Colaborar - Aap - Análise Matemática

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06/06/2022 17:01 Colaborar - Aap3 - Análise Matemática
https://www.colaboraread.com.br/aluno/avaliacao/index/3042170503?atividadeDisciplinaId=12639677 1/3
a)
b)
c)
d)
e)
1)
a)
b)
c)
d)
2)
Seja um conjunto . Dizemos que um ponto é aderente a se for limite de alguma
sequência cujos termos pertencem todos a . Assim, vemos que todo ponto de é aderente a .
Considerando a definição de pontos aderentes apresentada, avalie as seguintes asserções e a relação
proposta entre elas:
 
(I) A sequência não possui pontos aderentes
PORQUE
(II) A sequência não é limitada.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa da primeira.
Alternativa assinalada
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da
primeira.
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
Ambas as asserções são proposições falsas.
Se uma sequência converge para um certo limite, qualquer subsequência sua converge para esse
mesmo limite. Quando a sequência não converge, nem tende para ou , diz-se que ela
é oscilante. Nesse caso, ela sempre terá várias subsequências, cada uma tendendo para um limite
diferente. Esses números são chamados valores de aderência da sequência sob consideração.
 
(ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgard Blücher, 2001.)
 
Define-se também o fecho de um conjunto como o conjunto formado pelos pontos aderentes
a . Seja a sequência definida por . 
O conjunto formado pelos pontos aderentes a está corretamente expresso em
Alternativas:
 .
 .
 . Alternativa assinalada
06/06/2022 17:01 Colaborar - Aap3 - Análise Matemática
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e)
a)
b)
c)
d)
e)
3)
4)
 .
 .
A topologia estuda noções de vizinhança e proximidade, abstraindo-as das operações aritméticas
dos números reais. A topologia na reta é um bom exemplo do que Polya chamava de “paradoxo da
invenção”: um problema mais geral às vezes torna-se mais fácil de resolver do que um problema
particular. Quando usamos a linguagem da topologia para resolvermos problemas relacionados a
convergência de sequências e continuidade de funções, pagamos o preço de usar uma linguagem
abstrata demais, que em um primeiro momento pode comprometer a intuição, mas as
demonstrações tornam-se muitas vezes mais simples e elegantes. E ainda têm a vantagem de,
futuramente, as mesmas demonstrações serem aplicadas em problemas muito mais gerais (sobre
espaços de dimensões maiores ou outros espaços topológicos).
 
(FAJARDO, Rogério Augusto dos Santos. Introdução à Análise Real. São Paulo: IME-USP, 2017. 128 p.
Disponível em: <https://www.ime.usp.br/~fajardo/Analise.pdf>. Acesso em: 07 jan. 2019.)
 
Considerando os conceitos de vizinhança, conjuntos abertos, conjuntos fechados e pontos de
acumulação estudados, analise as afirmativas a seguir e assinale V para verdadeiro e F para falso.
 
( ) Todo intervalo aberto (a,b) é um conjunto aberto.
( ) A união de uma família qualquer de conjuntos abertos é também um conjunto aberto.
( ) é aberto se, e somente se, seu complementar for aberto.
( ) A união finita de conjuntos fechados não resulta em um conjunto fechado.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Alternativas:
F - F - V - V.
F - V - F - V.
V - F - V - F.
V - V - F - F. Alternativa assinalada
V - F - F - V.
Em um curso de análise matemática foram apresentadas as seguintes definições de vizinhança
perfurada e limite de uma função:
 
Dado , o intervalo é uma vizinhança de , chamada naturalmente de
vizinhança simétrica de , ou vizinhança de . Às vezes interessa considerar uma vizinhança de 
, excluído o próprio ponto , a chamada vizinhança perfurada, que será denotada por :
.
 
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a)
b)
c)
d)
e)
Dada uma função com domínio , seja um ponto de acumulação de , (que pode ou não
pertencer a ). Diz-se que um número é o limite de com tendendo a se, dado qualquer 
, existe um tal que:
.
 
Utilizando a notação de vizinhança perfurada, foram sugeridas outras três maneiras de se escrever a
definição de limite:
 
I. .
II. .
III. .
Pode-se afirmar que a definição de limite está corretamente enunciada em
Alternativas:
I, apenas.
I e II, apenas.
I e III, apenas.
II e III, apenas. Alternativa assinalada
I, II e III.