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Faculdade de Ciências
Departamento de Matemática e Informática
Análise Matemática I
Stefane Saize
Stefane Saize
0.1 Cálculo diferencial
Definição 0.1. Seja f (x) uma função definida na vizinhança do ponto x0 , então
1) A expressão ∆ f (x0) = f (x0+∆x)− f (x0) chama-se incrimento da função f (x)
no ponto x0 correspondente ao acrescimo ∆x do argumento x .
2) Ao limite lim
∆x→0
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
, caso exista chama-se derivada da função
f (x) no ponto x0 e denotamos por f ′(x0) ou
d f (x)
dx
|x=x0 .
Exemplo 0.1. Seja f (x) =
√
x . Determinemos o acréscimo de f (x) no ponto x0 e a
respectiva derivada neste ponto. Assim temos,
∆ f (x0) = f (x0 +∆x)− f (x0) =
√
x0 +∆x−
√
x0 =
∆x√
x0 +∆x+
√
x0
e
f ′(x0) = lim
∆x→0
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
= lim
∆x→0
∆x√
x0+∆x+
√
x0
∆x
=
1
2
√
x0
.
Seja y = f (x) uma função que possui derivada no intervalo (a,b) . Sabe-se que a
derivada de f (x) no ponto x0 deste intervalo é dada por
f ′(x0) = lim
∆x→0
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
.
Portanto,
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
e f ′(x0) diferem por um infinitésimo, i,e.,
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
= f ′(x0)+α(∆x),
onde α(∆)→ 0, ∆x→ 0. Então,
∆ f (x) = f (x0 +∆x)− f (x0) = f ′(x0)∆x+α(∆x)∆x.
A função linear de argumento ∆x dada por d f = f ′(x0)∆x (em geral f ′(x0) 6= 0)
chama-se diferencial da primeira ordem no ponto x0 . Dados valores de ∆x muito
pequenos, temos ∆ f ≈ d f , i.e.,
f (x0 +∆x)− f (x0)≈ f ′(x0)∆x,
assim obtemos a fórmula do cálculo aproxmado dada por,
2
Análise Matemática I
f (x0 +∆x)≈ f (x0)+ f ′(x0)∆x.
Exemplo 0.2. 1. Cálcule o valor aproximado do número e0.01 . Façamos f (x) = ex ,
x0 = 0 e ∆x = 0.01, então f (x0) = f (0) = e0 = 1, f ′(x) = ex =⇒ f ′(x0) = f ′(0) =
1. Logo,
f (x0 +∆x) = f (0.01) = e0.01 ≈ f (x0)+ f ′(x0)∆x = 1 ·0.01 = 1.01.
2. Cálcule o valor aproximado do número
√
4.1. Façamos f (x) =
√
x , x0 = 4 e
∆x = 0.1, então f (x0) = f (4) =
√
4 = 2, f ′(x) = 12√x =⇒ f
′(x0) = f ′(4) = 14 =
0.25. Logo,
f (x0 +∆x) = f (4.1) =
√
4.1≈ f (x0)+ f ′(x0)∆x = 2+0.25 ·0.1 = 2.025.
3. O ácido sulfúrico (H2SO4) pode ser produzido mediante a oxidação do enxofre
(S) em (SO3) e a reação deste com água H2O conforme a reacção:
H2O+SO3 −→ H2SO4.
Suponhamos a função que mede a quantidade de SO3 convertida em H2SO4 até
o tempo t (em segundos) é dada por f (t) = N0(1− e−t) onde N0 é a quantidade
de SO3 no tempo inicial t = 0. Determine a quantidade de SO3 que terá sido
convertida em H2SO4 após 0.02 segundos para uma quantidade N0 = 1 mol .
Solução: Seja t0 = 0, ∆t = 0.02. f (t0) = f (0) = 0, f ′(t) = e−t =⇒ f ′(0) = 1,
então
f (t0 +∆t) = f (0.02) = 1− e−0.01 ≈ 0+1 · (0.02) = 0.02
4. Calcule o limite lim
x→0
√
1+ x−1
x
. Vejamos que x → 0 então seja f (y) = √y ,
y0 = 1 e ∆y = x . Então, f (y0) = f (1) = 1, f ′(y) = 12√y =⇒ f
′(y0) = f ′(1) = 12 ,
logo
f (y0 +∆y) =
√
1+ x≈ 1+ x
2
.
3
Stefane Saize
Assim
lim
x→0
√
1+ x−1
x
= lim
x→0
1+ x2 −1
x
= lim
x→0
x
2x
=
1
2
.
Sentido geométrico da derivada
Seja y = f (x) uma função contı́nua no intervalo (a,b) contendo os pontos x0, x1 . A
equação da recta tangente ao gráfico de f (x) no ponto (x0, f (x0)) é dada por
y = f ′(x0)(x− x0)+ f (x0)
e a equação da recta normal à f (x) no ponto (x0, f (x0)) é dada por
y =− 1
f ′(x0)
(x− x0)+ f (x0).
Proposição 0.1.1 (Regras de derivação). Sejam f (x) e g(x) duas funções que admi-
titem derivada no ponto x e α ∈ R . Então,
1) [ f (x)±g(x)]′ = f ′(x)±g′(x);
2) [α f (x)]′ = α f ′(x);
3) [ f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x)+ f (x)g′(x);
4)
[
f (x)
g(x)
]′
= f
′(x)g(x)− f (x)g′(x)
[g(x)]2
, g(x) 6= 0 .
Tabela de derivadas
Seja x a variável independente. Então,
1. (xn)′ = nxn−1 ;
2. [sinx]′ = cosx ;
3. [cosx]′ =−sinx ;
4.
5. [tgx]′ =
1
cos2 x
,
(
x 6= π
2
+nπ, n = 0,±1,±2, . . .
)
;
6.
4
Análise Matemática I
7. [ctgx]′ =− 1
sin2 x
, (x 6=+nπ, n = 0,±1,±2, . . .) ;
8. [arcsinx]′ =
1√
1− x2
, (−1 < x < 1) ;
9. [arccosx]′ =− 1√
1− x2
, (−1 < x < 1) ;
10. [ arctg x]′ =
1
1+ x2
;
11. [arcctgx]′ =− 1√
1− x2
;
12. [ax]′ = ax lnx, (a > 0, a 6= 1) .
Definição 0.2. A expressão
lim
∆x→0−
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
chama-se derivada de f (x) à esquerda de x0 e denota-se por f ′−(x0) .
A expressão
lim
∆x→0+
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
chama-se derivada de f (x) à direita de x0 e denota-se por f ′+(x0) .
Proposição 0.1.2. Para que uma função f (x) tenha derivada finita no ponto x0 é
necessário e suficiente que f ′−(x0) = f
′
+(x0) .
Exemplo 0.3.
Mostre que a função f (x) = |x| não possui derivada no ponto x = 0. Para os devidos
efeitos é suficiente mostrar que as derivadas à esquerda e à direita são diferentes. Para
tal temos:
f ′−(0) = lim
∆x→0−
f (0+∆x)− f (0)
∆x
= lim
∆x→0−
|0+∆x|−0
∆x
= lim
∆x→0
−∆x
∆x
=−1
e
f ′+(0) = lim
∆x→0+
f (0+∆x)− f (0)
∆x
= lim
∆x→0+
|0+∆x|−0
∆x
= lim
∆x→0
∆x
∆x
= 1.
