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UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3. DERIVADAS A derivada: inclinação e taxa de variação HOFFMANN (2002, p.74), de acordo com a fisica clássica, em t segundos de queda, o corpo percorre uma distância s(t)=4,9t² metros. Suponha que estejamos interessados em determinar a velocidade do corpo em t=3 segundos. Para HOFFMANN (2002, p.77) a Derivada de uma Função f(x) em relação a x é uma função f'(x) ( que se lê como f linha de x) dada por: f ' x =lim f xh − f x h h 0 este processo de calcular a derivada é chamado de derivação. Então a função f(x) é derivável no ponto c se f'(c) existe ( ou seja, se o limite do quociente-diferença existe no ponto x=c) Inclinação como uma derivada: a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (c, f(c)) é dada por mtan= f'(c). Taxa de variação instantanea como uma derivada :a taxa de variação instantanea de uma grandeza f(x) em relação a x no ponto c é f'(c). professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:34 1 t distancia velocidade 3 44,1000 29,890000 3,1 47,0890 29,400049 3,00001 44,1003 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 1) Calcule a derivada de f(x)=x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y=x³ no ponto x=-1. Qual é a equação da reta tangente nesse ponto? Resposta: y=3x-2 solução: 1) calcule a derivada no ponto x=-1 2) substitua na equação da reta y-yo=m(x-xo) f ' x =lim f xh − f x h h 0 = lim xh3−x³ h h 0 = lim x³3x²h3h²xh³−x³ h h0 divide tudo por h para não continuar zero sobre zero lim 3x²h h 3h²x h h³ h h 0 simplifica lim 3x²3hxh² h0 , calculando o limite da função tem-se f'(x)=3x² 2) Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricados, a receita bruta associada ao produto é dada por R(x)=0,5x² +3x-2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita com o nível de produção x quando 3 unidades estão sendo fabricadas? Para esse nível de produção,a receita aumenta ou diminui com o aumento da produção? Resposta: aumenta porque a derivada primeira é positiva. professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:34 2 -15 -10 -5 0 5 10 15 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 y=x^3 x y=x^3 10 1000 9 729 8 512 7 343 6 216 5 125 4 64 3 27 2 8 1 1 0 0 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.1. DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE HOFFMANN (2002, p.79-81), uma função contínua para ser derivável em um ponto P e em todos os pontos próximos de P, a curva f(x) tem uma reta tangente não vertical neste ponto. Exemplos de funções : f(x)=1/x ; f(x)= |x| ; f x =3 x2 Estas três funções não são deriváveis no ponto (0;0). A função f(x)=1/x não é definida no ponto (0;0), a função f(x)=|x|, existe um vértice no ponto (0;0) e a função f x =3 x2 , existe uma cúspide no ponto (0;0) . A função contínua não é necessáriamente diferenciável em todos os pontos. professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:34 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.2 EXERCICIOS 3) HOFFMANN (2002, p.80-81), calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado: a) f(x) =5x-3 para x=2 b) f(x)=x² -1 para x=-1 c) f(x)=2x²-3x -5 x=0 4) Suponha que f(x)=x³. a) calcule a inclinação da reta secante que liga os pontos da curva de f cujas coordenadas x são x=1 e x=1,1. b) use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de f no ponto x=1 e compare o resultado com o item (a). 5) A função lucro P(x)= 400(15-x) (x-2) para a produção de fitas. O gráfico de y=P(x) é a parábola com a abertura voltada para baixo. a) determine P'(x). b) determine o ponto em que P'(x)=0. Nesse ponto, a reta tangente à curva que representa a função de lucro é horizontal. O que se pode dizer a respeito do lucro neste ponto da curva? 6) Os experimentos mostram que a altura ( em metros) do pulo de uma pulga após t segundos é dada pela função H(t)=4,4 t-4,9t². Usando os métodos do cálculo, determine o instante em que a pulga atinge a altura máxima. Qual é a altura máxima atingida pela pulga? 