Aula 16 - Eletrodinâmica

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Eletrodinâmica 
 
Medicina – FUVEST 2021 
 
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Sumário 
1 - Considerações iniciais ...................................................................................................................... 4 
2 - Corrente elétrica .............................................................................................................................. 4 
2.1 - A origem da corrente elétrica ................................................................................................... 5 
2.2 - Gerador elétrico ........................................................................................................................ 6 
2.3 - O sentido e a intensidade da corrente elétrica ......................................................................... 7 
2.4 - Gráfico 𝑖 × 𝑡 ............................................................................................................................ 11 
2.4.1 - Corrente contínua constante ............................................................................................ 12 
2.4.2 - Corrente contínua pulsante .............................................................................................. 13 
2.4.3 - Corrente alternada ........................................................................................................... 13 
2.5 - O princípio da continuidade da corrente elétrica ................................................................... 14 
2.5.1. Bipolo elétrico .................................................................................................................... 15 
2.6 - Potência elétrica ..................................................................................................................... 15 
2.6.1 - Valores nominais .............................................................................................................. 19 
2.7 - Resistência elétrica ................................................................................................................. 22 
2.8 - A primeira Lei de Ohm ............................................................................................................ 23 
2.8.1 - Curva característica de um condutor ôhmico .................................................................. 23 
2.9 - Efeito Joule .............................................................................................................................. 24 
3 - Resistores ....................................................................................................................................... 25 
3.1 - Potência dissipada num resistor ............................................................................................. 25 
3.1.1 - Resistores em série – corrente constante ........................................................................ 25 
3.1.2 - Resistores em paralelo – tensão constante ..................................................................... 26 
3.2 - Segunda Lei de Ohm ............................................................................................................... 31 
3.3 - Reostato .................................................................................................................................. 33 
4 - Associação de resistores ................................................................................................................ 37 
4.1 - Associação em série ................................................................................................................ 37 
4.2 - Associação em paralelo .......................................................................................................... 39 
4.3 - Fusível ...................................................................................................................................... 42 
4.4 - Curto-Circuito .......................................................................................................................... 44 
4.5 - Aparelhos para medidas elétricas .......................................................................................... 46 
4.5.1 – O amperímetro ................................................................................................................ 47 
4.5.2 – O voltímetro ..................................................................................................................... 47 
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4.6 - Ponte de Wheatstone ............................................................................................................. 48 
5 - Geradores ...................................................................................................................................... 52 
5.1 - Gerador elétrico – Força eletromotriz .................................................................................... 52 
5.1.1 - A equação do gerador ...................................................................................................... 53 
5.1.2 - Gerador em aberto ........................................................................................................... 54 
5.1.3 - Gerador em curto-circuito ................................................................................................ 54 
5.1.4 - Curva característica de um gerador ................................................................................. 55 
5.1.5 - Lei de Pouillet ................................................................................................................... 56 
5.2 - Potências elétricas no gerador ............................................................................................... 56 
5.2.1 - Rendimento elétrico do gerador ...................................................................................... 57 
5.2.2 - Circuito simples gerador-resistor ..................................................................................... 57 
5.2.3 - Potência máxima fornecida por um gerador ................................................................... 58 
5.3 - Associação de geradores ........................................................................................................ 59 
5.3.1 - Associação de geradores em série ................................................................................... 59 
5.3.2 - Associação em paralelo de geradores iguais ................................................................... 60 
6 - As leis de Kirchhoff ......................................................................................................................... 61 
6.1 - Lei de Kirchhoff das correntes (𝐿𝐾𝐶) ou Lei dos Nós: ............................................................. 61 
6.2 - Lei de Kirchhoff das tensões (𝐿𝐾𝑇) ou Lei das Malhas: .......................................................... 63 
7 - Resumo da aula em mapas mentais .............................................................................................. 69 
8 - Lista de questões ........................................................................................................................... 70 
8.1 - Já caiu na FUVEST ................................................................................................................... 70 
8.2 - Já caiu nos principais vestibulares .......................................................................................... 73 
9 - Gabarito das questões sem comentários ...................................................................................... 90 
9.1 - Já caiu na FUVEST ...................................................................................................................90 
9.2 - Já caiu nos principais vestibulares .......................................................................................... 90 
10 - Questões resolvidas e comentadas ............................................................................................. 91 
10.1 - Já caiu na FUVEST ................................................................................................................. 91 
10.2 - Já caiu nos principais vestibulares ........................................................................................ 99 
11 - Considerações finais .................................................................................................................. 134 
12 - Referências Bibliográficas .......................................................................................................... 134 
13 - Versão de Aula ........................................................................................................................... 134 
 
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1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
Nesta aula de número 16, serão abordados os seguintes tópicos do seu edital: 
• Corrente elétrica: abordagem macroscópica e modelo microscópico. 
• Propriedades elétricas dos materiais: condutividade e resistividade; condutores e isolantes. 
• Dissipação de energia em resistores. 
• Potência elétrica. 
• Relação entre corrente e diferença de potencial (materiais ôhmicos e não ôhmicos). 
• Circuitos simples. 
 Esses assuntos se enquadram no subtópico denominado Eletricidade. 
 
 Nesta aula serão abordadas as principais consequências das cargas elétricas em movimento. 
São abordados os conceitos de corrente elétrica e das propriedades elétricas dos materiais. A forma 
como a energia elétrica é dissipada em resistores e a maneira como os elementos elétricos são 
organizados em circuitos também é explicada. 
 As aulas 15 e 16 se complementam, pois trazem um estudo dividido entre os principais 
conceitos relacionados à eletricidade, sendo divididos em eletrostática na primeira e eletrodinâmica 
na segunda. 
2 - CORRENTE ELÉTRICA 
Por definição, corrente elétrica nada mais é que o movimento ordenado, ou seja, o 
movimento com direção e sentido preferenciais, de portadores de carga elétrica. 
 
Figura 16.1: Elétrons livres em movimento não ordenado (caótico). 
 
Figura 16.2: Elétrons livres em movimento ordenado. 
 Além da corrente elétrica gerada pela movimentação ordenada de elétrons livres, podemos 
ter uma corrente na qual os portadores de cargas são íons positivos e, neste caso, a chamamos de 
corrente iônica. 
 
Figura 16.3: Corrente iônica é o movimento ordenado dos íons positivos. 
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2.1 - A ORIGEM DA CORRENTE ELÉTRICA 
Afinal, o que provoca essa movimentação dos portadores de carga nos materiais condutores? 
Para melhor compreensão, vamos tomar duas placas metálicas paralelas 𝐴 e 𝐵, de tal forma 
que elas possuem potenciais 𝑉𝐴 e 𝑉𝐵, respectivamente, com 𝑉𝐴 > 𝑉𝐵, conforme figura abaixo. 
 
Figura 16.4: Placas A e B carregadas com potenciais 𝑽𝑨 e 𝑽𝑩, tal que 𝑽𝑨 > 𝑽𝑩. 
 Podemos dizer que o saldo de cargas elétricas positivas em 𝐴 é maior que em 𝐵. Dessa 
forma, se ligarmos as duas placas por meio de um fio metálico, então os elétrons livres irão se 
deslocar de 𝐵 para 𝐴, isto é, do menor para o maior potencial elétrico, gerando uma corrente 
elétrica no fio. 
 
Figura 16.5: Fluxo da corrente de elétrons no fio que conecta as placas. 
 Com isso, quando os elétrons livres começam a sair de 𝐵, o potencial 𝑉𝐵 começa a aumentar 
e, simultaneamente, quando os elétrons livres chegam em 𝐴, o potencial 𝑉𝐴 começa a diminuir. Esse 
movimento dos elétrons livres ocorre até o momento em que os potenciais elétricos em 𝐴 e em 𝐵 
se igualam. 
 
A corrente elétrica é provocada por uma diferença de potencial elétrico (abreviadamente ddp), ou 
tensão elétrica. 
 Além da explicação do surgimento do corrente elétrica pela diferença de potencial, podemos 
justificar esse fenômeno utilizando o conceito de campo elétrico e força elétrica. 
 Se ligamos um fio condutor entre as placas 𝐴 e 𝐵, um campo elétrico �⃗� é criado no interior 
do fio, orientado do maior para o menor potencial, como vimos em eletrostática. Devido ao fato de 
a carga dos elétrons livres ser negativa, a força elétrica 𝐹 𝑒𝑙 que surge nelas tem sentido oposto ao 
campo. 
 Com isso, os elétrons livres começam a migrar de 𝐵 para 𝐴, gerando a corrente elétrica no 
fio. Note que o fio não está em equilíbrio eletrostático. 
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Figura 16.6: Força elétrica atuando sobre os elétrons livres e campo elétrico no interior do condutor. 
 Como vimos em Eletrostática, o módulo do campo elétrico está diretamente relacionado com 
o potencial elétrico. Para um campo uniforme, vimos que a relação é dada por: 
𝑈 = 𝐸 ⋅ 𝑑 
 Em que 𝑈 representa a diferença de potencial. Dessa forma, podemos ver que quando a 
corrente elétrica cessa, isto é, a diferença de potencial é zero, então o campo elétrico no interior do 
condutor também será nulo, resultado que já conhecemos, pois neste instante o condutor entre em 
equilíbrio eletrostático. 
2.2 - GERADOR ELÉTRICO 
Devemos imaginar um gerador elétrico como um dispositivo capaz de pegar todo elétron que 
chega à placa 𝐴 e levar para a placa 𝐵 do exemplo anterior. Assim, os potenciais elétricos das placas 
nunca se igualariam e a corrente elétrica no fio não cessaria. Perceba que nesse transporte haveria 
um fornecimento de energia aos elétrons. 
 No mundo real, o dispositivo responsável pela reposição de energia potencial elétrica é o 
gerador elétrico. Esse dispositivo precisa ter alguma outra modalidade de energia e transformá-la 
em energia potencial elétrica. As pilhas e as baterias são exemplos nos quais a energia química é 
transformada em energia potencial elétrica. 
 Em eletrodinâmica, muitas vezes não estamos interessados nos potenciais dos polos do 
gerador, mas sim na diferença entre esses potenciais, já que é a diferença de potencial que garante 
a corrente elétrica. 
 Podemos fazer uma analogia de um gerador elétrico com uma bomba hidráulica. Nesse tipo 
de montagem, a água flui da região de alta pressão para a região de baixa pressão, cessando o 
movimento quando a diferença de pressão desaparece (os níveis do líquido se igualam). 
 