Então vemos que f ′−(0) 6= f ′+(0) .
5
Stefane Saize
Derivada da função composta
Seja y = y(x) uma função composta dada na forma
y = F(u), u(x) = ϕ(x) ou y = F [ϕ(x)] .
Exemplo 0.4. 1. Determinemos a derivada da função f (x) = x3− 3
4
x2−1. Usando
as regras de derivação acima temos, f ′(x) =
(
x3
)′− 3
4
(
x2
)′−1′ = 3x2− 3
2
x .
2. Seja f (x) = xsinx . Usando a regra de derivação do quociente, temos f
′(x) =
x′ sinx− x(sinx)′
sin2 x
=
sinx− xcosx
sin2 x
.
3. Determine a derivada da função f (x) = xn arctan ab +
x√
a2+1
. Notemos que as
expressões arctan
a
b
e
√
a2 +1 são constantes então, f ′(x) = nxn−1 arctan
a
b
+
1√
a2 +1
.
Theorem 0.1.3. Seja u= ϕ(x) uma função que admite derivada u′= ϕ ′(x) no ponto
x e y = F(u) uma função que possui derivada y′ = F ′(u) no ponto u = ϕ(x) , então
a função composta y = F [ϕ(x)] tem derivada no ponto x e a deridada é dada por,
y′ = F ′u(u)ϕ
′(x) ou simplesmente y′x = y
′
uu
′
x (a regra de cadeia).
Exemplo 0.5. Para cada função, determine a derivada:
1. f (x)sin(
√
x) . Temos, u =
√
x e f (u) = sinu , então u′x =
1
2
√
x e f
′(u) = cosu ,
logo f ′(x) =
1
2
√
x
cos
√
x
2. f (x) = (1+ x2)arcsinx . Seja h(x) = 1+ x2 e g(x) = arcsinx , temos da regra de
derivação de produto que
[h(x)g(x)]′ = h′(x)g(x)+h(x)g′(x).
Das funções h e g temos h′(x) = 2x e g′(x) = 1√
1+x2
, então
f (x) = 2xarcsinx+
1+ x2√
1+ x2
= 2xarcsinx+2
√
1+ x2.
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Análise Matemática I
Função inversa e sua derivada
Definição 0.3. Uma função f : R→ R diz-se injectiva se x1 6= x2 implica f (x1) 6=
f (x2) .
Observação 0.1. A definição de função injectiva é equivalente á: sempre que f (x1)=
f (x2) implica x1 = x2 .
Um exemplo de uma função injectiva em R é f (x) = x3 . Mas a função f (x) = x2
não é injectiva em R pois, por exemplo x1 = 1 e x2 = 1 possuem o mesmo falor de
função i.e, f (−1) = f (1) = 1.
Definição 0.4. Uma função f : D f →R onde D f ⊆R diz-se sobrejectiva se f (D f )=
R .
A função f (x) = x3 dada acima é sobrejectiva visto que f (R) = R .
Definição 0.5. Uma função f (x) que é simultaneamente injectiva e sobrejectiva,
chama-se bijectiva.
Definição 0.6. Uma função y = f (x) diz-se inversı́vel se existe uma função x = ϕ(y)
tal que a composição ( f ◦ϕ)(y) = y e (ϕ ◦ f )(x) = x .
Proposição 0.1.4. Uma função f (x) possui inversa se e somente se ela é bijectiva.
Theorem 0.1.5. Se uma função y = f (x) admite um função inversa x = ϕ(x) que
admite derivada ϕ ′(y) não bula no ponto y, então a funcão¸ y = f (x) possui no
correspondente ponto x uma derivada f ′(x) =
1
ϕ ′(y)
.
Exemplo 0.6. Usando a regra de derivação de função inversa, ache as derivadas das
seguintes funções:
1. f (x) = lnx . A função inversa é x = ϕ(y) = ey e ϕ ′(y) = ey , então f ′(x) = 1ey =
1
x ;
2. f (x) = arcsinx . A correspondente função inversa é x = siny e x′y = cosy e con-
sequentemente f ′(x) = 1x′y =
1
cosy =
1√
1−sin2 y
= 1√
1−x2 .
Derivada de funções implicita e dada na forma paramétrica
Uma função da forma y = f (x)diz-se implı́cita. Uma função y da variável x diz-se
dada na forma implı́cita se ela tiver a forma F(x,y) = 0 que não seja resolvı́vel em
ordem à y . Qualquer função dada na forma explı́cita y = f (x) pode-se representar
na forma inplı́cita i.é., y− f (x) = 0. PAra determinar a derivada y′(x) se y é dada na
forma F(x,y) = 0, derivamos esta equação em relação a x , tendo em consideração
que y = y(x) é função de x .
7
Stefane Saize
Exemplo 0.7. Determine y′(x) nos seguintes casos:
1. F(x,y) = 2y− x2 +1 = 0. Vamos derivar esta equação, i.e.,
dF(x,y)
dx
= 0 =⇒
d
(
2y− x2 +1
)
dx
= 2y′(x)−2x =⇒ y′(x) = x.
2. y3−2xy+ x3 + x = a3 . De um modo similar ao problema anterior, temos
d(y3−2xy+ x3 + x−a3)
dx
= 3y2y′(x)−2(y+xy′(x))+3x2 = 0 =⇒ y′(x)= 2y−3x
2
3y2−2x
.
Diremos que uma função y = y(x) está dada na forma paramétrica se a de-
pendência entre x e y é determinada mediante uma outra variável, chamada parâmetro,
i.e., se
x = x(t) y = y(t),
onde t é a variável denominada parâmetro.
Theorem 0.1.6. Sejam x = x(t) e y = y(t) duas funções definidas num certo inter-
valo. Se em todos os pontos do intervalo x = x(t) e y = y(t) possuem derivadas
x′(t) 6= 0 e y(t) então tem lugar a expressão
y′x =
y′(t)
x′(t)
.
Exemplo 0.8. Determina y′x nos seguintes casos:
1. x(t) = t, y(t) =
√
t . Temos que x′(t) = 1 e y′(t) = 12√t , então
y′x =
1
2
√
t
1
=
1
2
√
t
=
1
2
√
x
.
2. x(t) = sin t e y(t) = cos t . Temos x′(t) = cos t e y′(t) =−sin t . então
y′(x) =
−sin t
cos t
=−tgt.
3. Mostre que a função y(x) dada na forma paramétrica x(t) = 2t + 3t2 e y(t) =
t2 +2t3 satisfaz a equação y = (y′x)
2 +2(y′x)
3 .
8
Análise Matemática I
Determinando
y′x =
y′(t)
x′(t)
=
2t +6t2
2+6t
=
2t(1+3t)
2(1+3t)
= t.
Assim temos, (y′x)
2 +2(y′x)
3 = t2 +2t2 = y .
0.1.1 Exercı́cios
1. Ache os acréscimos ∆x e ∆y quando x varia de 1 à 1.002 se y =
√
x3 .
2. Determine o acrescimo do argumento x e o respectivo acrescimo na função f (x)=
ln
√
x quando x varia de 0.0001 para 0.01.