7) a) Determine a derivada da função linear f(x)=3x-2. b) determine a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto x=-1. c) explique de que forma as respostas aos itens (a) e (b) poderiam ter sido obtidas exclusivamente a partir de considerações geométricas, ou seja, sem realizar nenhum cálculo. 8) a) determine a derivada da função y=x² +3x. b) determine as derivadas das funções y=x² e y=3x separadamente. c) qual é a relação entre as derivadas obtida no item (a) e as derivadas obtidas no item (b)? d) no caso geral, se f(x)= g(x) + h(x), qual é a relação entre a derivada de f e as derivadas de g e h? professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:34 4 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 9) Faça o gráfico de uma função f com as propriedades pedidas. a) f'(x)>0 para x<1 e para x>5 b) f'(x) <0 para 1<x<5 c) f'(1)=0 e f'(5)=0 3.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE DERIVADA CUNHA (1990, p.193), a derivada de uma função num ponto de abscisssa conhecido, obtendo-se um numero real que representa o coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto. Esta reta tangente no ponto indicado é aproximado através de reta secante pela aproximação de dois pontos: y x = y−yo x−xo = f x − f xo x−xo Quando a reta secante se aproxima da reta tangente resulta em lim y x X0 = f ' xo representa o declive da reta tangente à curva no ponto indicado. AlGUMAS REGRAS SIMPLES DE DERIVAÇÃO HOFFMANN (2002, p.80-83) regra constante : y=c ==> y'=0 regra da potência : y=xn ===> y'= n xn-1 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:34 5 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.4 EXERCICIOS 10) HOFFMANN (2002, p.87-91), dada a função calcule a derivada . Faça o máximo possível de cálculos de cabeça e simplifique as respostas: a) y=x-4 b) y= 9 x c) y=x² +2x+3 d) y=x -5x +x +12⁹ ⁸ 11) Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será de P(x)=2x+4x3/2 +5000. a) qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses? R: 20 * calcule a derivada primeira b) qual será a taxa de variação percentual da população com o tempo daqui a 9 meses? R:0,39% * divida a derivada primeira pelo valor de P(x). 12) O salário inicial de um certo engenheiro é de R$ 2000 por mês e ele receberá um aumento de R$ 200 a cada ano. a) expresse a taxa de variação do salário no final de 1 ano. b) qual será a taxa de variação percentual do salário após 1 ano? 3.5 REGRAS DO PRODUTO EDO QUOCIENTE Segundo CUNHA (1990, p.209) as regras gerais de derivação do produto e quociente: u(x)* v(x)= u(x)*v'(x) + u'(x)*v(x) • dedução da fórmula • p(x)=u(x)*v(x) p(x+dx)=u(x+dx)*v(x+dx) • variação de p : p(x+dx)-p(x)=u(x+dx)*v(x+dx)- u(x)v(x) • u(x+dx)-u(x) =du ( variação de u) • v(x+dx)-v(x)=dv ( variação de v) • variação de p : [u(x) +du][v(x)+dv] – u(x)v(x) • p x =ux v x v x u x u v x • u(x)* v(x)= u(x)*v'(x) + u'(x)*v(x) professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 6 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR ux v x = u ' x ∗v x−ux ∗v ' x [v x ]2 3.5 EXERCICIOS 13) HOFFMANN (2002, p.96), calcule a derivada da função dada: a) f(x) =(2x+1)(3x-2) b) f x =2x−3 5x4 c) y=400(15-x²)(3x-2) d) gx =x²x44−x 2x−1 14) A população de uma colonia de bactérias é dada por Pt =24t10 t²1 mil t horas após a introdução de uma toxina. Use os métodos do cálculo para determinar o instante em que a produção é máxima e determine qual é a população nesse instante. Resposta : 0,67=40' ; 18000 15) Um corpo se move em linha reta tal que forma após t minutos a distancia percorrida é de D t =10t 5 t−1 −5 metros. a) qual a velocidade do corpo após 4 minutos? R:9,44 b) qual a distancia percorrida pelo corpo durante o quinto minuto? R:9,58 16) Uma doença está se espalhando de tal forma que após t semanas, o número de pessoas infectadas é dado por N(t)=5175 -t³(t-8) 0t8 . a) qual a taxa de disseminação da epidemia após 3 semanas? Resposta : 108 b) suponha que as autoridades declarem que uma doença atingiu proporcões epidêmicas quando a taxa de disseminação percentual é maior ou igual a 25%. Durante que período de professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 