Figura 16.7: Tanques com água em desnível. 
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 Para que o fluxo de água não cesse, é necessário que haja reposição do líquido, de modo que 
se mantenha a diferença de pressão. Para isso, utiliza-se uma bomba hidráulica, como mostrado na 
figura abaixo: 
 
Figura 16.8: Bomba hidráulica mantendo os níveis de água no tanque. 
2.3 - O SENTIDO E A INTENSIDADE DA CORRENTE ELÉTRICA 
No começo do século XIX, quando os cientistas conheceram o fenômeno da corrente elétrica, 
outros fenômenos já eram conhecidos. Sabia-se que o calor que flui de corpos de maior temperatura 
para corpos de menor temperatura, assim como o fluxo de água dos rios se dá das regiões mais altas 
para as regiões mais baixas. 
 
Figura 16.9: O calor flui da vela (em maior temperatura) para o gelo (em menor temperatura). 
 
Figura 16.10: A água flui de grandes alturas para baixas alturas, como ocorre em cachoeiras, por exemplo. 
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De forma análoga, foi cogitado que a corrente elétrica surgia da diferença de potencial e 
deveria serum fluxo de cargas que se dirige do maior para o menor potencial. As cargas que 
obedecem a essa lógica são cargas positivas e, por isso, eles concluíram na época que a corrente 
elétrica era um fluxo de cargas positivas que se moviam do maior para o menor potencial. 
 
Figura 16.11: A corrente elétrica se estabelece do maior para o menor potencial, então, trata-se de um fluxo de cargas positivas. 
 Porém, no início do século XX, com o avanço dos modelos atômicos, logo se descobriu que a 
corrente elétrica na realidade era um fluxo de elétrons livres. Nesse momento, cerca de 100 anos 
já haviam se passado e os diversos modelos e aspectos técnicos, que se baseavam na corrente como 
fluxo de cargas positivas já eram amplamente usados. 
Por essa razão foi convencionado não trocar este sentido e criar uma equivalência entre os 
portadores de carga. A carga negativa (−𝑞) que se move em um sentido deve ser substituída por 
uma carga positiva (+𝑞) em sentido oposto com igual velocidade. 
 
Figura 16.12: Convenção para movimentação dos portadores de carga na corrente elétrica. 
 
Devemos considerar que a corrente elétrica em um condutor é o movimento ordenado das 
cargas positivas que se dirigem do maior para o menor potencial. 
 Tenha em mente que os portadores de carga podem ser elétrons livres, íons positivos e íons 
negativos. Apesar de considerar que a corrente elétrica vai do maior para o menor potencial em um 
metal, em seu interior os portadores de carga (elétrons livres) vão do menor potencial para o maior 
potencial elétrico, como mostrado na figura abaixo. 
 
Figura 16.13: Movimento dos elétrons livres e o sentido convencional da corrente elétrica. 
 De acordo com a convenção, quando consideramos uma corrente elétrica qualquer, 
tenderemos a substituir as cargas negativas reais em movimento por cargas positivas imaginárias 
que se movem em sentido contrário, de tal forma que se pode presumir que qualquer corrente é 
constituída unicamente por cargas positivas. Essa corrente imaginária que criamos, que equivale a 
corrente real, é denominada corrente convencional. 
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 Para o exemplo de um líquido, os portadores de carga são íons positivos e negativos que se 
movem em direções opostas. Dessa forma, os íons negativos são substituídos por íons positivos em 
sentido contrário, estabelecendo o sentido convencional da corrente. 
 
Figura 16.14: Esquema representativo da corrente iônica em um líquido. 
 Semelhante aos condutores líquidos, podemos estender a ideia de condução para 
substâncias gasosas, como por exemplo o que ocorre em tubos fluorescentes. Os efeitos da corrente 
elétrica se manifestam em diferentes níveis, com maior ou menor intensidade. Por exemplo, vamos 
conectar uma lâmpada aos terminais de uma bateria com força eletromotriz ℰ1: 
 
Figura 16.15: Representação da corrente elétrica. Para uma corrente elétrica de baixa intensidade o brilho é fraco. 
 Quando aumentamos a força eletromotriz ℰ2, observamos que a lâmpada bilha com mais 
intensidade. 
 
Figura 16.16: Representação da corrente elétrica. Para uma corrente elétrica de alta intensidade o brilho é maior. 
 Os experimentos mostram que a intensidade da corrente elétrica depende da carga que 
atravessa o circuito em 1 segundo. Para os casos mostrados, com ℰ2 > ℰ1, em um mesmo intervalo 
de tempo (1 segundo) passaram mais portadores de carga pela secção transversal do condutor (2). 
Portanto, a corrente elétrica no condutor (2) é maior que no condutor (1). 
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 Para medir a corrente elétrica se estabeleceu uma magnitude escalar denominada 
intensidade de corrente elétrica (𝑖). No caso da corrente ser contínua, sua magnitude mostra a 
quantidade de carga que atravessa a secção transversal do condutor por unidade de tempo. 
Matematicamente, temos: 
𝑖 =
|Δ𝑄|
Δ𝑡
 Definição da corrente elétrica 
 Em que |Δ𝑄| é o valor da quantidade de carga e Δ𝑡 é o intervalo de tempo. A unidade de 
corrente no SI é o ampère (A). Então: 
1 𝐴 =
1 𝐶
1 𝑠
 
 O que significa 𝑖 = 3 𝐴? Se a corrente é contínua (constante), então significa que passam 3 C 
de cada pela secção transversal do condutor a cada 1 s. 
 
(2019/QUESTÃO) 
Por uma secção transversal de um condutor passam 5 ⋅ 1017 elétrons livres em 20 s. Determine a 
intensidade da corrente elétrica no condutor. Suponha que a corrente é contínua. 
Comentários: 
Por esta secção transversal do condutor passam as cargas negativas 𝑒−, mas podemos 
substituir essas cargas pelo seu equivalente 𝑒+, alterando o sentido de deslocamento. 
 
De acordo com o enunciado, a corrente é contínua, isto é, sua magnitude permanece 
constante. Então: 
𝑖 =
|Δ𝑄|
Δ𝑡
 
 
A quantidade de carga que atravessa o condutor é dada por: 
|Δ𝑄| = 𝑛 ⋅ |𝑞𝑒−| = 5 ⋅ 1017 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 = 8 ⋅ 10−2 𝐶 
Portanto: 
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𝑖 =
8 ⋅ 10−2
20
= 4 ⋅ 10−3𝐴 ou 𝑖 = 4 𝑚𝐴 
 
Gabarito: 𝟒 𝒎𝑨. 
(2019/INÉDITA) 
Os celulares são dispositivos essenciais na vida do homem moderno. O principal fator limitante, e 
em constante evolução, são as baterias desses dispositivos, que ainda precisam ser recarregadas ao 
menos uma vez por dia, em média. 
Novas tecnologias de carregamento rápido tentam amenizar o problema diminuindo o tempo 
necessário para que as baterias armazenem carga. 
Suponha que um celular, cuja bateria possui 3000 𝑚𝐴ℎ de carga, seja carregado usando uma fonte 
convencional de 5,0 𝑉 e 1,0 𝐴. Por outro lado, uma outra versão do mesmo modelo é capaz de ser 
carregado com 9,0 𝑉 e 3,0 𝐴, fazendo uso de uma nova fonte de carregamento rápido. 
O tempo economizado usando a tecnologia de carregamento rápido, no cenário em que se vai de 
zero até 100% da carga é de 
a) 12 minutos. b) 40 minutos. c) 2 horas. d) 4 horas. 
Comentários 
 A diferença de potencial maior usada na tecnologia de carregamento rápido gera uma 
potência maior para o aparelho, aumentado a transferência de energia e diminuindo o aquecimento 
da bateria. A carga transferida efetivamente, contudo, é função da corrente elétrica: 
𝑖 =
𝑞
∆𝑡
⟹ ∆𝑡 =
𝑞
𝑖
 
 A carga da bateria é de 3000 𝑚𝐴ℎ, ou 3 𝐴ℎ. Isso significa que: 
𝑞𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 = 3 𝐴 ⋅ 1ℎ = 3 𝐴ℎ 
 Isso significa que uma corrente de 3 𝐴 leva 1 hora para carregar o aparelho. Em contrapartida, 
também podemos escrever a carga como: 
𝑞𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 = 1 𝐴 ⋅ 3ℎ = 3 𝐴ℎ 
 O que significa que uma carga de 1 𝐴 leva 3h para carregar a mesma bateria. Em suma, 
teremos uma economia de duas horas. 
Gabarito: “c” 
2.4 - GRÁFICO 𝒊 × 𝒕 
 Em muitos casos, devemos analisar como a corrente elétrica varia com o tempo. Podemos 
ter diversas curvas que representam a intensidade 𝑖 de uma corrente elétrica qualquer em função 
do tempo 𝑡, como no gráfico abaixo: 
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Figura 16.17: Gráfico de uma corrente elétrica qualquer que atravessa uma secção transversal de um condutor. 
 Quando representamos a corrente dessa forma, surge uma propriedade muito interessante: 
a área abaixo da curva é numericamente equivalente ao módulo da carga elétrico que atravessou a 
secção transversal do condutor. 
 
A área compreendida entre a curva e o eixo do tempo, calculada para um intervalo de tempo de 
interesse, é numericamente igual ao módulo da carga elétrica que atravessou uma secção 
transversal do condutor. 
 
Figura 16.18: No gráfico 𝒊 × 𝒕, tem-se que |𝜟𝑸| ≡ "á𝒓𝒆𝒂". 
 Podemos classificar as correntes elétricas de acordo com a forma do gráfico 𝑖 × 𝑡. 
2.4.1 - Corrente contínua constanteChamamos de corrente contínua constante aquela que mantém sua intensidade e sentido 
constantes no decorrer do tempo. Graficamente, tem-se que: 
 
Figura 16.19: Corrente contínua constante. 
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2.4.2 - Corrente contínua pulsante 
É aquela cuja intensidade possui máximos e mínimos, periodicamente, embora o sentido 
permaneça inalterado. 
 
Figura 16.20: Exemplos de correntes contínuas pulsantes. 
2.4.3 - Corrente alternada 
É aquela cujo sentido é invertido periodicamente. 
 
Figura 16.21: Exemplos de correntes alternadas. 
 Note que, em um condutor metálico percorrido por corrente contínua, os elétrons livres 
sempre caminham no mesmo sentido. No caso do condutor ser percorrido por uma corrente 
alternada, os elétrons livres oscilam em torno de determinadas posições. 
 