3. Pelos pontos A(2,4) e B(2+∆x,4+∆y) da curva y = x2 passa a secante AB .
Determine o seu coeficiente angular. Qual é o valor do coeficiente angular da
tangente à curva y = x2 no ponto A .
4. A lei de movimento de um ponto material pelo eixo OX é dado pela fórmula x =
10t +5t2 , onde t representa o tempo (em segundos) e x a distância (em metros).
Determine a velocidade média no intervalo a≤ t ≤ a+∆t e calcue-a se a = 20 e
∆t = 0.01. Qual será a velocidade do ponto material quando t = 20.
5. Usando a definição, ache as derivadas das seguintes funções:
6. a) f (x) =
1
x
b) f (x) = ax c) f (x) = cosx
7. Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) f (x) = x3−3xn+ax−b b) f (x) = (1+ pxq)(1+qxp) c) f (x) = x2 sin(x−
a) d) f (x) = e
2x
x2 e) f (x) =
a+bx
c+dx f) f (x) =
√
x+
√
x+
√
x g) f (x) =
sin(cos(sinx)) h) f (x) = arctan
[
sinx+ cosx
sinx− cosx
]
i) f (x) =
ex
1+ e2x
j) f (x) =
ln
[
ex +
√
1+ e2x
]
k) f (x) = (1+ x)(1+x)
1+x
l) f (x) = arccos
[
1− x√
x
]
8. Determine y′x para as seguintes funções dadas na forma paramétrica:
a) x(t)= sin2 t, y(t)= cos2 t b) x(t)= sin t, y(t)= cos t c) x(t)= acos3 t, y(t)=
bsin3 t
9. Usando derivada de função inversa mostre que [arctanx]′ = 11+x2 .
10. Determine y′x para as seguintes funções dadas na forma implı́cita:
a) x2 +2xy+ y2 = a b)
x2
a2
+
y2
b2
= 1 c) x(t) = acos3 t, y(t) = bsin3 t
9
Stefane Saize
0.2 Derivada e diferenciais de ordem superior
Seja f ′(x) a derivada da função y = f (x) definida numa vizinhança do ponto x .
Definição 0.7. À expressão
lim
∆x→0
f ′(x+∆x)− f ′(x)
∆x
caso exista, chama-se segunda derivada da função f (x) e denota-se por f ′′(x) ou
f (2)(x) ou ainda d
2 f
dx2 (x) .
Dem um modo análogo define-se derivada da terceira ordem, da quarta ordem
e assim em diante. Em geral, a denotacç ao usada para a derivada de ordem n é
f (n)(x) =
d
dx
[
dn−1 f
dxn−1
(x)
]
=
dn f
dxn
(x) .
Se uma função f (x) possui derivada de ordem n , ela diz-se n vezes diferenciável.
À expressão
dn f (x) = f (n)(x)dxx
chama-se diferencial de ordem n .
Theorem 0.2.1 (Leibniz). Sejam u = u(x) e v = v(x) duas funções que admitem
derivadas até a ordem n no ponto x. Então,
[uv](n) =
n
∑
k=0
(
n
k
)
u(k)v(n−k),
onde u(0) = u e
(
n
r
)
=
n!
r!(n− r)!
.
Exemplo 0.9. 1. Ache f ′′(x) se f (x) = ln(x2 +1) . Temos, f ′(x) = 2x1+x2 , então
f ′′(x) =
d
dx
[
2x
1+ x2
]
=
2(1+ x2)−2x ·2x
(1+ x2)2
=
2−2x2
(1+ x2)2
.
2. Ache f n(x) , n = 0,1, . . . se f (x) = e2x . Temos, f 0(x) = f (x) = e2x , f (1)(x) =
f ′(x) = 2e2x , f (2)(x) = f ′′(x) = 22e2x , f (3)(x) = f ′′′(x) = 23e2x , . . . , f (n)(x) =
2ne2x , n = 0,1,2, . . .
3. Determine f n(x) e f (100)(x) se f (x) = x3e2x .
10
Análise Matemática I
a. Para n = 0 é trivial. Para n = 1 temos f ′(x) = 2x2e2x +2x3e2x
b. Se n = 2, usando a fórmula de Leibniz temos:
f ′′(x)=
(
2
0
)
x3e2x+
(
2
1
)
3x2 ·2e2x+
(
2
2
)
6xe2x = x3e2x+12x2e2x+6xe2x.
c. para n = 3,4, . . . temos:
Seja u(x) = x3 e v(x) = e2x . Do exercı́cio anterior temos v(k)(x) = 2ke2x, k =
0,1, . . . e u(1)(x) = 3x2, u(2)(x) = 6x , u(3)(x) = 6 e u(k)(x) = 0, k = 4,5, . . .
Usando a fórmula de Leibnz temos,
f (n)(x) = [uv](n) =
n
∑
k=0
(
n
k
)
u(k)v(n−k) =
=
(
n
0
)
x3e2x+
(
n
1
)
3x2 ·2n−1e2x+
(
n
2
)
6x ·2n−2e2x+
(
n
3
)
6 ·2n−3e2x
= x3e2x +3n2n−1x2e2x +3n(n−1)2n−2xe2x +n(n−1)(n−2)2n−3e2x
d. Seja n = 100, usando a fórmula obtida para f (n)(x) temos,
f (100)(x) = x3e2x +300 ·299x2e2x +3 ·100 ·99 ·298xe2x +100 ·99 ·98 ·297e2x.
Theorem 0.2.2 (Rolle). Seja f (x) uma função contı́nua em [a,b] , diferenciável em
(a,b) e f (a) = f (b) . Então, existe um ξ ∈ (a,b) tal que f ′(x) = 0 .
Theorem 0.2.3 (Cauchy). Sejam f (x) e g(x) duas funções contı́nuas em [a,b] , difer-
enciáveis em (a,b) e g′(x) 6= 0 em (a,b) . Então, existe um ξ ∈ (a,b) tal que,
f (b)− f (a)
g(b)−g(a)
=
f ′(ξ )
g′(ξ )
.
Em particular, quando g(x) = x , temos o seguinte corolário:
Corolário 0.2.4 (Teorema de Lagrange). Se uma função é contı́nua no intervalo [a,b]
e possui derivada em cada ponto do intervalo (a,b) , então existe ξ ∈ (a,b) tal que
11
Stefane Saize
f (b)− f (a) = f ′(ξ )(b−a).
Exemplo 0.10. 1. Determine o ponto ξ onde a derivada da função f (x) = (1−
x)(2− x) é nula.
Verifiquemos as condições do Teorema de Rolle no intervalo [1,2] . Vemos que
a função é contı́nua em [1,2] , diferenciável em (1,2) e f (1) = f (2) = 0, então
existe ξ ∈ (1,2) tal que f ′(ξ ) = 2ξ −3 = 0 =⇒ ξ = 32 .
2. Verifique se as condições do teorema de Cauchy se verificam para as funções
f (x) = x2 e g(x) = 2
√
x no intervalo [1,2] . No caso afimativo, determine ξ .