7 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR tempo esse critério é satisfeito no caso em questão? * calcule N'(t)/N(t) para cada intervalode tempo dado. 3.6. ANÁLISE MARGINAL: APROXIMAÇÃO POR INCREMENTOS HOFFMANN (2002, p.100),análise marginal é uma parte da economia que estuda o que acontece com grandezas como custo, a receita e o lucro, quando o nível de produção varia um valor unitário.Se C(x) é o custo para produzir x unidades de quem certo produto, o custo para produzir a unidade xo+1 é C(xo+1) -C(xo). Como a derivada da função custo C(x), conhecida como custo marginal é dada por C'(xo). Receita : numero unidades vendidas *preço por unidade Lucro: receita - custo 17) Um fabricante estima que quando x unidades de um certo produto são fabricados, o custo total é de C(x) =x²/8 +3x+98 reais e que todas as x unidades são vendidas quando o preço é de p(x)=25-x/3 reais por unidade. a) use a função de custo marginal para estimar o custo para produzir a nona unidade. Qual é o custo exato para produzir a nona unidade? R: 5 ; 5,125 b) determine a função de receita do produto. Em seguida, use a função de receita marginal para estimar a receita obtida com a venda da nona unidade. * Receita marginal: R(xo+1)-R(xo)~=R'(xo) Qual é a receita exata obtida com a venda da nona unidade? * receita :R(x)=x*p(x);19,67 ; 19,33 c)determine a função lucro associada à produção de x unidades. Plote a função de lucro e determine o nível de produção para o qual o lucro é máximo. R: -11x²/24 +22x-98; L(24)= 166 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:34 8 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.7 APROXIMAÇÃO POR INCREMENTOS Tem-se que a derivada é dada por : f ' x =lim f xh − f x h h 0 para pequenos valores de h, a derivada f'(x) é aproximadamente igual ao quociente -diferença. f ' x ≃ f xh− f x h ≃ f x então a aproximação por incrementos é f≃ f ' xo x 18) O custo total em reais para fabricar q unidades de um certo produto é C(q)=3q²+5q+10. Se o nível atual de produção é de 40 unidades, estime a variação do custo total se 40,5 unidades forem produzidas. Resposta : 122,50 19) O PIB de um certo país foi de N(t)=t²+5t+200 bilhões de dólares t anos 1994. Use os métodos do cálculo para estimar a variação percentual do PIB durante o primeiro trimestre de 2002. Resposta: 1,73% * t= 8 anos t=1 4 3.7.1 DIFERENCIAL A diferencial de x é dx= x e se y =f(x) é uma função derivável de x , dy=f'(x)dx é a diferencial de y. Como dy pertence a reta tangente a curva e y pertence a curva então a diferencial é uma boa aproximação de y por dy. professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 9 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.7 EXERCICIOS 20) Estime a variação da função f(x)=x²-3x+5 quando x varia de 5 para 5,3. resposta: 2,1 21)Estime a variação da função f x = x x1 −3 quando x diminui de 4 para 3,8. resposta:-0,008 22) O custo total de certa fábrica , é de C(q)=0,1q³ -0,5q² +500q + 200 reais quando o nível de produção é q unidades. O nível atual de produção é de 4 unidades, mas o fabricante pretende aumentá-lo para 4,1 unidade. Estime a variação do custo total em consequencia desse aumento de produção. Resposta: 50,08 23) A produção diária de certa fábrica é de QL =300L2 /3 unidades , onde L é a mào de obra utilizada são produzidas durante o mês. No momento, a fábrica utiliza 512 homens-hora. Estime o número de unidades adicionais que seriam necessários para aumentar em 12,5 unidades a produção. Resposta: 0,5 24) Um estudo realizado no turno da manhã de certa fábrica revela que um operário que chegou ao trabalho às 8 horas montou em média f(x)= -x³ +6x²+ 15x aparelhos de rádio x horas mais tarde. Quantos rádios são montado, em média, por um operário entre 9h e 9h15min? Resposta: 6 rádios professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 10 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.8 REGRA DA CADEIA Se y é uma cadeia derivável de u e u é uma função derivável de x, y é uma função composta de x e dy dx = dy du du dx 25)Determine dy/dx para y=u³ -3u² +1 e u =x²+2 y'=3u2*u'-6u*u' u'=2x substitui em y' a variavel u e u' ou deriva a função composta função composta : y=(x²+2)³-3*(x²+2)+1 y'= 3*(x²+2)²*2x-6x*(x²+2)*2x • resolve separadamente cada derivada ou substitui a função u em y e deriva. Resposta: y'=6x +12x³⁵ 26) Determine dy/dx no ponto x=1 y=u/(u+1) e u =3x²-1 . Resposta: y'=6x/(3x²)²=2/3 27) O custo para produzir x unidades de um certo produto é de C(x)=x²/3 +4x+53 reais e o número de unidades produzidas em t horas de trabalho é de x(t)= 0.2t² +0.03t unidades. Qual é a taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho? R:10,13 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 11 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.9 EXERCICIOS 28) HOFFMANN (2002, p.116)Use a regra da cadeia para calcular a derivadady/dx da função dada e simplifique a resposta. a) y=u²+1 u=3x-2 b) y=2u²-u+5 u=1-x² c) y= x u=x²+2x-3 29) Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx para a função dada e o valor especificado de x: a) y=3u -4u +5 u=x³-2x -5 ; x=2 R: -160 b) y=u -3u² + 6u -5 , u=x²-1; x=1 R:12⁴ ⁵ 30) Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta: a) f(x)=(2x+1) b) ⁴ f x =5x6−12 c) f x = 1−5x² 332x d) f y= 3y11−4y e) f(x)=(x+2)³ (2x-1)⁵ 3.10 DERIVADA SEGUNDA ● É taxa de variação da taxa de variação. ● A aceleração de um automóvel é taxa de variação da velocidade. Exemplo: Calcule a derivada segunda da função f(x)= 5x -3x² -3x+7.⁴ APLICAÇÕES DA DERIVADA SEGUNDA 31) Um estudo de eficiencia realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que um operário que chega ao trabalho às 8 horas terá produzido Q(t)=-t³ + 6t² + 24t unidades t horas mais tarde. a) calcule a taxa de produção dos operários às 11 horas. Solução ; Q'(t) =-3t² +12t+24 Q'(3)=33 unidades por hora. b) qual é a taxa de variação da taxa de produção dos operários as 11 horas? Solução : Q”(t)= -6t+12 Q”(3)=-6 unidades por hora ao quadrado * o sinal negativo indica que a taxa de produção está diminuindo. professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 12 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR c) use os métodos do cálculo para estimar a variação da taxa de produção dos operários entre 11h e 11h 10 min. Solução: Q' t ≃Q' ' t t = -1 unidade por hora. ( diferencial) em t=11 horas. • a taxa de produção dos operários que era de 33 unidades por hora as 11 h , diminui de aproximadamente 1 unidade por hora para 32 unidades por hora durante os 10 minutos. d)calcule a variação real da taxa de produção dos operários entre 11h e 11h 10 min. Solução :a avariação real da taxa de produção dos operários entre 11h e 11h 10 min é a diferenças das derivadas primeiras . R: -1,08 unidade por hora. 32) Se a posição de um corpo que está se movendo em linha reta é dada por s(t)=t³-3t²+4t no instante t, calcule a velocidade e aceleração do corpo. Respostas: v(t)=3t² -6t+4 a(t)=6t-6 33)Uma projeção do aumento da população indica que daqui a t anos a população de certa cidade será de p(t) =-t³ + 9t² + 48t + 200 mil habitantes. a) qual será a taxa de aumento da população daqui a 3 anos? R:75000 b) qual será a taxa de variação da taxa de aumento da população daqui a 3 anos?R:0 c)use os métodos do cálculo para estimar a variação da taxa de aumento da população durante o primeiro mês do quarto ano.R:zero * use Q' t ≃Q' ' t t d) calcule a variação real da taxa de aumento da população durante o primeiro mês do quarto ano.R: -20 habitantes* use p'(t2)-p'(t1) professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 13 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.11 .DERIVAÇÃO IMPLÍCITA E TAXAS RELACIONADAS HOFFMANN (2002, p.125-135),suponha que uma equação defina y implicitamente como uma função derivável de x. Para calcular dy/dx. ● Derive os ambos os membros da equação em relacão a x. Não se esqueça de que y é função de x e use a regra da cadeia ao derivar os termos que contem y. ● Explicite dy/dx na equação resultante. 