Figura 16.22: Movimento dos elétrons na corrente alternada. 
 Essa situação ocorre em uma rede elétrica residencial quando algum aparelho é ligado a ela. 
Provavelmente você deve ter ouvido falar que a rede elétrica no Brasil tem uma frequência de 60 
Hz (lê-se sessenta hertz). 
 Isso quer dizer que, por exemplo, quando você liga uma lâmpada na sua casa, o valor 
algébrico da corrente estabelecida varia conforme o gráfico da figura abaixo: 
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Figura 16.23: A corrente alternada. 
 Perceba que uma variação completa de 𝑖 demora 1/60 s. Por isso, dizemos que ocorreram 
60 ciclos a cada segundo. Então, a frequência da rede elétrica é igual a 60 ciclos por segundo, em 
outras palavras, 60 Hz. 
2.5 - O PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE DA CORRENTE ELÉTRICA 
O princípio da continuidade da corrente elétrica diz que, caso o caminho da corrente elétrica 
sofra uma fragmentação, a soma das correntes em cada “galho” será igual à corrente total antes da 
ramificação. 
 
Figura 16.24: Ramificação da corrente de acordo com a divisão sofrida pelo condutor. 
(2019/QUESTÃO) 
A figura ilustra fios de cobre interligados: 
 
Determine os valores de 𝑖1 e 𝑖2: 
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Comentários: 
 Pelo princípio da continuidade da corrente elétrica, temos: 
{
12 + 8 = 𝑖1
20 = 8 + 𝑖2
⇒ {
𝑖1 = 20 𝐴
𝑖2 = 12 𝐴
 
 Gabarito: 𝒊𝟏 = 𝟐𝟎 𝑨 e 𝒊𝟐 = 𝟏𝟐 𝑨. 
2.5.1. Bipolo elétrico 
Um bipolo elétrico é qualquer dispositivo que contenha dois terminais elétricos que são 
capazes de ser ligados a um circuito elétrico. Se o bipolo está inserido em um circuito, a corrente 
elétrica entra por um dos seus terminais e sai pelo outro. 
De um modo geral, um bipolo pode consumir ou fornecer energia a um circuito elétrico. 
Alguns exemplos de bipolos são: resistores, lâmpadas, geradores, entre outros. 
 
Figura 16.25: Lâmpada ligada acesa, exemplo de bipolo elétrico. 
2.6 - POTÊNCIA ELÉTRICA 
 Uma lâmpada incandescente se comporta como um bipolo elétrico submetido a uma 
diferença de potencial constante 𝑈 fornecida por uma pilha, sendo percorrido por uma corrente 
elétrica de intensidade 𝑖, como na figura abaixo: 
 
Figura 16.26: Corrente elétrica, movimento dos elétrons e diferença de potencial no bipolo elétrico. 
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 Durante um intervalo de tempo Δ𝑡, a lâmpada ganha uma quantidade de energia térmica Δ𝐸, 
que é igual à energia potencial elétrica perdida por uma carga 𝑞 que passou pelo bipolo. Então, a 
potência recebida pelo dispositivo é de: 
𝑷𝒐𝒕 =
𝑬
∆𝒕
 
Potência 
[𝑷𝒐𝒕] =
𝑱
𝒔
= 𝑾𝒂𝒕𝒕 
[𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂] = 𝑱 [∆𝒕] = 𝒔 
 Em outras palavras, se uma lâmpada trabalha com uma potência de 40 W, por exemplo, 
significa que ela recebe 40 J a cada segundo. A potência elétrica, em função das relações entre a 
energia potência elétrica, pode também ser escrita como: 
𝑷𝒐𝒕 = 𝑽 ⋅ 𝒊 A potência elétrica 
[𝑷𝒐𝒕] = 𝑾 [𝑽] = 𝑽 = 𝑽𝒐𝒍𝒕 [𝒊] = 𝑨 
 
(2019/INÉDITA) 
Considere um smartphone cuja bateria tem uma capacidade total de 𝑞 = 4000 𝑚𝐴ℎ. Se um 
carregador opera com uma potência de 10 𝑊 e uma diferença de potencial de 5 𝑉, o tempo que 
esse celular demora para ser completamente carregado, considerando uma eficiência de 75%, é de 
a) 2ℎ40 b) 2ℎ00 c) 1ℎ20 d) 4ℎ20 
Comentários 
Devemos começar determinando a corrente que o carregador fornece para o smartphone: 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑉 ⋅ 𝑖 
𝑖 =
𝑃𝑜𝑡
𝑉
=
10
5
= 2,0 𝐴 
 
 A bateria do smartphone fornecida em 4000 𝑚𝐴ℎ, parece remeter a uma unidade de 
corrente, quando na verdade é uma medida de carga: 
𝑞 = 4000 𝑚𝐴ℎ = 4 ⋅ 103 ⋅ 10−3 ⋅
𝐶
𝑠
⋅ 3600 𝑠 
 
𝑞 = 4 ⋅ 3600 𝐶 
 A carga é dada pelo produto entre corrente e tempo: 
𝑞 = 𝑖 ⋅ ∆𝑡 
 Isolando o tempo nessa relação, temos: 
∆𝑡 =
𝑞
𝑖
 
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 Agora podemos substituir os valores: 
∆𝑡 =
4 ⋅ 3600
2,0
= 7200 𝑠 
 
 Em minutos: 
∆𝑡 =
7200
60
= 120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 Não assinale a alternativa “b” como correta ainda. Lembre-se que a eficiência do processo é 
de 75%, o que deve fazer com que o tempo seja superior a 120 minutos. Para determinarmos esse 
tempo, basta dividirmos o tempo por 0,75: 
∆𝑡 =
120 
0,75
= 160 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 Ou, 2 horas e 40 minutos. Pela notação padrão: 2ℎ40. 
 Gabarito: “a”. 
(2019/INÉDITA) 
Um grupo de estudantes construiu um circuito como o representado na figura abaixo. 
 
Qual o valor da potência, em watts, dissipada pelo resistor R? 
a) 10 b) 14 c) 36 d) 54 e) 60 
Comentários 
 Como os resistores do ramo superior estão ligados em paralelo ao resistor do ramo inferior, 
temos que a diferença de potencial é a mesma e vale 6 𝑉 em cada. 
 Para o ramo inferior, podemos escrever: 
𝑉 = 𝑅 ⋅ 𝑖 
12 = 4 ⋅ 𝑖 
𝑖 = 3,0 𝐴 
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 Se a corrente total é de 5,0 𝐴, então a corrente no ramo superior é de 2,0 𝐴. A queda de 
tensão no resistor de 2,5 Ω é de: 
𝑉2,5 = 𝑅2,5 ⋅ 𝑖𝑟𝑎𝑚𝑜 
𝑉2,5 = 2,5 ⋅ 2,0 = 5 𝑉 
 Então a queda de tensão no resistor 𝑅 será de 7,0 𝑉. Finalmente, a potência por ele dissipada 
é dada por: 
𝑃𝑜𝑡𝑅 = 𝑉𝑅 ⋅ 𝑖𝑟𝑎𝑚𝑜 = 7,0 ⋅ 2,0 = 14 𝑊 
Gabarito: “b”. 
(2019/INÉDITA) 
Com a finalidade de não adiar uma prova de Física, um professor a ligou uma lâmpada a uma bateria 
de seu carro, que opera em 12 𝑉 e possui 60 𝐴ℎ. Se a lâmpada dissipa 20 𝑊, os valores mais 
próximos à corrente, em amperes, que a atravessa e o tempo que ela permanecerá acesa, em horas 
são 
a) 60 e 12 b) 1,7 e 36 c) 5,0 e 20 d) 60 e 64 e) 1,7 e 29 
Note e adote: 
Considere que a bateria estava 100% carregada e a sua eficiência de transferência de energia seja 
de 80% em função de perdas na fiação. 
A lâmpada é própria para operar em corrente contínua e a uma tensão de 12 𝑉. 
Comentários 
 A potência dissipada pela lâmpada é igual a 20 𝑊, então a corrente 𝐼 é de: 
𝐼 =
𝑃𝑜𝑡
𝑉
=
20
12
⇒ 𝐼 = 1,7 𝐴 
 
 Para determinarmos o tempo temos duas opções: a carga em 𝐴 ⋅ ℎ decorre da definição da 
corrente: 
𝐼 =
𝑞
∆𝑡
⇒ 𝑞 = 𝐼 ⋅ ∆𝑡 = 𝐴 ⋅ ℎ 
 Podemos fazer a sua conversão para coulomb: 
60 𝐴 ⋅ ℎ = 60 ⋅
𝐶
𝑠
⋅ 3600 𝑠 = 60 ⋅ 3600 𝐶 
 
 Se temos a carga total da bateria e a corrente que atravessa a lâmpada, podemos determinar 
o tempo que ela pode permanecer acesa: 
𝐼 =
𝑞
∆𝑡
⇒ ∆𝑡 =
𝑞
𝐼
 
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∆𝑡 =
60 ⋅ 3600
20
12
=
60 ⋅ 3600 ⋅ 12
20𝑠 
 
 Já fazendo a conversão para horas, temos: 
∆𝑡 =
60 ⋅ 3600 ⋅ 12
20 ⋅ 3600
 =
60 ⋅ 3600 ⋅ 12
20 ⋅ 3600
= 3 ⋅ 12 = 36 ℎ 
÷ (3600) 
 Sendo a eficiência de 80%, temos: 
∆𝑡 = 36 ⋅ 0,8 = 28,8 ≅ 29 ℎ 
 Uma outra interpretação é a que a carga é constante, logo, o produto entre a corrente em 
amperes e o tempo em horas também deve ser: 
𝑞 = 𝐼 ⋅ ∆𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 60 𝐴 ⋅ ℎ 
 Portanto, podemos escrever: 
60 𝐴 ⋅ ℎ =
20
12
𝐴 ⋅ ∆𝑡 
 
 Perceba que, nessa relação, o tempo já sairá em horas: 
∆𝑡 =
60 ⋅ 12
20
= 3 ⋅ 12 = 36 ℎ 
 
 Novamente, sendo a eficiência de 80%, temos: 
∆𝑡 = 36 ⋅ 0,8 = 28,8 ≅ 29 ℎ 
Gabarito: “e”. 
2.6.1 - Valores nominais 
 É muito comum os bipolos elétricos especificarem seus valores nominais de potência e de 
tensão. A potência nominal é a potência elétrica consumida pelo dispositivo quando submetido à 
tensão nominal, que é a tensão da rede elétrica para a qual o aparelho foi fabricado. 
 Por exemplo, uma lâmpada (60 𝑊 – 110 𝑉). Esses são os valores nominais informados ao 
usuário, mostrando que a lâmpada trabalha com a potencial igual a 60 W, quando submetida a uma 
ddp igual a 110 V. 
 Se essa lâmpada for ligada a uma tensão superior a nominal, ela dissipará uma potência maior 
e brilhará mais intensamente, mas sua vida útil será reduzida. Por outro lado, se a lâmpada for ligada 
a uma tensão inferior a nominal, a potência dissipada será menor e o seu brilho menos intenso. 
 Os valores nominais dos dispositivos elétricos são de extrema importância para projetar uma 
instalação elétrica. Para garantir a segurança do edifício, utilizamos um dispositivo chamado de 
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disjuntor, que é responsável por garantir que os bipolos elétricos não sejam rompidos, ou 
popularmente, se queimem. 
 Quando a corrente que atravessa o disjuntor é superior àquela nele especificada, ele abre o 
circuito, “abre”, impedindo a passagem de corrente. A grande vantagem do disjuntor em relação ao 
fusível é que após cortar a passagem de corrente, ele pode ser religado para que o circuito volte a 
operar nas condições normais. 
 Afinal, o que significa os 220 volts ou os 110 volts em sua casa? 
 Como já mencionamos, a corrente elétrica que chega em sua residência é alternada e possui 
frequência igual a 60 𝐻𝑧. Isso provém do fato da diferença de potencial 𝑈 (𝑈 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) entre os 
terminais de sua tomada também ser alternada. 
 