Vemos que f e g são contı́nua e diferencı́aveis em [1,2] e (1,2) , reespectiva-
mente. Com derivadas f ′(x) = 2x e g′(x) = 1√x 6= 0 em (1,2) . Então são satis-
feitas as condições do teorema de Cauchy, portanto existe ξ ∈ (1,2) tal que
f (2)− f (1)
g(2)−g(1)
=
f ′(ξ )
g′(ξ )
=⇒ 2
2(
√
2−1)
=
2ξ√
ξ
=⇒ ξ = 1
4
(√
2−1
)2
Theorem 0.2.5 (Fórmula de Taylor). Seja f (x) uma função é contı́nua juntamente
com as suas derivadas até a ordem n+1 inclusive no intervalo (a,b) . Então, neste
intervalo, é válida a fórmula de Taylor
f (x) = f (x0)+(x− x0) f ′(x0)+
(x− x0)2
2!
f ′′(x0)+ . . .+
(x− x0)n
n!
f (n)(x0)+Rn(x),
onde x0 ∈ (a,b), Rn(x) = (x−x0)
n+1
(n+1)! f
(n+1)(ξ ), ξ = x0 +θ(x− x0), θ ∈ (0,1) .
No caso x0 = 0, temos a fórmula de McClaurim
f (x) = f (0)+(x− x0) f ′(0)+
x2
2!
f ′′(0)+ . . .+
xn
n!
f (n)(0)+Rn(x),
onde Rn(x) =
xn+1
(n+1)!
f (n+1)(ξ ), ξ = θx, θ ∈ (0,1) .
Exemplo 0.11. 1. Desenvolva a função f (x) = 11−x em potências de x . Neste caso,
12
Análise Matemática I
x0 = 0, determinemos as derivadas:
f ′(x) =
1
(1− x)2
, f ′′(x) =
2
(1− x)3
, f ′′′(x) =
2 ·3
(1− x)4
, . . . , f (n)(x) =
(n−1)!
(1− x)n
, . . .
Então, f (0) = 1, f (n)(0) = (n−1)! , assim
1
1− x
= 1+ x+
x2
2!
(2−1)!+ . . .+ x
n
n!
(n−1)!+(θx)
n+1
(n+1)!
1
(1−θx)n+2
,
1
1− x
= 1+ x+
x2
2
+
x3
x3
+ . . .+
xn
n
+
(θx)n+1
(n+1)!
1
(1−θx)n+2
.
2. Desenvolva a função f (x) = sinx em potências de x . Temos para isso,
f ′(x) = cosx, f ′′(x) =−sinx, f ′′′(x) =−cosx, f (4)(x) = sinx, . . . ,
f (n)(x) = sin
(
x+
nπ
2
)
, n = 0,1,2, . . .
Então f (n)(0) = sin
(nπ
2
)
=
{
(−1)k−1, n = 2k−1
0 , n = 2k
, k = 1,2, . . .
sinx = x− x
3
3!
+
x5
5!
+ . . .+(−1)n−1 x
2n−1
(2n−1)!
+(−1)n x
2n+1
(2n+1)!
sin
(
θx+
nπ
2
)
.
Alguns desenvolvimentos de funções elementares em séries de McClaurim
1. ex = 1+ x+
x2
2!
+ . . .+
xn
n!
+ . . .
2. cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− . . .+(−1)n−1 x
2n
(2n)!
+ . . .
3.
1
1+ x
= 1− x+ x
2
2
− . . .+(−1)n−1 x
n
n
+ . . .
4. sinhx = x+
x3
3!
+
x5
5!
+ . . .+
x2n−1
(2n−1)!
+ . . .
5. coshx = 1+
x2
2!
+
x4
4!
+ . . .+
x2n
(2n)!
+ . . .
13
Stefane Saize
Theorem 0.2.6 (Regra de L’Hospital). Suponhamos que as funções f (x) e g(x) ad-
mitem derivadas em qualquer ponto do intervalo (a,b) e g′(x) 6= 0 neste intervalo.
Suponhamos ainda que
1. lim
x→a+
f (x) = lim
x→a+
g(x) = 0 e
2. lim
x→a+
f ′(x)
g′(x) = L (onde L é finito ou ±∞).
Então,
lim
x→a+
f (x)
g(x)
= lim
x→a+
f ′(x)
g′(x)
= L.
Exemplo 0.12. Calcule o limite lim
x→0
sinx
sin2x
. Vemos que para f (x) = sinx e g(x) =
sin2x , lim
x→0
sinx = lim
x→0
sin2x = 0 e g′(x) = 2cos2x 6= 0 na vizinhança de x = 0, então
pela regra de L’Hospital, temos
lim
x→0
sinx
sin2x
= lim
x→0
cosx
2cos2x
=
1
2
.
0.2.1 Exercı́cios
1. Ache y(20) se y(x) = x2ex
2. Ache y(n), y(10) se y(x) = e
x
x
3. Ache y(n) se y(x) = ex cosx
4. Decomponha as seguintes funções em potências de x :
a) f (x) = cosx b) f (x) = ex
2
c) f (x) =
√
1+ x d) f (x) = tgx
5. Usando a fórmula de McClaurin ou de Taylor, calcule aproximadamente os números
abaixo com um erro absoluto inferior à 5 ·10−5 :
a) sin2(0.1), b) e1.2, c) ln(0.9)
6. Usando o diferencial da primeira ordem, ache aproximadamente o número sin
(
e0.01−0.1
)
.
7. Usando a regra de L’Hospital, calcule os seguintes limites:
a) lim
x→0
(1+ x)lnx b) lim
x→0
sinαx
tgβx
c) lim
x→0
tgx− x
x− sinx
d) lim
x→0
ln(cosax)
ln(cosbx)
8. Escreva as equações da tangente e da normal à curva y = x2−1 no ponto x = 1.
9. Escreva as equações da tangente e da normal à curva y = sin t y = cos t no ponto
t = π3 .
14
Análise Matemática I
0.3 Aplicações geométricas da derivada
0.3.1 Extremos locais e absolutos
Definição 0.8. Diremos que a função f (x) atinge um máximo (mı́nimo) local no
ponto x0 se f (x0) ≥ f (x) ( f (x0) ≤ f (x)) para qualquer x de uma certa vizinhança
de x0 .
Observação 0.2. Se f (x0)≥ f (x) ( f (x0)≤ f (x)) para todo x do domı́nio de f (x) ,
x0 diz-se ponto de máximo (mı́nimo) absoluto ou global.
Theorem 0.3.1 (Condições necessárias para a existência de extremos locais). Se a
função f (x) atinge um máximo ou mı́nimo local no ponto x0 , então f ′(x0) = 0 ou
f ′(x0) não existe.
Exemplo 0.13. 1. A função f (x) = (x− 1)2 + 2 possui um mı́nimo local no ponto
x = 1 e vemos que f ′(1) = 0.
Definição 0.9. Os valores de x para os quais f ′(x) = 0 ou não existe chamam-se
pontos crı́ticos.
Theorem 0.3.2 (Monotonia). 1. Se afunção f (x) é contı́nua no segmento [a,b] , difer-
enciável em (a,b) e f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a,b) ( f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a,b)) então f (x) é
crescente (decrescente) sobre [a,b] .
Theorem 0.3.3. Seja f (x) uma função contı́nua e diferenciável num intervalo con-
tendo o ponto x0 , com excepção talvez no ponto x0 .
1. se f ′(x) < 0 para x < x0 e f ′(x) > 0 para x > x0 , então a função atinge um
máximo local no ponto x = x0 .
2. se f ′(x) > 0 para x < x0 e f ′(x) < 0 para x > x0 , então a função atinge um
mı́nimo local no ponto x = x0 .
