Banda Proibida do Germânio_Lorena

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Banda Proibida do Germânio 
 
Lorena Cristina da Silva 
 
 
 
 
Resumo 
 
No presente trabalho iremos determinar a banda proibida do germânio e medir a 
condutividade do germânio em função da temperatura. Onde a partir das curvas dos gráficos 
provenientes das medidas de corrente para 1mA. 3mA e 5mA, podemos encontrar os valores 
para 𝑬𝒈, energia da banda proibida, onde foi possível encontrar a média dos valores, tendo 
assim então (𝑬𝒈)𝒆𝒙𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟑𝒆𝑽 e comparado a previsão teórica de (𝑬𝒈)𝒕𝒆𝒐 = 𝟎, 𝟔𝟔𝒆𝑽, a 
diferença percentual é de 𝜟% = 𝟏𝟎%; 
 
Dados Experimentais e discussão 
 
 
Neste trabalho iremos determinar a banda proibida do germânio e medir a 
condutividade do germânio em função da temperatura onde é possível mostrar que a 
condutividade elétrica dos semicondutores apresenta em determinadas faixas de temperatura 
uma variação térmica (em geral acima da temperatura ambiente) da forma: 
𝝈 = 𝝈𝟎. 𝒆
−
𝑬𝒈
𝟐𝑲𝑻 𝑬𝒒 𝟏 
 
onde 𝝈 é a condutividade intrínseca, 𝝈𝟎 uma constante, K a constante de Boltzmann e 
T a temperatura. A largura da banda proibida pode ser determinada a partir da variação da 
condutividade com a temperatura na faixa intrínseca de temperatura. A equação 3 pode ainda 
ser escrita na forma 
𝒍𝒏𝝈 = 𝒍𝒏 𝝈𝟎 + 𝒍𝒏 (𝒆
−
𝑬𝒈
𝟐𝑲𝑻) 𝑬𝒒 𝟐 
 
𝒍𝒏𝝈 − 𝒍𝒏𝝈𝟎 = −
𝑬𝒈
𝟐𝑲𝑻
 𝑬𝒒 𝟑 
 
𝒍𝒏𝝈 = −
𝑬𝒈
𝟐𝑲
.
𝟏
𝑻
+ 𝒍𝒏𝝈𝟎 𝑬𝒒 𝟒 
 
Quando consideramos um potencial cristalino entramos no estudo de teoria de bandas 
e conseguimos uma explicação bem detalhada dos diversos tipos de materiais, classificando-os 
em metais, semicondutores e isolantes. Em um sólido temos um grande número de átomos, 
consequentemente um grande número de níveis de energia próximos uns dos outros 
formando uma banda de energia praticamente contínua. A principal diferença entre um metal 
e um semicondutor é o gap de energia, que é a diferença entre o máximo da banda de valência 
e o mínimo da banda de condução. Para um metal o gap de energia é nulo, já para um 
semicondutor é da ordem de KT e para um isolante é maior que KT, sendo mostrada na figura 
1 uma representação ilustrativa do gap de energia entre a banda de condução e a banda de 
valência para o metal, semicondutor e isolante. 
 
 
Figura 1. Ilustração do gap de energia para o metal, semicondutor e isolante 
 
Como podemos descrever os comportamentos das bandas de energia, iremos estudar o 
Germânio, no qual ele é um semicondutor, a figura acima, mostra como é a distância entre a 
banda de valência e a banda de condução de um semicondutor. 
 
 
 
Figura 2.Montagem experimental para medida da condutividade do germânio 
 
A figura 2, mostra o arranjo experimental para medir a condutividade e a partir desta 
obter a medida do gap do semicondutor. Para tanto com os dados que foram fornecidos 
determina-se a evolução da condutividade como função da temperatura, para cada medida 
com a corrente constante, utilizando a equação: 
 
𝝈 =
𝟏
𝝆
= (
𝒂
𝒃 ∗ 𝒄
∗
𝒊
𝑼𝒑
) 𝑬𝒒 𝟓 
Onde, 
a= 20mm b=10mm c=1mm (dimensões da amostra) 
𝑼𝒑= a tensão medida em função da temperatura 
i= a corrente fixa durante o experimento. 
 