34) Calcule dy/dx =y' para a função x²y +2y³ =3x +2y solução: 2xy + x²y' + 3y²y' =3 +2y' * deriva em relação a x * deriva em relação a y e acrescenta y'. resposta: y '= 3−2xy x²6y²−2 35) (Taxas relacionadas)Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante tem interesse em produzir x mil unidades, onde x²−2x p− p²=31 . Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é de $ 9 e está aumentando à razão de $ 0,20 por semana? Solução: p=9 p'=dp/dt=0,20 qual é o valor de x' • substitui p=9 na função e x vale 14 mil unidades • deriva em relação a x e a p • 2xx '−2 px '− 2xp ' 2 p −2pp '=0 substituindo p=9 p'=0,20 x=14 tem-se 0,206 • então a oferta está aumentando em 206 unidades por semana. professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 14 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.12 EXERCICIOS 36) Quando o preço unitário de um certo produto é de p reais, a demanda é de x centenas de unidades, onde x² +3px+p²=79. Qual é a taxa de variação da oferta se o preço unitário éde $ 5,00 e está aumentando à razão de $0,30 por mês? 37) Quando o preço unitário de um certo produto é p $ , o fabricante tem interesse em fabricar x unidades, onde 3p² -x² =12. Qual é a taxa de variação da oferta se o preço unitário é de $ 4,00 e está aumentando à razão $0.87 por mês? Resposta: 6pp' -12xx'=0 isole x'=1,74 38) Calcule dy/dx por derivação implicita: a) x²+y² =25 * equação circunferencia com raio igual a 5, calcule a inclinação da reta tangente no ponto (3;4) e (3;-4). b)x³+y³ =xy c) y² +2xy²-3x+1=0 d) (x-2y)²=y f) (x²+3y²) =2xy⁵ respostas: c) y '= 3−2y 2 2y4xy 39) Para estimar a quantidade de madeira que existe no tronco de uma arvore, é razoavel supro que a arvore é um cone truncado. Se o raio superior do tronco é r, o raio inferior é R e a altura é H , o volume de madeira é dado por V=H 3 R²rRr² . As taxas de aumento de r, R e H são respectivamente 10 cm/ano , 12,5 cm/ano e 22,5 cm/ano. a)Qual é a taxa de aumento de V no instante em que r=60 cm, R=90 cm e H=4,5 cm? R:2,80 b) Calcule a variação real do volume. R:3,11 • V'=pi/3*(H'R² + 2RHR' + [ (r'R +R'r)H + H'r.R] + 2r r'H +r²H') • multiplitique a expressão por H • na expressão rRH aplicar uv=u'v+v'u professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 15 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.1.3 APLICAÇÕES ADICIONAIS DA DERIVADA Funções Crescente e Decrescentes f'(x)> 0 ---> função crescente ( inclinações positivas) f'(x)<0 ---> função decrescentes ( inclinações negativas) 40) Determine os intervalos em que a função f(x)=2x³+3x² -12x-7 é crescente e decrescente. * calcule a derivada primeira e faça igual a zero. intervalo Número de teste c Sinal de f'(c) conclusão x<-2 -3 positivo crescente -2<x<1 0 negativo decrescente x>1 2 positivo crescente professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 16 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.1.4 EXTREMOS RELATIVOS HOFFMANN ( 2002, p.146) , uma função f(x) possui um máximo relativo no ponto x=c se f c f x para todos os valores de x em um intervalo a<x<b que contenha o ponto c. Uma função f(x) possui um mínimo relativo no ponto x=c se f c f x para todos os valores de x em um intervalo a<x<b que contenha o ponto c. Os máximos e mínimos relativos de f são conhecidos pelo nome global de extremos relativos. NÚMEROS CRÍTICOS E PONTOS CRÍTICOS ● número crítico --->f'(c)=0 ou f'(c) não existe ● ponto crítico--->(c,f(c)) TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Máximo relativo Mínimo relativo Ponto ordinário f'(x)>0 à esquerda de c e f'(x)<0 `a direita de c f'(x)<0 à esquerda de c e f'(x)>0 à direita de c f'(x)>0 dos dois lados de c ou f'(x)<0 dos dois lados de c 3.1.5 EXERCICIOS 42)Determine todos os pontos críticos da função f(x)=x +8x³+18x²-8.