Exemplo 0.14. 1. Determine e classifique os extremos da função f (x)= x2−3x+2.
Resolução: Temos f ′(x) = 0 =⇒ 2x−3 = 0 =⇒ x = 23 .
x (−∞, 32 )
3
2 (
3
2 ,∞)
f ′(x) − 0 +
f (x) ↘ −14 ↗
Deste modo, a função possui um mı́nimo local no ponto
(3
2 ,−
1
4
)
.
15
Stefane Saize
2. Determine e classifique os extremos da função f (x) = x3−6x2 +9x−4.
Resolução: Temos f ′(x) = 0 =⇒ 3x2−12x+9 = 0 =⇒ x1 = 1 ∧ x2 = 3.
x (−∞,1) 1 (1,3) 3 (3,∞)
f ′(x) + 0 − 0 +
f (x) ↗ 0 ↘ −58 ↗
Assim, a função atinge um máximo local em (0,1) e um mı́nimo local no ponto
(3,−58) .
Theorem 0.3.4. Suponhamos que no ponto x0 a função f (x) atinge um máximo
(mı́nimo) local e que nesse ponto a função possui derivada da segunda ordem. Então,
f ′′(x0)< 0 ( f ′′(x0)> 0).
Exemplo 0.15. 1) A função f (x)= x3−6x2+9x−4 possui um máximo no ponto
x0 = 0 e verifica-se que f ′′(1) =−6 < 0 e, possui um mı́nimo local no ponto
x1 = 1 onde verifica-se que f ′′(3) = 6 > 0.
0.3.2 Cocavidade
Definição 0.10 (Concavidade). Diremos que a função f (x) possui no intervalo (a,b)
concavidade virada para cima (baixo) se neste intervalo, o gráfico de f (x) estiver
acima (abaixo) de qualquer tangente. O ponto onde a função muda de orientação,
chama-se ponto de inflexão.
Proposição 0.3.5. Se o ponto x0 é ponto de inflexão da função f (x) então f ′′(x0)= 0
ou não existe.
Theorem 0.3.6. Suponhamos que f (x) possuir derivada da segunda ordem. Então
f (x) possui concavidade virada para cima (baixo) no intervalo (a,b) se e somente
se f ′′(x)> 0 ( f ′′(x)< 0 ) para todo x de (a,b) .
Exemplo 0.16. Consideremos a função f (x) = x3− 6x2 + 9x− 4. Temos f ′′(x) =
0 =⇒ 6x−12 = 0 =⇒ x = 2. Então,
x (−∞,2) 2 (2,∞)
f ′′(x) − 0 +
f (x) ∩ −2 ∪
Vemos que a função possui concavidade virada paca baixo no intervalo (−∞,2)
e concavidade virada para cima no intervalo (2,+∞) . O ponto (2,−2) é ponto de
inflexão da função.
16
Análise Matemática I
0.3.3 Assı́mptotas
Definição 0.11. 1. Diremos que x = c é assı́mptota vertical da função f (x) se pelo
menos um dos limites lim
x→c+
f (x) ou lim
x→c−
f (x) é igual à +∞ ou −∞ .
2. A recta y = α é assı́mptota horizontal da função f (x) se lim
x→∞
f (x) = α ;
3. A recta y= ax+b é assı́mptota obliqua da função f (x) se lim
x→+∞
[ f (x)− (ax+b)]=
0 e os coeficientes a e b determinam-se do seguinte modo:
a = lim
x→+∞
f (x)
x
, b = lim
x→+∞
[ f (x)−ax] .
Analogamente define-se assı́mptota oblı́qua quando x =⇒−∞ .
Observe que assı́mptota horizontal é caso particular da assı́mptota oblı́qua, quando
a = 0.
Exemplo 0.17. 1) A função f (x) = x3 − 6x2 + 9x− 4 é contı́nua em todo R ,
então ela não possui assı́mptota vertical. O limite lim
x→∞
f (x) = ∞ então f (x)
não possui assı́mtota horizontal e finalmente lim
x→±∞
f (x)
x = +∞ , então a função
f (x) também não tem assı́mptotas oblı́quas.
2) Determine as assı́mptotas da função f (x) =
x2
x−1
.
Resolução: De modo a encontrar as assı́mptotas verticais analizamos os pon-
tos de descontinuidade da função. Para este caso, o denominador anula-se no
ponto x = 1 e neste ponto temos
lim
x→c−
f (x) = lim
x→1−
x2
x−1
=−∞
então x = 1 é assı́ptota vertical.
Vejamos que
α = lim
x→±∞
f (x) = lim
x→±∞
x2
x−1
=±∞,
então a função não possui assı́ptota horizontal. Procuremos agora as assı́mtotas
oblı́quas
17
Stefane Saize
a = lim
x→±∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
x2
x(x−1)
= 1
e
b = lim
x→±∞
[ f (x)−ax] = lim
x→±∞
[
x2
x−1
− x
]
= lim
x→±∞
[
x
x−1
= 1.
]
Logo a recta y = x+1 é assı́mptota oblı́qua da quando x→±∞ .
0.3.4 Esquema geral do estudo completo de uma função
1. Determinar o domı́nio de definição da função e estudar a função nos pontos de
descontinuidade e na fronteira
2. Verificar a periodicidade
3. Verificar a paridade da função;
4. Determinar os zeros da função;
5. Determinar as assı́mptotas verticais, horizontais e oblı́quas;
6. Determinar os pontos crı́ticos (os pontos onde a primeira derivada é igual a zero
ou não existe);
7. Determinar os intervalos de monotonia e os extremos locais da função;
8. Determinar os pontos de inflexão (os pontos onde a segunda derivada anula-se ou
não existe)9. Determinar os intervalos onde a função possui concavidade virada para cima ou
para baixo;
10. Esboção o gráfico.
Exemplo 0.18. 1. Faça o estudo completo da função f (x) = x3 − 6x2 + 9x− 4 e
esboce o gráfico.
Resolução: A função é contı́nua em todo R , não é par e nem ı́mpar (verifique!).
Vimos acima que f (x) não possui assı́mptotas . Quanto a monotonia tivemos:
x (−∞, 32 )
3
2 (
3
2 ,∞)
f ′(x) − 0 +
f (x) ↘ −14 ↗
18
Análise Matemática I
Deste modo, a função possui um mı́nimo local no ponto
(3
2 ,−
1
4
)
. E finalmente
temos o estudo da concavidade
x (−∞,2) 2 (2,∞)
f ′′(x) − 0 +
f (x) ∩ −2 ∪
Vemos que a função possui concavidade virada paca baixo no intervalo (−∞,2) e
concavidade virada para cima no intervalo (2,+∞) . O ponto (2,−2) é ponto de
inflexão da função.
Gráfico:
Figure 1:
2. Faça o estudo completo da função f (x) = x
2
x−1 e esboce o gráfico.
Resolução:
(a) Domı́nio: D f = {x : x 6= 1}
(b) Paridade: f (−x) = (−x)
2
−x−1 = −
x2
x+1 , a função não é par e nem ı́mpar pois
f (−x) 6= f (x) e f (−x) 6=− f (x).