Figura 16.27: Representação de uma tomada simples. 
 Graficamente, temos que 𝑈 em função do tempo, para uma tomada de 220 volts, deve variar, 
aproximadamente, da seguinte forma: 
 
Figura 16.28: A variação do potencial elétrico em função do tempo. 
 Isso quer dizer que nos primeiros 1/120 𝑠, 𝑉𝐴 é maior que 𝑉𝐵 e 𝑈 > 0. Nos próximos 1/120 𝑠, 
𝑉𝐴 será menor que 𝑉𝐵 e 𝑈 < 0. Mas por que os valores de máximos da ddp 𝑈 são −310 𝑉 e +310 𝑉 
(aproximadamente), se nossa tomada é de 220 V? 
 Na realidade os 220 V não existem. Eles são apenas uma tensão constante e fictícia que 
chamamos de tensão eficaz, na qual o seu aparelho elétrico produziria o mesmo efeito se estivesse 
trabalhando na tensão real, que varia entre −310 𝑉 e +310 𝑉. Também chamamos a tensão real 
de tensão de pico. De modo análogo, em uma tomada de 110 𝑉, a ddp real varia entre −155 𝑉 e 
+155 𝑉, aproximadamente. 
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(2019/INÉDITA) 
Nas instalações elétricas domésticas na cidade de Niterói, Rio de Janeiro, os aparelhos são ligados a 
tomadas com 127 V de tensão. Uma notável exceção é o aparelho de ar condicionado, de alta 
potência, que é preferencialmente ligado a tomadas de 240 V de tensão. 
Considere 2 aparelhos de ar condicionado, de igual potência nominal, projetados para operar: um, 
em 127 V e o outro, em 240 V. 
Assinale a opção que melhor justifica a escolha do aparelho projetado para operar em 240 V. 
a) A corrente é igual nos 2 casos, mas a potência real do aparelho de ar condicionado, que é o 
produto da tensão pela corrente, é maior quando a tensão é maior. 
b) Como a corrente é, neste caso, menor, o choque elétrico provocado por algum acidente ou 
imprudência será também menos perigoso. 
c) Como a corrente é, neste caso, maior, o aparelho de ar condicionado refrigerará melhor o 
ambiente. 
d) Como a corrente é, neste caso, maior, a dissipação por efeito Joule na fiação será menor, 
resultando em economia no consumo de energia elétrica. 
e) Como a corrente é, neste caso. menor, a dissipação por efeito Joule na fiação é também menor, 
resultando em economia no consumo de energia elétrica. 
Comentários 
 Se os aparelhos possuem mesma potência nominal, temos que a energia gasta pelos 
aparelhos em um mesmo intervalo de tempo será igual. 
 A relação entre potência, tensão e corrente é: 
𝐏𝐨𝐭 = 𝑽 ⋅ 𝒊 
Potência média dissipada 
por um resistor 
[𝑷𝒐𝒕] =
𝑱
𝒔
= 𝑾𝒂𝒕𝒕 [𝑉] = 𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑡 [𝑖] = 𝐴 = 𝑎𝑚𝑝é𝑟𝑒 
 Essa relação nos permite inferir que, para uma mesma potência, quanto maior a diferença de 
potencial, menor é a corrente. 
 Os fios usados nas ligações elétricas não são condutores perfeitos. Dessa maneira, alguma 
energia é por eles dissipada. Quanto maior a corrente que atravessa os fios, maior é a energia por 
eles perdida devido ao efeito Joule. 
 Assim, a ligação em 240 V se justifica pela economia não com o aparelho em si, mas com a 
ligação elétrica que opera em menores correntes e, consequentemente, com menos perdas. 
 a) Incorreta. De acordo com a relação da potência, com a tensão e a corrente. Temos que a 
última não pode ser igual nos dois casos. Quanto maior a tensão, menor será a corrente. 
 b) Incorreta. A alternativa traz informações corretas. Contudo, elas não justificam o porquê 
de a escolha para o aparelho operar em 240 V. 
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 c) Incorreta. A corrente é menor, conforme demonstrado. Além disso, o fato da corrente ser 
menor não se relaciona com a capacidade do aparelho em resfriar o ambiente. O calor advindo da 
dissipação por efeito Joule é desprezível se comparado com a capacidade de resfriamento do 
aparelho. 
 d) Incorreta. A corrente é menor, conforme demonstrado. 
 e) Correta. Como a corrente é menor, a dissipação por efeito Joule na fiação é também 
menor, resultando em economia no consumo de energia elétrica. 
Gabarito: “e” 
2.7 - RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
Quando um condutor é submetido a uma tensão elétrica 𝑉, ele é percorrido por uma corrente 
elétrica 𝑖. Define-se resistência elétrica como o quociente: 
𝑹 =
𝑽
𝒊
 Definição da resistência elétrica 
[𝑹] =
𝑽
𝑨
= 𝛀 [𝑽] = 𝑽 [𝒊] = 𝑨 
 Note que um condutor não precisa apresentar 𝑅 constante necessariamente, isto é, a sua 
resistência pode variar com a corrente, temperatura, geometria do condutor etc. Assim, é muito 
importante conhecer a curva característica 𝑈 × 𝑖: 
 
Figura 16.29: Curva característica de um condutor não ôhmico. 
 De acordo com a definição de resistência, vemos que ela é diretamente proporcional à ddp e 
inversamente proporcional à corrente. Para determinar a resistência elétrica em cada ponto da 
curva, devemos aplicar a definição de resistência, efetuando a divisão 𝑈/𝑖 no ponto desejado. Por 
exemplo, para os pontos A e B da curva característica logo acima, temos: 
{
𝑅𝐴 =
20
2
= 10 Ω
𝑅𝐵 =
25
4
= 6,25 Ω
 
 
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2.8 - A PRIMEIRA LEI DE OHM 
 
 Georg Simon Ohm (1787 – 1854) foi um físico alemão responsável por estudar, dentre outras 
áreas, a eletrodinâmica. Quando a corrente elétrica que atravessa um condutor elétricoé 
diretamente proporcional à tensão aplicada entre os seus terminais, temos os denominados 
condutores ôhmicos. A primeira lei de Ohm pode ser escrita da seguinte maneira: 
𝑽 = 𝑹 ⋅ 𝒊 Definição da resistência elétrica 
[𝑽] = 𝑽 [𝑹] =
𝑽
𝑨
= 𝛀 [𝒊] = 𝑨 
Em outras palavras, condutores ôhmicos são aqueles que apresentam resistência constante, 
a uma temperatura constante. 
 
Não confunda resistores ôhmicos com a definição de resistência elétrica. Condutores que não 
obedecem à Primeira Lei de Ohm são ditos condutores não ôhmicos, entretanto, conhecendo a 
curva característica 𝑈 × 𝑖 do dispositivo, podemos determinar a resistência elétrica em cada ponto 
de interesse. 
 O símbolo de resistência elétrica em esquemas de circuitos elétricos é: 
 
Figura 16.30: Simbologia de resistência elétrica em circuitos. 
2.8.1 - Curva característica de um condutor ôhmico 
 Um condutor ôhmico mantido à temperatura constante apresenta resistência elétrica 
constante. Dessa forma, ao plotarmos um gráfico da tensão pela corrente, temos: 
 
Figura 16.31: Gráfico da tensão pela corrente elétrica no condutor ôhmico. 
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 Note que a resistência independe da tensão aplicada nos terminais do condutor ou da 
corrente que o atravessa. Ela só depende da temperatura que no nosso caso foi considerada 
constante. 
Algumas propriedades da curva característica de um condutor ôhmico são que ela é sempre 
uma reta, que necessariamente passa pela origem dos eixos. Com um ângulo 𝛼 variando 0 < 𝛼 <
90°. Também é importante destacar que a resistência é constante é proporcional ao valor da 
tangente de 𝛼. 
2.9 - EFEITO JOULE 
 Quando um fio condutor é submetido a uma diferença de potencial, um campo elétrico se 
estabelece no interior dele. Com isso, os elétrons são acelerados de tal maneira que eles ganham 
velocidade no sentido do campo. Entretanto, logo em seguida, esses elétrons colidem com átomos 
do metal e perdem velocidade. Como ainda há campo elétrico, os elétrons livres ganham novamente 
velocidade naquele sentido, permitindo que eles colidam novamente com outros átomos, e assim 
sucessivamente. 
 Dessa forma, o condutor permite que os elétrons livres se movam em seu interior, mas impõe 
uma grande resistência a esse movimento. Quando os elétrons livres se chocam com os átomos do 
metal, os átomos passam a oscilar com amplitudes maiores, o que acarreta a elevação da 
temperatura do fio. 
 
