.
1) ∫e2x dx
R.:
2) ∫e7x dx
R.:
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3) ∫e8x dx
R.:
TÓPICO 1
Questão única – Resolva as seguintes integrais e tente escrever uma gene-
ralização destas integrais, isto é, escreva uma “regra” para integrais desta 
forma.
1) ∫cos (5x) dx
R.:
28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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2) ∫cos (7x) dx
R.:
3) ∫sen (6x) dx
R.:
29UNIASSELVI
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4) ∫sen (3x) dx
R.:
TÓPICO 1
Nas questões de 1 a 8, calcule as integrais indefinidas:
1) 
R.: 
2) 
R.: 
3) 
R.: 
4) 
R.: 
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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5) 
R.: 
6) 
R.: 
7) 
R.: 
8) 
R.: 
Nos exercícios 9 a 12, calcule as integrais fazendo as substituições 
indicadas.
9) 
R.: 
10) 
R.: 
11) 
R.: 
12) 
R.: 
31UNIASSELVI
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Nos exercícios 13 a 20, calcule as integrais fazendo as substituições 
apropriadas.
13) 
R.: 
14) 
R.: 
15) 
R.: 
16) 
R.: 
17) 
R.: 
18) 
R.: 
19) 
R.: 
 
20) 
R.: 
32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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TÓPICO 2
Nas questões de 1 a 6, calcule as integrais definidas:
1) 
R.: 18
2) 
R.: 
3
38 
3) 
R.: 
7
6
4) 
R.: 10
5) 
R.: 10
6) 
R.: 
9
104 
38
7) Ache a área da região limitada pela curva xxy 42 +−= e pelo eixo x no 
intervalo 31 ≤≤ x .
R.: 
3
2222 
8) Encontre a área da região limitada pela curva 652 23 +−−= xxxy , pelo 
eixo x e pelas retas 1−=x e 2=x .
R.: 
12
157
12
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9) Calcule a área da região limitada pela curva xy = , pelo eixo x e pelas 
retas 1−=x e 2=x .
R.: 
3
5252 
10) Encontre a área da região limitada pela curva 21 xy −= e pelo eixo x 
no intervalo 20 ≤≤ x .
R.: 2
TÓPICO 3
1) Encontre a área da região limitada acima por 6−= xy , abaixo por 2xy = 
e nas laterais por 0=x e 2=x .
R.: 
3
3434 u.a.
2) Encontre a área limitada pelas curvas 2xy = e 4=y .
R.: 
3
3432 u.a.
3) Determine a área da região compreendida entre a parábola 
22 xy −= e 
a reta xy −= .
R.: 
2
9 u.a.
4) Determine a área do primeiro quadrante que é limitada por xy = , 
2−= xy e 0=y .
R.: 
3
3410 u.a.
5) Calcule a área da região limitada pelas curvas 102 2 += xy 10 e 164 += xy 16 
de modo que 52 ≤≤− x .
R.: 
3
142 u.a.
6) Calcule a área da região limitada pelas curvas 01
2 =−+ yy e 0=− xy .
R.: 
3
4 u.a.
7) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da área limitada por 
xy = , em torno do eixo x, o eixo das abscissas e a reta 4=x .
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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R.: π8 u.v.
8) Calcule o volume do sólido que se obtém pela rotação da região limitada 
por 3xy = , 0=y e 1=x em torno do eixo y.
R.: π
5
2 u.v.
9) Calcule o volume do sólido que se obtém pela rotação da região limitada 
por 22 −= yx , 022 =−− xy , 0=x e 1=x em torno do eixo x.
R.: π
20
7979
20 u.v.
10) A região compreendida entre a parábola 2xy = e a reta xy 2= no 
primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido de revolução. 
Determine o volume do sólido.
R.: π
3
8 u.v.
Nas questões 11 e 12, determine o valor médio da função ( )xf no 
intervalo dado e em que ponto do domínio f realmente assume esse valor.
11) ( ) xxf = em [0, 3].
R.: ( )
6
13
=cf 13 e 
36
169
=c
36
 
12) ( ) xxxf += 2 em [-12, 0].
R.: f (c)= 42 e 7−=c
13) Um pesquisador estima que t horas depois da meia-noite, em um 
período típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada por 
( ) ( )213
3
23 −−= ttC 13 , 240 ≤≤ t 24 graus Celsius. Qual é a temperatura média 
na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde?
R.: – 5,22 ºC
14) Um copo de limonada a uma temperatura de 40ºF é deixado em uma 
sala cuja temperatura constante é de 70ºF. Usando um princípio da Física 
denominado Lei do Resfriamento de Newton, pode-se mostrar que, se a 
temperatura da limonada atingir os 52ºF em uma hora, então sua temperatura 
T como função do tempo decorrido pode ser modelada pela equação T = 
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70 - 30 e -0,5t em que T está em graus Fahrenheit e t, em horas. Encontre a 
temperatura média Tm da limonada ao longo das primeiras 5 horas.
R.: 59ºF
TÓPICO 4
Nos exercícios 1 a 4, calcule as integrais fazendo as substituições 
indicadas.
1) 
R.: ( ) cxex +−15
2) 
R.: ( ) ( ) cxxx +−+−− 11ln 1
3)
R.: cte
t
+




 −
4
1
4
4
4) 
R.: ( ) cxxex +−− 222
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Nos exercícios 5 a 10, calcule a integral utilizando a técnica da integra-
ção por partes.
5) 
R.: 
6) 
R.: 
7) 
R.: 
8) 
R.: 
9) 
R.: 
10) 
R.: 
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Nos exercícios 11 a 16, calcule as integrais trigonométricas.
11) 
R.: 
12) 
R.: 
13) 
R.: 
14) 
R.: 
15) 
R.: 
16) 
R.: 
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TÓPICO 5
Nos exercícios 1 a 6, calcule as integrais indefinidas por frações 
parciais.
1) 
R.: 
2) 
R.: 
3) 
R.: 
4) 
R.: 
5) 
R.: 
6) 
R.: 
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Nos exercícios 7 a 11, calcule as integrais impróprias.
7) ∫ ∞−
0 
 
 dxe x
R.: 1
8) ∫
∞+ 
1 
1 dx
x
R.: ∞
9) ∫ ∞−
0 
 
 dxex x
R.: -1
10) ∫ −
5 
2 
 
2
1 dx
x
R.: 32
11) ∫−
−0 
1 3
 1 dx
x
R.: 1
dx
dx
dx