(c) Zeros: f (x) = 0 =⇒ x2x−1 = 0 =⇒ x = 0;
(d) Assı́mptotas: Do exemplo referente a assı́mptotas tivemos: Assı́mtota ver-
tical, x = 1 e oblı́qua y = x+1 .
19
Stefane Saize
(e) Pontos crı́ticos, monotonia e extremos: f ′(x) = 0 ou não existe. f ′(x) =
x2−2x
(x−1)2 = 0 =⇒ x1 = 0, x2 = 2 e f
′(x) não existe no ponto x0 = 1.
x (−∞,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)
f ′(x) + 0 − @ − 0 +
f (x) ↗ 0 ↘ @ ↘ 4 ↗
Então a função possui um máximo local quando x = 0 e um mı́nimo local
quando x = 2.
(f) Pontos de inflexão e estudo da concavidade: f ′′(x) = 2
(x−1)2 , portanto
f ′′(x) não se anula. Porém f ′′(x) não faz sentido quando x = 1.
x (−∞,1) 1 (1,∞)
f ′(x) − @ +
f (x) ∩ @ ∪
0.4 Exercı́cios
1. Na curva y = x3 determine o ponto onde a tangente é paralela à corda que une os
pontos A(-1,1) e B(2,8) .
2. Determine os pontos ξ , na fórmula de Lagrange, para a função
f (x) =
{
3−x2
2 , 0≤ x≤ 1
1
x , 1 < x <+∞
no segmento [0,2] .
3. Ache os intervalos de monotonia da funções
a) f (x) = 3x− x3 ;
b) f (x) = ax2 +bx+ x ;
c) f (x) = x− 1x .
4. Ache os extremos locais das seguintes funções: a) f (x) = x− 1x b) f (x) = xe
−x
c) f (x) = x
√
2− x2 d) f (x) = x21+x2
5. Determine os extremos absolutos das seguintes funo̧ões:
a) f (x) = x2−1 no intervalo [−2,3] ;
20
Análise Matemática I
b) f (x) = x3 + x−4 no intervalo [0,3] .
6. Dividir um número dado a em dois temos, de modo que o produto dos seus termos
seja maior possı́vel.
7. Dada uma esfera, increva um cilindro de volume máximo.
8. De todos os rectângulos de área S0 , determine aquele cujo perı́metro é menor.
9. Determine as dimensões de um tubo de ensaio (fechado) de forma cilindrica de
volume V0 , de modo que a sua superfı́cie total seja mı́nima.
10. Faça o estudo completo das funções abaixo e esboce os respectivos gráficos
(a) f (x) = x− 1x ;
(b) f (x) = x
2+2x+4
2x ;
(c) f (x) = xe−x
(d) f (x) = x
2(x−1)
(x+1)2
21
Chapter 1
Cálculo integral
1.1 Integral indefinido
1.1.1 Primitiva de uma função
Seja f (x) uma função que actua de R para R .
Definição 1.1. Diremos que a função F(x) é primitiva da função f (x) sobre um
domı́nio D
,⊂ R se para quaisquer x ∈ D , F ′(x) = f (x) .
Exemplo 1.1. 1. A função F(x) = x
2
2 é primitiva de f (X) = x
2 .
2. A função F(x) = lnx é primitiva de f (X) = 1x .
Suponhamos que F1(x) e F2(x) são duas primitivas da função f (x) , então F2(x)=
F1(x)+C , onde C é uma constante. Isto quer dizer que uma função possui uma in-
finidade de primitivas.
Definição 1.2 (integral indefinido). Dá-se o nome de integral indefinido de uma
função f (x) em D , ao conjunto de todas suas primitvas e denotamos por,∫
f (x)dx = F(x)+C,
onde C é uma constante qualquer.
1.1.2 Propriedades do integral indefinido
Sejam α e β números reais e, F(x) e G(x) primitivas de f (x) e g(x) reespectiva-
mente. Então,
22
Análise Matemática I
1.
[∫
f (x)dx
]′
= [F(x)+C]′ = f (x) ;
2.
[∫
dF(x)dx
]
= F(x)+C ;
3.
∫
α f (x)dx = α
∫
f (x)dx (homogeniedade );
4.
∫
[ f (x)±g(x)]dx =
∫
f (x)dx±
∫
g(x)dx (linearidade).
1.1.3 Tabela de integração
1)
∫
xndx =
xn+1
n+C
(n 6=−1) ;
2)
∫ dx
x
= ln |x|+C ;
3)
∫ dx
1+ x2
=
{
arctg x+C
−arcctgx+C
; ;
4)
∫ dx
1− x2
=
1
2
ln
∣∣∣∣1+ x1− x
∣∣∣∣+C ;
5)
∫ dx√
1− x2
=
{
arcsinxx+C
−arccosx+C
;
6)
∫ dx√
x2±1
= ln |x+
√
x2±1|+C;
7)
∫
axdx =
ax
lna
+C ;
8)
∫
sinxdx =−cosx+C ;
9)
∫
cosxdx = sinx+C ;
10)
∫ dx
cos2 x
= tgx+C ;
11)
∫ dx
sin2 x
=−ctgx+C .
Exemplo 1.2. Calcule os seguintes integrais:
23
Stefane Saize
1)
∫
(2x2 + x−1)dx ;
2)
∫ x2dx
1− x2
;
3)
∫ dx
sin2 xcos2 x
.
Resolução:
1)
∫
(2x2 + x− 1)dx = 2
∫
x2dx+
∫
xdx−
∫
x0dx =
2x2+1
2+1
+
x1+1
1+1
− x
0+1
0+1
+
C =
x3
3
+
x2
2
− x+C ;
2)
∫ x2dx
1− x2
=
∫ [
−1+ 1
1− x2
]
dx =−x+ 1
2
ln
∣∣∣∣1+ x1− x
∣∣∣∣+C ;
3)
∫ dx
sin2 xcos2 x
=
∫ sin2 x+ cos2 x
sin2 xcos2 x
dx =
∫ dx
sin2 x
+
∫ dx
cos2 x
= −ctgx+ tgx+
C .
1.2 Métodos de integração
1.2.1 Método de substituição
Theorem 1.2.1. Seja x = ϕ(t) uma função contı́nua juntamente com a sua derivada.
Suponhamos ainda que ϕ(t) admite inversa. Enão,
dx = ϕ ′(t)dt
e ∫
f (x)dx =
∫
f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt.
Exemplo 1.3. Calcule os seguintes integrais:
1)
∫ dx
a2− x2
;
2)
∫ dx
a2 + x2
;
3)
∫ xdx
1+ x2
.
24
Análise Matemática I
Resolução:
1) Seja t = xa , então dt = dx/a . Logo,
∫ dx
a2− x2
=
∫ dx
a2(1− ( xa)2
=
1
a
∫ dt
1− t2
=
1
a
arctgt +C =
1
2a
ln
∣∣∣∣1+ x/a1− x/a
∣∣∣∣+C = 12a ln
∣∣∣∣a+ xa− x
∣∣∣∣+C ;
2) Seja t = xa , então dt = dx/a . Logo,
∫ dx
a2 + x2
=
∫ dx
a2(1+( xa)
2 =
1
a
∫ dt
1+ t2
=
1
a
arctgt +C =
1
a
arctg
x
a
+C ;
3) Seja t = 1+x2,=⇒ dt = 2xdx então,
∫ xdx
1+ x2
=
∫ dt
2t
=
1
2
ln |t|+C = 1
2
ln |1+
x2|+C ;
1.2.2 Método de intehgração por partes
Theorem 1.2.2. Sejam u e u duas função diferenciáveis num determinado domı́nio
de R . Então,
∈ u(x)dv(x) = u(x)v(x)−
∫
v(x)du(x).