Figura 16.32: Representação do movimento térmico devido aos choques dos elétrons. 
Toda energia potencial elétrica perdida pelos elétrons durante as colisões é convertida em 
energia térmica. É comum dizer que a energia potencial elétrica é dissipada no condutor. Esse 
fenômeno de transformação da energia potencial elétrica em energia térmica recebe o nome de 
Efeito Joule. 
 Vale lembrar que o movimento dos elétrons é bem lento, mas se inicia quase 
instantaneamente em todos nos pontos do condutor, porque a velocidade de propagação do campo 
elétrico é muito alta, próxima à velocidade da luz. As considerações feitas até aqui são bem 
superficiais perto do que ocorre na realidade, mas já são o suficiente para atender nossas 
necessidades no mundo dos nossos vestibulares. 
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3 - RESISTORES 
O filamento de uma lâmpada incandescente, aquecedores elétricos de ambiente, ferros 
elétricos de passar roupa, chuveiros elétricos, soldadores elétricos são exemplos comuns de 
resistores. Para proteger os circuitos e instalações elétricos utilizamos fusíveis – filamento que 
derrete após uma determinada corrente que provoca um superaquecimento por efeito Joule. Os 
fusíveis também são resistores. 
3.1 - POTÊNCIA DISSIPADA NUM RESISTOR 
Como vimos, a potência dissipada em um bipolo elétrico é dada pela expressão 𝑃𝑜𝑡 = 𝑈 ⋅ 𝑖. 
Contudo, usando a primeira Lei de Ohm nessa expressão, podemos encontrar outras fórmulas que 
agilizaram nossos cálculos, tudo vai depender do que é pedido e fornecido pela questão. 
3.1.1 - Resistores em série – corrente constante 
Considere a configuração de três resistores em série, como na figura abaixo: 
 
Figura 16.33: Três resistores conectados em série. A corrente que passa por eles é a mesma. 
 Neste caso, os três resistores são percorridos pela mesma corrente. Dessa forma, se 
escrevermos a potência em função da corrente (que é a mesma para todos os resistores) e a 
resistência, podemos comparar a potência em cada resistor e teremos como avaliar aquele que 
dissipa maior resistência, por exemplo. 
 Para isso, basta combinar a primeira lei de Ohm e a potência dissipada por um bipolo, 
buscando deixar a resistência e a corrente na expressão da potência: 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑉 ⋅ 𝑖 e 𝑉 = 𝑅 ⋅ 𝑖 
Portanto: 
𝑃𝑜𝑡 = (𝑅 ⋅ 𝑖) ⋅ 𝑖 
Finalmente: 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑅 ⋅ 𝑖2 
 Para cada um dos resistores, podemos dizer que: 
{
 
 
 
 𝑃𝑜𝑡1 = 𝑅1 ⋅ 𝑖
2
𝑃𝑜𝑡2 = 𝑅2 ⋅ 𝑖
2
𝑃𝑜𝑡3 = 𝑅3 ⋅ 𝑖
2
𝑃𝑜𝑡𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑒𝑞 ⋅ 𝑖
2
 
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 Em que 
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 
Com este resultado, podemos ver que o maior resistor dissipará a maior potência, já que a 
corrente que passa por todos é a mesma. 
3.1.2 - Resistores em paralelo – tensão constante 
Considere a configuração de três resistores em paralelo, conforme a figura abaixo: 
 
Figura 16.34: Resistores conectados em paralelo. A tensão eles estão sob a mesma diferença de potencial. 
 Note que neste tipo de configuração a ddp é a mesma nos três resistores. Por isso, é muito 
interessante encontrar uma expressão para a potência dissipada no resistor em que um dos termos 
seja a ddp 𝑉. Dessa forma, podemos combinar as equações da seguinte forma: 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑉 ⋅ 𝑖 e 𝑖 =
𝑉
𝑅
 
 
 Combinando as duas relações, temos: 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑉 ⋅ (
𝑉
𝑅
) 
 
 Finalmente: 
𝑃𝑜𝑡 =
𝑉2
𝑅
 
 
Com esse resultado vemos que a potência é inversamente proporcional a resistência nesse 
caso. Portanto, o maior resistor dissipará a menor potência. Para cada um deles e para o circuito 
equivalente, temos: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 𝑃𝑜𝑡1 =
𝑈2
𝑅1
𝑃𝑜𝑡2 =
𝑈2
𝑅2
𝑃𝑜𝑡3 =
𝑈2
𝑅3
𝑃𝑜𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑈2
𝑅𝑒𝑞
 
 
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Na qual: 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
 
Como já vimos, por efeito Joule haverá uma dissipação de energia térmica quando o condutor 
é percorrido por uma corrente elétrica. Dessa forma, o resistor elevará a sua temperatura até uma 
um valor limite. 
(2019/INÉDITA) 
Considere um circuito formado por uma bateria de resistência interna 𝑟 e dois resistores A e B, como 
mostrado na figura, e faça o que se pede nos itens I, II e III: 
 
I) Determine a razão 𝑖𝐴/𝑖𝐵 entre as correntes que atravessam os dois resistores; 
II) Calcule a corrente total que atravessa o circuito; 
III) Caso o resistor A entre em pane, abrindo o seu ramo, então o que acontecerá com a potência 
dissipada pelo resistor B? 
Comentários 
I - Como os resistores A e B foram ligados em paralelo, sabemos que a diferença de potencial 
a qual estão submetidos é a mesma: 
𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 
𝑅𝐴 ⋅ 𝑖𝐴 = 𝑅𝐵 ⋅ 𝑖𝐵 
𝑖𝐴
𝑖𝐵
=
𝑅𝐵
𝑅𝐴
=
8,0
12
=
2
3
 
 
 II - Devemos, primeiramente, calcular a resistência equivalente do circuito: 
𝑅𝑒𝑞 = 0,20 +
12 ⋅ 8
12 + 8
= 0,20 +
12 ⋅ 8
20
 
 
𝑅𝑒𝑞 = 0,20 +
6 ⋅ 8
10
= 0,20 + 0,6 ⋅ 8 = 0,20 + 4,8 = 5,0 Ω 
 
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 Agora podemos calcular a corrente total que atravessa o circuito: 
𝑖 =
𝑉
𝑅𝑒𝑞=
12
5
= 2,4 𝐴 
 
 III - Se os dois resistores, A e B, são ligados em paralelo, a diferença de potencial fornecida a 
cada um dos dois é a mesma. Daí teremos: 
𝑃𝑜𝑡 =
𝑉2
𝑅
 
 
 Como a diferença de potencial não se altera, assim como a resistência elétrica de B, a sua 
potência dissipada permanece a mesma. 
Gabarito: I - 𝟐/𝟑, II - 𝟐, 𝟒 𝑨 e III – Permanece inalterada. 
(2019/INÉDITA) 
Uma bateria de tensão 𝑉 e resistência interna 𝑅𝑖 é ligada em série com um arranjo de resistores de 
resistência 𝑅, conforme a figura. O esquema do circuito está apresentado na figura. A potência 
dissipada por cada resistor 𝑅 é dada por 
 
a) 
𝑉2
𝑅
 b) 
𝑉2
(𝑅 + 𝑅𝑖)
 c) 
(
𝑉
𝑅
3
+ 𝑅𝑖
)
2
9 ⋅ 𝑅
 d) 
𝑅 ⋅ (
𝑉
𝑅
3
+ 𝑅𝑖
)
2
9
 e)
(
𝑉 ⋅ 𝑅𝑖
𝑅
3
+ 𝑅𝑖
)
2
9
 
Comentários 
 Devemos começar pelo cálculo da resistência equivalente do circuito. Como os três resistores 
𝑅 foram ligados em paralelo, temos que a resistência equivalente é de: 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅
3
 
 Dado que os resistores foram ligados em série à bateria, a resistência total será dada pela 
soma de suas resistências: 
𝑅𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 = 𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝑖 =
𝑅
3
+ 𝑅𝑖 
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 Sabemos pela lei de Ohm-Pouillet que a força eletromotriz de um gerador é igual ao produto 
da intensidade da corrente pela resistência total do circuito. 
𝐕 = 𝑹 ⋅ 𝒊 Lei de Ohm 
[𝑽] = 𝑽 = 𝑽𝒐𝒍𝒕 [𝑅] = Ω = 𝑜ℎ𝑚 [𝑖] = 𝐴 = 𝑎𝑚𝑝é𝑟𝑒 
 Daí, temos: 
𝑉 = 𝑅𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 ⋅ 𝑖 
 Isolando a corrente nessa relação, temos: 
𝑖 =
𝑉
𝑅𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜
=
𝑉
𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝑖
=
𝑉
𝑅
3
+ 𝑅𝑖
 
 Finalmente, sabemos que a potência dissipada por um resistor é dada por: 
𝐏𝐨𝐭 = 𝑽 ⋅ 𝒊 
Potência média dissipada 
por um resistor 
[𝑷𝒐𝒕] =
𝑱
𝒔
= 𝑾𝒂𝒕𝒕 [𝑉] = 𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑡 [𝑖] = 𝐴 = 𝑎𝑚𝑝é𝑟𝑒 
 Cada resistor 𝑅 será atravessado por um terço da corrente total do circuito, daí: 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑉𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 ⋅
𝑖
3
 
 Na qual 𝑉𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 é a diferença de potencial elétrico no resistor. Como sabemos apenas a 
diferença de potencial da bateria, devemos novamente usar a lei de Ohm combinada à relação acima 
descrita para chegarmos até a relação da potência dissipada por um resistor em função da sua 
resistência e da corrente que o atravessa. 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑉𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 ⋅
𝑖
3
= 𝑅𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 ⋅
𝑖
3
⋅
𝑖
3
= 𝑅𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 ⋅
𝑖2
9
 
 Sabemos que a resistência do resistor vale 𝑅 e a corrente foi determinada anteriormente. 
Substituindo-se essas informações, temos: 
𝑃𝑜𝑡 =
𝑅 ⋅ (
𝑉
𝑅
3
+ 𝑅𝑖
)
2
9
 
 
 Gabarito: “d”. 
 
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(2020/INÉDITA) 
Dois resistores são ligados a uma bateria com resistência interna 𝑅𝑖. 
 
A potência, em Watts, dissipada por 𝑅2 é próxima de 
a) 55 𝑊 b) 69 𝑊 c) 75 𝑊 d) 113 𝑊 e) 4500 𝑊 
Note e adote: 
A bateria possui Força Eletromotriz de 30 𝑉 e resistência interna de 0,20 Ω. 
Os resistores 𝑅1 e 𝑅2 apresentam resistências iguais a 8,0 e 12 Ohms respectivamente. 
Comentários 
Notamos que 𝑅1 foi ligado em paralelo a 𝑅2, sendo a resistência interna da bateria 
considerada em série com o circuito. Devemos calcular a resistência equivalente à ligação em 
paralelo dos dois resistores: 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅1 ⋅ 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
=
8 ⋅ 12
8 + 12
=
8 ⋅ 12
20
= 4,8 Ω 
 
A resistência total do circuito será de: 
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4,8 + 0,2 = 5,0 Ω 
Dessa forma, podemos calcular a corrente total no circuito usando a primeira lei de Ohm: 
𝑉 = 𝑅 ⋅ 𝑖 ⇒ 𝑖 =
𝑉
𝑅
 
 
𝑖 =
30
5
= 6,0 𝐴 
 
Agora podemos calcular a queda de tensão provocada pela resistência interna da bateria: 
𝑉 = 𝑅 ⋅ 𝑖 = 0,2 ⋅ 6 = 1,2 𝑉 
Isso significa que os resistores 𝑅1 e 𝑅2 estão submetidos a uma mesma tensão de: 
𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = 30 − 1,2 = 28,8 𝑉 
Finalmente, podemos calcular a potência dissipada por 𝑅2: 
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𝑃𝑜𝑡2 =
(𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜)
2
𝑅2
=
28,8 ⋅ 28,8
12
≅ 69 𝑊 
 
 Gabarito: “b”. 
3.2 - SEGUNDA LEI DE OHM 
 Dando sequência aos seus trabalhos, George Ohm buscou identificar quais grandezas 
influenciariam a resistência elétrica e verificou que ela era função do material, do comprimento do 
condutor e da sua secção transversal. 
A resistência elétrica 𝑅 de um condutor homogêneo de secção transversal uniforme é 
diretamente proporcional ao seu comprimento 𝐿, inversamente proporcional à área 𝐴 de sua secção 
transversal e depende do material e da temperatura: 
𝑹 = 𝝆 ⋅
𝑳
𝑨
 A segunda lei de Ohm 
[𝑹] = 𝛀 [𝝆] = 𝛀 ⋅ 𝒎 [𝑳] = 𝒎 [𝑨] = 𝒎𝟐 
A condutividade elétrica de um material, simbolizada por 𝜎, é a grandeza física definida como 
o inverso da resistividade, ou seja: 
𝝈 =
𝟏
𝝆
 A condutividade elétrica 
[𝝈] =
𝟏
𝛀 ⋅ 𝒎
=
𝛀−𝟏
𝒎
=
𝑺
𝒎
 
 
[𝝆] = 𝛀 ⋅ 𝒎 
 O inverso do Ω é o Siemens. A unidade de 𝜎 é o Siemens por metro (𝑆/𝑚). 
(2020/UECE) 
Quatro condutores constituídos por diferentes materiais, mas de mesmo comprimento, foram 
submetidos a diferentes tensões elétricas enquanto mantido a temperatura constante. O gráfico 
representa a diferença de potencial em função da corrente elétrica observada para cada um dos 
objetos testados. 
 