Para primeira medida de 1mA, das muitas que foram realizadas para a construção dos 
gráficos, esse é um exemplo de foi realizados os cálculos para encontrar a condutividade: 
 
 
𝝈 =
𝟏
𝝆
= (
𝟐𝟎𝒎𝒎
𝟏𝟎𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝒎𝒎
∗
𝟏𝒎𝑨
𝟎, 𝟖𝟏
) 𝑬𝒒 𝟔 
 
Porém transformei todos os valores para sistema internacional de unidade, 
 
1mA=0,001 A 1mm=0,01m T= (°C+273,15) K 
 
Sendo assim, 
𝝈 =
𝟏
𝝆
= (
𝟎, 𝟎𝟐𝒎
𝟎, 𝟎𝟏𝒎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝒎
∗
𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝑨
𝟎, 𝟖𝟏
) 𝑬𝒒 𝟕 
 
𝝈 =
𝟏
𝝆
= 𝟐, 𝟒𝟕 (
𝒎
𝒎𝟐
∗
𝑨
𝑲
) = 𝟐, 𝟒𝟕 (
𝑨
𝒎𝑲
) 𝑬𝒒 𝟖 
 
Com os resultados do item anterior, abaixo encontra-se um gráfico da condutividade 
elétrica 𝜎 em função da temperatura T(K), para os três valores fixos da corrente: 1mA, 3mA e 
5mA. 
 
 
Gráfico 1.Sigma (σ) vs temperatura absoluta 
 
Em alguns pontos do gráfico, encontramos certa saturação nos valores, no qual podem 
ser visíveis no gráfico 1, isso acontece devido a corrente ser muito pequena, e por tratarmos 
de dados reais. Por conta desses dados saturados, a melhor forma de se obter bons dados é 
escolher os dados dos quais sejam bons para nosso trabalho, dentro do que já nos foi 
fornecido. Portanto, retira-se dados saturados e observa-se os valores agora em questão. 
Para cada uma das medidas, é feito um gráfico de condutividade elétrica em função do 
inverso da temperatura absoluta (K) usando a escala mono-log. 
 
(
𝑨 𝒎
𝑲
) 
 
 
Gráfico 2. Gráfico da condutividade pelo inverso da temperatura para 1 x 10-3 A 
 
 
Gráfico 3. Gráfico da condutividade pelo inverso da temperatura para 3 x10-3 A 
 
1 x 10-3 A 
Ln ( σ (𝑨 𝑽⁄ ) ) 
A= -4024,48 ± 89,09 
B= 13,87 ± 0,26 
R=-0,99 
3 x 10-3 A 
Ln ( σ (𝑨 𝑽⁄ ) ) 
A= -4465,56 ± 52,98 
B= 15,33 ± 0,15 
R=-0,99 
- 
(
𝑨 𝒎
𝑲
) 
 
(
𝑨 𝒎
𝑲
) 
 
 
Gráfico 4. Gráfico da condutividade pelo inverso da temperatura para 5 x 10-3 A 
 
A partir dos gráficos acima, é possível determinar pelo ajuste linear da seção adequada 
da curva o valor do gap 𝑬𝒈 (em eV) para o Ge. 
A partir da equação 1, podemos obter a energia da banda proibida. 
 
𝝈 = 𝝈𝟎. 𝒆
−
𝑬𝒈
𝟐𝑲𝑻 𝑬𝒒 𝟏 
 
Onde 𝑬𝒈= energia da banda proibida, K=cte de Boltzmann= 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝐱𝟏𝟎
−𝟐𝟑 𝑱𝑲−𝟏 e T=é 
a temperatura absoluta (K). 
 
Observando a equação 4, após fazer a linearização da reta 
𝒍𝒏𝝈 = 𝒍𝒏𝝈𝟎 −
𝑬𝒈
𝟐𝑲
∗
𝟏
𝑻
 𝑬𝒒 𝟒 
 
Podemos notar certa uma correspondência, e relação com a equação da reta 
 
𝒚 = 𝒂. 𝒙 + 𝒃 𝑬𝒒 𝟗 
Sendo assim, 
 
𝒚 = 𝒍𝒏(𝝈) ; 𝒂 = −
𝑬𝒈
𝟐𝑲
 ; 𝒙 =
𝟏
𝑻
 ; 𝒃 = 𝒍𝒏(𝝈𝟎) 
 
 
Procuramos o valor da Energia de banda proibida, 
 
 Para 1mA (1 x 10-3 A) 
 
5 x 10-3 A 
Ln ( σ (𝑨 𝑽⁄ ) ) 
A= -4208,40 ± 81,52 
B= 14,57 ± 0,24 
R=-0,98 
 
(
𝑨 𝒎
𝑲
) 
 