Exemplo 1.4. Calcule os seguintes integrais:
1)
∫
xe−xdx ;
2)
∫
xsinxdx ;∫ √
a2− x2dx ;
Resolução:
1)
∫
xe−xdx =−
∫
xd(e−x) =−[xe−x +
∫
e−xdx] =−xe−x + e−x +C ;
2)
∫
xsinxdx =−
∫
xd(cosx) =−[xcosx−
∫
cosxdx] =−xcosx− sinx+C ;
I =
∫ √
a2− x2dx= x
√
a2− x2−
∫ −x2dx√
a2− x2
= x
√
a2− x2−
∫ √
a2− x2dx+∫ a2dx√
a2− x2
= x
√
a2− x2− I +a2 arcsin x
a
+C , então
I =
1
2
x
√
a2− x2 + a
2
2
arcsin
x
a
+C
25
Stefane Saize
1.2.3 Exercı́cios
1. Calcule os seguintes integrais:
a)
∫
x2(5− x)3 dx ;
b)
∫ x+1
3
√
x
dx ;
c)
∫
(
√
x−1)(
√
x+2)dx ;
d)
∫ √2+ x2−√2− x2√
4− x2
dx ;
e)
∫ dx
x2 +6x+13
f)
∫
tgxdx ;
g)
∫ 2x+1−5x−1
10x
dx ;
2. Usando o métdo de substituição calcule os seguintes integrais:
a)
∫ x
4+ x4
dx ;
b)
∫ dx
ex + e−x
;
c)
∫
sin5 xcosxdx ;
d)
∫ arctg xdx
1+ x2
;
e)
∫ sinxdx
cos2x
f)
∫ sinxcos3 xdx
1+ cos2 x
g)
∫ sinx+ cosx
3
√
sinx− cosx
dx ;
h)
∫ dx
sinx
;
i)
∫ 2x+1
x2 + x−2
dx ;
3. Usando a fórmula de integração por partes, calcule:
a)
∫
x2ex dx ;
26
Análise Matemática I
b)
∫
arcsinxdx ;
c)
∫
x2 sinxdx ;
d)
∫
xsin
√
xdx ;
e)
∫
eαx cosβxdx
1.2.4 Integração de funções racionais
Uma função racional é uma função da forma
pn(x)
qm(x)
=
a0 +a1x+ . . .+anxn
b0 +b1x+ . . .+bnxn
.
Quando o grau n < m , a função pn(x)qm(x) diz-se regular, caso contrário diz-se irreg-
ular (ou imprópria).
Theorem 1.2.3. Seja pn(x)qm(x) uma função regular. Então,
1. se qm(x) = (x− x1)(x− c2) . . .(x− cm) onde c1,c2, l,cm são raizes distintas de
qm(x) , então a fracção admite seguinte representação:
pn(x)
qm(x)
=
A1
x− c1
+
A2
x− c2
+ . . .+
Am
x− cm
,
onde A1, A2, . . . ,Am são coeficinentes indeterminados que podem ser determina-
dos por
Ak =
pn(ci)
∏ j, j 6=k(c j− ck)
, k = 1,2, . . . ,m.
2. se qm(x) = (x− c)m onde c é uma raiz de multiplicidade m de qm(x) , então
pn(x)
qm(x)
=
A1
x− c
+
A2
(x− c)2
+ . . .+
Am
(x− c)m
;
3. se qm(x)= (ax2 +bx+ c)k onde b2−4ac < 0 , então,
pn(x)
qm(x)
=
A1X +B1
ax2 +bx+ c
+
A2x+B2
(ax2 +bx+ c)2
+ . . .+
Akx+Bk
(ax2 +bx+ c)k
;
27
Stefane Saize
4. se qm(x) = (x−d1)k1(x−d2)k2 . . .(a1x2 +b1x+c1)l1 . . .(a1x2 +b1x+c1)lr , então
pn(x)
qm(x)
=
A1
x−d1
+
A2
(x−d1)2
+ . . .+
Ak1
(x−d1)k1
+
B1
x−d2
+
B2
(x−d2)2
+ . . .+
Bk1
(x−d2)k2
+ . . .+
A1X +B1
a1x2 +b1x+ c1
+
A2x+B2
(a1x2 +b1x+ c1)2
+ . . .+
Akx+Bk
(a1x2 +b1x+ c1)l1
+ . . .
+
D1X +E1
alr x2 +blr x+ clr
+
D2x+E2
(alr x2 +blr x+ clr)2
+ . . .+
Dlr x+Elr
(alr x2 +blr x+ clr)lr
.
Exemplo 1.5. Determine os seguintes integrais:
1.
∫ dx
x2−3x+2
;
2.
∫ dx
(x2 +1)(x−1)
;
Resolução:
1.
dx
x2−3x+2
=
1
(x−2)(x−1)
=
A
x−2
+
B
x−1
=
A(x−1)+B(x−2)
(x−1)(x−2)
, então
A(x−1)+B(x−2) = 1 =⇒ A = 1 eB =−1.
∫ dx
x2−3x+2
=
∫ [ 1
x−2
− 1
x−1
]
dx = ln
∣∣∣∣x−1x−2
∣∣∣∣+C;
2.
1
(x2 +1)(x−1)
=
Ax+B
x2 +1
+
C
x−1
=
(Ax+B)(x−1)+C(X2 +1)
(X2 +1)(x−1)
, então
(Ax+B)(x−1)+C(X2+1) = 1 =⇒ (A+C)x2+(−A+B)x−B+C = 1 =⇒ A =
B =−1/2,C = 1/2. Então,
∫ dx
(x2 +1)(x−1)
=−1
2
∫ x+1
x2 +1
dx+
1
2
∫ dx
x−1
=
1
2
ln |x−1|− 1
4
∫ d(x2 +1)
x2 +1
− 1
1
∫ dx
x2 +1
=
1
2
ln |x−1|− 1
2
arctg x− 1
4
∫ dt
t
=
1
2
ln |x−1|− 1
2
arctg x− 1
4
ln(x2 +1)+C.
28
Análise Matemática I
Integração de alguma expressões
1.
∫ dx
x−a
= ln |x−a|+C ;
2.
∫ dx
x−a
α
=
(x−a)1−α
1−α
+C, α 6= 1;
3.
∫ Ax+B
(ax2 +bx+ c)
fazemos a transformação ax2 + bx + c = a(x− p)2 + q onde
p = b/2a e q = c−b2/4a > 0 e t = x− p . Suponhamos que q/a > 0 então,
∫ Ax+B
(ax2 +bx+ c)
=
∫ A(t + p)+B
at+q
dt =
A
a
∫ tdt
t2 +q/a
+
Ap+B
a
∫ dt
t2 +q/a
=
A
2a
ln |t2 +q/a|+ Ap+B
a
√
a
q
arctg
[
t
√
a
q
]
+C.
4.