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Admitindo-se que os dois únicos condutores ôhmicos testados possuem a mesma espessura, aquele 
de maior condutividade elétrica é o de número 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
Comentários 
Um condutor ôhmico mantido à temperatura constante apresenta resistência elétrica 
constante. Daí, os únicos condutores ôhmicos são 1 e 3. 
Sabemos que a resistência elétrica 𝑅 de um condutor homogêneo de secção transversal 
uniforme é diretamente proporcional ao seu comprimento 𝐿, inversamente proporcional à área 𝐴 
de sua secção transversal e depende do material e da temperatura: 
𝑅 = 𝜌 ⋅
𝐿
𝐴
 A segunda lei de Ohm 
[𝑅] = Ω [𝜌] = Ω ⋅ 𝑚 [𝐿] = 𝑚 [𝐴] = 𝑚2 
A condutividade elétrica de um material, simbolizada por 𝜎, é a grandeza física definida como 
o inverso da resistividade, ou seja: 
𝜎 =
1
𝜌
 A segunda lei de Ohm 
[𝜎] =
1
Ω ⋅ 𝑚
=
Ω−1
𝑚
=
𝑆
𝑚
 
 
[𝜌] = Ω ⋅ 𝑚 
Quanto maior a inclinação maior a resistência elétrica do condutor. Com isso, concluímos que 
3 possui menor resistência elétrica que 1 e como consequência menor resistividade e maior 
condutividade elétrica. 
 Gabarito: “c”. 
(2019/INÉDITA) 
Uma resistência foi construída na forma de bastão de 10 𝑐𝑚 de comprimento e seção transversal 
quadrada de 10 𝑚𝑚 de lado. Esse elemento foi ligado a uma tensão de 210 𝑉 e usada para aquecer 
água. Se durante 34 𝑠 verificou-se que 6,8 ⋅ 103 𝑐𝑎𝑙 foram fornecidos ao líquido, temos que a 
condutividade elétrica do material é aproximadamente de 
a) 13 𝑆/𝑚 b) 19 𝑆/𝑚 c) 23 𝑆/𝑚 d) 37 𝑆/𝑚 e) 54 𝑆/𝑚 
Note e adote: 
Considere a resistividade do material e o calor específico da água constantes naquele intervalo de 
temperatura. 
Admita que 1 𝑐𝑎𝑙 = 4,2 𝐽 e Assuma que toda a energia fornecida ao bastão foi absorvida pela água. 
Comentários: 
A potência dissipada pelo material é igual ao calor fornecido ao líquido no referido intervalo 
de tempo: 
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𝑃 =
𝑄
Δ𝑡
 
 
 Podemos escrever a potência fornecida por um resistor elétrico em função da sua resistência 
elétrica e da diferença de potencial a qual está submetido: 
𝑃 =
𝑄
Δ𝑡
 
 
𝑈2
𝑅
=
𝑄
𝛥𝑡
 
 
2102
𝑅
=
6,8 ⋅103 ⋅ 4,2
34
 
 
𝑅 =
2102 ⋅ 34
6,8 ⋅ 103 ⋅ 4,2
=
210 ⋅ 210 ⋅ 34
68 ⋅ 10 ⋅ 42
=
21 ⋅ 5 ⋅ 1
2 ⋅ 1 ⋅ 1
= 52,5 Ω 
 
Pela segunda lei de Ohm, podemos determinar a resistividade do material: 
𝑅 = 𝜌 ⋅
𝐿
𝐴
⇒ 𝜌 =
𝑅 ⋅ 𝐴
𝐿
 
 
Devemos nos lembrar que a condutividade elétrica do material é dada pelo inverso da sua 
resistividade: 
1
𝜌
= 𝜎 =
𝐿
𝑅 ⋅ 𝐴
=
10 ⋅ 10−2
52,5 ⋅ (10 ⋅ 10−3)2
=
1 ⋅ 10−1
52,5 ⋅ 10−4
 
 
𝜎 = 0,019 ⋅ 103 = 19 𝑆/𝑚 
 Gabarito: “b”. 
3.3 - REOSTATO 
Chamamos de reostato o dispositivo eletrônico que possui resistência variável. Ele pode ser 
representado por dois tipos de símbolos: 
 
Figura 16.35: As duas simbologias de reostatos que são utilizadas em circuitos elétricos. 
 Um exemplo muito comum é o reostato de cursor, em que a variação da resistência elétrica 
é definida pela variação contínua do comprimento de um filamento condutor. 
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Figura 16.36: Esquema simplificado de um reostato de cursor. 
Basicamente, ele utiliza a segunda lei de Ohm, já que a resistência é diretamente proporcional 
ao comprimento do fio. 
 
(1989/ITA) 
Com um certo material de resistividade elétrica 𝜌 foi construída uma resistência na forma de um 
bastão de 5,0 𝑐𝑚 de comprimento e seção transversal quadrada de 5,0 𝑚𝑚 de lado. A resistência 
assim construída, ligada a uma tensão de 120 𝑉, foi usada para aquecer água. Em operação, 
verificou-se que o calor fornecido pela resistência ao líquido em 10 𝑠 foi de 1,7 ⋅ 103 𝑐𝑎𝑙. Use: 
1 𝑐𝑎𝑙 = 4,2 𝐽. 
a) Calcule o valor da resistividade 𝜌. 
b) Quantos segundos seriam necessários para aquecer 1 litro de água da temperatura de 20 °C até 
37 °C? 
Observação: considere a resistividade do material e o calor específico da água constantes naquele 
intervalo de temperatura. 
Comentários: 
a) A potência dissipada pelo material é igual ao calor fornecido ao líquido no referido 
intervalo de tempo: 
𝑃 =
𝑄
Δ𝑡
⇒
𝑈2
𝑅
=
𝑄
𝛥𝑡
⇒
1202
𝑅
=
1,7 ⋅ 103 ⋅ 4,2
10
⇒ 𝑅 =
1202 ⋅ 10
1,7 ⋅ 103 ⋅ 4,2
 
Mas, pela segunda lei de Ohm, temos: 
𝜌 ⋅
𝑙
𝐴
=
1202 ⋅ 10
1,7 ⋅ 103 ⋅ 4,2
⇒ 𝜌 =
(5 ⋅ 10−3)2
5 ⋅ 10−2
⋅
1202 ⋅ 10
1,7 ⋅ 103 ⋅ 4,2
 
𝜌 = 0,01 Ω ⋅ 𝑚 
b) A quantidade de calor fornecida ao líquido será de: 
𝑄 = 𝑚 ⋅ 𝑐 ⋅ Δ𝜃 
𝑄 = 1000 ⋅ 1 ⋅ (37 − 20) = 17000 𝑐𝑎𝑙 
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 Se em 10 segundos o calor fornecido pela resistência ao líquido foi de 1700 𝑐𝑎𝑙, então, para 
17.000 𝑐𝑎𝑙 serão necessários 100 𝑠. 
 Gabarito: a) 𝝆 = 𝟎, 𝟎𝟏 𝛀 ⋅ 𝒎 b) ∆𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 𝒔. 
(2019/QUESTÃO) 
As extremidades A e B de um fio condutor cilíndrico e homogêneo, de 30 𝑐𝑚 de comprimento, são 
ligadas numa bateria, submetendo-se a uma ddp igual a 6 𝑉. Calcule: 
 
a) a intensidade do campo elétrico no interior desse fio; 
b) a ddp 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶, entre os pontos D e C. 
Comentários: 
a) Considerando que o campo no interior do condutor será uniforme, podemos dizer que: 
𝑈 = 𝐸 ⋅ 𝑑 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 
6 = 𝐸 ⋅ 0,3 ⇒ 𝐸 = 20 𝑉/𝑚 
b) Dessa forma, a ddp entre os pontos D e C é dada por: 
𝑉𝐶 − 𝑉𝐷 = 𝐸 ⋅ 𝑑𝐶𝐷 
𝑉𝐶 − 𝑉𝐷 = 20 ⋅ 0,12 = 2,4 𝑉 
 Mas a ddp pedida é 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶, portanto: 
𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = −2,4 𝑉 
 Gabarito: a) 𝑬 = 𝟐𝟎 𝑽/𝒎, b) 𝑽𝑫 − 𝑽𝑪 = −𝟐, 𝟒 𝑽. 
(2019/QUESTÃO) 
Um filamento metálico é esticado de modo que seu comprimento triplique e o volume permanece 
inalterado. Qual deve ser a nova resistência do fio, se no início era 𝑅0? 
Comentários: 
 Antes e depois de esticar o fio, o volume será o mesmo. Então: 
𝑉𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝑉𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 ⇒ 𝐴0 ⋅ 𝐿0 = 𝐴 ⋅ 𝐿 
 Mas o comprimento final é 3 vezes o inicial. Assim: 
𝐴0 ⋅ 𝐿0 = 𝐴 ⋅ 3 ⋅ 𝐿0 ⇒ 𝐴 =
𝐴0
3
 
 Pela segunda lei de Ohm, a resistência final é de: 
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𝑅 = 𝜌 ⋅
𝐿
𝐴
= 𝜌 ⋅
3 ⋅ 𝐿0
𝐴0
3
= 9 ⋅ (𝜌 ⋅
𝐿0
𝐴0
) 
𝑅 = 9 ⋅ 𝑅0 
 Gabarito: 𝑹 = 𝟗 ⋅ 𝑹𝟎. 
(2019/QUESTÕES) 
Na figura temos um tubo condutor de raio externo 𝑅1 e raio interno 𝑅2, com comprimento 𝐿. Calcule 
a resistência elétrica do condutor, dado que sua resistividade elétrica é igual a 𝜌. 
 