⁴ Resposta : (-3;19) (0;-8) 43) Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. a) f(x)=3x -8x³+6x²+2 resposta: minimo (0;2) ponto ordinário (1;3)⁴ b) f(x)=(x³-1) resposta: ponto ordinário : (0;1) mínimo relativo :(1;0)⁴ 44) A porcentagem de ovos de bicho da maçã que chocam a uma dada temperatura ( em graus Celsius) é dada por H(t)= - 0,53T² +25T -209 para 15≤T≤30 . Faça um gráfico da função H(T). Para que a temperatura T( 15≤T≤30 ) a porcentagem de ovos chocados é máxima? Qual é esta porcentagem máxima. professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 17 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 45) Plote a função com a seguintes propriedades : a) f'(x)> 0 para x< -5 e para x>1. b) f'(x)< 0 para -5<x<1. c) f(-5) =4 e f(1)=-1 SINAL DE DERIVADA SEGUNDA f''(x)<0 f”(x)>0 concavidade para baixo concavidade para cima 3.1.6 PONTOS DE INFLEXÃO É quando um ponto de uma função no qual a concavidade muda de sentido. Passo 1: calcule a derivada segunda e determine os pontos nos quais f¨(x)=0 ou f”(x) não existe. Passo 2: assinale os pontos obtidos no passo 1 sobre uma reta, dividindo assim a reta em subintervalos. Calcule o valor de f”(p) para números de teste p situados em todos os intervalos. Passo 3: a função tem concavidade para cima nos intervalos em que f”(p) >0 e concavidade para baixo nos intervalos em f”(p) < 0. Os pontos de inflexão são os pontos que separam subintevalos nos quais a função tem diferentes concavidades. professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 18 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.1.7 APLICAÇÕES DA DERIVADA SEGUNDA 46) Determine se a função f(x)=3x -2x³-12x²+18x+15 está aumentando ou diminuindo e se⁴ possui concavidade para cima ou para baixo. Determine os pontos extremos relativos e pontos de inflexão e plote o gráfico associado. Respostas: (-1,5; -17,06) (-2/3;-1,15) (1,22) (0;15) 47) Um estudo de eficiencia realizado no turno da manhã ( 8h ao meio dia) revela que um operário que chega para trabalhar as 8 h produziu Q(t)= -t³ +9t²/2 +15t unidades t horas mais tarde. a) em que instante do turno da manhà a produtividade do operário é maxima? R: t=1,5 b) em que instante do turno da manhà a produtividade do operário é mínima? R: t=4 48) Uma projeção, válida para 5 anos, revela que daqui a t anos a população de certo bairro será de P(t)= -t³ +9t² +48t+50 mil habitantes. a) em que instante, dentro do periodo de 5 anos, a taxa de crescimento da população será maxima? t=3 b) em que instante, dentro do periodo de 5 anos, a taxa de crescimento da população será mínima? t=0 c) em que instante a taxa de crescimento da população estará variando mais rapidamente? professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 19 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR 3.1.8 REGRA DE L'HOSPITAL PARA O CALCULO DE LIMITES CUNHA (1990, p.217-219), utiliza-se regra de L'Hospital nas formas 0 0 e ∞∞ , aplica-se a derivada no numerador e denominador separadamente. 49) lim x2−1 x 2−3x2 x 1 50) lim x−1 x−1 x 1 51) lim x1−2 x−3 x 3 52)Calcule os seguintes limites usando se possível regra de L' Hospital: a) x2 x3senlim 0x→ b) x4 xsenlim 0x→ c) x3 x2tglim 0x→ d) x3sen x4senlim 0x→ e) x5tg x3tglim 0x→ f) x xcos1lim 0x − → g) xsen.x xcos1lim 0x − → h) 20x x xsec1lim − → i) x xsentgxlim 0x + → l) xsenxcos x2coslim 4 π x −→ m) xsenx xsenxlim 0x + − → n) x3senx x2senxlim 0x + − → o) x4sen x3cosx5coslim 0x − → p) xsen x2senx3senlim 0x − → q) x asen)axsen(lim 0x −+ → r) x acos)axcos(lim 0x −+ → s) xπ 2 xsen1 lim πx − − → professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 20 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR j) tgx1 xcosxsenlim 4 π x − − → k) xsen xsentgxlim 20x − → t) 20x x3 x2cos1lim − → u) 3 x 0 tgx senxlim x→ − Respostas: a b c d e f g h i j k 2 3 4 1 3 2 3 4 5 3 0 2 1 2 1 − 2 2 2 − 0 l m n o p q r s t u 2 0 4 1 − 0 1 a cos a sen− 0 3 2 1/2 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 21 UTFPR MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnologia em Manutenção Industrial UTFPR REFERENCIAS CUNHA, Felix da et al. Matemática Aplicada. Editora Atlas. SP.1990. HOFFMANN .L.D. & BRADLEY.G.L. Cálculo . Um curso moderno e suas aplicações. Editora LTC.RJ.7a edição.2002. Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/func/grgr.htm acessado 02/09/2008. Disponível em http://www.hottopos.com.br/regeq8/cardoso1.htm, acessado em 04/09/2008 professor Jorge Roberto Grobe CA31M TURMA 1MN 02/07/2013 13:30:35 22
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