∫ Ax+B
(ax2 +bx+ c)
pelo processo anterior temos, para t = x− p , temos
∫ Ax+B
(ax2 +bx+ c)
=
∫ A(t + p)+B
(at2 +q)α
dt
1.2.5 Integração de expressões irracionais
Seja R(x, f (x)) uma expressão que depende de x e f (x) . Consideremos os seguintes
casos particulares:
1.
∫
R
[
x,
(
ax+b
cx+d
)m
n
, . . . ,
(
ax+b
cx+d
) r
s
]
dx
Seja k o deniminador comum das fracções mn , . . . ,
r
r . Fazendo a substituição da
forma ax+bcx+d = t
k , obtemos um integral de uma função racional.
Exemplo 1.6. Calcule os integrais:
1.
∫ dx
3
√
(x+2)2−
√
x+2
Resolução: O mmc de 2 3e 3 é 6, então seja t6 = x+ 2 =⇒ x = t6− 2 =⇒
dx = 6t5dt e t = 6
√
x+2. Assim,
29
Stefane Saize
∫ dx
3
√
(x+2)2−
√
x+2
=
∫ 6t5dt
t4− t3
= 6
∫ t2dt
t−1
= 6
∫
(t +1)dx+6
∫ dt
t−1
= 3t3 +6t +6ln |t−1|+C = 3 3
√
(x+2)+6 6
√
x+2+6ln
∣∣∣ 6√x+2−1∣∣∣+C.
2.
∫ √xdx
x
3
4 +1
Resolução: Fazendo x = t4 temos dx = 4t3dt , então
∫ √xdx
x
3
4 +1
=
∫ t2 ·4t3dt
t3 +1
= 4
∫
t2dt−4
∫ t2dt
t3 +1
=
4
3
t3− 4
3
∫ d(t3 +1)
t3 +1
=
4
3
t3− 4
3
ln
∣∣t3 +1∣∣+C = 4
3
(
4
√
x3
3
− ln
∣∣∣ 4√x3 +1∣∣∣)+C
2.
∫ dx√
ax2 +bx+ c
. Este integral pode ser reduzido para
∫ dt√
t2±α2
quando a >
0 e para
∫ dt√
α2± t2
quand a < 0.
3.
∫
(Ax+B)dx√
ax2 +bx+ c
. Façamos as seguintes transformações
∫
(Ax+B)dx√
ax2 +bx+ c
=
∫ A
2a(2ax+b)+(B−
Ab
2a )√
ax2 +bx+ c
dx
=
A
2a
∫ 2ax+b√
ax2 +bx+ c
dx+
(
B− Ab
2a
)∫ dx√
ax2 +bx+ c
=
A
2a
∫ d(ax2 +bx+ c)√
ax2 +bx+ c
dx+
(
B− Ab
2a
)∫ dx√
ax2 +bx+ c
.
4. Para integrais do tipo
∫
R[x,
√
ax2 +bx+ c]dx em geral resolve-se usando as
substituições de Euler (não vamos apresenta-los aqui). Alguns casos particulares
tais como:
∫
R[x,
√
a2− x2]dx aplica-se a substitução x = asin t ou x = acos t e∫
R[x,
√
a2 + x2]dx aplica-se substituição do tipo x = atgt ou t = ctg t .
30
Análise Matemática I
1.2.6 Integração de funções trigonométricas
Consideremos integrais da forma
∫
R[sinx, cosx]dx .
Substitução unicversal
Façamos
sinx =
2sin( x2)cos(
x
2)
sin2( x2)+ cos
2( x2)
=
2tg( x2)
1+ tg( x2)
cosx =
cos2( x2)− sin
2( x2)
sin2( x2)+ cos
2( x2)
=
1− tg2( x2)
1+ tg2( x2)
Seja t = tg( x2) então sinx =
2t
1+ t2
, cosx =
1− t2
1+ t2
, x = 2arctan t e dx = 2dt1+t2 .
Logo,
∫
R[sinx, cosx]dx =
∫
R
[
2t
1+ t2
,
1− t2
1+ t2
]
· 2dt
1+ t2
Exemplo 1.7. Calcule:
∫ dx
sinx
. Fazendo t = tg x2 temos∫ dx
sinx
=
∫ 2dt
1+t2
2t
1+t2
=
∫ dt
t
= ln |t|+C = ln
∣∣∣tg x
2
∣∣∣+C.
Consideremos alguns casos particulares.
1.
∫
R[sinx]cosxdx , neste caso faz-se a substituição t = sinx
2.
∫
R[cosx]sinxdx , neste caso faz-se a substituição t = cosx
3. para o integral
∫
R[tgx]cosxdx , faz-se a substituição t = tgx
4. para o integral
∫
R[sin2 x]cos2 xdx , faz-se a substituição t = tgx
Exemplo 1.8. Calcule os seguintes integrais:
1)
∫ dx
sinx
=
∫ sinxdx
sin2 x
=−
∫ d(cosx)
1− cos2 x
=−
∫ dt
1− t2
=
1
2
ln
∣∣∣∣1− t1+ t
∣∣∣∣+C = 12 ln
∣∣∣∣1− cosx1+ cosx
∣∣∣∣+
C.
31
Stefane Saize
2)
∫
sin2 xcos3 xdx =
∫
sin2 x(1− sin2 x)d(sinx) =
∫
t2(1− t2)dt = t
3
3
− t
5
5
+
C =
sin3 x
3
− sin
5 x
5
+C.
3)
∫ dx
cos4 x
=
∫ d(tgx)
cos2 x
=
∫ (
1+ tg2x
)
d(tgx) =
∫
(1 + t2)dt = t +
t3
3
+C =
tgx+
tg3x
3
+C.
1.2.7 Exercı́cios
1. Calcule:
a)
∫ dx
x2 +6x+25
b)
∫ dx
x3 +9x
c)
∫
(2x+5)dx
3x2 +6x+1
d)
∫
(x2 +2x+6)dx
(x−1)(x−2)(x−4)
e)
∫
(2x2 + x+3)dx
(x+2)(x2 + x+1)
f)
∫ dx
(x2−4x+3)(x2 +4x+5)
g)
∫
(x5 + x3 +1)dx
(x−1)(x2−1)(x3−1
h)
∫
(x3 +1)dx
(x2−4x+5)2
i)
∫ dx
(x2−4x+3)(x2 +4x+5)
j)
∫ 3x+5
(x2 +2x+2)2
2. Calcule:
a)
∫ dx
3
√
(2x+1)2−
√
2x−1
b)
∫ dx
−3x2 +4x−1
c)
∫ 6√xdx
1+ 3
√
x
32
Análise Matemática I
d)
∫ x+1√
x2 +2x+2
e)
∫ dx
x
√
2x2−2x−1
f)
∫ x2dx√
4− x2
g)
∫
x
x−1
x+1
dx
h)
∫ √x−1√
x+1
dx
3. Calcule:
a)
∫
sin2 xcos2 xdx
b)
∫ sinxdx√
cos3 x
c)
∫
ctgxdx
d)
∫ dx√
a2 sin2 x+b2 cos2 x
e)
∫
cos
x
2
sin
x
2
dx
f)
∫
cos3xcos5xdx
g)
∫ dx
1+ sinx+ cosx
h)
∫ dx
sin2 xcos4 x
i)
∫ dx
sin4 x
j)
∫ dx
cos5 x
33