Comentários: 
A resistência do condutor pode ser determinada pela segunda lei de Ohm. 
 
Podemos superpor as áreas da seguinte forma: 
 
Então: 
𝑅 = 𝜌 ⋅
𝐿
𝜋(𝑅1
2 − 𝑅2
2)
 
 Gabarito: 𝑹 = 𝝆 ⋅
𝑳
𝝅(𝑹𝟏
𝟐−𝑹𝟐
𝟐)
. 
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4 - ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
É muito comum em circuitos elétricos a necessidade de determinar uma resistência que teria 
a mesma corrente quando submetido a mesma tensão. Nessas ocasiões, a configuração dos 
resistores pode ser classificada em três categorias: série, paralela ou mista. O resistor equivalente à 
associação é o único que, quando submetido à mesma ddp que a associação inicial, é atravessado 
pela mesma corrente. 
4.1 - ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE 
Dizemos que dois ou mais resistores estão associados em série quando são interligados de 
tal modo que, ao serem percorridos por uma corrente elétrica, ela terá a mesma intensidade em 
todos eles. Esquematicamente, temos que: 
 
Figura 16.37: N resistores conectados em série são percorridos pela mesma corrente elétrica. 
 A corrente que passa pelos resistores, nessa configuração, será a mesma. Portanto: 
𝑖1 = 𝑖2 = 𝑖3 = ⋯ = 𝑖𝑛 = 𝑖 
 A associação de resistores citada pode ser trocada por um resistor equivalente, tal que: 
 
Figura 16.38: Pela primeira Lei de Ohm, quando o resistor equivalente é submetido à uma ddp U, a corrente percorrida nele é de mesma intensidade i. 
 É importante destacar que a soma das diferenças de potencial surgidas em cada um dos 
resistores é igual a diferença de potencial total entre os resistores ligados em série, 𝑉. Em 
decorrência desse fato, podemos escrever para a resistência equivalente de resistores ligados em 
série: 
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑁 Resistência equivalente para associações em série 
 Dizemos que a resistência elétrica 𝑅𝑒𝑞 é igual à soma das resistências elétricas dos resistores 
associados em série. É importante destacarmos que a ddp a qual está submetido o resistor é 
diretamente proporcional à sua resistência elétrica. Portanto, quem possui maior resistência elétrica 
terá a maior queda de tensão nele. 
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Se as resistências dos resistores associados em série são iguais à 𝑅, então a resistência 
equivalente é dada por: 
𝑅𝑒𝑞 = 𝑛 ⋅ 𝑅 
Resistência equivalente para associações em série 
de resistores de mesma resistência 
Nesse caso, cada resistor está submetido à mesma diferença de potencial. 
 
(2019/QUESTÃO) 
Determine a resistência equivalente entre os pontos 𝑎 e 𝑏, e entre os terminais 𝑐 e 𝑑. 
 
Comentários: 
Para determinarmos a resistência equivalente entre 𝑎 e 𝑏, devemos aplicar uma fonte entre 
estes pontos e analisar como se distribui a corrente no circuito, como na figura abaixo: 
 
Como o circuito está aberto nos pontos 𝑐 e 𝑑, nos dois resistores de 4 Ω não passa corrente 
elétrica (𝑖 = 0). Dessa forma, os resistores de 4 Ω podem ser retirados do circuito sem prejudicar o 
funcionamento do circuito. 
Dessa forma, há corrente passando apenas nos resistores de 3 Ω, 2 Ω, 6 Ω e 1 Ω. Note que 
esses resistores serão percorridos pela mesma corrente e estão em série. Portanto: 
𝑅𝑒𝑞𝑎𝑏
= 3 + 2 + 6 + 1 = 12 Ω 
Pela mesma linha de raciocínio, para determinar a resistência equivalente entre 𝑐 e 𝑑, 
devemos colocar uma fonte entre esses pontos, como no circuito da figura abaixo:Professor Lucas Costa 
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Então, os pontos 𝑎 e 𝑏 estão abertos e não há corrente passando por eles. Assim, a corrente 
entre 𝑖 deverá passar pelos resistores de 4 Ω, 6 Ω e 4 Ω, formando uma associação em série. Logo, 
a resistência equivalente entre 𝑐 e 𝑑 é dada por: 
𝑅𝑒𝑞𝑐𝑑 = 4 + 6 + 4 = 14 Ω 
 Gabarito: 𝑹𝒆𝒒𝒄𝒅 = 𝟏𝟒 𝛀. 
4.2 - ASSOCIAÇÃO EM PARALELO 
Dois ou mais resistores estão em paralelo quando seus terminais estão conectados nos 
mesmos pontos 𝑎 e 𝑏, como mostrado na figura abaixo: 
 
Figura 16.39: Associação de N resistores em paralelo. Eles estão submetidos a mesma diferença de potencial. 
 Como um exemplo, se ligarmos três lâmpadas em paralelo a uma fonte de tensão, teremos: 
 
Figura 16.40: Circuito formado por três lâmpadas em paralelo. 
 Note que as três lâmpadas estão submetidas à mesma ddp da fonte. Como bem sabemos, a 
corrente irá se estabelecer do polo positivo (maior potencial) para o polo negativo (menor 
potencial). Entretanto, em cada lâmpada terá uma corrente determinada pelo valor de sua 
resistência: 
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Figura 16.41: Representação do circuito formado pelas lâmpadas. 
 Nesse tipo de configuração os resistores estão conectados aos mesmos terminais, por isso 
eles estão submetidos à mesma diferença de potencial: 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3 
 Já a corrente elétrica 𝐼, proveniente da fonte, se divide no ponto 𝐴 em três partes, isto é, se 
reparte para cada resistor: 
𝐼 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 
Este fato pode ser explicado pela conservação da carga elétrica no condutor. A carga que flui 
pelos condutores não se acumula em nenhuma parte do condutor. Então, a quantidade de carga 
que chega em um segundo no ponto de ramificação 𝐴 é a igual à quantidade de carga sai deste 
ponto em um segundo. 
 
Figura 16.42: Ramificação da corrente elétrica em um nó. 
Como consequência, teremos: 
1
𝑅𝑒𝑞𝐴𝐵
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
 
Embora fizemos para 3 lâmpadas (3 resistores), podemos aplicar a mesma ideia para 𝑛 
resistores e o resultado seria: 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+⋯+
1
𝑅𝑛
 
Resistência equivalente para 
associações em paralelo 
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É interessante analisar essa relação para alguns casos particulares. Se tivermos 𝑛 resistores 
de resistência 𝑅 em paralelo, então a resistência elétrica equivalente é dada por: 
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅
+
1
𝑅
+⋯+
1
𝑅
⇒
1
𝑅𝑒𝑞
=
𝑛
𝑅
⇒ 𝑅𝑒𝑞 =
𝑅
𝑛
 
Nessas condições, todos os resistores serão percorridos pela mesma corrente elétrica 𝑖. 
Então, se a corrente total é 𝐼, temos: 
𝑖 =
𝐼
𝑛
 
Como a corrente é inversamente proporcional à resistência, o ramo que tiver a maior 
resistência terá a menor corrente passando por ele. Pense sempre que a movimentação de cargas 
busca o caminho que oferece a menor resistência. 
Outra importante observação a ser feita é a de que a resistência equivalente de uma 
associação em paralelo é sempre menor que a menor das resistências associadas. 
Uma regra prática simples para obter a resistência do resistor equivalente para associação de 
dois resistores em paralelo é a seguinte: 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅1 ⋅ 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 
Dizemos que a resistência do resistor equivalente é o produto pela soma dos dois resistores 
associados. 
(2019/QUESTÃO) 
Calcule a resistência equivalente entre 𝐴 e 𝐵, se todos os resistores possuem resistência igual a 𝑅. 
 
Comentários: 
Nesse tipo de problema, é conveniente nomear os pontos da associaçao para verificar qual 
tipo de associação está em jogo. Deve-se levar em conta que se não existe resistência entre dois 
pontos de um condutor, estes pontos são equivalentes e recebem nomes iguais. Portanto: 
 
Assim, verificamos que todos os resistores estão associados em paralelo entre os pontos 𝐴 e 
𝐵. Portanto, temos 9 resistores de resistências iguais a 𝑅 conectados em paralelo. Logo: 
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𝑅𝑒𝑞 =
𝑅
9
 
Gabarito: 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹/𝟗 
4.3 - FUSÍVEL 
Denominamos por fusível o dispositivo eletrônico que é associado em série a um circuito ou 
a um ramo de um circuito com a finalidade de protegê-lo. Basicamente, ele é um condutor feito de 
um material com baixo ponto de fusão (chumbo e estanho são ótimos materiais para fusíveis). 
 
Figura 16.43: Desenho esquemático de um fusível no circuito composto de dois resistores em série. 
 Se o fusível é atravessado por uma corrente elétrica cuja intensidade é maior que um certo 
valor, ele se funde, interrompendo a passagem da corrente. Um dos fusíveis mais utilizado em 
circuito elétrico de carros e em instalações elétricas (no quadro de entrada) é o fusível de cartucho. 
 
Figura 16.44: Exemplo de fusível de cartucho, vista em perspectiva e em corte. 
 Geralmente, a intensidade da corrente máxima suportada pelo fusível vem registrada em sua 
superfície. Note que uma vez fundido o fusível, ele deve ser descartado. Assim, surgiu a necessidade 
de desenvolver um dispositivo que apenas interrompesse a passagem de corrente elétrica, caso ela 
excedesse o valor desejado e, depois, quando a corrente se reestabelecer ao valor correto, ele fosse 
capaz de ser conectado novamente ao circuito. 
 Assim, foram criados os disjuntores, dispositivos capazes de interromperem 
automaticamente a passagem da corrente quando sua intensidade excede certo valor. Ele é baseado 
no efeito magnético da corrente elétrica e têm a vantagem da reutilização imediata após sanado o 
defeito que originou à sobrecarga da corrente. 
 