 𝒂 = −
𝑬𝒈
𝟐𝑲
 𝑬𝒒 𝟏𝟎 
 
 −𝟒𝟎𝟐𝟒, 𝟒𝟖 = −
𝑬𝒈
𝟐𝑲
 , 𝑲 = 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝐱𝟏𝟎−𝟐𝟑 𝑱𝑲−𝟏 
 
Então, vamos transformar a K=cte de Boltzmann= 𝟏, 𝟑𝟖𝟕𝐱𝟏𝟎−𝟐𝟑 𝑱𝑲−𝟏 em eV, 
portanto 
 
1𝑒𝑉 = 1,6𝑥10−19𝐽 
 
𝑥 = 1,387𝑥10−23 
 
𝑥 =
1,387𝑥10−23𝐽 𝐾−1
1,6𝑥10−19 𝐽
=
1,387
1,6
∗
10−23
10−19
∗ 𝐽.
𝐾−1
𝐽
=
8,67𝑥10−5𝑒𝑉
𝐾
 
 
Agora substituindo na equação 10, os valores que já foram obtidos com o gráfico e a cte 
de Boltzaman temos: 
 
−𝟒𝟎𝟐𝟒, 𝟒𝟖 = −
𝑬𝒈
𝟐 (8,67𝑥10−5𝑒𝑉. 𝐾−1)
 
 
𝑬𝒈 = 𝟒𝟎𝟐𝟒, 𝟒𝟖 ∗ 𝟐 (8,67𝑥10
−5𝑒𝑉. 𝐾−1) = 𝟎, 𝟕𝟎 𝒆𝑽 
 
 Para 3mA (3 x 10-3 A) 
 
−𝟒𝟒𝟔𝟓, 𝟓𝟔 = −
𝑬𝒈
𝟐 (8,67𝑥10−5𝑒𝑉. 𝐾−1)
 
 
𝑬𝒈 = 𝟒𝟒𝟔𝟓, 𝟓𝟔 ∗ 𝟐 (8,67𝑥10
−5𝑒𝑉. 𝐾−1) = 𝟎, 𝟕𝟕 𝒆𝑽 
 
 Para 5mA (5 x 10-3 A) 
 
−𝟒𝟐𝟎𝟖, 𝟒𝟎 = −
𝑬𝒈
𝟐 (8,67𝑥10−5𝑒𝑉. 𝐾−1)
 
 
𝑬𝒈 = 𝟒𝟐𝟎𝟖, 𝟒𝟎 ∗ 𝟐 (8,67𝑥10
−5𝑒𝑉. 𝐾−1) = 𝟎, 𝟕𝟑 𝒆𝑽 
 
Nenhum dos resultados para as diferentes correntes houveram repetições no valor da 
energia de banda proibida e como os valores são próximos, nota-se também que como o Ge é 
um semicondutor, ele é caracterizado pelo fato de que sua resistividade elétrica diminui com o 
aumento da temperatura: sua condutividade elétrica aumenta com o aumento da 
temperatura. 
Fazendo a média geral dos valores para as três medidas de corrente, temos que 
 
𝑬𝒈𝒎 =
𝟎, 𝟕𝟎 + 𝟎, 𝟕𝟕 + 𝟎, 𝟕𝟑
𝟑
= 𝟎, 𝟕𝟑𝒆𝑽 
 
 
Na literatura, o valor da banda proibida do Germânio é de 0,66 eV, comparando com os 
valores encontrados experimentalmente da média encontrada, temos 
 
𝜟% =
|(𝑬𝒈)𝒕𝒆𝒐
− (𝑬𝒈)𝒆𝒙𝒑
|
(𝑬𝒈)𝒕𝒆𝒐
. 𝟏𝟎𝟎% =
|𝟎, 𝟔𝟔 − 𝟎, 𝟕𝟑|
𝟎, 𝟔𝟔
. 𝟏𝟎𝟎% = 𝟏𝟎% 
 
 
Conclusão 
 
Conforme as definições deste relatório, foi observado o comportamento exponencial 
decrescente da condutividade parao semicondutor Ge, até uma certa temperatura. Assim os 
resultados obtidos pela análise da condutividade do germânio foram condizentes com a 
previsão teórica, ou seja, o valor da diferença percentual corresponde a 10% a previsão teórica 
de (𝑬𝒈)𝒕𝒆𝒐 = 𝟎, 𝟔𝟔𝒆𝑽 e o (𝑬𝒈)𝒆𝒙𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟑𝒆𝑽.