(2019/QUESTÃO) 
A figura mostra uma associação de resistores mista e os fusíveis que suportam correntes máximas 
iguais a 5,0 𝐴. Diga quais fusíveis se danificarão. 
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Comentários: 
Inicialmente, devemos determinar qual a corrente total no circuito e a corrente que passa 
em cada resistor. Para isso, é necessário determinar a resistência equivalente. Note que os dois 
resistores de 2 Ω estão em série. Então: 
 
Dessa forma, temos o seguinte circuito: 
 
Portanto: 
𝑅𝑒𝑞 = 3,0 + 4,0//6,0//4,0 
𝑅𝑒𝑞 = 4,5 Ω 
A corrente total que passa pelo circuito é de: 
𝐼 =
72
4,5
= 16 𝐴 
Logo, a ddp no resistor de 3 Ω é de: 
𝑈1 = 3 ⋅ 16 = 48 𝑉 
Consequentemente, a ddp nos terminais em paralelo é de: 
𝑈2 = 72 − 48 = 24 𝑉 
Portanto, a corrente em cada ramo em paralelo é dada por: 
 
𝑖1 =
24
4
= 6 𝐴; 𝑖2 =
24
6
= 4 𝐴; 𝑖3 =
24
4
= 6 𝐴 
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Como os fusíveis podem suportar até 5 𝐴, então 𝑓1 e 𝑓3 se danificam. Quando 𝑓1 e 𝑓3 se 
danificam, o circuito fica aberto nesses ramos e agora temos uma nova configuração do circuito: 
 
Agora, a nova corrente que passa por 𝑓2 é dada por: 
𝑖′′ =
72
3 + 6
=
72
9
= 8 𝐴 
Novamente, a corrente é superior a aquela suportada pelo fusível 𝑓2. Logo, ele também se 
danifica. 
Gabarito: Os 3 fusíveis se danificam. 
4.4 - CURTO-CIRCUITO 
Quando ligamos um fio condutor de resistência desprezível aos terminais de um resistor, a 
ddp nos terminais desse resistor torna-se nula. Esquematicamente: 
 
Figura 16.45: Representação de um resistor em curto-circuito. 
 Como a corrente elétrica busca o caminho de menor resistência, se o fio condutor ligado 
entre os terminais 𝐴 e 𝐵 tem resistência nula, então toda corrente passará por ele e não haverá 
corrente elétrica passando por 𝑅. 
 Assim, dizemos que o resistor 𝑅 está emcurto-circuito. Para efeitos práticos, é como se o 
resistor fosse retirado do circuito. Assim, podemos considerar que os pontos 𝐴 e 𝐵 ligados pelo 
condutor são coincidentes, já que eles possuem o mesmo potencial. 
(2019/QUESTÃO) 
Calcule a resistência equivalente entre os terminais 𝑀 e 𝑁. 
 
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Comentários: 
Nomeando os pontos que possuem o mesmo potencial, temos: 
 
Note que os resistores de 3 Ω e de 6 Ω estão em curto-circuito. Portanto, eles podem ser 
retirados do circuito sem danificar a análise dele. Então: 
 
Com isso, o resistor equivalente entre os pontos 𝑀 e 𝑁 é de: 
𝑅𝑒𝑞𝑀𝑁 = 2 + 4 = 6 Ω 
 Gabarito: 𝑹𝒆𝒒𝑴𝑵
= 𝟐 + 𝟒 = 𝟔 𝛀. 
(2019/QUESTÃO) 
Calcule a resistência equivalente entre os terminais 𝑥 e 𝑦. 
 
Comentários: 
Quando queremos mostrar que um fio passa por outro sem haver contato, representamos 
pelo símbolo: 
 
Assim, podemos nomear os pontos que possuem o mesmo potencial elétrico: 
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Podemos notar que o resistor de 4 Ω está curto-circuitado. Além disso, vemos que os demais 
resistores estão sofrendo a mesma diferença de potencial, já que seus terminais estão com os 
mesmos nomes. Então, o circuito é equivalente a: 
 
Portanto: 
𝑅𝑒𝑞𝑥𝑦 =
6
3
= 2 Ω 
Gabarito: 𝑹𝒆𝒒𝒙𝒚 = 𝟐 𝛀. 
 
Com estes exercícios, vemos um padrão para resolver problemas que envolvam associação 
de resistores: 
1) Nomeie os pontos com os mesmos potenciais e pontos com diferentes potenciais adiciona um 
novo nome. 
2) Redesenhe o seu circuito colocando de tal forma que você possa enxergar melhor a disposição 
das conexões, destacando os pontos onde você deseja calcular a resistência equivalente. 
3) Simplifique seu circuito até chegar no único resistor entre os pontos desejado. 
4.5 - APARELHOS PARA MEDIDAS ELÉTRICAS 
Chamamos de amperímetro o instrumento utilizado para medir a intensidade de corrente e 
voltímetro o aparelho destinado para medir a diferença de potencial (ddp) entre dois pontos do 
circuito. 
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Quando usamos um instrumento de medida, desejamos que ele afira a grandeza física 
desejada sem alterar as configurações do circuito. Entretanto, essa condição é meramente teórica 
já que os aparelhos de medidas elétricas são constituídos por condutores e se torna inevitável que, 
quando adicionados a um circuito, não causem interferências. Chamamos de amperímetro e de 
voltímetro ideal aqueles que não causam alterações quando inseridos no circuito. 
4.5.1 – O amperímetro 
O amperímetro é um aparelho que deve ser associado em série com o elemento do circuito 
ou no trecho do circuito em que se deseja medir a corrente que por ali passa, pois o aparelho deve 
ser atravessado pela corrente. 
 Dessa forma, para que o amperímetro não altere a medição desejada, ele deve possuir 
resistência interna nula (𝑹𝑨 = 𝟎). Obviamente, pela primeira lei de Ohm, a ddp entre os terminais 
deste aparelho deve ser nula também. Esquematicamente: 
 
Figura 16.46: O amperímetro deve ser associado em série no local onde deseja-se medir a intensidade da corrente. Se o amperímetro é ideal, sua resistência 
elétrica deve ser praticamente zero e considerada nula. 
Em alguns problemas surge o termo galvanômetro, que é um instrumento análogo ao 
amperímetro, mas utilizado para medir correntes muito pequenas 
4.5.2 – O voltímetro 
O voltímetro é um aparelho que deve ser associado em paralelo entre os pontos nos quais 
deseja-se medir a ddp. Para nenhuma corrente seja desviada para o voltímetro, temos que sua 
resistência deve ser muito alta, isto é, 𝑹𝑽 → ∞. Esquematicamente: 
 
Figura 16.47: Voltímetro ideal (resistência muito alta), ligado em paralelo ao resistor 𝑹𝟐, medindo a ddp entre os terminais deste resistor, sem desviar 
corrente que passa em 𝑹𝟏 e em 𝑹𝟐. 
 Na prática, os amperímetros e os voltímetros não são ideais, isto é, eles possuem uma 
pequena resistência (amperímetro) e a resistência não é infinita (voltímetro). Entretanto, um bom 
amperímetro tem resistência elétrica muito pequena, da ordem de 10−1 Ω, e um bom voltímetro 
deve ter resistência da ordem de 104 Ω. 
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Em muitos exercícios de vestibulares, os aparelhos de medidas são ideais. Somente quando 
mencionado ou em casos que levando a suspeita sobre a idealidade dos aparelhos que se deve levar 
em conta como instrumentos reais, alterando a forma de trabalhar com o circuito. 
4.6 - PONTE DE WHEATSTONE 
Trata-se de uma associação especial de resistores, que tem a sua utilidade prática quando ela 
está equilibrada. Embora tenha sido idealizada por S. H. Christie no ano de 1833, ela foi usada nas 
condições de equilíbrio elétrico por Charles Wheatstone com a finalidade de determinar o valor de 
uma resistência desconhecida, tendo conhecimento do valor das outras três resistências. 
Na configuração de uma ponte Wheatstone, 𝑅1 e 𝑅4 são resistências conhecidas, 𝑅3 é 
variável, porém conhecida. Já 𝑅2 é uma resistência desconhecida. É muito importante a presença 
de um galvanômetro ligando os pontos 𝐶 e 𝐷, pois ele indicará uma condição crucial para o equilíbrio 
da ponte. Esquematicamente, temos: 
 
Figura 16.48: Representação esquemática de uma ponte de Wheatstone. 
 Para determinar 𝑅2, devemos variar 𝑅3 até que a corrente que passa pelo galvanômetro seja 
nula. No momento que isto acontecer, os potenciais em 𝐶 e 𝐷 serão iguais (𝑉𝐶 = 𝑉𝐷) e podemos 
dizer que a ponte está em equilíbrio. 
 Quando a ponte está equilibrada, ou seja, não há corrente passando pelo galvanômetro, 𝑅1 
e 𝑅2 são percorridas por uma mesma corrente 𝑖, ao passo que 𝑅4 e 𝑅3 são percorridas por uma 
mesma corrente 𝑖′. 
 Aplicando a primeira Lei de Ohm em cada resistor, podemos deduzir que em uma ponte de 
Wheatstone equilibrada, os produtos das resistências de ramos opostos são iguais: 
𝑅1 ⋅ 𝑅3 = 𝑅2 ⋅ 𝑅4 
 Em suma, conhecendo 𝑅1, 𝑅3 e 𝑅4, você será capaz de determinar 𝑅2 que era desconhecida. 
 
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(Mackenzie-SP) 
No circuito abaixo, a ddp entre os terminais A e B é de 60 V e o galvanômetro 𝐺 acusa uma 
intensidade de corrente elétrica zero. Se a ddp entre os terminais A e B for duplicada e o 
galvanômetro continuar acusando zero, podemos afirmar que: 
 
a) a resistência 𝑅 permanecerá constante e igual a 25 Ω. 
b) a resistência 𝑅 permanecerá constante e igual a 15 Ω. 
c) a resistência 𝑅 permanecerá constante e igual a 10 Ω. 
d) a resistência 𝑅, que era de 25 Ω, será alterada para 50 Ω. 
e) a resistência 𝑅, que era de 50 Ω, será alterada para 12,5 Ω. 
Comentários: 
 Na primeira condição, ddp igual a 60 𝑉, vemos que a ponte está equilibrada, já que a corrente 
é nula pelo galvanômetro. Então: 
5 ⋅ (20 + 𝑅) = 15 ⋅ (10 + 5) ⇒ 5 ⋅ (20 + 𝑅) = 3 ⋅ 5 ⋅ 15 
20 + 𝑅 = 45 ⇒ 𝑅 = 25 Ω 
 Perceba que essas relações entre as resistências determinam a condição de equilíbrio na 
ponte, independentemente do valor de tensão entre os pontos A e B. Portanto, ao dobrar a ddp 
entre A e B, o valor de 𝑅 permanecerá o mesmo e ele é igual a 25 Ω. 
Gabarito “a”. 
(FAAP-SP) 
No circuito indicado na figura a intensidade da corrente no gerador é 𝐼 = 7,0 𝐴 e no ramo 𝐴𝐵 é 𝐼1 =
5,0 𝐴. Calcule a tensão entre os terminais do gerador ideal. 
 
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Comentários: 
Se